第8讲 平行四边形的性质与判定 讲义2026-2027学年鲁教版(五四制)八年级数学上册

第8讲 平行四边形的性质与判定 优等生讲义 (精讲+典例+练习) 2026-2027学年鲁教版(五四制)八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解平行四边形的概念 · 掌握平行四边形的性质：对边、对角、对角线 · 掌握平行四边形的判定方法 · 能综合运用性质与判定解决证明与计算 · 会结合全等三角形处理平行四边形压轴题 📚 知识梳理 ☆ 1.平行四边形的概念 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 记作▱ABCD 平行四边形是中心对称图形 对角线的交点是对称中心 概念辨析例题：▱ABCD中∠A=60°，求∠C 解析：平行四边形对角相等，故∠C=∠A=60° ☆ 2.平行四边形的性质 对边平行且相等 对角相等，邻角互补 对角线互相平分 周长=2(邻边和)，面积=底×高 概念辨析例题：▱ABCD对角线交于O，AC=10，求AO 解析：对角线互相平分，AO=OC=AC=5 ☆ 3.平行四边形的判定 两组对边分别平行的四边形 两组对边分别相等的四边形 一组对边平行且相等的四边形 对角线互相平分的四边形 概念辨析例题：四边形ABCD中AB∥CD且AB=CD 解析：一组对边平行且相等→平行四边形 ☆ 4.性质与判定的综合应用 证明线段相等/角相等常用全等 对角线互相平分提供等量关系 判定后可用性质推出更多结论 注意区分性质（已知平行四边形用）与判定（证它是平行四边形用） 概念辨析例题：▱ABCD中E、F为对角线BD上两点且BE=DF 解析：由BE=DF得OE=OF，又OA=OC，对角线互相平分→▱ 📋 知识总结表 类别 内容 条件/结论 定义 两组对边分别平行 既是性质也是判定 性质 对边平行且相等 已知▱用 性质 对角相等邻角互补 求角度 性质 对角线互相平分 求线段 判定 一组对边平行且相等 最常用判定 综合 全等+对角线平分 压轴常用 ⚠️ 核心考点 【考点1】平行四边形的性质（第1-22题） · 对边平行且相等 · 对角相等邻角互补 · 对角线互相平分 · 周长=2邻边和 1．（2026春•柯桥区期末）如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，CB＝4，点E是边DC上一个动点（点E不与点D，C重合），以EA为边作一个▱AGFE，且GF过点B，则以下说法中：①当DE＝AD时，∠AED＝60°；②当DE＝6时，AE＝4；③▱AGFE的面积始终不变；④在点B与点F重合的情形下，随着点E运动，线段EG的取值范围是8＜EG＜8．正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①利用平行四边形内角得∠D＝60°DE＝AD可证△ADE等边，结论成立； ②过点A作AH⊥CD于H，由∠D＝60°，AD＝4，可算得DH＝2，，当DE＝6时HE＝4，由勾股定理得与题干的不符，因此②错误； ③AB与DC平行，E在DC上移动时，△ABE的高固定，面积不变，平行四边形AGFE面积是它的2倍，恒定不变； ④B、F重合时EG最小值是，小于8，给出的取值范围下限错误． 综上只有①③两句正确，共2个，选B． 【解答】解：先建立坐标系：以B为原点，直线BC为x轴， 由CB＝4得C（4，0）； 由平行四边形性质，∠C＝120°，AB＝8， 得，， DC所在直线为． ①AD＝4， 故DE＝4． DC总长为8， 因此E是DC中点， 坐标为． ∴AD＝DE＝AE＝4， △ADE为等边三角形， 故∠AED＝60°， ①正确； ②平行四边形基础边长角度：AD＝BC＝4，AB＝CD＝8， ∠C＝120°， 所以∠D＝60°． 过A作AH⊥CD，交CD延长线于H． 在Rt△AHD中，∠D＝60°， AD＝4， DH＝AD.． 当DE＝6时，E在线段DC上，HE＝DE﹣DH＝6﹣2＝4． 在直角△AHE中，直角边， HE＝4， 由勾股定理：， 题目给出计算结果不符， 故②错误． ③平行四边形AGFE中，GF∥AE且B在GF上， 因此▱AGFE的面积＝2S△ABE， 设E在DC上运动，代入坐标化简后可得（与E位置无关，为定值）， 因此▱AGFE面积恒为． ③正确； ④点B与F重合时，， B与F重合时， AGBE为平行四边形， 对角线AB与EG互相平分，AB中点为M（2，2）， 故EG＝2•EM． 点M到线段DC的垂线段长度为（垂足在线段DC上）， 因此EM最小值为2， EG最小值为． E趋近C时EG→8， 趋近D时， 故EG范围是， 与结论不符． ④错误． 综上，正确的说法有2个， 故选：B． 【点评】题目考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 2．（2025春•惠来县期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，AB＝10，BC＝8，则对角线BD的长是（　　） A． B． C．12 D．14 【分析】由∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，求得AC6，则CO＝AO＝3，所以DO＝BO，则BD＝2DO＝2，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AC⊥BC，AB＝10，BC＝8， ∴∠ACB＝90°， ∴AC6， ∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O， ∴CO＝AOAC＝3， ∴DO＝BO， ∴BD＝2DO＝2， 故选：A． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，正确地求出AC的长是解题的关键． 3．（2024春•东阳市期末）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，已知AB＝6．∠ABC＝30°，则直线l1、l2间的距离为（　　） A．6 B．3 C． D． 【分析】过点A作AD⊥l2于点D，在Rt△ABD中根据AB＝6，∠ABC＝30°可求出AD＝3，进而可得直线l1、l2间的距离． 【解答】解：过点A作AD⊥l2于点D，如图所示： 在Rt△ABD中，AB＝6，∠ABC＝30°， ∴ADAB＝3， ∴直线l1、l2间的距离为3． 故选：B． 【点评】此题主要考查了平行线间的距离，理解平行线间的距离，熟练掌握含有30°角的直角三角形的性质是解决问题的关键． 4．（2025秋•牟平区期末）若▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下结论错误的是（　　） A．∠ABC＝∠ADC B．▱ABCD一定是中心对称图形 C．若AO⊥BD，则BC＝DC D．▱ABCD不可能是轴对称图形 【分析】若▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下结论错误的是（　　） 【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴∠ABC＝∠ADC； 若AO⊥BD， ∴▱ABCD是菱形， ∴BC＝DC； ∴此时▱ABCD是轴对称图形，▱ABCD一定是中心对称图形． 故选项A、B、C说法正确，选项D说法错误． 故选：D． 【点评】题目主要考查平行四边形的性质和菱形的判定和性质，轴对称图形的判断，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 5．（2026•任丘市模拟）如图，在平行四边形ABCD中，延长BC到点E，连接AE，使AE＝AB．若∠ADC＝40°，则∠E的度数为　40°　 ． 【分析】先根据平行四边形的性质可得∠B＝∠ADC＝40°，再根据等腰三角形的性质求解即可得． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝40°， ∴∠B＝∠ADC＝40°， ∵AE＝AB（已知）， ∴∠E＝∠B＝40°（等边对等角）， 即∠E的度数为40°． 故答案为：40°． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 6．（2025•南京模拟）在水平面内确定一条直线为基准线，规定：对该平面内不重合两点M，N，若以MN为斜边能作出直角三角形，且其中一条直角边垂直于基准线，则称两条直角边长度之和为点M，N的直角距离；若M，N两点所在的直线垂直或平行于基准线，则线段MN的长度为点M，N的直角距离．记点M，N的直角距离[MN]．如图，直线CD与基准线AB交于点O，点P在直线CD上，PQ垂直于AB，垂足为Q，且OQ＝2PQ，EF∥CD，，则[EF]的值为　3　 ． 【分析】根据题意得出EF与基准线的较小夹角的正切为，进而可得E，F的直角距离，即可求解． 【解答】解：OQ＝2PQ，EF∥CD，，如图，作点E作基准线AB的平行线EG，过点F作FG⊥EG于点G， 依题意，∠E＝∠POQ， 又∵OQ＝2PQ，PQ⊥OQ， ∴， ∴设FG＝a，则EG＝2a， 在直角三角形EFG中，由勾股定理得：， ∵， ∴a＝1， ∴[EF]＝EG+FG＝2+1＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了新定义，平行线之间的距离，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 7．（2026春•南岗区校级期中）已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离是3cm，那么直线a和直线b之间的距离为　2或8　 cm． 【分析】由于点M的位置不确定，应分两种情况讨论（1）当M在a和b的同侧时，（2）当M在a、b之间时两种情况分析即可． 【解答】解：直线a∥b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离是3cm， 当M在a和b的同侧时，距离为5﹣3＝2（cm）； 当M在a、b之间时，距离为5+3＝8（cm）， 故答案为：2或8． 【点评】本题考查了平行线之间的距离的应用，掌握平行线之间的距离及分类讨论思想是解题的关键． 8．（2024春•番禺区校级期中）如图，将平行四边形纸片ABCD纸片沿对角线BD对折，BC边与AD边交于点F，此时△ABF恰为等边三角形，若AB＝2cm，则重叠部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据折叠、平行四边形的性质和等边三角形的性质可求出阴影部分的底DF＝2cm，高，进而求出面积． 【解答】解：如图，过B作BH⊥AD于点H， ∴∠AHB＝90°， ∵△ABF是等边三角形， ∴∠A＝60°，AB＝BF＝AF＝2cm， ∴∠ABH＝30°， ∴， 在Rt△ABH中，由勾股定理得：， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠CBD＝∠BDF 由折叠性质可知：∠CBD＝∠EBD， ∴∠CBD＝∠EBD＝∠BDF， ∴DF＝BF＝2cm， ∴， 故选：C． 【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及翻折变换，解题的关键是掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定方法及其应用． 9．（2026春•金山区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝3，BD＝3，过点A作AE⊥BC于点E，设BE的长为x，BC的长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．y B．x2﹣y2 C．xy D．x2+y2 【分析】过D作DH⊥BC交BC的延长线于H，判定Rt△ABE≌Rt△DCH（HL），推出CH＝BE＝x，由勾股定理得到32﹣（y﹣x）2（y+x）2，求出xy＝2.25，即可得到答案． 【解答】解：过D作DH⊥BC交BC的延长线于H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝DC， ∵AE⊥BC， ∴AE＝DH， ∵AB＝DC， ∴Rt△ABE≌Rt△DCH（HL）， ∴CH＝BE＝x， ∴CE＝BC﹣BE＝y﹣x，BH＝BC+CH＝y+x， 由勾股定理得到：AE2＝AC2﹣CE2，DH2＝BD2﹣BH2， ∴AC2﹣CE2＝BD2﹣BH2， ∴32﹣（y﹣x）2（y+x）2， ∴xy＝2.25． ∴代数式的值不变的是xy． 故选：C． 【点评】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，关键是由勾股定理得到关于xy的等式． 10．（2025春•龙华区校级期中）如图，在▱ABCD中，F是BC边上一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAF，若BF＝5，CF＝2，则AF的长为　9　 ． 【分析】延长AE，BC交于点G，连接EF，根据平行四边形的性质得到AD＝BC＝BF+CF＝5+2＝7，AD∥BC，由角平分线的定义得到∠EAF＝∠G，FA＝FG＝FC+CG，再证明△ADE≌△GCE（ASA），AD＝CG＝7，即可求解． 【解答】解：如图，延长AE、BC交于点G，连接EF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝BF+CF＝5+2＝7，AD∥BC， ∴AD∥BG， ∴∠DAG＝∠G，∠D＝∠ECG， ∵EA平分∠DAF， ∴∠DAE＝∠FAE， ∴∠EAF＝∠G， ∴FA＝FG＝FC+CG， ∵E是CD中点，AD∥CG， ∴∠D＝∠ECG，DE＝CE，且∠DEA＝∠CEG， 在△ADE和△GCE中， ， ∴△ADE≌△GCE（ASA）， ∴AD＝CG＝7， ∴FG＝CF+CG＝2+7＝9＝AF， 故答案为：9． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边判定等腰三角形的综合，掌握以上知识合理作出辅助线是关键． 11．（2025秋•沙坪坝区校级期末）如图，小驰用四根木条钉成一个▱ABCD木框，推动AB得到▱A'BCD'．现测得∠ABA'＝18°，∠A'＝140°，则∠ABC的度数为　58°　 ． 【分析】由平行四边形的性质推出A′D′∥BC，得到∠A′+∠A′BC＝180°，求出∠A′BC＝40°，即可得到∠ABC的度数． 【解答】解：∵四边形A'BCD'是平行四边形， ∴A′D′∥BC， ∴∠A′+∠A′BC＝180°， ∵∠A′＝140°， ∴∠A′BC＝40°， ∴∠ABC＝∠ABA'+∠A′BC＝18°+40°＝58°． 故答案为：58°． 【点评】本题考查平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的两组对边分别平行． 12．（2024秋•烟台期末）如图，在▱ABCD中，BE垂直平分CD于点E，∠BAD＝45°，AD＝2，则▱ABCD的对角线AC的长为（　　） A．5 B．10 C． D． 【分析】连接BD交AC于点F，根据平行四边形和线段垂直平分线的性质可以推出BD＝AD＝2，即可推出∠ADB＝90°，先利用勾股定理求出AF的长，即可求出AC的长． 【解答】解：在▱ABCD中，BE垂直平分CD于点E，∠BAD＝45°，AD＝2，如图，连接BD交AC于点F． ∴BD＝BC，BC＝AD＝2，BF＝DF，AC＝2AF， ∴BD＝AD＝2， ∴， ∵∠BAD＝45°， ∴∠ABD＝45°， ∴∠ADB＝90°． 在Rt△ADF中，由勾股定理得：， ∴， 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练运用勾股定理解决问题． 13．（2024•高平市三模）如图，AC为▱ABCD的一条对角线，AB＝2BC，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于两点，过这两点的直线分别与AB，CD边交于点E，F，与AC交于点O．若∠ABC＝120°，则的值为 　　 ． 【分析】过点C作CH⊥AB，交AB延长线于点H，由含30°角直角三角形的性质得BHBC，再由题中尺规作图可知EF是AB的垂直平分线得出AE＝BEAB＝BC，EF⊥AB，进而证四边形EFCH是矩形，求出CFBC，然后证△AEO∽△CFO，得出． 【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB，交AB延长线于点H， ∴∠BHC＝90°， ∵∠ABC＝120°， ∴∠CBH＝180°﹣120°＝60°， ∴∠BCH＝30°， ∴BHBC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， 由题中尺规作图可知，EF是AB的垂直平分线， ∴AE＝BEAB＝BC，EF⊥AB， ∴EF⊥CD， ∴∠AEO＝∠FEH＝∠EFC＝90°， 又∵∠BHC＝90°， ∴四边形EFCH是矩形， ∴CF＝EH＝BE+BH＝BCBCBC， ∵∠AEO＝∠CFO＝90°，∠AOE＝∠COF， ∴△AEO∽△CFO， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、含30°角直角三角形的性质、矩形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，构建含30°角直角三角形是解题的关键． 14．（2021秋•鹿邑县期中）如图，直线E、F经过平行四边形ABCD对角线的交点O，若AE＝3cm，BC＝8cm，则BF＝　5　 cm． 【分析】连接AC，由平行四边形的性质得AD∥CB，再证明AC经过点O，且OA＝OC，则∠OAE＝∠OCF，而∠AOE＝∠COF，即可根据“ASA”证明△AOE≌△COF，则AE＝CF＝3cm，而BC＝8cm，所以BF＝BC﹣CF＝5cm，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接AC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB， ∵直线EF经过平行四边形ABCD对角线的交点O， ∴AC经过点O，且OA＝OC， ∴∠OAE＝∠OCF， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝CF＝3cm， ∵BC＝8cm， ∴BF＝BC﹣CF＝8﹣3＝5（cm）， 故答案为：5． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 15．（2026春•襄城区校级月考）▱ABCD中，∠B的平分线BM把边CD分成4和6两部分，则▱ABCD的周长是　32或28　 ． 【分析】根据题意，分类讨论：当CM＝6，DM＝4时；当CM＝4，DM＝6时，结合图形分析即可求解． 【解答】解：∠B的平分线BM把边CD分成4和6两部分， 当CM＝6，DM＝4时，如图所示，则∠ABM＝∠CBM， ∴CD＝CM+DM＝6+4＝10， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABM＝∠CMB， ∵BM平分∠ABC， ∴∠ABM＝∠CBM， ∴∠CBM＝∠CMB， ∴BC＝CM＝6＝AD， ∴平行四边形ABCD的周长为（10+6）×2＝32； 当CM＝4，DM＝6时， 同理，CD＝CM+DM＝4+6＝10＝AB，BC＝CM＝4＝AD， ∴平行四边形ABCD的周长为（10+4）×2＝28； 综上所述，▱ABCD的周长为：32或28． 故答案为：32或28． 【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质分两组情况解答． 16．（2026春•同步）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，作OE⊥AC，交CD于点E，连接AE．若△ADE的周长为8，求平行四边形ABCD的周长． 【分析】根据平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论． 【解答】解：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∴OA＝OC，即点O是AC中点， ∵OE⊥AC， ∴AE＝CE， ∵△ADE的周长为8， ∴AD+DE+AE＝AD+DE+CE＝AD+CD＝8， ∴平行四边形ABCD的周长＝2×8＝16． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、垂直平分线的性质；灵活运用垂直平分线的性质是解题的关键． 17．（2023•朝阳区校级开学）已知：如图，点P是平行四边形ABCD的边DC上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA． （1）求证：AP⊥PB； （2）如果AD＝5，AP＝8，求△APB的周长． 【分析】（1）根据平行四边形的同旁内角互补，再结合角平分线的定义，可以得到∠PAB+∠PBA＝90°，再根据三角形的内角和定理就可证明； （2）根据角平分线的定义以及两条直线平行，则内错角相等．从而证明△ADP和△BCP是等腰三角形．则AB＝CD＝PD+PC＝2AD＝10，根据勾股定理得到PB＝6，进而可求出△APB的周长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAB+∠CBA＝180°， ∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA， ∴，． ∴∠PAB+∠PBA＝90°． ∴∠APB＝180°﹣90°＝90°． ∴AP⊥PB． （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝5． ∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA， ∴∠PAB＝∠PAD＝∠DPA． ∴DP＝AD＝5． 同理PC＝BC＝5． ∴AB＝DC＝DP+PC＝10． ∴在Rt△APB中，． ∴△APB的周长＝8+6+10＝24． 【点评】本题主要考查了平行线的性质、平行四边形的性质、角平分线的定义、勾股定理及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18．（2026春•松江区期末）平行四边形ABCD中，两条邻边长分别为3cm和5cm，∠BAD与∠ABC的平分线交于点E，点F是CD的中点，连接EF，则EF＝ 　3.5或0.5　 cm． 【分析】依题意有以下两种情况：①当平行四边形ABCD的边AB＝3cm，BC＝5cm时，延长AE交BC于点H，则BC＝AD＝5cm，BC∥AD，证明HB＝AB＝3cm得CH＝2cm，再根据等腰三角形性质得点E是AH的中点，由此可得EF是梯形AHCD的中位线，再由梯形的中位线定义可得EF＝3.5cm；②当平行四边形ABCD的边AB＝5cm，BC＝3cm时，延长AE交BC的延长线于点M，连接MF，并延长交AD于N，同①可得MB＝AB＝5cm，点E是AM的中点，则CM＝2cm，证明△FDN是△FCM全等得DN＝CM＝2cm，FN＝FM，则AN＝1cm，点F是MN的中点，再证明EF是△MAN的中位线得EFAN＝0.5（cm），综上所述即可得出EF的长． 【解答】解：依题意有以下两种情况： ①当平行四边形ABCD的边AB＝3cm，BC＝5cm时， 延长AE交BC于点H，如图1所示： ∴BC＝AD＝5cm，BC∥AD， ∴∠DAH＝∠BHA，CH∥AD， ∴四边形AHCD是梯形， ∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠BAH＝∠DAH，∠EBA＝∠EBH， ∴∠BHA＝∠BAH， ∴HB＝AB＝3cm， ∴CH＝BC﹣HB＝5﹣3＝2（cm）， 在△BAH中，HB＝AB，BF是∠ABC的平分线， ∴AE＝HE， ∴点E是AH的中点， 在梯形AHCD中，点E是AH的中点，点F是CD的中点， ∴EF是梯形AHCD的中位线， ∴EF（AD+CH）3.5（cm）； ②当平行四边形ABCD的边AB＝5cm，BC＝3cm时， 延长AE交BC的延长线于点M，连接MF，并延长交AD于N，如图2所示： 同①得：MB＝AB＝5cm，点E是AM的中点， ∴CM＝MB﹣BC＝5﹣3＝2（cm）， ∵BC∥AD， ∴∠D＝∠FCM，∠FND＝∠FMC， ∵点F是CD的中点， ∴FD＝FC， 在△FDN是△FCM中， ， ∴△FDN≌△FCM（AAS）， ∴DN＝CM＝2cm，FN＝FM， ∴AN＝AD﹣DN＝3﹣2＝1（cm），点F是MN的中点， 在△MAN中，点E是AM的中点，点F是MN的中点， ∴EF是△MAN的中位线， ∴EFAN＝0.5（cm）， 综上所述：EF＝3.5或0.5cm． 故答案为：3.5或0.5． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形和梯形的中位线定理，理解平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形和梯形的中位线定理是解决问题的关键，分类讨论是易错点． 19．（2024秋•浦东新区校级月考）如图，已知平行四边形中，AD＝BC＝5，AB＝CD＝6，E为AB的中点，DE⊥AB，F为CE的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于　　 ． 【分析】取DE的中点H，连接FH，证明AD＝BC＝5，AB＝CD＝6，AB∥CD，得到，求出，由DE的中点H，F为CE的中点，得到，，证明△AEG≌△FHG（AAS），则HG＝GE＝1，即可求出． 【解答】解：如图，取DE的中点H，连接FH， ∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝5，AB＝6， ∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝6，AB∥CD， ∵E为AB的中点， ∴， ∵DE⊥AB， ∴， ∵DE的中点H，F为CE的中点， ∴，， ∴AE＝HF＝3，∠FHG＝∠AEG， 在△AEG与△FHG中， ， ∴△AEG≌△FHG（AAS）， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，构造中位线是解题的关键． 20．（2026•徐州二模）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝AF．求证： （1）△ABE≌△ADF； （2）点C在∠EAF的平分线上． 【分析】（1）根据四边形ABCD为平行四边形，推出∠B＝∠D，结合已知条件，运用“角角边”证明△ABE≌△ADF； （2）先由△ABE≌△ADF，推出AB＝AD，BE＝DF，从而证得平行四边形ABCD为菱形，再证EC＝FC，由∠CEA＝∠CFA＝90°，EC＝FC，根据角平分线的判定定理证得结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B＝∠D， ∵AF⊥CD，AE⊥BC， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， 在△ADF和△ABE中， ∵， ∴△ABE≌△ADF（AAS）； （2）由（1）得△ABE≌△ADF， ∴AB＝AD，BE＝DF， ∴平行四边形ABCD为菱形， ∴BC＝DC， ∵FC＝CD﹣DF，EC＝BC﹣BE， ∴EC＝FC， ∵∠CEA＝∠CFA＝90°， ∴点C在∠EAF的平分线上． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及角平分线的判定定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 21．（2024秋•静安区校级月考）一副三角尺有两块直角三角尺组成，其中一块含30°角，另一块含45°角．设这两块三角尺斜边上的高都是h．某数学学习小组经过探究，得到如下结果：用这样相同的两副三角尺可以拼成一个平行四边形（三角尺互不重叠，且都不在这个平行四边形外），并且内部留下的“空隙”是一个较小的平行四边形．如图是其中一种拼成的平行四边形的拼接示意图． （1）用含h的代数式直接表示． ①这副三角尺中两块三角尺的直角边长； ②图中内部的小平行四边形的底、高和面积； （2）请你画出一种符合该小组探究结果的平行四边形的拼接示意图．要求①形状与图不同，②画出三角尺的边． 【分析】（1）①过点E作EP⊥AB于点P，过点F作FQ⊥BC于Q，根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理分别期初AE，BE即可；根据直角等腰三角形的性质及勾股定理求出BF即可； ②根据②的结论得EF，HE，再依题意得∠HEF＝∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°，则图中内部的小平行四边形EFGH是矩形，由此可得小平行四边形EFGH的底边，高和面积； （2）根据题意可拼接成一个大矩形，矩形内部是一个平行四边形． 【解答】解：（1）①过点E作EP⊥AB于点P，过点F作FQ⊥BC于Q，如图1所示： ∵在Rt△ABE中，∠BAE＝30°，EP＝h， ∠ABE＝90°﹣∠BAE＝60°， ∵EP⊥AB， ∴∠APE＝∠BPE＝90°， 在Rt△APE中，∠BAE＝30°，EP＝h， ∴AE＝2h， 在Rt△BEP中，∠BEP＝90°﹣∠ABE＝30°， ∴BPBE， 由勾股定理得：PEBE， ∴hBE， ∴BE； 又∵在Rt△BCF中，∠FBC＝45°，FQ＝h， ∵FQ⊥BC， ∴△BQF是等腰直角三角形， ∴BQ＝FQ＝h， 由勾股定理得：BF， ∴含30°角的直角三角形的两条直角边的长分别为2h和；含45°角的直角三角形的两条直角边的长都是； ②∵BFh，BE， ∴EF＝BF﹣BE， ∵AE＝2H，AH＝BF， ∴HE＝AE﹣AH， 依题意得：∠HEF＝∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°， ∴图中内部的小平行四边形EFGH是矩形， ∴小平行四边形EFGH的底边是，高是， ∴小平行四边形EFGH的面积为：； （2）如图2所示，平行四边形ABCD即为拼接的图形，其中Rt△BEF和Rt△DGH为含有30°角的直角三角形，Rt△AEH和Rt△CFG为含有45°角的直角三角形． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，含有30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用含有30°角的直角三角形的性质，勾股定理进行计算是解决问题的关键． 22．（2024秋•新泰市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转得到△ADE，BD与CE交于点F． （1）若∠BCF＝25°，求∠EDF的度数； （2）若AB＝1，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是平行四边形时，求∠BAE的度数及EC的长． 【分析】（1）连接BE．根据旋转的性质先证明△AEC≌△ADB（SAS）则EC＝BD，进而证明△DEB≌△CBE（SSS），得出∠EDF＝∠ECB＝25°； （2）根据四边形ADFC是平行四边形，结合已知条件得出∠ABD＝∠BAC＝45°，进而得∠DAB＝90°．由勾股定理，可求得．根据△AEC≌△ADB，即可求解． 【解答】解：（1）连接BE． ∵将△ABC绕点A沿顺时针旋转得到△ADE， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE， ∴∠DAB＝∠EAC， 又∵AB＝AC，AD＝AB，AC＝AE， ∴AD＝AE， 在△AEC和△ADB中， ， ∴△AEC≌△ADB（SAS）， ∴EC＝BD． 在△DEB和△CBE中， ， ∴△DEB≌△CBE（SSS）． ∴∠EDF＝∠ECB＝25°； （2）由旋转性质得∠DAE＝BAC＝45°，AB＝AC＝AD＝AE＝1， ∵四边形ADFC是平行四边形， ∴AC∥DF． ∴∠ABD＝∠BAC＝45°， ∵AD＝AB＝1， ∴∠ADB＝∠ABD＝45°． ∴∠DAB＝90°． ∵∠BAC＝∠DAE＝45°， ∴∠BAE＝45° 由勾股定理，可求得， ∵△AEC≌△ADB， ∴． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质是解题的关键． 【考点2】平行四边形的判定（第23-37题） · 一组对边平行且相等 · 对角线互相平分 · 两组对边分别相等 · 判定后再用性质 23．（2026春•城厢区校级期末）依据图中所标数据，下列四边形一定为平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由平行四边形的判定逐一进行解答即可得出结论． 【解答】解：A．根据题意，得∠A+∠D＝180°，∠C＝110°， 故AB∥CD，AD，BC不平行，不是平行四边形，不符合题意； B．根据题意，得AB＝CD，∠C+∠D＝180°， 故AD∥BC， 故无法判定是平行四边形，不符合题意； C．根据题意，得∠C+∠D＝180°，AD＝BC， 故AD∥BC，AD＝BC，是平行四边形，符合题意； D．根据题意，得AD＝CD＝BC＝3， 故无法判定是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定即可． 24．（2024秋•万州区月考）下列说法正确的是（　　） A．如果a2＝b2，那么 B．如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补 C．垂直于同一条直线的两直线平行 D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 【分析】根据相关定义或判定定理逐项判断即可． 【解答】解：A，如果a2＝b2，那么a＝±b，不能得出，不合题意； B，如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角互补，不合题意； C，同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，不合题意； D，由一组对边平行，一组对角相等，再根据平行线的性质，可得另一组对角也相等，可证一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查算术平方根，平行线的判定与性质，平行四边形的判定等知识点，掌握其性质定理是解决此题的关键． 25．（2021春•道里区校级月考）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（　　） A．AE＝CF B．∠AED＝∠CFB C．DF∥BE D．DE＝BF 【分析】根据平行四边形的判定定理和全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵AE＝CF， ∴OA﹣AE＝OC﹣CF， 即EO＝FO， ∴四边形DEBF是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠DAE＝∠BCF， ∵∠AED＝∠CFB， ∴△ADE≌△CBF（AAS）， ∴DE＝BF， ∵∠AED＝∠CFB， ∴∠DEO＝∠BFO， ∴DE∥BF， ∴四边形DEBF是平行四边形，故选项B不符合题意； C、∵DF∥BE， ∴∠OBE＝∠ODF， ∵OB＝OD，∠BOE＝∠DOF， ∴△BOE≌△DOF（ASA）， ∴OE＝OF， ∴四边形DEBF是平行四边形，故选项C不符合题意； D、由DE＝BF不能证明△BOE≌△DOF，不能证明四边形DEBF是平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 26．（2026春•珠海期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应添加的条件是（　　） A．AB＝CD B．AO＝DO C．AD＝BC D．AC＝BD 【分析】结合平行四边形的判定定理分析各选项：选项A、D中，条件结合AD∥BC时，四边形可能为等腰梯形，不满足；选项B中，AO＝DO，无法推出对角线互相平分或对边相等；选项C中，AD＝BC与AD∥BC结合，符合”一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理，故可判定．故选：C． 【解答】选项A：（AB＝CD）：已知AD∥BC，再添加AB＝CD．这构成了“一组对边平行且相等”．反例：等腰梯形就满足这个条件，但它不是平行四边形，所以A不正确； 选项B：（AO＝DO）：已知AD∥BC，可得内错角∠DAO＝∠BCO．添加AO＝DO，只能说明△AOD是一个等腰三角形，这无法推导出对角线互相平分（即AO＝CO且BO＝DO），也无法证明AD＝BC．反例：可以构造一个非平行四边形的梯形，使其对角线交点O满足AO＝DO，所以B不正确． 选项C：（AD＝BC）：已知：AD∥BC，添加条件C：AD＝BC，判定：根据平行四边形的判定定理——“一组对边平行且相等的 四边形是平行四边形”．条件C与已知条件结合，完美符合判定定理，因此可以判定ABCD是平行四边形，故C正确； 选项D：（AC＝BD）：已知AD∥BC，再添加对角线相等AC＝BD，反例：等腰梯形同样满足”一组对边平行且对角线相等”的条件，但它不是平行四边形，所以D不正确． 故选：C． 【点评】题目考查了平行四边形的判定，解题的关键在于灵活运用判定定理，特别是识别出“一组对边平行且相等”这一判定方法，并能通过构造等腰梯形等反例来排除其他干扰选项． 27．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，E为边AD上的一点，且AB＝AE，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，延长AF交DC的延长线于点G．若DE＝2，则CG的长为　2　 ． 【分析】根据平行四边形的性质定理及平行线的性质求出∠BAG＝∠G，AB＝CD，根据等腰三角形的性质求出∠BAG＝∠EAG，则∠EAG＝∠G，再根据等腰三角形的判定及线段的和差求解即可． 【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAG＝∠G，AB＝CD， ∵AB＝AE，AF⊥BE， ∴∠BAG＝∠EAG， ∴∠EAG＝∠G， ∴DG＝AD， ∵DE＝AD﹣AE＝2，AB＝AE＝CD， ∴CG＝DG﹣CD＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 28．（2025春•于都县期中）如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止运动），当t＝　0或4.8s或8s或9.6s 时，四边形PDQB为平行四边形． 【分析】根据平行四边形的判定可得当DP＝BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：设经过m秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形， ∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形， ∴DP＝BQ， 分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B，方程为12﹣4t＝12﹣tt 此时方程t＝0； ②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为4t﹣12＝12﹣t， 解得：t＝4.8； ③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣24）＝12﹣t， 解得：t＝8； ④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4t﹣36＝12﹣t 解得：t＝9.6； 综上所述，t＝4.8s或8s或9.6s时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形， 故答案为：0s或4.8s或8s或9.6s． 【点评】此题考查了平行四边形的判定．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用． 29．如图，以△ABC的顶点A为圆心、BC长为半径作弧，再以顶点C为圆心、AB长为半径作弧，两弧交于点D，连结AD，CD．若∠B＝65°，则∠ADC的度数为　65°　 ． 【分析】根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：由题意可知AB＝CD，BC＝AD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ADC＝∠B＝65°． 故答案为：65°． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键． 30．在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AO＝OC，BD＝16cm，则当OB＝　8　 cm时，四边形ABCD是平行四边形． 【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得OB＝8cm时，四边形ABCD是平行四边形． 【解答】解：当OB＝8cm时，四边形ABCD是平行四边形， ∵BD＝16cm，OB＝8cm， ∴BO＝DO， 又∵AO＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 故答案为：8． 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定方法． 31．如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C，连接BC，DC．可直接判定四边形ABCD为平行四边形的理由是　两组对边分别相等　 ． 【分析】根据圆的半径相等，得到BC＝AD，CD＝AB，根据判定定理解答即可． 【解答】解：根据作法得到BC＝AD，CD＝AB， 则两组对边分别相等， 那么，四边形ABCD为平行四边形， 故答案为：两组对边分别相等． 【点评】本题考查了基本作图，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 32．（2025春•和平区校级期中）已知四边形ABCD是平行四边形， （1）如图①，若∠ABC＝70°，BM平分∠ABC且交AD于点M，DN∥BM且交BC于点N，则∠ADC的大小＝　70　 （度），∠CDN的大小＝　35　 （度）； （2）如图②，若AE＝CF，求证：四边形EBFD是平行四边形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到∠ADC＝∠ABC＝70°，AD∥BC，根据角平分线的定义得到∠ABM＝∠CBM＝35°，求得∠AMB＝∠CBM＝35°，根据平行线的性质得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到AD＝BC，ED∥BF．求得ED＝BF．得到四边形EBFD是平行四边形． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝70°， ∴∠ADC＝∠ABC＝70°，AD∥BC， ∴∠AMB＝∠CBM， ∵BM平分∠ABC， ∴∠ABM＝∠CBM＝35°， ∴∠AMB＝∠CBM＝35°， ∵DN∥BM， ∴∠ADN＝∠AMB＝35°， ∴∠CDN＝∠ADC﹣∠ADN＝35°， 故答案为：70，35； （2）证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，ED∥BF． 又AE＝CF， ∴ED＝BF． ∴四边形EBFD是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 33．（2026春•苏州校级月考）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC和边AD上，且AF＝CE，EF与对角线BD相交于点O．连接EF，BD．求证：四边形FBED是平行四边形． 【分析】证明FD∥EB，FD＝EB即可得出． 【解答】证明：∵▱ABCD， ∴AD∥BC． 又∵点F在边AD上，点E在边BC上， ∴线段FD所在的直线与线段EB所在的直线是同一条直线． ∴FD∥EB． ∵AD＝AF+FD，BC＝BE+CE． ∴AD＝BC． ∵AF＝CE．AD＝BC， ∴AF+FD＝BE+CE． 将AF＝CE代入上式，等式两边同时减去相等的量（AF和CE）， 可得FD＝BE． ∴FD∥EB，FD＝EB， 故四边形FBED是平行四边形． 【点评】题目考查了全等三角形、平行四边形的判定与性质，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 34．（2026春•头屯河区校级期中）如图，已知点G、H是平行四边形ABCD对角线AC上两点，且AG＝CH，E、F分别是边AB、CD的中点，求证：四边形EHFG是一个平行四边形． 【分析】先根据平行四边形的性质得到AB＝CD，∠EAG＝∠FCH，再根据线段中点的定义证明AE＝CF，由此证明△AEG≌△CFH得到EG＝FH，∠AGE＝∠CHF，进一步证明EG∥FH，即可证明四边形EHFG是平行四边形． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠EAG＝∠FCH， ∵E，F分别是AB，CD的中点， ∴， ∴AE＝CF， 又∵AG＝CH， ∴△AEG≌△CFH（SAS）， ∴∠AGE＝∠CHF，EG＝FH， ∴180°﹣∠AGE＝180°﹣∠CHF，即∠EGH＝∠FHG， ∴EG∥FH， ∴四边形EHFG是平行四边形． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定条件是解题的关键． 35．（2026春•西城区校级期中）画出辅助线并补充完成证明过程． 已知：如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点． 求证：DE∥BC，且． 证明：延长DE至点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF．（补全图形） ∵AE＝EC，DE＝EF， ∴四边形ADCF是　平行四边形　 ，（　对角线互相平分的四边形是平行四边形　 ）（填推理依据） ∴CF∥DA且CF＝DA． ∵D是AB的中点， ∴DA＝BD ， ∴CF＝BD且CF∥BD， ∴四边形DBCF是平行四边形，（　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形　 ）（填推理依据） ∴DF＝BC且DF∥BC． 又． ∴DE∥BC，且． 【分析】先证四边形ADCF是平行四边形，则CF平行且等于DA，得CF平行且等于BD．再证四边形DBCF是平行四边形，得DF平行且等于BC，即可得出结论． 【解答】证明：延长DE至点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF， ∵DE＝EF，AE＝EC， ∴四边形ADCF是平行四边形，（对角线互相平分的四边形是平行四边形） ∴CF＝DA，CF∥DA， ∵D是AB的中点， ∴DA＝BD， ∴CF＝BD，CF∥BD， ∴四边形DBCF是平行四边形，（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ∴DF＝BC且DF∥BC． 又， ∴DE∥BC，且． 故答案为：平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，BD，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键． 36．（2026春•灯塔市期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知AD∥BC，AO＝OC． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）DH⊥AB于H，若AD＝DC，AC＝8，BD＝6，求DH的长． 【分析】（1）证明：由AD∥BC，得∠ADO＝∠CBO，而∠AOD＝∠COB，OA＝OC，即可根据“AAS”证明△AOD≌△COB，得OD＝OB，则四边形ABCD是平行四边形； （2）由四边形ABCD是平行四边形，且AD＝DC，证明四边形ABCD是菱形，而AC＝8，BD＝6，则OAAC＝4，OBBD＝3，∠AOB＝90°，求得AB5，由S菱形ABCD＝5DH8×6，求得DH． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AD∥BC ∴∠ADO＝∠CBO， 在△AOD和△COB中， ， ∴△AOD≌△COB（AAS）， ∴OD＝OB， ∵OA＝OC，OD＝OB， ∴四边形ABCD是平行四边形． （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AD＝DC，AC＝8，BD＝6， ∴四边形ABCD是菱形，OA＝OCAC＝4，OB＝ODBD＝3，且AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∴AB5， ∵DH⊥AB于H， ∴S菱形ABCD＝5DH8×6， ∴DH， ∴DH的长是． 【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，证明△AOD≌△COB是解题的关键． 37．如图，在▱ABCD中，G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF，连接BD交AC于点O． （1）求证：四边形EGFH是平行四边形． （2）若BD＝14，AE+CF＝EF，求EG的长． 【分析】（1）由平行四边形ABCD得AB∥CD，AB＝CD，进而∠GAE＝∠HCF（内错角）；2．由中点得，结合已知AE＝CF，用SAS证得△AGE≌△CHF；3．全等推出GE＝HF且∠AEG＝∠CFH，从而∠GEF＝∠HFE（等角的补角相等），得GE∥HF；4．最终由“一组对边平行且相等”得出四边形EGFH是平行四边形； （2）抓住平行四边形对角线互相平分这一关键性质（OA＝OC，OB＝OD），并巧妙利用中位线定理：由BD＝14得OB＝OD＝7；由AE＝CF及OA＝OC，推出OE＝OF，进而得EF＝2OE＝2AE，即AE＝OE；再由G是AB中点，知EG是△ABO的中位线． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD． ∴∠GAE＝∠HCF． ∵点G，H分别是AB，CD的中点， ∴， ， ∴AG＝CH． 在△AGE和△CHF中， ∴△AGE≌△CHF． ∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH． ∴∠GEF＝∠HFE． ∴GE∥HF． 又∵GE＝HF， ∴四边形EGFH是平行四边形； 解：（2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD． ∵BD＝14， ∴OB＝OD＝7． ∵AE＝CF，OA＝OC， ∴OE＝OF． ∵AE+CF＝EF，AE＝CF， ∴2AE＝EF＝2OE． ∴AE＝OE． 又∵点G是AB的中点， ∴EG是△ABO的中位线． ∴． 【点评】题目考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025春•浦北县校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若平行四边形ABCD的周长为34，且，AF＝8，则平行四边形ABCD的面积为　56　 ． 【分析】由▱ABCD的周长为34，求得BC+CD＝17，由AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且AE，AF＝8，得S▱ABCDBC＝8CD，则BCCD，于是得CD+CD＝17，求得CD＝7，则S▱ABCD＝7×8＝56，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD， ∵▱ABCD的周长为34， ∴2BC+2CD＝34， ∴BC+CD＝17， ∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且AE，AF＝8， ∴S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF， ∴BC＝8CD， ∴BCCD， ∴CD+CD＝17， ∴CD＝7， ∴S▱ABCD＝7×8＝56， 故答案为：56． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行四边形的周长及面积公式等知识，推导出BC+CD＝17，且BCCD是解题的关键． 【练习 2】（2026•广州校级模拟）如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠B＝60°．动点M，N分别在边AB，AD上，且AM＝AN，以MN为边作等边△MNP，当△MNP的面积最大时，DN的长为　1　 ． 【分析】先推导出图形变化规律可知：当AM增大时，MN的长度随之变大，而等边△MNP的面积随着边长MN变长而增大，进而求出AN＝AM＝AB＝3，即可解答． 【解答】解：在平行四边形ABCD中， ∵邻角互补， ∴∠A＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°． 在△AMN中， ∵AM＝AN， ∴△AMN是一个顶角为120°的等腰三角形． ∴当AM变大时，MN的长度随之变大，而等边△MNP的面积随着边长MN变长而增大， ∵动点M，N分别在边AB，AD上， ∴AM＝AB＝3时，AM取得最大值，AB＝3，AD＝4， 此时AN＝AM＝3， ∴DN＝AD﹣AN＝4﹣3＝1． 【点评】题目考查了等腰、等边、平行四边形的判定与性质，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 【练习 3】（2026春•连江县期中）如图，在▱ABCD中，点E在BC上，∠ADE＝45°，EA平分∠BED，AD＝8，则AD与BC之间的距离为　4　 ． 【分析】作EF⊥AD于点F，由平行四边形的性质得AD∥BC，则∠DAE＝∠BEA，而∠BEA＝∠DEA，则∠DAE＝∠DEA，所以ED＝AD＝8，由∠DFE＝90°，∠ADE＝45°，得∠FED＝∠ADE＝45°，则DF＝EF，由EDEF＝8，求得EF＝4，于是得到问题的答案． 【解答】解：作EF⊥AD于点F， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BEA， ∵EA平分∠BED， ∴∠BEA＝∠DEA， ∴∠DAE＝∠DEA， ∴ED＝AD＝8， ∵∠DFE＝90°，∠ADE＝45°， ∴∠FED＝∠ADE＝45°， ∴DF＝EF， ∵EDEF＝8， ∴EF＝4， ∴AD与BC之间的距离为4， 故答案为：4． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、两条平行线之间的距离等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 【练习 4】（2026•新城区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，F在BC的延长线上，且∠BAE＝∠CDF．求证：AE＝DF． 【分析】根据平行四边形证明∠B＝∠DCF，证明△ABE≌△DCF（ASA），即可得到结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC，AB∥DC， ∴∠B＝∠DCF， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（ASA）． ∴AE＝DF． 【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【练习 5】（2025春•高州市期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，点E在线段AD上，且AE＝CD，连接BE，F为BE的中点，连接AF并延长交DC的延长线于点G． （1）求证：BE平分∠ABC； （2）若DE＝4，求CG的长． 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCD是平行四边形，求得AB＝CD，得到AB＝AE，根据等腰三角形的性质得到∠ABE＝∠AEB，根据平行线的性质得到∠AEB＝∠CBE，于是得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到AG平分∠BAD，求得∠DAG＝∠G，得到AD＝DG，求得DE＝CG＝4． 【解答】（1）证明：∵AD＝BC，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∵AE＝CD， ∴AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴BE平分∠ABC； （2）解：∵AB＝AE，F为BE的中点， ∴AG平分∠BAD， ∴∠BAG＝∠DAG， ∵AB∥DG， ∴∠BAG＝∠G， ∴∠DAG＝∠G， ∴AD＝DG， ∵AE＝CD， ∴DE＝CG＝4． 故CG的长为4． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 性质：对边、对角、对角线互相平分 · 判定：一组对边平行且相等最常用 · 区分性质（用▱）与判定（证▱） · 对角线互相平分是常用突破口 · 压轴题连全等三角形 【作业 1】（2026春•呈贡区期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A．∠ABC＝∠ADC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC，OB＝OD 【分析】由平行四边形的判定定理逐项验证即可． 【解答】解：在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则： A、当∠ABC＝∠ADC时，不能判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； B、当AC＝BD时，不能判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； C、当AC⊥BD时，不能判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； D、当OA＝OC，OB＝OD时，由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形ABCD是平行四边形，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查平行四边形的判定，正确记忆相关知识点是解题关键． 【作业 2】（2026春•常州期中）如图，已知AB＝CD，增加下列条件可使四边形ABCD成为平行四边形的是（　　） A．AD＝BC B．AC＝BD C．OA＝OC D．AD∥BC 【分析】根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD为平行四边形，故选项A符合题意； B、由AB＝CD，AC＝BD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项B不符合题意； C、由AB＝CD，OA＝OC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项C不符合题意； D、由AB＝CD，AD∥BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：A． 【点评】此题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【作业 3】（2026春•浙江期中）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，AE＝4，AF＝6．若F刚好是CD的中点，则AD＝　　 ． 【分析】由平行四边形的性质得BC＝AD，∠AFD＝90°，平行四边形ABCD的面积＝BC•AE＝CD•AF，进而得AD＝BCCD，然后在Rt△ADF中，由勾股定理得AD2＝AF2+DF2，求出CD的长，即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD， ∴BC＝AD，∠AFD＝90°，平行四边形ABCD的面积＝BC•AE＝CD•AF， ∵AE＝4， ∴4BC＝6CD， ∴AD＝BCCD， ∵F刚好是CD的中点， ∴DFCD， 在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD2＝AF2+DF2， 即（CD）2＝62+（CD）2， 解得：CD＝3（负值已舍去）， ∴ADCD， 故答案为：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键． 【作业 4】（2026春•天宁区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（4，0），C（2，3），D是平面内一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D不可能在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据题意画出符合条件的三种情况，根据图形，利用平行四边形的性质和平移的性质求解即可． 【解答】解：如图所示： ∵A（1，0），B（4，0）， ∴AB＝4﹣1＝3， ①AB∥CD，AC∥BD时， ∵C（2，3）， ∴D1（5，3）； ②AB∥CD，AD∥BC， ∵C（2，3）， ∴D3（﹣1，3）； ③BC∥DA，AC∥DB， ∵A（1，0），B（4，0），C（2，3）， ∴D2（3，﹣3）， 综上所述，点D的坐标为（5，3）或（3，﹣3）或（﹣1，3）， 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的判定以及坐标与图形性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【作业 5】（2024秋•金堂县校级月考）已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝　4或﹣2　 ． 【分析】分别在平面直角坐标系中确定出A、B、O的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可确定C的位置，从而求出x的值． 【解答】解：根据题意画图如下： 以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形， ∴点C的坐标为（4，1）或（﹣2，1）， ∴x＝4或﹣2； 故答案为：4或﹣2． 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定，解答本题的关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 【作业 6】（2025•海淀区校级模拟）如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AE平分∠BAD交BC于点F，交DC延长线于点E，AB＝BF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）作FG∥AB交AD于G，连接BG交AE于点O．若AB＝4，AD＝6，AE＝9，求BG的长． 【分析】（1）由AE平分∠BAD得∠BAF＝∠DAE，由AB＝BF得∠BAF＝∠BFA，则∠DAE＝∠BFA，所以AD∥BC，而AB∥CD，则四边形ABCD是平行四边形； （2）由∠E＝∠BAF＝∠DAE，得ED＝AD＝6，由CD＝AB＝4，FC∥AD，得，则AFAE＝6，由FG∥AB，AG∥BF，且AB＝BF，证明四边形ABFG是菱形，则AF⊥BG，OA＝OFAF＝3，OB＝OG，求得OB，则BG＝2OB＝2． 【解答】（1）证明：∵AE平分∠BAD交BC于点F，交DC延长线于点E， ∴∠BAF＝∠DAE， ∵AB＝BF， ∴∠BAF＝∠BFA， ∴∠DAE＝∠BFA， ∴AD∥BC， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． （2）解：∵∠E＝∠BAF＝∠DAE， ∴ED＝AD＝6， ∵CD＝AB＝4， ∵FC∥AD，AE＝9， ∴， ∴AFAE9＝6， ∵FG∥AB，AG∥BF， ∴四边形ABFG是平行四边形， ∵AB＝BF， ∴四边形ABFG是菱形， ∴AF⊥BG，OA＝OFAF＝3，OB＝OG， ∴∠AOB＝90°， ∴OB， ∴BG＝2OB＝2， ∴BG的长是2． 【点评】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出∠DAE＝∠BFA，以及证明四边形ABFG是菱形是解题的关键． 【作业 7】（2026春•期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D．点E为AB的中点，连接DE，过点E作EF∥BD交CB的延长线于点F． （1）求证：四边形DEFB是平行四边形； （2）当AD＝12，BD＝5时，求CF的长． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到AD＝DC，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，根据平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到BD⊥AC，根据勾股定理得到AB＝BC＝13，根据三角形的中位线定理和平行四边形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D， ∴AD＝DC， ∵点E为AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∵BD∥EF， ∴四边形DEFB是平行四边形； （2）解：∵AB＝BC，BD平分∠ABC， ∴BD⊥AC， ∴∠ADB＝∠CDB＝90°． 在Rt△ADB中， ∵AD＝12，BD＝5， ∴AB＝BC， ∵DE是△ABC的中位线． ∴DEBC， ∵四边形DEFB是平行四边形， ∴DE＝BF． ∴CF＝BC+BF＝13． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键． 【作业 8】（2024•桓台县一模）如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E、F．求证： （1）△ABF≌△CDE； （2）四边形DEBF是平行四边形． 【分析】（1）先由平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，进而得到∠BAF＝∠DCE，再由垂直的定义得到∠AFB＝∠CED＝90°，由此即可证明△ABF≌△CDE（AAS）； （2）先由全等三角形的性质得到BF＝DE，再证明BF∥DE，即可证明四边形DEBF是平行四边形． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠BAF＝∠DCE， ∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠AFB＝∠CED＝90°， ∴△ABF≌△CDE（AAS）； （2）证明：∵△ABF≌△CDE， ∴BF＝DE， ∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴BF∥DE， ∴四边形DEBF是平行四边形． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等： 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 平行四边形的性质与判定 优等生讲义 (精讲+典例+练习) 2026-2027学年鲁教版(五四制)八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解平行四边形的概念 · 掌握平行四边形的性质：对边、对角、对角线 · 掌握平行四边形的判定方法 · 能综合运用性质与判定解决证明与计算 · 会结合全等三角形处理平行四边形压轴题 📚 知识梳理 ☆ 1.平行四边形的概念 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 记作▱ABCD 平行四边形是中心对称图形 对角线的交点是对称中心 概念辨析例题：▱ABCD中∠A=60°，求∠C 解析：平行四边形对角相等，故∠C=∠A=60° ☆ 2.平行四边形的性质 对边平行且相等 对角相等，邻角互补 对角线互相平分 周长=2(邻边和)，面积=底×高 概念辨析例题：▱ABCD对角线交于O，AC=10，求AO 解析：对角线互相平分，AO=OC=AC=5 ☆ 3.平行四边形的判定 两组对边分别平行的四边形 两组对边分别相等的四边形 一组对边平行且相等的四边形 对角线互相平分的四边形 概念辨析例题：四边形ABCD中AB∥CD且AB=CD 解析：一组对边平行且相等→平行四边形 ☆ 4.性质与判定的综合应用 证明线段相等/角相等常用全等 对角线互相平分提供等量关系 判定后可用性质推出更多结论 注意区分性质（已知平行四边形用）与判定（证它是平行四边形用） 概念辨析例题：▱ABCD中E、F为对角线BD上两点且BE=DF 解析：由BE=DF得OE=OF，又OA=OC，对角线互相平分→▱ 📋 知识总结表 类别 内容 条件/结论 定义 两组对边分别平行 既是性质也是判定 性质 对边平行且相等 已知▱用 性质 对角相等邻角互补 求角度 性质 对角线互相平分 求线段 判定 一组对边平行且相等 最常用判定 综合 全等+对角线平分 压轴常用 ⚠️ 核心考点 【考点1】平行四边形的性质（第1-22题） · 对边平行且相等 · 对角相等邻角互补 · 对角线互相平分 · 周长=2邻边和 1．（2026春•柯桥区期末）如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，CB＝4，点E是边DC上一个动点（点E不与点D，C重合），以EA为边作一个▱AGFE，且GF过点B，则以下说法中：①当DE＝AD时，∠AED＝60°；②当DE＝6时，AE＝4；③▱AGFE的面积始终不变；④在点B与点F重合的情形下，随着点E运动，线段EG的取值范围是8＜EG＜8．正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025春•惠来县期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，AB＝10，BC＝8，则对角线BD的长是（　　） A． B． C．12 D．14 3．（2024春•东阳市期末）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，已知AB＝6．∠ABC＝30°，则直线l1、l2间的距离为（　　） A．6 B．3 C． D． 4．（2025秋•牟平区期末）若▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下结论错误的是（　　） A．∠ABC＝∠ADC B．▱ABCD一定是中心对称图形 C．若AO⊥BD，则BC＝DC D．▱ABCD不可能是轴对称图形 5．（2026•任丘市模拟）如图，在平行四边形ABCD中，延长BC到点E，连接AE，使AE＝AB．若∠ADC＝40°，则∠E的度数为________ ． 6．（2025•南京模拟）在水平面内确定一条直线为基准线，规定：对该平面内不重合两点M，N，若以MN为斜边能作出直角三角形，且其中一条直角边垂直于基准线，则称两条直角边长度之和为点M，N的直角距离；若M，N两点所在的直线垂直或平行于基准线，则线段MN的长度为点M，N的直角距离．记点M，N的直角距离[MN]．如图，直线CD与基准线AB交于点O，点P在直线CD上，PQ垂直于AB，垂足为Q，且OQ＝2PQ，EF∥CD，，则[EF]的值为_____ ． 7．（2026春•南岗区校级期中）已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离是3cm，那么直线a和直线b之间的距离为________ cm． 8．（2024春•番禺区校级期中）如图，将平行四边形纸片ABCD纸片沿对角线BD对折，BC边与AD边交于点F，此时△ABF恰为等边三角形，若AB＝2cm，则重叠部分的面积为（　　） A． B． C． D． 9．（2026春•金山区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝3，BD＝3，过点A作AE⊥BC于点E，设BE的长为x，BC的长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．y B．x2﹣y2 C．xy D．x2+y2 10．（2025春•龙华区校级期中）如图，在▱ABCD中，F是BC边上一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAF，若BF＝5，CF＝2，则AF的长为_____ ． 11．（2025秋•沙坪坝区校级期末）如图，小驰用四根木条钉成一个▱ABCD木框，推动AB得到▱A'BCD'．现测得∠ABA'＝18°，∠A'＝140°，则∠ABC的度数为________ ． 12．（2024秋•烟台期末）如图，在▱ABCD中，BE垂直平分CD于点E，∠BAD＝45°，AD＝2，则▱ABCD的对角线AC的长为（　　） A．5 B．10 C． D． 13．（2024•高平市三模）如图，AC为▱ABCD的一条对角线，AB＝2BC，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于两点，过这两点的直线分别与AB，CD边交于点E，F，与AC交于点O．若∠ABC＝120°，则的值为 __________________ ． 14．（2021秋•鹿邑县期中）如图，直线E、F经过平行四边形ABCD对角线的交点O，若AE＝3cm，BC＝8cm，则BF＝_____ cm． 15．（2026春•襄城区校级月考）▱ABCD中，∠B的平分线BM把边CD分成4和6两部分，则▱ABCD的周长是__________ ． 16．（2026春•同步）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，作OE⊥AC，交CD于点E，连接AE．若△ADE的周长为8，求平行四边形ABCD的周长． 17．（2023•朝阳区校级开学）已知：如图，点P是平行四边形ABCD的边DC上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA． （1）求证：AP⊥PB； （2）如果AD＝5，AP＝8，求△APB的周长． 18．（2026春•松江区期末）平行四边形ABCD中，两条邻边长分别为3cm和5cm，∠BAD与∠ABC的平分线交于点E，点F是CD的中点，连接EF，则EF＝ ____________ cm． 19．（2024秋•浦东新区校级月考）如图，已知平行四边形中，AD＝BC＝5，AB＝CD＝6，E为AB的中点，DE⊥AB，F为CE的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于________________ ． 20．（2026•徐州二模）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝AF．求证： （1）△ABE≌△ADF； （2）点C在∠EAF的平分线上． 21．（2024秋•静安区校级月考）一副三角尺有两块直角三角尺组成，其中一块含30°角，另一块含45°角．设这两块三角尺斜边上的高都是h．某数学学习小组经过探究，得到如下结果：用这样相同的两副三角尺可以拼成一个平行四边形（三角尺互不重叠，且都不在这个平行四边形外），并且内部留下的“空隙”是一个较小的平行四边形．如图是其中一种拼成的平行四边形的拼接示意图． （1）用含h的代数式直接表示． ①这副三角尺中两块三角尺的直角边长； ②图中内部的小平行四边形的底、高和面积； （2）请你画出一种符合该小组探究结果的平行四边形的拼接示意图．要求①形状与图不同，②画出三角尺的边． 22．（2024秋•新泰市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转得到△ADE，BD与CE交于点F． （1）若∠BCF＝25°，求∠EDF的度数； （2）若AB＝1，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是平行四边形时，求∠BAE的度数及EC的长． 【考点2】平行四边形的判定（第23-37题） · 一组对边平行且相等 · 对角线互相平分 · 两组对边分别相等 · 判定后再用性质 23．（2026春•城厢区校级期末）依据图中所标数据，下列四边形一定为平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 24．（2024秋•万州区月考）下列说法正确的是（　　） A．如果a2＝b2，那么 B．如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补 C．垂直于同一条直线的两直线平行 D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 25．（2021春•道里区校级月考）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（　　） A．AE＝CF B．∠AED＝∠CFB C．DF∥BE D．DE＝BF 26．（2026春•珠海期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应添加的条件是（　　） A．AB＝CD B．AO＝DO C．AD＝BC D．AC＝BD 27．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，E为边AD上的一点，且AB＝AE，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，延长AF交DC的延长线于点G．若DE＝2，则CG的长为_____ ． 28．（2025春•于都县期中）如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止运动），当t＝___________________ 时，四边形PDQB为平行四边形． 29．如图，以△ABC的顶点A为圆心、BC长为半径作弧，再以顶点C为圆心、AB长为半径作弧，两弧交于点D，连结AD，CD．若∠B＝65°，则∠ADC的度数为________ ． 30．在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AO＝OC，BD＝16cm，则当OB＝_____ cm时，四边形ABCD是平行四边形． 31．如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C，连接BC，DC．可直接判定四边形ABCD为平行四边形的理由是_____________ ． 32．（2025春•和平区校级期中）已知四边形ABCD是平行四边形， （1）如图①，若∠ABC＝70°，BM平分∠ABC且交AD于点M，DN∥BM且交BC于点N，则∠ADC的大小＝_______ （度），∠CDN的大小＝_______ （度）； （2）如图②，若AE＝CF，求证：四边形EBFD是平行四边形． 33．（2026春•苏州校级月考）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC和边AD上，且AF＝CE，EF与对角线BD相交于点O．连接EF，BD．求证：四边形FBED是平行四边形． 34．（2026春•头屯河区校级期中）如图，已知点G、H是平行四边形ABCD对角线AC上两点，且AG＝CH，E、F分别是边AB、CD的中点，求证：四边形EHFG是一个平行四边形． 35．（2026春•西城区校级期中）画出辅助线并补充完成证明过程． 已知：如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点． 求证：DE∥BC，且． 证明：延长DE至点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF．（补全图形） ∵AE＝EC，DE＝EF， ∴四边形ADCF是__________ ，（____________________ ）（填推理依据） ∴CF∥DA且CF＝DA． ∵D是AB的中点， ∴DA＝_______ ， ∴CF＝BD且CF∥BD， ∴四边形DBCF是平行四边形，（____________________ ）（填推理依据） ∴DF＝BC且DF∥BC． 又． ∴DE∥BC，且． 36．（2026春•灯塔市期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知AD∥BC，AO＝OC． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）DH⊥AB于H，若AD＝DC，AC＝8，BD＝6，求DH的长． 37．如图，在▱ABCD中，G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF，连接BD交AC于点O． （1）求证：四边形EGFH是平行四边形． （2）若BD＝14，AE+CF＝EF，求EG的长． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025春•浦北县校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若平行四边形ABCD的周长为34，且，AF＝8，则平行四边形ABCD的面积为_______ ． 【练习 2】（2026•广州校级模拟）如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠B＝60°．动点M，N分别在边AB，AD上，且AM＝AN，以MN为边作等边△MNP，当△MNP的面积最大时，DN的长为_____ ． 【练习 3】（2026春•连江县期中）如图，在▱ABCD中，点E在BC上，∠ADE＝45°，EA平分∠BED，AD＝8，则AD与BC之间的距离为________________ ． 【练习 4】（2026•新城区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，F在BC的延长线上，且∠BAE＝∠CDF．求证：AE＝DF． 【练习 5】（2025春•高州市期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，点E在线段AD上，且AE＝CD，连接BE，F为BE的中点，连接AF并延长交DC的延长线于点G． （1）求证：BE平分∠ABC； （2）若DE＝4，求CG的长． 💯 课后巩固 【作业 1】（2026春•呈贡区期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A．∠ABC＝∠ADC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC，OB＝OD 【作业 2】（2026春•常州期中）如图，已知AB＝CD，增加下列条件可使四边形ABCD成为平行四边形的是（　　） A．AD＝BC B．AC＝BD C．OA＝OC D．AD∥BC 【作业 3】（2026春•浙江期中）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，AE＝4，AF＝6．若F刚好是CD的中点，则AD＝____________________ ． 【作业 4】（2026春•天宁区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（4，0），C（2，3），D是平面内一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D不可能在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【作业 5】（2024秋•金堂县校级月考）已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝_________ ． 【作业 6】（2025•海淀区校级模拟）如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AE平分∠BAD交BC于点F，交DC延长线于点E，AB＝BF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）作FG∥AB交AD于G，连接BG交AE于点O．若AB＝4，AD＝6，AE＝9，求BG的长． 【作业 7】（2026春•期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D．点E为AB的中点，连接DE，过点E作EF∥BD交CB的延长线于点F． （1）求证：四边形DEFB是平行四边形； （2）当AD＝12，BD＝5时，求CF的长． 【作业 8】（2024•桓台县一模）如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E、F．求证： （1）△ABF≌△CDE； （2）四边形DEBF是平行四边形． 复习建议 · 性质：对边、对角、对角线互相平分 · 判定：一组对边平行且相等最常用 · 区分性质（用▱）与判定（证▱） · 对角线互相平分是常用突破口 · 压轴题连全等三角形 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $