第1讲 因式分解(1) (因式分解基础)优等生讲义2026-2027学年鲁教版五四制八年级数学上册

第1讲 因式分解(1) (因式分解基础)优等生讲义 2026-2027学年鲁教版五四制八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解因式分解的概念，能判断一个变形是否为因式分解 · 掌握公因式的确定方法，能熟练运用提公因式法分解因式 · 掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，能运用公式法分解因式 · 能综合运用提公因式法和公式法进行因式分解 · 能利用因式分解解决代数式求值、几何面积验证等实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解（也叫分解因式） 因式分解与整式乘法是互逆变形：因式分解是和→积，整式乘法是积→和 因式分解的结果必须是几个整式的积，且每个因式不能再分解 判断方法：看等式右边是否为几个整式的积 概念辨析例题：下列变形属于因式分解的是（　　）A．x2-5x+6=x(x-5)+6　B．(x-2)(x-3)=x2-5x+6　C．x2-9=(x+3)(x-3)　D．8x2y3=2x2·4y3 解析：A右边不是积的形式；B是整式乘法（积→和）；D左边不是多项式。只有C把多项式化成了两个整式的积，是因式分解。 ☆ 2.公因式与提公因式法 公因式：多项式各项都含有的公共因式 确定公因式的三定法：定系数（最大公约数）、定字母（相同字母）、定指数（最低次幂） 提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c) 注意：公因式要提尽，某项全部提出后剩下1，不能漏掉 概念辨析例题：多项式8a2b-12a3b2c的公因式是（　　）A．8a2b　B．12a3b2c　C．4ab　D．4a2b 解析：系数8和12的最大公约数是4；相同字母a取最低次幂a2，b取最低次幂b，c只在一项中出现不提取。所以公因式是4a2b。 ☆ 3.公式法——平方差公式 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 特征：两项都是平方项，且符号相反 公式中的a、b可以是单项式或多项式 分解后要检查每个因式是否还能继续分解 概念辨析例题：因式分解(x-1)2-9的结果是（　　）A．(x-10)(x+8)　B．(x+2)(x-4)　C．(x-2)(x+4)　D．(x+8)(x+1) 解析：(x-1)2-9=(x-1)2-32=[(x-1)+3][(x-1)-3]=(x+2)(x-4)。 ☆ 4.公式法——完全平方公式 完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2 特征：三项，首平方尾平方，首尾2倍在中央 符号：中间项与两平方项符号决定和的平方还是差的平方 先提公因式再用公式，分解要彻底 概念辨析例题：因式分解2xy-x2-y2的结果是（　　）A．(x-y)2　B．-(x-y)2　C．(-x-y)2　D．-(x+y)2 解析：先提负号：2xy-x2-y2=-(x2-2xy+y2)=-(x-y)2。 📋 知识总结表 核心概念 公式/方法 注意事项 因式分解定义 多项式→几个整式的积 右边必须是积的形式 公因式确定 系数最大公约数+相同字母最低次幂 单独出现的字母不提取 提公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c) 某项全提后剩1 平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 两项平方且异号 完全平方公式 a2±2ab+b2=(a±b)2 三项，首末平方中间2倍 分解顺序 一提（公因式）二套（公式）三查（彻底） 分解到不能再分为止 ⚠️ 核心考点 【考点1】因式分解的概念与意义（第1-9题） · 判断变形是否为因式分解看右边是否为积 · 利用因式与整式乘法互逆求系数 · 已知一个因式用代入法求参数 · 阅读材料题按示例模仿 1．（2025秋•平房区期末）下列式子从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A．x2﹣5x+6＝x（x﹣5）+6 B．8x2y3＝2x2•4y3 C．（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6 D．x2+2x+1＝（x+1）2 【分析】根据“把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，也叫分解因式”，逐一判断即可． 【解答】解：A、x2﹣5x+6＝x（x﹣5）+6的右边不是积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B、8x2y3＝2x2•4y3不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C、（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6的右边不是积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D、x2+2x+1＝（x+1）2，属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键． 2．（2024春•福田区期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．x2+x﹣6＝（x+3）（x﹣2） B．2（2x﹣3y）＝4x﹣6y C．（x+3）2＝x2+6x+9 D．ax+bx+c＝x（a+b）+c 【分析】根据因式分解的定义判断即可． 【解答】解：A．x2+x﹣6＝（x+3）（x﹣2），从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意； B．2（2x﹣3y）＝4x﹣6y，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．（x+3）2＝x2+6x+9，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．ax+bx+c＝x（a+b）+c，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题主要考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 3．（2025秋•贵州期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．（x﹣2）2＝x2﹣4x+4 B．x2+3x+2＝x（x+3）+2 C．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） D．15x3y2＝3x3•5y2 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【解答】解：A．（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B．x2+3x+2＝x（x+3）+2，等式右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； C．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），是因式分解，符合题意； D．15x3y2＝3x3•5y2，等式的左边不是多项式，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 4．（2026春•江北区校级期中）若关于x的多项式x2+mx﹣2含有因式x﹣1，则实数m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 【分析】利用十字相乘法得出﹣2可以分成﹣1和2相乘，﹣1+2＝m，得出m的值即可． 【解答】解：∵关于x的多项式x2+mx﹣2含有因式x﹣1， ∴﹣2可以分成﹣1和2相乘， ∴﹣1+2＝1， ∴m＝1， 故选：C． 【点评】此题主要考查了十字相乘法的应用，根据已知正确分解6进而得出是解题关键． 5．（2024秋•凉州区期末）如果x﹣2是多项式x2﹣6x+m的一个因式，则m的值为 　8　 ． 【分析】设x2﹣6x+m＝（x﹣2）（x+a），然后利用多项式乘法法则计算，得到的式子与x2﹣6x+m的对应项的系数相同，据此即可求得a，m的值． 【解答】解：x2﹣6x+m ＝（x﹣2）（x+a） ＝x2+（﹣2+a）x+（﹣2a）， 根据题意则有：﹣2+a＝﹣6，﹣2a＝m， 解得：m＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查因式分解与整式乘法的关系，根据x﹣2是多项式x2﹣6x+m的一个因式，设x2﹣6x+m＝（x﹣2）（x+a）是解题的关键． 6．（2025•威海模拟）若x+2是x2﹣2x+m的一个因式，则常数m的值为 　﹣8　 ． 【分析】运用多项式乘多项式的计算方法进行求解． 【解答】解：设该多项式的另一个因式是x+n． 得（x+2）（x+n）＝x2+（n+2）x+2n， ∴n+2＝﹣2， 解得n＝﹣4， ∴m＝2n＝2×（﹣4）＝﹣8， 故答案为：﹣8． 【点评】此题考查了多项式乘多项式的运算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地求解． 7．（2026•枣庄校级模拟）已知二次三项式x2﹣3x+m有一个因式是x+3，则m的值为　﹣18　 ． 【分析】设另一个因式是x+k，计算（x+3）（x+k）后即可求得答案． 【解答】解：设另一个因式是x+k， 则（x+3）（x+k） ＝x2+kx+3x+3k ＝x2+（k+3）x+3k ＝x2﹣3x+m， 则k+3＝﹣3，m＝3k， 那么k＝﹣6，m＝﹣18， 故答案为：﹣18． 【点评】本题考查因式分解的意义，理解因式分解及整式乘法的互逆性是解题的关键． 8．（2024秋•同步）下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解？ （1）1+2x+3x2＝1+x（2+3x）； （2）3x（x+y）＝3x2+3xy； （3）6a2b+3ab2﹣ab＝ab（6a+3b﹣1）； （4）m2﹣9n2＝（m+3n）（m﹣3n）． 【分析】（1）根据因式分解的定义进行判断即可； （2）根据因式分解的定义进行判断即可； （3）根据因式分解的定义进行判断即可； （4）根据因式分解的定义进行判断即可． 【解答】解：（1）1+2x+3x2＝1+x（2+3x）中，等号右边不是积的形式，它不是因式分解； （2）3x（x+y）＝3x2+3xy是乘法运算，它不是因式分解； （3）6a2b+3ab2﹣ab＝ab（6a+3b﹣1）符合因式分解的定义，它是因式分解； （4）m2﹣9n2＝（m+3n）（m﹣3n）符合因式分解的定义，它是因式分解． 【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 9．（2026春•宣州区期末）先阅读下面的内容，再解决问题． 如果一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式．下面是一位同学的解题过程，请仔细阅读，在理解的基础上，完成相应的学习任务． 若（x﹣2）是多项式x3+3x2﹣8x+k的一个因式，求k的值． 解：∵（x﹣2）是多项式x3+3x2﹣8x+k的一个因式， ∴设x3+3x2﹣8x+k＝A（x﹣2）（A为整式）． 当x﹣2＝0时，则有x3+3x2﹣8x+k＝0． 将x＝2代入x3+3x2﹣8x+k＝0，得8+12﹣16+k＝0．解得k＝﹣4． （1）x+3是x2﹣5x﹣6的因式吗？　不是　 （填“是”或“不是”）； （2）若x+5是整式x2+mx﹣10的一个因式，则m＝　3　 ； （3）若整式x2﹣1是3x4﹣ax2+bx+1的因式，求的值． 【分析】（1）根据题意令x+3＝0，然后代入多项式中计算即可判断； （2）设x2+mx﹣10＝A（x+5）（A为整式），则可得当x＝﹣5时，x2+mx﹣10＝0，代入计算即可； （3）设3x4﹣ax2+bx+1＝B（x2﹣1）（B为整式），则可得当x＝±1时，3x4﹣ax2+bx+1＝0，代入可得一个关于a，b的二元一次方程组，解方程组求出a，b的值，再代入计算算术平方根即可得． 【解答】解：（1）根据题意，令x+3＝0， ∴x＝﹣3， ∴x2﹣5x﹣6＝（﹣3）2﹣5×（﹣3）﹣6＝9+15﹣6＝18≠0， ∴x+3不是x2﹣5x﹣6的因式． 故答案为：不是； （2）∵x+5是整式x2+mx﹣10的一个因式， ∴设x2+mx﹣10＝A（x+5）（A为整式）， 当x+5＝0，即x＝﹣5时，则有x2+mx﹣10＝0， 将x＝﹣5代入x2+mx﹣10＝0得：（﹣5）2﹣5m﹣10＝0， 解得：m＝3． 故答案为：3； （3）∵整式x2﹣1是3x4﹣ax2+bx+1的因式， ∴设3x4﹣ax2+bx+1＝B（x2﹣1）（B为整式）， 当x2﹣1＝0，即x＝±1时，则有3x4﹣ax2+bx+1＝0， ∴， 解得：， ∴原式2． 【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解﹣十字相乘法，因式分解法，掌握因式分解的方法是关键． 【考点2】公因式与提公因式法（第10-21题） · 三定法找公因式：系数/字母/指数 · 提公因式后剩余项合并 · 注意(x-y)与(y-x)互为相反数 · 先观察再提，不要漏项 10．（2025秋•祁阳市期末）多项式ab﹣a2的公因式是（　　） A．a B．2a C．2ab D．ab 【分析】根据三定法：定系数—系数的最大公约数，定字母—相同字母，定指数—相同字母的最低次幂，确定公因式，进行判断即可． 【解答】解：多项式的公因式是a； 故选：A． 【点评】本题考查公因式，熟练掌握该知识点是关键． 11．（2025秋•高邮市期末）多项式m2+mn的公因式是（　　） A．m2 B．m C．mn D．n 【分析】根据公因式的确定方法解答即可． 【解答】解：m2+mn＝m（m+n），即公因式是m， 故选：B． 【点评】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 12．（2025春•桥西区期末）用提公因式法因式分解多项式：8a2b﹣12a3b2c，其中的公因式是（　　） A．8a2b B．12a3b2c C．4ab D．4a2b 【分析】根据公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母并且取相同字母的最低指数次幂，即可得到答案． 【解答】解：8a2b﹣12a3b2c ＝4a2b×2﹣4a2b×3abc ＝4a2b（2﹣3abc）， 故选：D． 【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，找出各项的公因式是解本题的关键． 13．（2025秋•南昌期末）多项式3a3b2﹣6a2c的公因式是　3a2 ． 【分析】系数部分：系数3和6的最大公约数是3；字母部分：a的最小指数为2，故公因式为3a2． 【解答】解：多项式3a3b2﹣6a2c的公因式是3a2． 故答案为：3a2． 【点评】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 14．（2024春•冷水滩区校级期中）多项式9x3y2﹣12x2y3中各项的公因式是 　3y2x2 ． 【分析】利用确定公因式的方法求解即可． 【解答】解：9x3y2+12x2y3中各项的公因式是：3y2x2． 故答案为：3y2x2． 【点评】此题考查了公因式，掌握公因式定义是关键． 【考点3】平方差公式法（第22-26题） · 识别平方差结构：两项平方异号 · 整体代换：把多项式看作a或b · 分解后检查能否继续 · 几何面积验证等式 15．（2025秋•安顺期末）如图，边长为a，b的长方形，它的周长为16，面积为10，则a2b+ab2的值为（　　） A．40 B．70 C．80 D．160 【分析】理解题意，得到ab＝10，a+b＝8，再运用因式分解得到a2b+ab2＝ab（a+b），代入计算即可求解． 【解答】解：根据题意a+b＝8， ∵a2b+ab2＝ab（a+b）， ∴原式＝10×8＝80， 故选：C． 【点评】本题考查了代数式的求值，因式分解的运用，熟练掌握以上知识点是关键． 16．（2026春•同步）若把5（a﹣b）+m（a﹣b）提公因式后，其中一个因式是a﹣b，则另一个因式是（　　） A．5+m B．5﹣m C．﹣5+m D．﹣5﹣m 【分析】将原式提取公因式（a﹣b）进行因式分解后即可求得答案． 【解答】解：原式＝（a﹣b）（5+m）， 即另一个因式是5+m， 故选：A． 【点评】本题考查提公因式法因式分解，找到正确的公因式是解题的关键． 17．（2026•盐亭县开学）多项式ax+A可因式分解为ax（1﹣y），则A为（　　） A．a B．﹣axy C．﹣ay D．ay 【分析】根据因式分解的定义计算即可． 【解答】解：由已知得ax+A＝ax（1﹣y）， ∴ax+A＝ax﹣axy， ∴A为﹣axy． 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握因式分解的定义是解决问题的关键． 18．（2026•柳州二模）分解因式：xy2﹣y3＝y2（x﹣y）　 ． 【分析】先找到公因式y2，然后提取即可． 【解答】解：xy2﹣y3＝y2（x﹣y），故答案为：y2（x﹣y）． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 19．（2025秋•蛟河市期末）因式分解：4a2﹣8ab＝　4a（a﹣2b）　 ． 【分析】提取公因式4a即可． 【解答】解：4a2﹣8ab＝4a（a﹣2b）． 故答案为：4a（a﹣2b）． 【点评】此题主要考查了提取公因式法，正确掌握相关运算法则是解题关键， 20．（2024秋•浦东新区校级期中）分解因式：12（x﹣y）3+15x（y﹣x）2． 【分析】利用提公因式法进行分解，即可解答． 【解答】解：12（x﹣y）3+15x（y﹣x）2 ＝12（x﹣y）3+15x（x﹣y）2 ＝3（x﹣y）2[4（x﹣y）+5x] ＝3（x﹣y）2（9x﹣4y）． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提公因式法是解题的关键． 21．（2025春•同步）因式分解：4a（x+y）2﹣2（y+x）2． 晓蒙的解题思路如下： y）2•（4a﹣2）． 请问晓蒙的思路正确吗？如果不正确，请指出来并将正确的解题过程写出来． 【分析】根据提公因式法分解因式即可． 【解答】解：晓蒙的思路不正确，提公因式错了， 正确过程为：原式＝2（x+y）2（2a﹣1）． 【点评】此题主要考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提公因式法进行因式分解的方法是解决问题的关键． 【考点4】完全平方公式法（第27-30题） · 识别完全平方式：三项首末平方 · 补项成完全平方式 · 先提负号再用公式 · 整体代入求值 22．（2026春•泉山区期中）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A．﹣a2+b2 B．﹣a2﹣b2 C．a2+b2 D．﹣（a2+b2） 【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法． 【解答】解：A、﹣a2+b2符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解，故本选项正确； B、﹣a2﹣b2的两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解，故本选项错误； C、a2+b2不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行因式分解，故本选项错误； D、﹣（a2+b2）不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行因式分解，故本选项错误． 故选：A． 【点评】本题考查的是应用平方差公式进行因式分解的能力，掌握平方差公式的结构特征是正确解题的关键． 23．（2026春•泰和县期末）因式分解（x﹣1）2﹣9的结果是（　　） A．（x﹣10）（x+8） B．（x+8）（x+1） C．（x﹣2）（x+4） D．（x+2）（x﹣4） 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【解答】解：原式＝[（x﹣1）+3][（x﹣1）﹣3] ＝（x+2）（x﹣4）． 故选：D． 【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 24．（2026春•衢江区期末）下列多项式可以用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2+4y2 B．﹣x2+4y2 C．﹣x2﹣4y2 D．x2+4xy+4y2 【分析】根据平方差公式分解因式即可作出判断． 【解答】解：A、x2+4y2，不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； B、﹣x2+4y2＝4y2﹣x2＝（2y+x）（2y﹣x），用平方差公式分解因式，故此选项符合题意； C、﹣x2﹣4y2＝﹣（x2+4y2），不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； D、x2+4xy+4y2＝（x+2y）2，不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 25．（2024秋•旌阳区期末）如果多项式x2+1加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式不可以是（　　） A．2x B．﹣2x C． D． 【分析】根据添加项是中间项或第一项可作判断． 【解答】解：A、x2+2x+1＝（x+1）2，不符合题意； B、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，不符合题意； C、，不符合题意； D、x2+1加上，无法构成完全平方式，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍在中间，进行判断即可． 26．（2025秋•望花区期末）已知x+y＝4，x2﹣y2＝12，则x﹣y＝　3　 ． 【分析】利用平方差公式法进行因式分解，再代入值计算即可． 【解答】解：利用平方差公式法进行因式分解可知： x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）且x+y＝4，x2﹣y2＝12， ∴； 故答案为：3． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握该知识点是关键． 27．（2025秋•红桥区校级月考）在多项式4x2+1中添加一个单项式，使它能用完全平方公式分解因式，添加的单项式是　4x4或4x或﹣4x ． 【分析】根据完全平方公式求解． 【解答】解：根据完全平方公式可得： 4x2+1+4x4＝（2x2+1）2， 4x2+1±4x＝（2x±1）2， 故答案为：4x4或4x或﹣4x． 【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特点即可求解． 28．（2026•红桥区校级开学）因式分解：2xy﹣x2﹣y2． 【分析】利用公式法分解因式即可． 【解答】解：2xy﹣x2﹣y2 ＝﹣（x2﹣2xy+y2） ＝﹣（x﹣y）2． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握该知识点是关键． 29．（2026春•蒲城县期末）下面是小华同学分解因式（3x+y）2﹣（x+3y）2的过程，请认真阅读，并解答下列问题． 解：原式＝（3x+y+x+3y）（3x+y﹣x﹣3y）…① ＝（4x+4y）（2x+4y）…② ＝8（x+y）（x+2y）…③ （1）以上解答过程从第　②　 步开始出现错误；（填序号） （2）请你写出正确的解答过程． 【分析】（1）根据合并同类项法则判断即可． （2）按照分解因式的步骤分解因式即可． 【解答】解：（1）第二步合并同类项计算第二个括号时结果错误，因此解答过程从第②步开始出现错误． （2）原式＝（3x+y+x+3y）（3x+y﹣x﹣3y） ＝（4x+4y）（2x﹣2y） ＝8（x+y）（x﹣y）． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 30．（2024秋•杨浦区校级月考）分解因式：x4+4x2y2+16y4． 【分析】直接利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：x4+4x2y2+16y4 ＝（x2+4y2）2﹣4x2y2 ＝（x2+4y2﹣2xy）（x2+4y2+2xy）． 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 【考点5】综合应用（第31-36题） · 一提二套三查：先提公因式再用公式 · 分解要彻底直到不能再分 · 新定义题先求函数表达式 · 复杂多项式拆项分组 31．（2025秋•铜仁市期中）多项式2x2﹣8彻底因式分解的结果是（　　） A．2（x2﹣4） B．2（x+4）（x﹣4） C．（2x+2）（x﹣4） D．2（x+2）（x﹣2） 【分析】先提取公因数2，再利用平方差公式进行彻底因式分解． 【解答】解：2x2﹣8 ＝2（x2﹣4） ＝2（x2﹣22） ＝2（x+2）（x﹣2）， 故选：D． 【点评】本题考查了分解因式，正确应用公式是解题关键． 32．（2026•梓潼县二模）新定义：对于任意实数x，都有f（x）＝ax2+bx，若f（1）＝5，f（2）＝12，则将f（x2﹣4x）因式分解的结果为 x（x﹣4）（x﹣2）2 ． 【分析】先根据f（1）＝5，f（2）＝12，求出f（x）＝x2+4x，所以f（x2﹣4x）＝（x2﹣4x）2+4（x2﹣4x），再利用提公因式法与公式法分解即可． 【解答】解：∵f（1）＝5，f（2）＝12， ∴， 解得， ∴f（x）＝x2+4x， ∴f（x2﹣4x） ＝（x2﹣4x）2+4（x2﹣4x） ＝（x2﹣4x）（x2﹣4x+4） ＝x（x﹣4）（x﹣2）2． 故答案为：x（x﹣4）（x﹣2）2． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键． 33．（2026•江阳区校级模拟）分解因式：m3﹣25m＝m（m+5）（m﹣5）　 ． 【分析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：原式＝m（m2﹣25） ＝m（m+5）（m﹣5）， 故答案为：m（m+5）（m﹣5）． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 34．（2025秋•临汾期末）（1）计算：； （2）因式分解：2a2﹣12ab+18b2． 【分析】（1）利用有理数的乘方法则，立方根及算术平方根的定义，绝对值的性质计算即可； （2）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可． 【解答】解：（1）原式 ＝7； （2）原式＝2（a2﹣6ab+9b2） ＝2（a﹣3b）2． 【点评】本题考查实数的运算及因式分解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 35．（2025秋•莱西市期中）因式分解 （1）8a3﹣2a； （2）4xy2﹣4x2y﹣y3； （3）（5x+6）（x﹣6）+2x（6﹣x）； （4）9（2x﹣1）2﹣6（2x﹣1）+1． 【分析】（1）先提公因式2a，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提公因式﹣y，再利用完全平方公式进因式分解即可； （3）先提公因式（x﹣6），再提公因式3进行因式分解即可； （4）先利用完全平方公式，再利用提公因式进行因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝2a（4a2﹣1） ＝2a（2a+1）（2a﹣1）； （2）原式＝﹣y（4x2﹣4xy+y2） ＝﹣y（2x﹣y）2； （3）原式＝（x﹣6）（5x+6﹣2x） ＝（x﹣6）（3x+6） ＝3（x﹣6）（x+2）； （4）原式＝[3（2x﹣1）﹣1]2 ＝（6x﹣4）2 ＝4（3x﹣2）2． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 36．（2025秋•江岸区期末）因式分解：x3﹣xy2． 【分析】首先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式得出答案． 【解答】解：x3﹣xy2 ＝x（x2﹣y2） ＝x（x+y）（x﹣y）． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握因式分解的方法是关键． 【考点6】创新与压轴题（第37-46题） · 数形结合：用面积验证因式分解 · 分组分解法：四项分组 · 拆项法：拆中项凑完全平方 · 非负性：平方和为0则各项为0 37．（2026春•惠来县期末）下列由左边到右边的变形，属于分解因式的是（　　） A．x2+3x+5＝x（x+3）+5 B．（y+1）2＝y2+2y+1 C．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） D．（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2 【分析】运用整式运算和因式分解的定义进行逐一辨别、求解． 【解答】解：∵x2+3x+5＝x（x+3）+5不是因式分解， ∴选项A不符合题意； ∵（y+1）2＝y2+2y+1是整式的乘法，不是因式分解， ∴选项B不符合题意； ∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）是因式分解， ∴选项C符合题意； ∵（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2是整式的乘法，不是因式分解， ∴选项D不符合题意， 故选：C． 【点评】此题考查了因式分解的辨别能力，关键是能准确理解并运用因式分解的定义． 38．（2025春•宁波期末）下列因式分解正确的是（　　） A．m2+n2＝（m+n）2 B．m2﹣n2＝（m﹣n）2 C．m2﹣3mn+2m＝m（m﹣3n+2） D．﹣m2﹣2mn﹣n2＝﹣（m﹣n）2 【分析】分别利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案． 【解答】解：A、m2+n2无法分解因式，故此选项不符合题意； B、m2﹣n2＝（m﹣n）（m+n），故此选项不符合题意； C、m2﹣3mn+2m＝m（m﹣3n+2），故此选项符合题意； D、﹣m2﹣2mn﹣n2＝﹣（m+n）2，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握提公因式法与公式法是解题关键． 39．（2025春•同步）若多项式4﹣ax+x2可以分解因式为（2﹣x）2，则a的值是 　4　 ． 【分析】根据因式分解与整式乘法的互逆关系进行求解． 【解答】解：∵（2﹣x）2＝4﹣4x+x2， ∴a＝4， 故答案为：4． 【点评】此题考查了因式分解定义的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识和完全平方公式． 40．（2025春•南山区校级期中）如果x﹣2是ax2﹣bx+2的一个因式，则2a﹣b的值是　﹣1　 ． 【分析】根据题意可知x＝2是方程ax2﹣bx+2＝0的一个根，然后代入解题即可． 【解答】解：由条件可知当x＝2时，ax2﹣bx+2＝4a﹣2b+2＝0， 解得：2a﹣b＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握该知识点是关键． 41．（2025秋•江油市期末）用提公因式法分解27x3y5+18x2y7时，应提出的公因式　9x2y5 ． 【分析】通过提取多项式中各项的公因式，包括系数的最大公约数和变量的最低次幂，找出公因式即可． 【解答】解：系数27和18的最大公约数为9，变量x的指数取较小值2，变量y的指数取较小值5， 因此公因式为9x2y5， 故答案为：9x2y5． 【点评】本题考查的是提公因式法分解因式，解题的关键是掌握公因式的概念． 42．（2026•海门区模拟）把多项式3x2﹣27因式分解的结果是　3（x﹣3）（x+3）　 ． 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次因式分解． 【解答】解：原式＝3（x2﹣9） ＝3（x﹣3）（x+3）． 【点评】本题考查了公因式法与公式法的综合应用，熟练掌握该知识点是关键． 43．（2025秋•汕头校级期末）分解因式：x2（x﹣3）+4（3﹣x）． 【分析】先提公因式（x﹣3），再根据平方差公式因式分解即可求解． 【解答】解：原式＝x2（x﹣3）﹣4（x﹣3） ＝（x﹣3）（x2﹣4） ＝（x﹣3）（x+2）（x﹣2）． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解是关键． 44．【问题情景】多项式的 乘法公式可以利用图形中面积的等量关系来验 证其正确性．例如：（a+b）2＝a2+2ab+b2 就能 利用表示图（1）的面积的方法进行验证． 【问题解决】 （1）直接写出图（2）中所表示的等式：　3a2+4ab+b2＝（a+b）（3a+b）　 ．（因式分解的形式） （2）利用在（1）中所得到的等式进行因式分解，并画出图形． ①3x2+4x+1； ②2m2+8mn+6n2， 【分析】（1）根据图形的面积求法，可求出答案； （2）利用在（1）中的图形法，分解因式，再画出图形即可． 【解答】解：（1）由图得，图形面积为3a2+4ab+b2或（a+b）（3a+b）， ∴3a2+4ab+b2＝（a+b）（3a+b）， 故答案为：3a2+4ab+b2＝（a+b）（3a+b）； （2）①3x2+4x+1＝（3x+1）（x+1）， 如图， ； ②2m2+8mn+6n2 ＝（2m+6n）（m+n） ＝2（m+3n）（m+n）， 如图， ． 【点评】本题考查了分解因式，矩形的面积的求法是解题关键． 45．（2026秋•同步）问题探究：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速地对多项式a2+2ab+b2进行因式分解． 如图（1）所示的边长为（a+b）的大正方形是由1张边长为a的正方形卡片A，1张边长为b的正方形卡片B，2张邻边长分别为a，b的长方形卡片C组成的，这个图形的面积可以表示成a2+2ab+b2或（a+b）2，从而验证a2+2ab+b2＝（a+b）2． （1）如图（2），用1张正方形卡片A，2张长方形卡片C拼成一个长方形，可以验证多项式的因式分解为a2+2ab＝a（a+2b）　 ； （2）某数学兴趣小组的同学用若干张卡片A、B、C，开展对多项式因式分解的几何验证活动： ①他们利用若干张卡片A、B、C拼成图（3）中的长方形，你认为他们想验证多项式的因式分解为a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）　 ； ②请你类比上述方法对多项式3a2+4ab+b2进行因式分解，要求画出因式分解的图形，标出各边的长度； ③问题②中，某同学发现他们所拼成的长方形面积为45，并且a，b均为正整数，请分别求出a，b的长． 【分析】（1）用两种方法表示出图（2）中图形的面积，得到验证多项式的因式分解即可； （2）①用两种方法表示出图（3）中图形的面积，得到验证多项式的因式分解即可； ②画出相关图形，借助图形得到验证多项式的因式分解即可； ③根据②中得到的因式分解判断出a+b和3a+b的值，进而得到a和b的值即可． 【解答】解：（1）这个图形的面积可以表示为：a2+2ab或a（a+2b），从而验证a2+2ab＝a（a+2b）， 故答案为：a2+2ab＝a（a+2b）； （2）①这个图形的面积可以表示为：a2+3ab+2b2或（a+b）（a+2b），从而验证a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）， 故答案为：a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）； ② 这个图形的面积可以表示为：3a2+4ab+b2或（a+b）（3a+b），从而验证3a2+4ab+b2＝（a+b）（3a+b）， ③由题意得：（a+b）（3a+b）＝45， ∵a，b均为正整数， ∴， 解得：． 答：a＝2，b＝3． 【点评】本题考查因式分解的应用．借助图形得到因式分解的相应等式是解决本题的关键． 46．（2025秋•红花岗区期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． ①分组分解法：x2﹣2xy+y2﹣4＝（x2﹣2xy+y2）﹣4＝（x﹣y）2﹣22＝（x﹣y﹣2）（x﹣y+2）． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3） ③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项；2．分解常数项；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．得出原二次三项式的两个因式． 例如：x2+6x﹣7 分析： 解：原式＝（x+7）（x﹣1） （1）仿照以上方法，按照要求分解因式：（写出过程） ①（分组分解法）4x2+4x﹣y2+1； ②（拆项法）x2﹣6x+8； ③x2﹣5x+6＝　（x﹣2）（x﹣3）　 ． （2）已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，求△ABC的周长． 【分析】（1）①将原式化为（4x2+4x+1）﹣y2，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②将原式化为x2﹣6x+9﹣1，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；③直接利用十字相乘法分解即可； （2）先利用完全平方公式对等式a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出a，b，c的值，然后求和即可得出答案． 【解答】解：（1）①原式＝（4x2+4x+1）﹣y2 ＝（2x+1）2﹣y2 ＝（2x+y+1）（2x﹣y+1）； ②原式＝x2﹣6x+9﹣1 ＝（x﹣3）2﹣1 ＝（x﹣3﹣1）（x﹣3+1） ＝（x﹣4）（x﹣2）； ③x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）； 故答案为：（x﹣2）（x﹣3）； （2）∵a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0， ∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0， ∴（a﹣2）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2＝0， ∴a＝2，b＝2，c＝3， ∴a+b+c＝2+2+3＝7． ∴△ABC的周长为7． 【点评】本题考查因式分解的方法，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 因式分解是把多项式化成几个整式积的形式，与整式乘法互逆 · 找公因式三定法：定系数最大公约数、定相同字母、定最低次幂 · 平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，两项平方且异号 · 完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2，三项首末平方中间2倍 · 分解步骤：先提公因式，再套公式，最后检查是否分解彻底 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 因式分解(1) (因式分解基础)优等生讲义 2026-2027学年鲁教版五四制八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解因式分解的概念，能判断一个变形是否为因式分解 · 掌握公因式的确定方法，能熟练运用提公因式法分解因式 · 掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，能运用公式法分解因式 · 能综合运用提公因式法和公式法进行因式分解 · 能利用因式分解解决代数式求值、几何面积验证等实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解（也叫分解因式） 因式分解与整式乘法是互逆变形：因式分解是和→积，整式乘法是积→和 因式分解的结果必须是几个整式的积，且每个因式不能再分解 判断方法：看等式右边是否为几个整式的积 概念辨析例题：下列变形属于因式分解的是（　　）A．x2-5x+6=x(x-5)+6　B．(x-2)(x-3)=x2-5x+6　C．x2-9=(x+3)(x-3)　D．8x2y3=2x2·4y3 解析：A右边不是积的形式；B是整式乘法（积→和）；D左边不是多项式。只有C把多项式化成了两个整式的积，是因式分解。 ☆ 2.公因式与提公因式法 公因式：多项式各项都含有的公共因式 确定公因式的三定法：定系数（最大公约数）、定字母（相同字母）、定指数（最低次幂） 提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c) 注意：公因式要提尽，某项全部提出后剩下1，不能漏掉 概念辨析例题：多项式8a2b-12a3b2c的公因式是（　　）A．8a2b　B．12a3b2c　C．4ab　D．4a2b 解析：系数8和12的最大公约数是4；相同字母a取最低次幂a2，b取最低次幂b，c只在一项中出现不提取。所以公因式是4a2b。 ☆ 3.公式法——平方差公式 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 特征：两项都是平方项，且符号相反 公式中的a、b可以是单项式或多项式 分解后要检查每个因式是否还能继续分解 概念辨析例题：因式分解(x-1)2-9的结果是（　　）A．(x-10)(x+8)　B．(x+2)(x-4)　C．(x-2)(x+4)　D．(x+8)(x+1) 解析：(x-1)2-9=(x-1)2-32=[(x-1)+3][(x-1)-3]=(x+2)(x-4)。 ☆ 4.公式法——完全平方公式 完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2 特征：三项，首平方尾平方，首尾2倍在中央 符号：中间项与两平方项符号决定和的平方还是差的平方 先提公因式再用公式，分解要彻底 概念辨析例题：因式分解2xy-x2-y2的结果是（　　）A．(x-y)2　B．-(x-y)2　C．(-x-y)2　D．-(x+y)2 解析：先提负号：2xy-x2-y2=-(x2-2xy+y2)=-(x-y)2。 📋 知识总结表 核心概念 公式/方法 注意事项 因式分解定义 多项式→几个整式的积 右边必须是积的形式 公因式确定 系数最大公约数+相同字母最低次幂 单独出现的字母不提取 提公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c) 某项全提后剩1 平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 两项平方且异号 完全平方公式 a2±2ab+b2=(a±b)2 三项，首末平方中间2倍 分解顺序 一提（公因式）二套（公式）三查（彻底） 分解到不能再分为止 ⚠️ 核心考点 【考点1】因式分解的概念与意义（第1-9题） · 判断变形是否为因式分解看右边是否为积 · 利用因式与整式乘法互逆求系数 · 已知一个因式用代入法求参数 · 阅读材料题按示例模仿 1．（2025秋•平房区期末）下列式子从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A．x2﹣5x+6＝x（x﹣5）+6 B．8x2y3＝2x2•4y3 C．（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6 D．x2+2x+1＝（x+1）2 2．（2024春•福田区期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．x2+x﹣6＝（x+3）（x﹣2） B．2（2x﹣3y）＝4x﹣6y C．（x+3）2＝x2+6x+9 D．ax+bx+c＝x（a+b）+c 3．（2025秋•贵州期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．（x﹣2）2＝x2﹣4x+4 B．x2+3x+2＝x（x+3）+2 C．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） D．15x3y2＝3x3•5y2 4．（2026春•江北区校级期中）若关于x的多项式x2+mx﹣2含有因式x﹣1，则实数m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 5．（2024秋•凉州区期末）如果x﹣2是多项式x2﹣6x+m的一个因式，则m的值为 _____ ． 6．（2025•威海模拟）若x+2是x2﹣2x+m的一个因式，则常数m的值为 _______ ． 7．（2026•枣庄校级模拟）已知二次三项式x2﹣3x+m有一个因式是x+3，则m的值为________ ． 8．（2024秋•同步）下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解？ （1）1+2x+3x2＝1+x（2+3x）； （2）3x（x+y）＝3x2+3xy； （3）6a2b+3ab2﹣ab＝ab（6a+3b﹣1）； （4）m2﹣9n2＝（m+3n）（m﹣3n）． 9．（2026春•宣州区期末）先阅读下面的内容，再解决问题． 如果一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式．下面是一位同学的解题过程，请仔细阅读，在理解的基础上，完成相应的学习任务． 若（x﹣2）是多项式x3+3x2﹣8x+k的一个因式，求k的值． 解：∵（x﹣2）是多项式x3+3x2﹣8x+k的一个因式， ∴设x3+3x2﹣8x+k＝A（x﹣2）（A为整式）． 当x﹣2＝0时，则有x3+3x2﹣8x+k＝0． 将x＝2代入x3+3x2﹣8x+k＝0，得8+12﹣16+k＝0．解得k＝﹣4． （1）x+3是x2﹣5x﹣6的因式吗？_______ （填“是”或“不是”）； （2）若x+5是整式x2+mx﹣10的一个因式，则m＝_____ ； （3）若整式x2﹣1是3x4﹣ax2+bx+1的因式，求的值． 【考点2】公因式与提公因式法（第10-21题） · 三定法找公因式：系数/字母/指数 · 提公因式后剩余项合并 · 注意(x-y)与(y-x)互为相反数 · 先观察再提，不要漏项 10．（2025秋•祁阳市期末）多项式ab﹣a2的公因式是（　　） A．a B．2a C．2ab D．ab 11．（2025秋•高邮市期末）多项式m2+mn的公因式是（　　） A．m2 B．m C．mn D．n 12．（2025春•桥西区期末）用提公因式法因式分解多项式：8a2b﹣12a3b2c，其中的公因式是（　　） A．8a2b B．12a3b2c C．4ab D．4a2b 13．（2025秋•南昌期末）多项式3a3b2﹣6a2c的公因式是________ ． 14．（2024春•冷水滩区校级期中）多项式9x3y2﹣12x2y3中各项的公因式是 __________ ． 【考点3】平方差公式法（第22-26题） · 识别平方差结构：两项平方异号 · 整体代换：把多项式看作a或b · 分解后检查能否继续 · 几何面积验证等式 15．（2025秋•安顺期末）如图，边长为a，b的长方形，它的周长为16，面积为10，则a2b+ab2的值为（　　） A．40 B．70 C．80 D．160 16．（2026春•同步）若把5（a﹣b）+m（a﹣b）提公因式后，其中一个因式是a﹣b，则另一个因式是（　　） A．5+m B．5﹣m C．﹣5+m D．﹣5﹣m 17．（2026•盐亭县开学）多项式ax+A可因式分解为ax（1﹣y），则A为（　　） A．a B．﹣axy C．﹣ay D．ay 18．（2026•柳州二模）分解因式：xy2﹣y3＝____________ ． 19．（2025秋•蛟河市期末）因式分解：4a2﹣8ab＝_____________ ． 20．（2024秋•浦东新区校级期中）分解因式：12（x﹣y）3+15x（y﹣x）2． 21．（2025春•同步）因式分解：4a（x+y）2﹣2（y+x）2． 晓蒙的解题思路如下： y）2•（4a﹣2）． 请问晓蒙的思路正确吗？如果不正确，请指出来并将正确的解题过程写出来． 【考点4】完全平方公式法（第27-30题） · 识别完全平方式：三项首末平方 · 补项成完全平方式 · 先提负号再用公式 · 整体代入求值 22．（2026春•泉山区期中）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A．﹣a2+b2 B．﹣a2﹣b2 C．a2+b2 D．﹣（a2+b2） 23．（2026春•泰和县期末）因式分解（x﹣1）2﹣9的结果是（　　） A．（x﹣10）（x+8） B．（x+8）（x+1） C．（x﹣2）（x+4） D．（x+2）（x﹣4） 24．（2026春•衢江区期末）下列多项式可以用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2+4y2 B．﹣x2+4y2 C．﹣x2﹣4y2 D．x2+4xy+4y2 25．（2024秋•旌阳区期末）如果多项式x2+1加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式不可以是（　　） A．2x B．﹣2x C． D． 26．（2025秋•望花区期末）已知x+y＝4，x2﹣y2＝12，则x﹣y＝_____ ． 27．（2025秋•红桥区校级月考）在多项式4x2+1中添加一个单项式，使它能用完全平方公式分解因式，添加的单项式是_______________ ． 28．（2026•红桥区校级开学）因式分解：2xy﹣x2﹣y2． 29．（2026春•蒲城县期末）下面是小华同学分解因式（3x+y）2﹣（x+3y）2的过程，请认真阅读，并解答下列问题． 解：原式＝（3x+y+x+3y）（3x+y﹣x﹣3y）…① ＝（4x+4y）（2x+4y）…② ＝8（x+y）（x+2y）…③ （1）以上解答过程从第_____ 步开始出现错误；（填序号） （2）请你写出正确的解答过程． 30．（2024秋•杨浦区校级月考）分解因式：x4+4x2y2+16y4． 【考点5】综合应用（第31-36题） · 一提二套三查：先提公因式再用公式 · 分解要彻底直到不能再分 · 新定义题先求函数表达式 · 复杂多项式拆项分组 31．（2025秋•铜仁市期中）多项式2x2﹣8彻底因式分解的结果是（　　） A．2（x2﹣4） B．2（x+4）（x﹣4） C．（2x+2）（x﹣4） D．2（x+2）（x﹣2） 32．（2026•梓潼县二模）新定义：对于任意实数x，都有f（x）＝ax2+bx，若f（1）＝5，f（2）＝12，则将f（x2﹣4x）因式分解的结果为 _________________ ． 33．（2026•江阳区校级模拟）分解因式：m3﹣25m＝________________ ． 34．（2025秋•临汾期末）（1）计算：； （2）因式分解：2a2﹣12ab+18b2． 35．（2025秋•莱西市期中）因式分解 （1）8a3﹣2a； （2）4xy2﹣4x2y﹣y3； （3）（5x+6）（x﹣6）+2x（6﹣x）； （4）9（2x﹣1）2﹣6（2x﹣1）+1． 36．（2025秋•江岸区期末）因式分解：x3﹣xy2． 【考点6】创新与压轴题（第37-46题） · 数形结合：用面积验证因式分解 · 分组分解法：四项分组 · 拆项法：拆中项凑完全平方 · 非负性：平方和为0则各项为0 37．（2026春•惠来县期末）下列由左边到右边的变形，属于分解因式的是（　　） A．x2+3x+5＝x（x+3）+5 B．（y+1）2＝y2+2y+1 C．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） D．（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2 38．（2025春•宁波期末）下列因式分解正确的是（　　） A．m2+n2＝（m+n）2 B．m2﹣n2＝（m﹣n）2 C．m2﹣3mn+2m＝m（m﹣3n+2） D．﹣m2﹣2mn﹣n2＝﹣（m﹣n）2 39．（2025春•同步）若多项式4﹣ax+x2可以分解因式为（2﹣x）2，则a的值是 _____ ． 40．（2025春•南山区校级期中）如果x﹣2是ax2﹣bx+2的一个因式，则2a﹣b的值是_______ ． 41．（2025秋•江油市期末）用提公因式法分解27x3y5+18x2y7时，应提出的公因式__________ ． 42．（2026•海门区模拟）把多项式3x2﹣27因式分解的结果是________________ ． 43．（2025秋•汕头校级期末）分解因式：x2（x﹣3）+4（3﹣x）． 44．【问题情景】多项式的 乘法公式可以利用图形中面积的等量关系来验 证其正确性．例如：（a+b）2＝a2+2ab+b2 就能 利用表示图（1）的面积的方法进行验证． 【问题解决】 （1）直接写出图（2）中所表示的等式：____________________ ．（因式分解的形式） （2）利用在（1）中所得到的等式进行因式分解，并画出图形． ①3x2+4x+1； ②2m2+8mn+6n2， 45．（2026秋•同步）问题探究：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速地对多项式a2+2ab+b2进行因式分解． 如图（1）所示的边长为（a+b）的大正方形是由1张边长为a的正方形卡片A，1张边长为b的正方形卡片B，2张邻边长分别为a，b的长方形卡片C组成的，这个图形的面积可以表示成a2+2ab+b2或（a+b）2，从而验证a2+2ab+b2＝（a+b）2． （1）如图（2），用1张正方形卡片A，2张长方形卡片C拼成一个长方形，可以验证多项式的因式分解为___________________ ； （2）某数学兴趣小组的同学用若干张卡片A、B、C，开展对多项式因式分解的几何验证活动： ①他们利用若干张卡片A、B、C拼成图（3）中的长方形，你认为他们想验证多项式的因式分解为____________________ ； ②请你类比上述方法对多项式3a2+4ab+b2进行因式分解，要求画出因式分解的图形，标出各边的长度； ③问题②中，某同学发现他们所拼成的长方形面积为45，并且a，b均为正整数，请分别求出a，b的长． 46．（2025秋•红花岗区期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． ①分组分解法：x2﹣2xy+y2﹣4＝（x2﹣2xy+y2）﹣4＝（x﹣y）2﹣22＝（x﹣y﹣2）（x﹣y+2）． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3） ③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项；2．分解常数项；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．得出原二次三项式的两个因式． 例如：x2+6x﹣7 分析： 解：原式＝（x+7）（x﹣1） （1）仿照以上方法，按照要求分解因式：（写出过程） ①（分组分解法）4x2+4x﹣y2+1； ②（拆项法）x2﹣6x+8； ③x2﹣5x+6＝_______________ ． （2）已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，求△ABC的周长． 💯 课后巩固 复习建议 · 因式分解是把多项式化成几个整式积的形式，与整式乘法互逆 · 找公因式三定法：定系数最大公约数、定相同字母、定最低次幂 · 平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，两项平方且异号 · 完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2，三项首末平方中间2倍 · 分解步骤：先提公因式，再套公式，最后检查是否分解彻底 学科网（北京）股份有限公司 $