3.2.1 两角分别相等的判定方法（课件）--2026-2027学年北师大版数学九年级上册

# 北师大版九年级上册 3.2.1 两角分别相等的两个三角形相似 专项练习 ## 知识点梳理 ### 相似三角形判定定理1：**两角分别相等的两个三角形相似** 简称：**AA（两角对应相等）** 在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\) 若$\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)\angle B=\angle B'}$\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\) 则$\boldsymbol{\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'}$。 > 推论：**直角三角形\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)只要有一组锐角相等\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)两个直角三角形相似**（直角本身就是一组相等角） ### 常用找等角的方法 1. 对顶角相等； 2. 两直线平行\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)同位角\(AB\(D\(AB、CD\)E\)AC\)内错角相等； 3. 同角（或等角）的余角相等； 4. 公共角。 > 易错提醒 1. 必须是**对应角相等**\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)不是随便两个角相等就直接写相似\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)要写清楚对应顶点； 2. 相似符号$\backsim$书写时\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)顶点按对应顺序写\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)方便找对应边； 3. 只有一对角相等\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)**不能判定相似**\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)必须两组。 ## 一\(AB\(D\(AB、CD\)E\)AC\)选择题（每题4分\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)共20分） 1. 在$\triangle ABC$与$\triangle DEF$中\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)$\angle A=40^\circ,\angle B=60^\circ,\angle D=40^\circ,\angle F=80^\circ$\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)则（） A.$\triangle ABC \backsim \triangle EFD$ B.$\triangle ABC \backsim \triangle DEF$ C.$\triangle ABC \backsim \triangle DFE$ D.不相似 2. 下列各组三角形\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)一定相似的是（） A.两个等腰三角形 B.两个直角三角形 C.有一个锐角相等的两个直角三角形 D.两个钝角三角形 3. 如图\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)$\angle 1=\angle 2$\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)$\angle C=\angle E$\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)则（） A.$\triangle ABC \backsim \triangle ADE$ B.$\triangle ABC \backsim \triangle AED$ C.$\triangle ABD \backsim \triangle ACE$ D.$\triangle ABE \backsim \triangle ADC$ 4. 在$\triangle ABC$中\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)$DE\parallel BC$\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)交$AB\(AB\(D\(AB、CD\)E\)AC\)AC$于$D\(AB\(D\(AB、CD\)E\)AC\)E$\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)可直接判定$\triangle ADE \backsim \triangle ABC$的理由是（） A.三边成比例 B.两边成比例夹角相等 C.两角分别相等 D.两个直角相等 5. 已知$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)$\angle A=\angle A'$\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)再加一个条件就能判定相似\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)这个条件是（） A.$AB=A'B'$ B.$\angle B=\angle B'$ C.$BC=B'C'$ D.$AB:BC=A'B':B'C'$ ## 二\(AB\(D\(AB、CD\)E\)AC\)填空题（每题4分\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)共20分） 1. 两角分别相等的两个三角形________。 2. 两个直角三角形\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)有一组锐角对应相等\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)则这两个直角三角形________。 3. $\triangle ABC$中\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)$\angle A=50^\circ\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)\angle B=60^\circ$；$\triangle DEF$中$\angle D=50^\circ\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)\angle E=70^\circ$\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)则$\triangle ABC$与$\triangle DEF$________相似（填“是”或“不是”）。 4. 公共角是证明三角形相似非常常用的一组相等角\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)再找到________\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)就可用AA判定相似。 5. 若$\triangle ABC \backsim \triangle ADE$\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)$\angle B=70^\circ$\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)则$\angle ADE=$________。 ## 三\(AB\(D\(AB、CD\)E\)AC\)解答题（共60分） 1.（18分）已知：如图\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)$\angle B=\angle AED$\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)$\angle A$是公共角。 求证：$\triangle ABC \backsim \triangle AED$。 2.（20分）如图\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)在$\text{Rt}\triangle ABC$中\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)$\angle ACB=90^\circ$\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)$CD\perp AB$于点$D$。 求证：$\triangle ACD \backsim \triangle ABC$。 3.（22分）如图\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)$AB\(AB\(D\(AB、CD\)E\)AC\)CD$交于点$O$\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)$\angle A=\angle C$。 （1）求证：$\triangle AOD \backsim \triangle COB$； （2）若$AO=4\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)CO=2\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)AD=3$\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)求$BC$的长。 ## 参考答案与解析 ### 选择题 1.A 解析：$\triangle ABC$内角：$\angle A=40^\circ,\angle B=60^\circ,\angle C=80^\circ$；$\angle D=40^\circ,\angle F=80^\circ$\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)$\angle A=\angle D\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)\angle C=\angle F$\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)$\triangle ABC\backsim\triangle EFD$。 2.C 解析：直角已经一组相等角\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)再加一组锐角相等\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)满足AA。 3.B 解析：$\angle1=\angle2\Rightarrow\angle BAC=\angle DAE$\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)又$\angle C=\angle E$\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)AA判定$\triangle ABC \backsim \triangle AED$。 4.C 解析：平行得到同位角相等\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)两组角相等\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)AA。 5.B 解析：一组角相等\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)再加一组对应角相等\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)AA判定相似。 ### 填空题 1.相似 2.相似 3.是 4.另一组对应角相等 5.$70^\circ$ ### 解答题 1.证明： $\because \angle A=\angle A$（公共角）\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)$\angle B=\angle AED$ $\therefore \triangle ABC \backsim \triangle AED$（两角分别相等的两个三角形相似） 2.证明： $\because \angle ACB=90^\circ\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)CD\perp AB$\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)$\therefore \angle ADC=90^\circ$ $\therefore \angle ADC=\angle ACB$ 又$\because \angle A=\angle A$（公共角） $\therefore \triangle ACD \backsim \triangle ABC$（AA） 3.解： （1）证明： $\because \angle A=\angle C$\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)$\angle AOD=\angle COB$（对顶角相等） $\therefore \triangle AOD \backsim \triangle COB$（两角分别相等\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)两三角形相似） （2）$\because \triangle AOD \backsim \triangle COB$ $\therefore \dfrac{AO}{CO}=\dfrac{AD}{BC}$ 代入数值：$\dfrac42=\dfrac{3}{BC}$ $4\cdot BC=6$\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)解得$\boldsymbol{BC=\dfrac32}$ ## 易错点总结 1. 写相似时\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)**顶点一定要对应**\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)否则对应边\(AB\(D\(AB、CD\)E\)AC\)对应角会搞错； 2. AA只需要**两组角**\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)不需要找边； 3. 看到垂直\(AB\(D\(AB、CD\)E\)AC\)直角\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)优先找同角的余角相等\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)是这类题高频考法； 4. 平行可以直接推出同位角相等\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)快速构造AA条件。 下一节：**两边成比例且夹角相等判定相似**\(\boldsymbol{\angle A=\angle A'\(\angle A=50^\circ\(\angle D=50^\circ\(\angle A=\angle D\(\because \angle ACB=90^\circ，CD\perp AB\)\angle C=\angle F\)\angle E=70^\circ\)\angle B=60^\circ\)\angle B=\angle B'}\)继续写专项练习吗？ 北师大版（新教材）数学九年级上册 3.2.1两角分别相等的判定方法 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/5 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第三章 图形的相似 素养目标 1.理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件; 2.掌握相似三角形的判定定理1;（重点） 3.能熟练运用相似三角形的判定定理1.（难点） 素养目标 如图所示，五边形ABCDE与五边形 A'B'C'D'E'，记作五边形ABCDE ∽五边形 A'B'C'D'E'. 1.相似多边形的定义： 、 的两个多边形叫做相似多边形. 2.相似比：相似多边形 的比叫做相似比. 各角分别相等 各边成比例 对应边 3.相似的记法： 相似符号：“ ”，读作 .在记两个多边形相似时，要把表示对应角顶点的字母写在 的位置上。 ∽ 相似于 对应 情境导入 03 新知探究 几何语言：如图，在△ABC和△A′B′C′中， ∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′， k， ∴△ABC∽△A′B′C′。 相似比为k 03 新知探究 问题 两个三角形至少满足哪些条件就相似呢?类比探索三角形全等的条件的思路，寻找判定两个三角形相似的条件。 如果两个三角形只有一个角相等，它们一定相似吗?如果有两个角分别相等呢? 一个含 30°角的直角三角形，和一个含 30°角的等腰三角形，它们只有 30°角相等，但形状明显不同。 如果两个三角形只有一个角相等，它们不一定相似； 03 新知讲解 问题 两个三角形至少满足哪些条件就相似呢?类比探索三角形全等的条件的思路，寻找判定两个三角形相似的条件。 如果两个三角形只有一个角相等，它们一定相似吗?如果有两个角分别相等呢? 如果两个三角形有两个角分别相等，它们一定相似。 你能想办法验证吗？ 03 新知讲解 分别画△ABC和△A′B′C′， 使得∠A和∠A′都等于∠α，∠B和∠B′都等于∠β，此时，∠C与∠C′相等吗?三边的比，相等吗?这样的两个三角形相似吗? 合作分工： (1) 1人画△ABC，1人画△A'B'C'。 (2)① 测量∠C与∠C′角度；  ② 测量△ABC的三边和△ A'B'C'的三边； ③ 计算对应边的比值，并记录结果 C B A C′ B′ A′ 03 新知讲解 分别画△ABC和△A′B′C′， 使得∠A和∠A′都等于∠α，∠B和∠B′都等于∠β，此时，∠C与∠C′相等吗?三边的比，相等吗?这样的两个三角形相似吗? C B A C′ B′ A′ 03 新知讲解 分别画△ABC和△A′B′C′， 使得∠A和∠A′都等于∠α，∠B和∠B′都等于∠β，此时，∠C与∠C′相等吗?三边的比，相等吗?这样的两个三角形相似吗? ∠C与∠C′相等， 三边的比，相等， 这样的两个三角形相似。 C B A C′ B′ A′ 03 新知讲解 改变∠α，∠β的大小，再试一试。 因为∠C=180°-∠α - ∠β ，∠C'=180°-∠α - ∠β ， 所以∠C=∠C'。 三边的比相等，即无论∠α，∠β取何值，只要两个三角形的两角对应相等，它们的第三个角必然相等，且对应边成比例。 C B A C′ B′ A′ α β 03 新知讲解 提炼概念 判定定理 1 定理 两角分别相等的两个三角形相似 在△ABC和△A'B'C'中， 如果∠A＝∠A'，∠B＝ ∠B'， 那么△ABC∽△A'B'C' A B C A' C' B' 数学语言： 知识点1 相似三角形的定义 1.如图，若使 ，则必须满足： （1）_____,_____, _____; （2）_____ ____。 返回 举一反三 12 2.下列说法中错误的是( ) B A.两个全等三角形一定相似 B.两个直角三角形一定相似 C.两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例 D.相似的两个三角形不一定全等 返回 举一反三 13 知识点2 两角分别相等的判定方法 3.[西安校级期中] 在和中，若 ， ， ， ，则这两个三角形的关系一定成立的是( ) B A. B. C. D.既不全等又不相似 返回 举一反三 14 03 新知讲解 为什么只需要两个角相等就足够了？ 利用三角形内角和为180°进行推理： 因为∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，所以∠C'＝180°－∠A'－∠B'＝180°－∠A－∠B＝∠C.因此，三个角都对应相等. A B C A' C' B' 新课探究 例1 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB 和AC 上的点，DE∥BC，AB＝7，AD＝5，DE＝10，求BC的长. 解:∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C. ∴△ADE∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似). ∴ ∴ . 3.如图，已知 AB∥DE，∠AFC ＝∠E，则图中相 似三角形共有 ( ) A. 1对 　 　B. 2对 C. 3对 　 　D. 4对 4.已知△ABC∽△A′B′C′，且BC︰B′C′＝AC︰A′C′.若AC＝3，A′C′＝4.5，则△ABC与△A′B′C′的相似比为 (      ) A.1︰3 B. 3︰2 C. 3︰5  D. 2︰3 D 5. 如图，∠AED＝∠B，则下列关系一定成立的是(　 　) A．AD∶AC＝AE∶AB B．DE∶BC＝AD∶DB C．DE∶BC＝AE∶AC D．AD∶AB＝AE∶AC A C 当堂检测 8.如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D. AD的长为 . D A B C E A B D C 6. 如图，点 D 在 AB上，当∠ ＝∠ (或∠ = ∠ )时， △ACD∽△ABC. ACD ACB B ADB 4 7. 如图，△ABC中，AE 交 BC 于点 D，∠C=∠E，AD : DE=3 : 5，AE=8，BD=4，则DC的长等于 . C A B D E 当堂检测 （第4题） 4.如图，在中，,, ， 则 的长为( ) A A. B.3 C. D.2 返回 举一反三 19 （第5题） 5.［教材P74“习题3.2”第7题变式］ 如图，在 中， ，是斜边 上的 高，则图中相似三角形有( ) D A.0对 B.1对 C.2对 D.3对 返回 举一反三 20 6. 如图，在中，点，分别在边， 上。 添加一个条件使 ，则这个条件可以是________________ _______________。（写出一种情况即可） （答案不唯一） 返回 举一反三 21 7.如图，在和中， ， 。求证： 。 证明： ， , 即 。 又， 。 返回 举一反三 22 8.如图，在中， ，是边上一点，且 ， 过点作的垂线，交的延长线于点，求证： 。 举一反三 23 证明：， 。 ， 。 ， 。 ， 。 。 返回 举一反三 24 9.下列语句叙述正确的是( ) B A.有一个角是 的等腰三角形都相似 B.有一个角是 的直角三角形都相似 C.有一个角是 的锐角三角形都相似 D.有一个角是 的钝角三角形都相似 返回 举一反三 25 10.[杭州期末] 如图，已知是的边 上一 点，，的平分线交边于点 ， 交于点 ，则在下列给出的三角形中，与 相似的是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 26 定义法：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 探索三角形相似的条件-第1课时 三角形相似的条件 相似三角形判定定理1的应用 有关三角形相似的基本图形： 平行线型、斜交型、旋转型、双垂直型、一线三等角型. 判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 课堂小结 谢谢观看 THANKS 二一教育 $