第9讲 三角形中位线 优等生讲义 2026-2027学年鲁教版(五四制)八年级数学上册

第9讲 三角形中位线 优等生讲义 (精讲+典例+练习) 2026-2027学年鲁教版(五四制)八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解三角形中位线的概念 · 掌握三角形中位线定理 · 理解三角形重心的概念 · 掌握重心的性质（2:1） · 能综合运用中位线与重心解决证明与计算 📚 知识梳理 ☆ 1.三角形的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形有三条中位线 中位线定理：中位线平行于第三边 中位线等于第三边的一半 概念辨析例题：△ABC中D、E分别为AB、AC中点，BC=10，求DE 解析：中位线DE∥BC且DE=BC=5 ☆ 2.中位线定理的应用 证平行、证线段倍分关系 遇中点连中点构造中位线 中位线围成的三角形周长=原三角形周长一半 中位线与平行线结合使用 概念辨析例题：三角形三边为6、8、10，求中点三角形周长 解析：中点三角形周长=(6+8+10)=12 ☆ 3.三角形的重心 三角形三条中线的交点叫做重心 重心在三角形内部 重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍 即重心分中线为2:1 概念辨析例题：△ABC中线AD交重心G，AG=6，求GD 解析：重心分中线AG:GD=2:1，GD=AG=3 ☆ 4.中位线与重心综合 重心到边中点的连线可构造中位线 多条中点连线找平行四边形 结合面积比解题 注意区分中线与中位线 概念辨析例题：△ABC中G为重心，过G作DE∥BC交AB、AC于D、E 解析：重心到顶点距离为中线，相似比 📋 知识总结表 概念 内容 关键结论 中位线 两边中点连线 平行且=第三边一半 中位线定理 位置+数量 ∥BC且DE=BC 重心 三条中线交点 在内部 重心性质 分中线 顶点:中点=2:1 中点三角形 中位线围成 周长=原一半 综合 构造中位线 证平行倍分 ⚠️ 核心考点 【考点1】三角形的中位线（第1-20题） · 中位线平行第三边 · 等于第三边一半 · 中点连中点 · 证倍分关系 1．（2025春•昌邑区期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，FD⊥AB交CB的延长线于点F．若AF＝3，CF＝7，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4 2．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若∠B＝40°，∠AED＝30°，则∠A的度数为_________ ． 3．（2025秋•杨浦区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知BC＝10，AD＝12，那么DE＝ ________ ． 4．（2026•石家庄校级一模）如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC中点，BF平分∠ABC．交DE于点F，AB＝8，BC＝6，则EF的长为_____ ． 5．（2026春•奉贤区校级期中）如图，在△ABC中，点E，F分别是AB，BC的中点，EH⊥AC于H，GF⊥BC且交EH于点G，GF＝FC，若，AH＝3，则CH的长是 __________________ ． 6．（2024春•沙坪坝区校级月考）如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC交AB于点E，过D作DF⊥DE交AC于点F，连接EF，已知AB＝4，BD＝3，则EF＝____________________ ． 7．（2026•广陵区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，使CD＝AC，连接AD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，若AB＝3，BC＝2，则EF的长为 _______________ ． 8．（2024秋•忠县期末）如图，点D，E，F分别是边长为2的等边△ABC三边的中点，动点P从顶A出发第1次移动到点D，到点D后，先在△DEF中顺时针方向移动到点D，再在△ABC中顺时针方向移动到点D，以后按前两次到点D后的移动方向不断地重复移动，若每次移动1个单位长度，那么第2025次移动后动点P的位置是点（　　） A．A B．D C．F D．E 9．（2023秋•万州区期末）如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的角平分线交DE于点F，若AC＝6，BC＝14，则DF的长为 _____ ． 10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD交于点D，点E为边BC的中点，已知AB＝10cm，BC＝15cm，DE＝3cm，那么△ABC的周长为 _________ ． 11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD平分∠BAC，且AD⊥BD，AB＝3．若E为边BC的中点，则DE的长为________ ． 12．（2026•南岗区校级一模）如图△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝36°，以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①∠AED＝∠ABC；②；③BC＝AE；④点P为直线MN上一点，连接AP、DP，设AP+DP＝m，则m最小值等于AC的长．其中正确结论的序号是 ________ ． 13．（2026•乾县模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在AB上，连接CE，F为CE的中点，连接DF．若AE＝DF＝3，则AB的长为（　　） A．6 B．8 C．9 D．10 14．（2025春•武胜县期末）1如图，在△ABC中，点D、点E分别为线段AC、BC 中点，点F在线段DE上，且∠BFC＝90°，若BC＝4，AB＝9，则DF的长度为__________________ ． 15．（2023春•浦东新区校级期末）已知等腰三角形的两条中位线的长分别为2和4，则此等腰三角形的周长为 _______ ． 16．（2025秋•开福区校级期末）如图，小华同学想测量池塘A，B两处之间的距离．他先在A，B外选一点C，然后找出AC，BC的中点为D，E，测得DE＝15m，则A，B之间的距离为_______ m． 17．（2025秋•闵行区校级月考）已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E是边BC的中点，在图中作点D，使得ED∥AB，且∠CDB＝90°，分别联结AE，AD，过点A作AF⊥BC，垂足为点F． （1）求证：AD平分∠BAE； （2）求证：∠CAF＝2∠DAE． 18．（2025秋•包河区校级期末）已知：如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E为AC上一点，AD与BE交点为H，点G在BE上，连接DG并延长交AE于点F，∠FGE＝45°，连接DE． （1）求证：AG⊥BE； （2）若E为AC的中点，求的值． 19．（2023秋•宝山区校级期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠D，AB＝CD，且点E、F分别是线段AD、BC的中点．求证：EF⊥BC． 20．（2025•威海一模）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B在反比例函数位于第一象限的图象上，OA＝OB．点C是△OAB的重心，点C也恰好在反比例函数的图象上，连接OC，延长OC与AB相交于点D，那么点D的坐标为__________ ． 【考点2】三角形的重心（第21-37题） · 重心分中线2:1 · 顶点到重心:重心到中点=2:1 · 面积比 · 结合中位线 21．（2025春•上海期末）如图，某景区有A，B，C三处景点，景点之间均以最短路线修建公路，为了便于游客游玩与休息，现计划建设一座游客休息厅提供给游客休息，为了确保各个景点到游客休息厅的距离相等，则游客休息厅应建设在（　　） A．△ABC三条中线的交点 B．△ABC三边垂直平分线的交点 C．△ABC三条高的交点 D．△ABC三条角平分线的交点 22．（2025秋•黄浦区期中）已知G是△ABC的重心，如果AB＝AC＝5，AG＝2，那么底边BC的长是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 23．“比赛第一，友谊第十四!”“苏超”无疑是2025年夏天最热的赛事，在“苏超”的带动下，全民健身的热浪一波接着一波．某市的三个城镇中心A，B，C构成△ABC，该市政府打算修建一个大型体育中心P，使得该体育中心到三个城镇中心A，B，C的距离相等，则点P应设计在（　　） A．△ABC三个角的角平分线的交点处 B．△ABC三条高的交点处 C．△ABC三边垂直平分线的交点处 D．△ABC三条中线的交点处 24．（2025秋•宝应县期末）如图，G为△ABC的重心，连结AG并延长交BC于点D，若AG＝6，则AD＝_____ ． 25．（2026春•闵行区期中）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5cm，AC＝12cm，G是△ABC的重心，连接AG，则AG＝ ___________________ cm． 26．（2025秋•东台市月考）如图，AD为△ABC的中线，G为△ABC的重心，若AG＝6，则AD＝ _____ ． 27．（2025秋•嘉定区校级期中）如果直角三角形的斜边长为16，那么它的重心与斜边中点之间的距离为 __________________ ． 28．（2025秋•浦东新区期中）如图，在△ABC中，G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC于点D，已知AD＝6，AC＝8，点E在边AC上，且∠AGE＝∠C，则AE的长为 _____ ． 29．（2025秋•嘉定区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为点E，那么线段GE的长是 __________________ ． 30．（2025秋•宝山区校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点G是重心，CG＝2，那么斜边AB的长为 _____ ． 31．（2023秋•长宁区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点G是△ABC的重心，联结GA、GC，如果AC＝3，，那么∠GCA的余切值为 __________________ ． 32．（2024秋•浦东新区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，如果，AG＝4，那么AB＝_________________ ． 33．（2024秋•凉州区月考）有下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形三条角平分线的交点叫做三角形的重心；③连接多边形的两个顶点的线段叫做多边形的对角线；④三角形的三条高相交于一点；⑤各边都相等的多边形为正多边形；⑥所有的等边三角形全等，其中正确的个数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 34．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心．如果AG＝6，那么线段DG的长为（　　） A．2 B．3 C．1 D．4 35．（2024秋•宝山区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，如果点M是△ABC的重心，那么线段AM的长是 _______ ． 36．（2023春•永寿县月考）如图，△ABC的周长为18cm，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，CO的延长线交AB于点F，且BD＝3cm，AE＝2cm，求AF的长． 37．（2026春•杨浦区期中）如图在△ABC中，G是三角形的重心，AG⊥GC，AC＝8，则BG的长为 _____ ． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026春•上海校级月考）如图，△ABC内部有一点D，且△DAB、△DBC、△DCA的面积分别为10、8、6．若△ABC的重心为G，则下列叙述正确的是（　　） A．△GBC与△DBC的面积相同，且DG与BC平行 B．△GBC与△DBC的面积相同，且DG与BC不平行 C．△GCA与△DCA的面积相同，且DG与AC平行 D．△GCA与△DCA的面积相同，且DG与AC不平行 【练习 2】（2026春•高新区期中）如图，△ABC为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在线段_______ 上． 【练习 3】（2026春•朝阳区校级期中）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝10，则EF的长为________ ． 【练习 4】（2024秋•思明区校级期中）如图，在△ABC中，AD交边BC于点D．设△ABC的重心为Q，若点Q在线段AD上，则下列结论正确的是（　　） A．AD平分∠BAC B．AD⊥BC C．BD＝CD D．△ABD的周长等于△ACD的周长 【练习 5】（2024秋•广陵区月考）如图，G是△ABC的重心，AG⊥GC，连接BG并延长交AC于D，AC＝4，则BG的长为 _____ ． 💯 课后巩固 【作业 1】（2025秋•徐汇区月考）如果直角三角形的斜边长为12，那么它的重心与斜边中点之间的距离为 _____ ． 【作业 2】（2025•长宁区二模）我们把一个三角形的重心与外心之间的距离叫做该三角形的“变形值”．已知等腰三角形的腰长为5，底边长为8，那么它的“变形值”等于___________________ ． 【作业 3】（2024秋•晋江市期末）如图，△ABC是等边三角形，点G为△ABC的重心，连接BG，以BG为边作等边三角形BDG，若，则△ABC的周长为_______ ． 【作业 4】（2025秋•虹口区期中）如图，在△ABC中，点G是△ABC的重心，EF过点G且平行于BC，分别交AB、AC于点E、F，那么的值是 __________________ ． 【作业 5】（2024春•崇明区期末）我们规定：联结四边形对边中点的线段叫做这个四边形的“对中线”．如图，如果凸四边形ABCD的对角线AC＝BD＝8，且两条对角线的夹角为60°，那么该四边形较长的“对中线”的长度为 ________________ ． 【作业 6】（2025春•峄城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D，E分别是AB，AC的中点，∠ABC的平分线交DE于点F，∠ACB的平分线交DE于点G，若AB＝8，AC＝6，则线段GF的长度为 _____ ． 【作业 7】（2025秋•焦作期末）用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（　　） A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 复习建议 · 中位线：平行第三边且等于一半 · 遇中点连中点构造中位线 · 重心分中线2:1（顶点段长） · 注意区分中线与中位线 · 压轴题构造平行四边形与中位线 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 三角形中位线 优等生讲义 (精讲+典例+练习) 2026-2027学年鲁教版(五四制)八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解三角形中位线的概念 · 掌握三角形中位线定理 · 理解三角形重心的概念 · 掌握重心的性质（2:1） · 能综合运用中位线与重心解决证明与计算 📚 知识梳理 ☆ 1.三角形的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形有三条中位线 中位线定理：中位线平行于第三边 中位线等于第三边的一半 概念辨析例题：△ABC中D、E分别为AB、AC中点，BC=10，求DE 解析：中位线DE∥BC且DE=BC=5 ☆ 2.中位线定理的应用 证平行、证线段倍分关系 遇中点连中点构造中位线 中位线围成的三角形周长=原三角形周长一半 中位线与平行线结合使用 概念辨析例题：三角形三边为6、8、10，求中点三角形周长 解析：中点三角形周长=(6+8+10)=12 ☆ 3.三角形的重心 三角形三条中线的交点叫做重心 重心在三角形内部 重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍 即重心分中线为2:1 概念辨析例题：△ABC中线AD交重心G，AG=6，求GD 解析：重心分中线AG:GD=2:1，GD=AG=3 ☆ 4.中位线与重心综合 重心到边中点的连线可构造中位线 多条中点连线找平行四边形 结合面积比解题 注意区分中线与中位线 概念辨析例题：△ABC中G为重心，过G作DE∥BC交AB、AC于D、E 解析：重心到顶点距离为中线，相似比 📋 知识总结表 概念 内容 关键结论 中位线 两边中点连线 平行且=第三边一半 中位线定理 位置+数量 ∥BC且DE=BC 重心 三条中线交点 在内部 重心性质 分中线 顶点:中点=2:1 中点三角形 中位线围成 周长=原一半 综合 构造中位线 证平行倍分 ⚠️ 核心考点 【考点1】三角形的中位线（第1-20题） · 中位线平行第三边 · 等于第三边一半 · 中点连中点 · 证倍分关系 1．（2025春•昌邑区期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，FD⊥AB交CB的延长线于点F．若AF＝3，CF＝7，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到BF＝AF＝3，进而求出BC，再根据三角形中位线定理解答即可． 【解答】解：∵D是AB的中点，FD⊥AB， ∴DF是线段AB的垂直平分线， ∴BF＝AF＝3， ∵CF＝7， ∴BC＝CF﹣BF＝7﹣3＝4， ∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEBC＝2， 故选：A． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、线段垂直平分线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 2．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若∠B＝40°，∠AED＝30°，则∠A的度数为　110°　 ． 【分析】由D，E分别是AB，AC的中点，根据三角形中位线定理推导出DE∥BC，则∠ADE＝∠B＝40°，而∠AED＝30°，由三角形内角和定理得∠A+40°+30°＝180°，求得∠A＝110°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B＝40°， ∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，且∠AED＝30°， ∴∠A+40°+30°＝180°， ∴∠A＝110°， 故答案为：110°． 【点评】此题重点考查三角形中位线定理、三角形的内角和等于180°等知识，正确理解和应用三角形中位线定理及三角形内角和定理是解题的关键． 3．（2025秋•杨浦区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知BC＝10，AD＝12，那么DE＝ 　6.5　 ． 【分析】根据等腰三角形性质得BDBC＝5，在Rt△ABD中，由勾股定理得AB＝13，再根据直角三角形斜边AB中线的性质即可得出DE的长． 【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BC＝10， ∴BDBC＝5，∠ADB＝90°， ∴△ABD是直角三角形， 在Rt△ABD中，AD＝12， 由勾股定理得：AB13， ∵点E为AB的中点， ∴DE是Rt△ABD斜边AB上的中线， ∴DEAB＝6.5． 故答案为：6.5． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，理解等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，勾股定理是解决问题的关键． 4．（2026•石家庄校级一模）如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC中点，BF平分∠ABC．交DE于点F，AB＝8，BC＝6，则EF的长为　1　 ． 【分析】由三角形中位线定理推出DE∥AB，DEAB＝4，由角平分线的定义和平行线的性质推出∠DBF＝∠DFB得到DF＝DB，求出BD的长，即可得到EF的长． 【解答】解：∵D、E分别是BC、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB，DEAB8＝4， ∴∠BFD＝∠ABF， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠FBD， ∴∠FBD＝∠BFD， ∴DF＝DB， ∵DB＝DC，DFBC6＝3， ∴EF＝DE﹣DF＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 5．（2026春•奉贤区校级期中）如图，在△ABC中，点E，F分别是AB，BC的中点，EH⊥AC于H，GF⊥BC且交EH于点G，GF＝FC，若，AH＝3，则CH的长是 　　 ． 【分析】设AC的中点为K，连接EK，EF，设GF交EK于点D，证明EK是△ABC的中位线得EK∥BC，由此得GF⊥EK，证明EF是△ABC的中位线得EF∥AC，由此得四边形EFCK是平行四边形，则EK＝FC，进而得EK＝GF，再证明∠HEK＝∠EFG，进而依据“AAS”判定△HEK和△EFG全等得HK＝EG，则AK＝AH+HK，由此得CK＝AK，据此可得CH＝CK+HK． 【解答】解：设AC的中点为K，连接EK，EF，设GF交EK于点D，如图所示： ∵点E是AB的中点，点K是AC的中点， ∴EK是△ABC的中位线， ∴EK∥BC， ∵GF⊥BC且交EH于点G， ∴GF⊥EK， ∵点E是AB的中点，点F是BC的为中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AC， ∴四边形EFCK是平行四边形， ∴EK＝FC， ∵GF＝FC， ∴EK＝GF， ∵EF∥AC，EH⊥AC于H， ∴EH⊥EF，∠EHK＝90°， ∴∠FEG＝90°， ∴∠EHK＝∠FEG＝90°， ∵GF⊥EK，EF交EK于点D， ∴∠FDE＝90°， 在Rt△FED中，∠FDE＝90°， ∴∠EFG+∠FED＝90°， 又∵∠HEK+∠FED＝∠FEG＝90°， ∴∠HEK＝∠EFG， 在△HEK和△EFG中， ， ∴△HEK≌△EFG（AAS）， ∴HK＝EG， ∵EG， ∴HK， ∵AH＝3， ∴AK＝AH+HK， ∵点K是AC的中点， ∴CK＝AK， ∴CH＝CK+HK． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 6．（2024春•沙坪坝区校级月考）如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC交AB于点E，过D作DF⊥DE交AC于点F，连接EF，已知AB＝4，BD＝3，则EF＝　　 ． 【分析】延长AC交BD的延长线于H，先证△ABD和△AHD全等得BD＝HD，由此可证DE为△ABH的中位线，则点E为AB的中点，根据直角三角形的性质得DEAB＝2，在Rt△ABD中由勾股定理求出AD，证△BDA和△DFA相似得DF，然后在Rt△DEF中由勾股定理即可求出EF的长． 【解答】解：延长AC交BD的延长线于H，如图所示： ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD＝∠HAD， ∵BD⊥AD， ∴∠BDA＝∠HDA＝90°， 在△ABD和△AHD中， ， ∴△ABD≌△AHD（AAS）， ∴BD＝HD， 即点D为BH的中点， 又∵DE∥AC， ∴DE为△ABH的中位线， ∴点E为AB的中点， 在Rt△ABD中，DE为斜边AB的中点，AB＝4， ∴DEAB＝2， 在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝3， 由勾股定理得：AD， ∵DE∥AC，DF⊥DE， ∴DF⊥AC， ∴∠BDA＝∠DFA＝90°， ∵∠BAD＝∠HAD， ∴△BDA∽△DFA， ∴BD：DF＝AB：AD， 即， ∴DF， 在Rt△DEF中，DE＝2，DF， 由勾股定理得：EF． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了三角形的中位线定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，理解三角形的中位线定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 7．（2026•广陵区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，使CD＝AC，连接AD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，若AB＝3，BC＝2，则EF的长为 　　 ． 【分析】连接AE，由等腰三角形的性质推出AE⊥BC，由线段的中点定义得到CEBC＝1，由勾股定理求出AE2＝AC2﹣EC2＝8，AD2，由直角三角形斜边中线的性质推出EFAD． 【解答】解：连接AE， ∵AB＝AC，E是BC的中点， ∴AE⊥BC，CEBC2＝1， ∵AC＝AB＝3， ∴AE2＝AC2﹣EC2＝8， ∵CD＝AC＝3， ∴DE＝CD+EC＝3+1＝4， ∴AD2， ∵∠AED＝90°，F是AD的中点， ∴EFAD． 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理，直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质推出AE⊥BC，由勾股定理求出AD的长，由直角三角形斜边中线的性质推出EFAD． 8．（2024秋•忠县期末）如图，点D，E，F分别是边长为2的等边△ABC三边的中点，动点P从顶A出发第1次移动到点D，到点D后，先在△DEF中顺时针方向移动到点D，再在△ABC中顺时针方向移动到点D，以后按前两次到点D后的移动方向不断地重复移动，若每次移动1个单位长度，那么第2025次移动后动点P的位置是点（　　） A．A B．D C．F D．E 【分析】罗列前十次发现规律，利用规律解答第2025次后动点P的位置即可． 【解答】解：第一次移动到点D， 第二次移动到点E， 第三次移动到点F， 第四次移动到点D， 第五次移动到点B， 第六次移动到点E， 第七次移动到点C， 第八次移动到点F， 第九次移动到点A， 第十次移动到点D， …， 每9次一循环， 2025÷9＝225， ∴第2025次移动后动点P的位置是点A． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形中位线定理，规律探究﹣图形的变化规律，发现规律是关键． 9．（2023秋•万州区期末）如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的角平分线交DE于点F，若AC＝6，BC＝14，则DF的长为 　4　 ． 【分析】根据三角形的中位线得出DE＝BC＝7，DE∥BC，求出CE＝3，根据平行线的性质得出∠CFE＝∠BCF，根据角平分线的定义得出∠BCF＝∠ECF，得到∠ECF＝∠CFE，根据等腰三角形的判定得出EF＝CE＝3，即可求出DF． 【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，BC＝14，AC＝6， ∴DEBC14＝7，AE＝CEAC6＝3，DE∥BC， ∴∠CFE＝∠BCF， ∵CF平分∠ACB， ∴∠BCF＝∠ECF， ∴∠ECF＝∠CFE， ∴EF＝CE＝3， ∴DF＝DE﹣EF＝7﹣3＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，能熟记三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解决问题的关键． 10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD交于点D，点E为边BC的中点，已知AB＝10cm，BC＝15cm，DE＝3cm，那么△ABC的周长为 　41cm ． 【分析】延长BD交AC于点F，由AD平分∠BAC，得∠FAD＝∠BAD，由BD⊥AD交于点D，得∠ADF＝∠ADB＝90°，而AD＝AD，即可根据“ASA”证明△ABD≌△AFD，得AF＝AB＝10cm，BD＝FD，因为点E为BC的中点，且DE＝3cm，所以FC＝2DE＝6cm，则AC＝AF+FC＝16cm，求得AB+AC+BC＝41cm，于是得到问题的答案． 【解答】解：延长BD交AC于点F， ∵AD平分∠BAC， ∴∠FAD＝∠BAD， ∵BD⊥AD交于点D， ∴∠ADF＝∠ADB＝90°， 在△ABD和△AFD中， ， ∴△ABD≌△AFD（ASA）， ∴AF＝AB＝10cm，BD＝FD， ∵点D为BF的中点，点E为BC的中点，且DE＝3cm， ∴FC＝2DE＝6cm， ∵AC＝AF+FC＝10+6＝16（cm），BC＝15cm， ∴AB+AC+BC＝10+16+15＝41（cm）， ∴△ABC的周长为41cm， 故答案为：41cm． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD平分∠BAC，且AD⊥BD，AB＝3．若E为边BC的中点，则DE的长为　1.5　 ． 【分析】延长BD交AC于点F，由含30度角的直角三角形的性质推出AC＝2AB＝6，由角平分线定义得到∠BAD＝∠FAD，由垂直的定义得到∠ADB＝∠ADF＝90°，由三角形内角和定理推出∠ABD＝∠AFD，判定AF＝AB＝3，求出CF＝3，由等腰三角形的性质推出BD＝DF，判定DF是△BCF的中位线，推出DECF＝1.5． 【解答】解：延长BD交AC于点F， ∵∠B＝90°，∠C＝30°， ∴AC＝2AB＝2×3＝6， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠FAD， ∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝∠ADF＝90°， ∴∠ABD＝∠AFD， ∴AF＝AB＝3， ∴CF＝AC＝AF＝3， ∵AB＝AF，AD⊥BD， ∴BD＝DF， ∵E为BC边的中点， ∴DF是△BCF的中位线， ∴DECF3＝1.5． 故答案为：1.5． 【点评】本题考查三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，关键是判定△ABF是等腰三角形，由三角形中位线定理推出DECF． 12．（2026•南岗区校级一模）如图△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝36°，以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①∠AED＝∠ABC；②；③BC＝AE；④点P为直线MN上一点，连接AP、DP，设AP+DP＝m，则m最小值等于AC的长．其中正确结论的序号是 　①③④　 ． 【分析】①先求出∠ABC＝∠C＝72°，由尺规作图可知BD是∠ABC的平分线，由此得∠ABD＝36°，再由尺规作图可知MN是BD的垂直平分线，由此得ED＝EB，进而得∠EDB＝∠ABD＝36°，再根据三角形外角性质得∠AED＝72°，据此可对结论①进行判断； ②证明DE∥BC得∠ADE＝∠C＝72°，由此得AE＝AD，根据∠ADE＞∠A得AE＞ED，进而得AE＞EB，则DE不是△ABC的中位线，据此可对结论②进行判断； ③根据∠ABD＝∠A＝36°得BD＝AD＝AE，证明∠BDC＝∠C＝72°可得BC＝BD＝AE，据此可对结论③进行判断， ④连接BP，根据垂直平分线的性质得BP＝DP，则AP+BP＝m，根据“两点之间线段最短”得AP+BP≥AB，由此得当点A，P，B共线时，AP+BP为最小，最小值为AB得长，则m的最小值为AB的长，然后根据AB＝AC即可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝∵（180°﹣∠A）（180°﹣36°）＝72°， 由尺规作图可知：BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD∠ABC＝36°， 由尺规作图可知：MN是BD的垂直平分线， ∴ED＝EB， ∴∠EDB＝∠ABD＝36°， ∵∠AED是△EDB的外角， ∴∠AED＝∠EDB+∠ABD＝72°， ∴∠AED＝∠ABC＝72°， 故结论①正确； ②∵∠AED＝∠ABC＝72°， ∴DE∥BC， ∴∠ADE＝∠C＝72°， ∴AE＝AD， 在△AED中，∠ADE＝72°，∠A＝36°， ∴∠ADE＞∠A， ∴AE＞ED， 又∵ED＝EB， ∴AE＞EB， ∴点E不是AB的中点， ∴DE不是△ABC的中位线， ∴EDBC 故结论②不正确； ③∵∠ABD＝∠A＝36°， ∴BD＝AD， ∵AE＝AD， ∴BD＝AE， ∵∠BDC是△ABD的外角， ∴∠BDC＝∠ABD+∠A＝72°， ∴∠BDC＝∠C＝72°， ∴BC＝BD＝AE， 故结论③正确， ④连接BP，如图所示： ∵点P为直线MN上一点，MN是BD的垂直平分线， ∴BP＝DP， ∵AP+DP＝m， ∴AP+BP＝m， ∴当AP+BP最小时，m的值为最小， 根据“两点之间线段最短”得：AP+BP≥AB， ∴当点A，P，B共线时，AP+BP为最小，最小值为AB得长， 即m的最小值为AB的长， 又∵AB＝AC ∴m的最小值为AC的长， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①③④． 故答案为：①③④． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，尺规作图，线段垂直平分线的性质，三角形中位线的定义，理解线段垂直平分线的性质，三角形中位线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，尺规作图是解决问题的关键． 13．（2026•乾县模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在AB上，连接CE，F为CE的中点，连接DF．若AE＝DF＝3，则AB的长为（　　） A．6 B．8 C．9 D．10 【分析】根据等腰三角形的三线合一得到CD＝BD，根据三角形中位线定理求出BE，进而求出AB． 【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴CD＝BD， 又F为CE的中点， ∴DF是△BCE的中位线， ∴BE＝2DF＝2×3＝6， AB＝AE+BE＝3+6＝9， 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 14．（2025春•武胜县期末）1如图，在△ABC中，点D、点E分别为线段AC、BC 中点，点F在线段DE上，且∠BFC＝90°，若BC＝4，AB＝9，则DF的长度为　　 ． 【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出FE，再计算即可． 【解答】解：∵点D、点E分别为线段AC、BC 中点，AB＝9， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEAB， 在Rt△BFC中，∠BFC＝90°，点E是BC的中点，BC＝4， ∴FEBC＝2， ∴DF＝DE﹣FE2． 故答案为：． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 15．（2023春•浦东新区校级期末）已知等腰三角形的两条中位线的长分别为2和4，则此等腰三角形的周长为 　20　 ． 【分析】因为三角形中位线的长度是相对应边长的一半，所以此三角形有一条边长为4，一条为8；那么就有两种情况，或腰长为4，或腰长为8，再分别去求三角形的周长． 【解答】解：∵等腰三角形的两条中位线长分别为2和4， ∴等腰三角形的两边长为4，8， 当腰长为8时，则三边长为8，8，4；周长为20； 当腰长为4时，则三边长为4，4，8；不能组成三角形， 故答案为：20． 【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质以及三角形三边关系，解答本题的关键是分类讨论思想的运用． 16．（2025秋•开福区校级期末）如图，小华同学想测量池塘A，B两处之间的距离．他先在A，B外选一点C，然后找出AC，BC的中点为D，E，测得DE＝15m，则A，B之间的距离为　30　 m． 【分析】根据三角形中位线的性质解答即可求解． 【解答】解：∵点D，E是AC，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴AB＝2DE＝2×15＝30cm， 即A，B之间的距离为30cm， 故答案为：30． 【点评】本题考查了三角形的中位线，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 17．（2025秋•闵行区校级月考）已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E是边BC的中点，在图中作点D，使得ED∥AB，且∠CDB＝90°，分别联结AE，AD，过点A作AF⊥BC，垂足为点F． （1）求证：AD平分∠BAE； （2）求证：∠CAF＝2∠DAE． 【分析】（1）根据斜边上的中线，得到AE＝DE，等边对等角得到∠DAE＝∠ADE，平行线的性质，得到∠BAD＝∠ADE，进而得到∠BAD＝∠DAE，即可得证； （2）根据等边对等角，得到∠C＝∠EAC，等角的余角相等，得到∠CAF＝∠BAE，即可得证． 【解答】证明：（1）∵∠BAC＝90°，∠CDB＝90°，点E是边BC的中点， ∴AEBC，DEBC， ∴AE＝DE， ∴∠DAE＝∠ADE， ∵ED∥AB， ∴∠BAD＝∠ADE， ∴∠BAD＝∠DAE， ∴AD平分∠BAE； （2）∵∠BAC＝90°，点E是边BC的中点， ∴， ∴∠C＝∠EAC， ∵AF⊥BC， ∴∠C+∠CAF＝90°， ∴∠CAF＝∠BAE； 由（1）知：AD平分∠BAE， ∴∠CAF＝∠BAE＝2∠DAE． 【点评】本题考查斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键： 18．（2025秋•包河区校级期末）已知：如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E为AC上一点，AD与BE交点为H，点G在BE上，连接DG并延长交AE于点F，∠FGE＝45°，连接DE． （1）求证：AG⊥BE； （2）若E为AC的中点，求的值． 【分析】（1）根据题意，证明△GBD∽△CBE，得；再证明ABG∽△EBA，从而求得AG⊥BE； （2）首先连接DE，E是AC中点，D是BC中点，得出DE∥BA，因为BA⊥AC，所以DE⊥AC，设AB＝2a，AE＝a，作CH⊥BE交BE的延长线于H，再利用△AEG≌△CEH以及△DEF∽△BHC得出即可． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵∠BGD＝∠FGE＝45°， ∴∠C＝∠BGD， ∵∠GBC＝∠CBE， ∴△GBD∽△CBE， ∴； 又∵∠C＝45°， ∴， ∴∠ABG＝∠EBA，， ∴△ABG∽△EBA， ∴∠BGA＝∠BAE＝90°， ∴AG⊥BE； （2）解：连接DE， ∵E是AC中点，D是BC中点， ∴DE∥BA， ∵BA⊥AC， ∴DE⊥AC， 设AB＝2a，AE＝a，作CH⊥BE交BE的延长线于H， 在△AEG和△CEH中， ， ∴△AEG≌△CEH（AAS）， ∴∠GAE＝∠HCE，CH＝AG， ∵∠BAE为直角， ∴， ∴， ∴， ∵AG⊥BE，∠FGE＝45°， ∴∠AGF＝45°＝∠ECB， ∵∠FGE＝45°， ∴∠AGE＝90°， ∴AG∥CH， ∴∠GAE＝∠HCE， ∵∠DFE＝∠GAE+∠AGF＝∠HCE+∠ECB； ∴∠DFE＝∠BCH， 又∵DE⊥AC，CH⊥BE， ∴∠DEF＝∠CHE＝90°， ∴△DEF∽△BHC， ∴． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 19．（2023秋•宝山区校级期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠D，AB＝CD，且点E、F分别是线段AD、BC的中点．求证：EF⊥BC． 【分析】证明△ABE≌△DCE得出EB＝EC，根据等腰三角形的性质，即可得证． 【解答】证明：∵点E是AD的中点， ∴EA＝ED， 在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（SAS）， ∴EB＝EC， ∵点F是BC的中点． ∴BF＝FC， ∴EF⊥BC． 【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是得到△ABE≌△DCE． 20．（2025•威海一模）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B在反比例函数位于第一象限的图象上，OA＝OB．点C是△OAB的重心，点C也恰好在反比例函数的图象上，连接OC，延长OC与AB相交于点D，那么点D的坐标为　（3，3）　 ． 【分析】由题意得点A，B关于直线y＝x对称，由OA＝OB可得△OAB的重心在直线OD：y＝x上，联立函数解析式求出点C坐标，即得，再根据三角形重心的性质可得，得到D（3，3），即可得到答案． 【解答】解：由题意得点A，B关于直线y＝x对称， ∵OA＝OB，点C是△OAB的重心， ∴△OAB的重心在直线OD：y＝x上， ∴点C在直线y＝x上， 联立得， 解得或， ∵点C在第一象限， ∴C（2，2）， ∴， ∵点C是△OAB的重心， ∴OC：CD＝2：1， ∴， ∴， 设D（d，d）（d＞0）， ∴， ∴d＝3， ∴D（3，3）， 故答案为：（3，3）． 【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，等腰三角形性质，三角形的重心，勾股定理，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【考点2】三角形的重心（第21-37题） · 重心分中线2:1 · 顶点到重心:重心到中点=2:1 · 面积比 · 结合中位线 21．（2025春•上海期末）如图，某景区有A，B，C三处景点，景点之间均以最短路线修建公路，为了便于游客游玩与休息，现计划建设一座游客休息厅提供给游客休息，为了确保各个景点到游客休息厅的距离相等，则游客休息厅应建设在（　　） A．△ABC三条中线的交点 B．△ABC三边垂直平分线的交点 C．△ABC三条高的交点 D．△ABC三条角平分线的交点 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等解答即可． 【解答】解：∵各个景点到游客休息厅的距离相等， ∴游客休息厅应建设在△ABC三边垂直平分线的交点， 故选：B． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质和三角形的重心，熟记性质是解题关键． 22．（2025秋•黄浦区期中）已知G是△ABC的重心，如果AB＝AC＝5，AG＝2，那么底边BC的长是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】连接AG并延长交BC于点D，由等腰三角形的性质可得出AD⊥BC，2BD＝BC，由三角形重心的性质即可得出AG的长，再根据勾股定理求出CD的长，据此求解即可． 【解答】解：如图所示：连接AG并延长交BC于点D， 由条件可知AD⊥BC，， ∴， ∴BC＝2CD＝8． 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形的重心．也考查了等腰三角形的性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识点是关键． 23．“比赛第一，友谊第十四!”“苏超”无疑是2025年夏天最热的赛事，在“苏超”的带动下，全民健身的热浪一波接着一波．某市的三个城镇中心A，B，C构成△ABC，该市政府打算修建一个大型体育中心P，使得该体育中心到三个城镇中心A，B，C的距离相等，则点P应设计在（　　） A．△ABC三个角的角平分线的交点处 B．△ABC三条高的交点处 C．△ABC三边垂直平分线的交点处 D．△ABC三条中线的交点处 【分析】根据到三角形三个顶点距离相等的点的特征即可解决问题． 【解答】解：由题知， 到A，B两点距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到A，C两点距离相等的点在线段AC的垂直平分线上，到B，C两点距离相等的点在线段BC的垂直平分线上， 所以当体育中心P建在△ABC三边垂直平分线的交点处时，可使得该体育中心到三个城镇中心A，B，C的距离相等． 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形的重心及线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键． 24．（2025秋•宝应县期末）如图，G为△ABC的重心，连结AG并延长交BC于点D，若AG＝6，则AD＝　9　 ． 【分析】由三角形重心的性质得到AG：AD＝2：3，即可求出AD的长． 【解答】解：∵G为△ABC的重心， ∴AG：AD＝2：3， ∵AG＝6， ∴AD＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查三角形的重心，关键是掌握三角形重心的性质． 25．（2026春•闵行区期中）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5cm，AC＝12cm，G是△ABC的重心，连接AG，则AG＝ 　　 cm． 【分析】延长AG交BC于点D，在GD的延长线上取一点E，使DE＝DG，连接BE，CE，CG，BG，设BG的延长线交AC于点F，则GF＝2DG，先由勾股定理求出BC＝13cm，根据重心的定义得AD＝BD＝CDBC（cm），AM＝CM，证明四边形BGCE是平行四边形得CE∥BG，进而证明GM是△ACE的中位线得AG＝GF＝2DG，继而得AD＝3DG（cm），则DGcm，据此可得AG的长． 【解答】解：延长AG交BC于点D，在GD的延长线上取一点E，使DE＝DG，连接BE，CE，CG，BG，设BG的延长线交AC于点F，如图所示： ∴GF＝DG+DE＝2DG， 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5cm，AC＝12cm， 由勾股定理得：BC13（cm）， ∴点G是△ABC的重心， ∴AD，AM分别是BC，AC上的中线， ∴AD＝BD＝CDBC（cm），AM＝CM， 在四边形BGCE中，BD＝CD，DE＝DG， ∴四边形BGCE是平行四边形， ∴CE∥BG， 即CE∥GM， 又∵AM＝CM， ∴GM是△ACE的中位线， ∴点G是AE的中点， ∴AG＝GF＝2DG， ∴AD＝AG+DG＝3DG（cm）， ∴DG， ∴AG＝2DG（cm）． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了三角形的重心，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，理解三角形重心的定义，熟练掌握三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理是解决问题的关键． 26．（2025秋•东台市月考）如图，AD为△ABC的中线，G为△ABC的重心，若AG＝6，则AD＝ 　9　 ． 【分析】根据重心的性质三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍，直接求得结果． 【解答】解：由条件可知， ∴AD＝AG+DG＝6+3＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查了三角形的重心定理，掌握三角形的重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 27．（2025秋•嘉定区校级期中）如果直角三角形的斜边长为16，那么它的重心与斜边中点之间的距离为 　　 ． 【分析】连接AE并延长交BC于点E，连接CD，并延长AD到H，使DH＝DE，则EH＝2DE，依题意得AD经过点E，CD＝AD＝BD＝1/2AB＝8，BF＝CF，由此得四边形AEBH是平行四边形，则BH∥AE，进而得EF是△CBH的中位线，则CE＝EH＝2DE，继而得CD＝CE+DE＝3DE＝8，据此即可得出重心与斜边中点之间的距离． 【解答】解：连接AE并延长交BC于点E，连接CD，并延长AD到H，使DH＝DE，如图所示： ∴EH＝DH+DE＝2DE， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝16，点E是中心，点D是AB的中点， ∴AD经过点E，CD＝AD＝BDAB＝8，BF＝CF， ∴四边形AEBH是平行四边形， ∴BH∥AE， 即BH∥EF， 又∵BF＝CF， ∴EF是△CBH的中位线， ∴CE＝EH＝2DE， ∴CD＝CE+DE＝3DE＝8， ∴DE， ∴重心与斜边中点之间的距离为． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形重心的定义，理解三角形重心的定义，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解决问题的关键． 28．（2025秋•浦东新区期中）如图，在△ABC中，G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC于点D，已知AD＝6，AC＝8，点E在边AC上，且∠AGE＝∠C，则AE的长为 　3　 ． 【分析】连接CG，BG，设BG的延长线交AC于点F，在AD的延长线上截取DH＝DG，连接BH，CH，则GH＝2DG，根据三角形重心定义得BD＝CD，AF＝CF，证明四边形BGCH是平行四边形得BG∥CH，由此得GF是△ACH的中位线，则AG＝GH＝2DG，则AD＝3DG＝6，进而得DG＝2，AG＝4，然后证明△AGE和△ACD相似，再利用相似三角形的性质即可得出AE的长． 【解答】解：连接CG，BG，设BG的延长线交AC于点F，在AD的延长线上截取DH＝DG，连接BH，CH，如图所示： ∴GH＝DH+DG＝2DG， 在△ABC中，点G是△ABC的重心， ∴AD，BF分别是BC边，AC边上的中线， ∴BD＝CD，AF＝CF， ∵DH＝DG， ∴四边形BGCH是平行四边形， ∴BG∥CH， 即GF∥CH， 又∵AF＝CF， ∴GF是△ACH的中位线， ∴AG＝GH＝2DG， ∴AD＝AG+DG＝3DG， ∵AD＝6， ∴3DG＝6， ∴DG＝2， ∴AG＝2DG＝4， 在△AGE和△ACD中， ∵∠AGE＝∠C，∠GAE＝∠CAD， ∴△AGE∽△ACD， ∴， ∵AC＝8， ∴， ∴AE＝3， 即AE的长为3． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，理解三角形重心的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 29．（2025秋•嘉定区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为点E，那么线段GE的长是 　　 ． 【分析】连接CG并延长交QB于点E，连接AG并延长交BC于点G，并在AD的延长线取一点H，使DH＝DG，连接BG，GH＝2DG，根据三角形重心的定义得AE＝BE，CD＝BDBC，由此得四边形CGBH是平行四边形，则BH∥CG，进而得GE是△ABH的中位线，则AG＝GH＝2DG，继而得AD＝3DG，在△ABC中，由勾股定理得BC＝8，则CD＝BDBC＝4，在Rt△ACD中，由勾股定理得AD，则DG，AG，证明△AGE和△ADC相似，然后根据相似三角形性质即可得出GE的长． 【解答】解：连接CG并延长交QB于点E，连接AG并延长交BC于点G，并在AD的延长线取一点H，使DH＝DG，连接BG，如图所示： ∴GH＝DH+DG＝2DG， ∵点G是△ABC的重心， ∴AE，AD是△ABC的中线， ∴AE＝BE，CD＝BDBC， 又∵DH＝DG， ∴四边形CGBH是平行四边形， ∴BH∥CG， 即BH∥GE， 又∵AE＝BE， ∴GE是△ABH的中位线， ∴AG＝GH＝2DG， ∴AD＝AG+DG＝3DG， 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10， 由勾股定理得：BC8， ∴CD＝BDBC＝4， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD， ∴3DG， ∴DG， ∴AG＝2DG， ∵GE⊥AC， ∠AEG＝∠ACB＝90°， ∴GE∥CD， ∴△AGE∽△ADC， ∴， ∴GE•AD＝CD•AG， ∴， ∴GE． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，勾股定理，理解三角形的重心的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 30．（2025秋•宝山区校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点G是重心，CG＝2，那么斜边AB的长为 　6　 ． 【分析】延长CG交AB于点D，如图，根据三角形重心的定义和性质得到CD为斜边AB上的中线，CG＝2DG，则可求出CD，然后根据直角三角形斜边上的中线性质确定AB的长． 【解答】解：延长CG交AB于点D， ∵点G是△ABC的重心， ∴CD为斜边AB上的中线，CG＝2DG， ∴， ∴CD＝CG+DG＝2+1＝3， ∴AB＝2CD＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，属于中档题． 31．（2023秋•长宁区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点G是△ABC的重心，联结GA、GC，如果AC＝3，，那么∠GCA的余切值为 　　 ． 【分析】由于点G是△ABC的重心，所以2，AD是BC边的中线，CF是AB边的中线，可得AD，因为∠BAC＝90°，所以BC＝2AD，可得BC，由勾股定理得AB，CF是AB边的中线，可得AF，最后可算得∠GCA的余切值． 【解答】解：如图， ， 延长AG交BC于点D，延长CG交AB于点F， ∵点G是△ABC的重心， ∴2，AD是BC边的中线，CF是AB边的中线， ∵AG， ∴GD，AD， ∵AD是BC边的中线，∠BAC＝90°， ∴BC＝2AD＝5， 在Rt△ABC中，AB4， ∵CF是AB边的中线， ∴AFAB＝2， ∵AC＝3，AF＝2，∠BAC＝90°， ∴cot∠GCA， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的重心、勾股定理、余切，关键是掌握三角形重心的性质． 32．（2024秋•浦东新区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，如果，AG＝4，那么AB＝　　 ． 【分析】本题先利用重心求出AD，再利用勾股定理列式整体法求出CD，进而得到BC，最后利用勾股定理即可求出AB． 【解答】解：∵点G是△ABC的重心，AG＝4， ∴，点D为BC的中点， ∵，∠C＝90°， ∴， ∴BC＝2CD＝10， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了重心的定义与性质，结合勾股定理，关键是掌握重心性质并运用勾股定理列式求解是解题关键． 33．（2024秋•凉州区月考）有下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形三条角平分线的交点叫做三角形的重心；③连接多边形的两个顶点的线段叫做多边形的对角线；④三角形的三条高相交于一点；⑤各边都相等的多边形为正多边形；⑥所有的等边三角形全等，其中正确的个数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据多边形的概念，三角形的重心，三角形的分类，正多边形，全等三角形进行判断即可． 【解答】解：①等边三角形是等腰三角形，原说法正确，符合题意； ②三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，原说法错误，不符合题意； ③连接多边形的不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线，原说法错误，不符合题意； ④三角形的三条高或三条高所在直线相交于一点，原说法错误，不符合题意； ⑤各边都相等且各角都相等的多边形是正多边形，原说法错误，不符合题意； ⑥所有的等边三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意； 综上正确的个数有1个， 故选：A． 【点评】本题考查了多边形的概念，三角形的重心，三角形的分类，正多边形，全等三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 34．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心．如果AG＝6，那么线段DG的长为（　　） A．2 B．3 C．1 D．4 【分析】连接BG，并延长交AC于点E，连接CG，在AD的延长线上取一点F，使DF＝DG，连接BF，CF，由三角形重心的定义得AE＝CE，DB＝DC，由此可证明四边形GBFC是平行四边形，则BG∥CF，即GE∥CF，进而可判定GE是△AFC的中位线，则AG＝GF＝2DG＝6，据此可得DG＝3． 【解答】解：连接BG，并延长交AC于点E，连接CG，在AD的延长线上取一点F，使DF＝DG，连接BF，CF，如图所示： ∵AD是BC边上的中线，G是重心， ∴AE＝CE，DB＝DC， ∴点E是AC的中点， 在四边形GBFC中，DF＝DG，DB＝DC， ∴四边形GBFC是平行四边形， ∴BG∥CF， ∵BG的延长交AC于点E， ∴GE∥CF， 在△AFC中，点E是AC的中点，GE∥CF， ∴GE是△AFC的中位线， ∴点G是AF的中点， ∴AG＝GF， ∵DF＝DG， ∴GF＝DF+DG＝2DG， ∴AG＝2DG， ∵AG＝6， ∴2DG＝6， ∴DG＝3． 故选：B． 【点评】此题主要考查了三角形重心的定义，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，理解三角形重心的定义，熟练掌握平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理是解决问题的关键． 35．（2024秋•宝山区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，如果点M是△ABC的重心，那么线段AM的长是 　10　 ． 【分析】连接BM，CM，并延长交AB于点E，延长AM交BC于点D，延长MD到F，使DF＝DM，连接BF，CF，则MF＝2DM，根据三角形重心的定义得BD＝CD，AF＝BF，进而根据等腰三角形性质得AD⊥BC，BD＝CD＝8，在Rt△ABD中，由勾股定理可求出AD＝15，证明四边形BMCF是平行四边形得BF∥CM，由此得FM是△ABF的中位线，则AM＝MF＝2DM，继而得AD＝3DM＝15，据此解得DM＝5，进而可得线段AM的长． 【解答】解：连接BM，CM，并延长交AB于点E，延长AM交BC于点D，延长MD到F，使DF＝DM，连接BF，CF，如图所示： ∴MF＝DF+DM＝2DM， ∵点M是△ABC的重心， ∴AD，CF是△ABC的边BC上的中线， ∴BD＝CD，AF＝BF， 在△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16， ∴AD⊥BC，BD＝CDBC＝8， ∴△ABD是直角三角形， 由勾股定理得：AD15， 在四边形BMCF中，DF＝DM，BD＝CD， ∴四边形BMCF是平行四边形， ∴BF∥CM， 即BF∥FM， 又∵AF＝BF， ∴FM是△ABF的中位线， ∴AM＝MF＝2DM， ∴AD＝AM+DM＝3DM＝15， ∴DM＝5， ∴AM＝2DM＝10， 即线段AM的长是10． 故答案为：10． 【点评】此题主要考查了三角形的重心，等腰三角形的性质，勾股定理，理解三角形的重心的定义，熟练掌握等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理是解决问题的关键． 36．（2023春•永寿县月考）如图，△ABC的周长为18cm，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，CO的延长线交AB于点F，且BD＝3cm，AE＝2cm，求AF的长． 【分析】由AD，BE分别是BC，AC边上的中线，得到BC＝6cm，AC＝4cm，进而由周长为18cm得到AB＝8cm，根据三角形的三条中线相交于一点，得到CF是AB的中线，即可求出AF的长． 【解答】解：∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线， ∴BC＝2BD＝6cm，AC＝2AE＝4cm， ∵△ABC的周长为18cm， ∴AB+AC+BC＝18cm， ∴AB＝18﹣6﹣4＝8cm， ∵三角形的三条中线相交于一点， ∴CF是AB的中线， ∴， ∴AF的长为4cm． 【点评】本题考查了三角形的中线的定义和性质，三角形的周长，掌握三角形的三条中线相交于一点是解题的关键． 37．（2026春•杨浦区期中）如图在△ABC中，G是三角形的重心，AG⊥GC，AC＝8，则BG的长为 　8　 ． 【分析】延长BG交AC于D，延长CG交AB于E，在GD的延长线上取一点F，使DF＝DG，根据三角形重心的定义得点D，E分别是AC，AB的中点，再根据直角三角形斜边中线性质得GD＝4，则GF＝8，再证明△ADF和△CDG全等得∠DAF＝∠DCG，则AF∥CG，据此可证明GE是△ABF的中位线，则BG＝GF，据此可得出答案． 【解答】解：延长BG交AC于D，延长CG交AB于E，在GD的延长线上取一点F，使DF＝GD，如图所示： ∵G是△ABC的重心， ∴点D，E分别是AC，AB的中点， ∴AD＝CD， ∵∠AG⊥GC，AC＝8， ∴GD为Rt△AGC斜边AC上的中点， ∴GDAC＝4， ∴GF＝2GD＝8， 在△ADF和△CDG中， ， ∴△ADF≌△CDG（SAS）， ∴∠DAF＝∠DCG， ∴AF∥CG， 即AF∥GE， ∵点E是AB的中点， ∵GE是△ABF的中位线， ∴BG＝GF＝8． 故答案为：8． 【点评】此题主要考查了重心，理解三角形的重心是三角形三边中线的交点是解决问题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026春•上海校级月考）如图，△ABC内部有一点D，且△DAB、△DBC、△DCA的面积分别为10、8、6．若△ABC的重心为G，则下列叙述正确的是（　　） A．△GBC与△DBC的面积相同，且DG与BC平行 B．△GBC与△DBC的面积相同，且DG与BC不平行 C．△GCA与△DCA的面积相同，且DG与AC平行 D．△GCA与△DCA的面积相同，且DG与AC不平行 【分析】由题意可得S△ABC＝10+8+6＝24，利用三角形重心性质可得S△GBCS△ABC＝×24＝8，进而可得S△GBC＝S△DBC＝8，即可判断结论A正确． 【解答】解：∵△ABC内部有一点D，且△DAB、△DBC、△DCA的面积分别为10、8、6， ∴S△ABC＝10+8+6＝24， ∵△ABC的重心为G， ∴S△GBCS△ABC24＝8， ∴S△GBC＝S△DBC＝8， ∴点D、G到BC的距离相等，且位于BC的同侧， ∴DG∥BC，故结论A正确；结论B、C、D错误； 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的中线、重心，三角形面积，熟练掌握三角形的重心的性质是解题关键． 【练习 2】（2026春•高新区期中）如图，△ABC为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在线段CD 上． 【分析】根据网格结构判断出点D是边AB的中点，从而确定CD是△ABC的中线，进而得出重心的位置． 【解答】解：由条件可知AD＝BD，即点D是边AB的中点， ∴CD是△ABC的中线， ∵三角形三条中线的交点是三角形的重心， ∴△ABC的重心在线段CD上． 故答案为：CD． 【点评】本题主要考查了三角形重心的概念，掌握重心是三角形中线的交点是关键． 【练习 3】（2026春•朝阳区校级期中）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝10，则EF的长为　2.5　 ． 【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出DF，结合图形计算，得到答案． 【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝10， ∴，D是AB的中点， 在Rt△AFB中，， ∴EF＝DE﹣DF＝2.5， 故答案为：2.5． 【点评】本题考查三角形中位线定理，解答本题的关键是熟练掌握三角形中位线定理． 【练习 4】（2024秋•思明区校级期中）如图，在△ABC中，AD交边BC于点D．设△ABC的重心为Q，若点Q在线段AD上，则下列结论正确的是（　　） A．AD平分∠BAC B．AD⊥BC C．BD＝CD D．△ABD的周长等于△ACD的周长 【分析】根据三角形重心的定义可知AD为中线，即可选择． 【解答】解：∵点Q在线段AD上，且△ABC的重心为Q， ∴BD＝CD，故C符合题意； AD不一定平分∠BAC，AD不一定垂直BC，只有当AB＝AC时△ABD的周长等于△ACD的周长， ∴A、B、D都不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查三角形重心的定义．掌握三角形重心为三边中线的交点是解题关键． 【练习 5】（2024秋•广陵区月考）如图，G是△ABC的重心，AG⊥GC，连接BG并延长交AC于D，AC＝4，则BG的长为 　4　 ． 【分析】根据三角形重心的定义得BD为△ABC的中线，又AG⊥GC，根据直角三角形斜边上中线的性质可知，再根据重心的性质得BG＝2GD，即可得解． 【解答】解：∵G是△ABC的重心， ∴BD为△ABC的中线， 又∵AG⊥GC， ∴GD为Rt△AGC斜边上的中线， ∴， ∵G是△ABC的重心，AC＝4， ∴BG＝2GD＝AC＝4， ∴BG的长为4． 故答案为：4． 【点评】本题考查重心与三角形中线的关系，直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是掌握：三角形的重心是三条中线的交点，三角形的重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍． 💯 课后巩固 复习建议 · 中位线：平行第三边且等于一半 · 遇中点连中点构造中位线 · 重心分中线2:1（顶点段长） · 注意区分中线与中位线 · 压轴题构造平行四边形与中位线 【作业 1】（2025秋•徐汇区月考）如果直角三角形的斜边长为12，那么它的重心与斜边中点之间的距离为 　2　 ． 【分析】在△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝12，点G是△ABC的重心，连接AG，连接CG并延长交AB于点D，在CD的延长线取一点F，使DF＝DG，连接BG并延长交AC于点E，则GF＝2DG，进而得CD＝AD＝BDAB＝6，AE＝CE，证明四边形AGBF是平行四边形得AF∥BG，进而得GE是△ACF的中位线，由此得CG＝GF＝2DG，则CD＝3DG＝6，据此即可得出重心与斜边中点之间的距离． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝12，点G是△ABC的重心， 连接AG，连接CG并延长交AB于点D，在CD的延长线取一点F，使DF＝DG，连接BG并延长交AC于点E，如图所示： ∴GF＝DF+DG＝2DG， ∴CD，AE分别是△ABC的中线， ∴CD＝AD＝BDAB＝6，AE＝CE， 又∵DF＝DG， ∴四边形AGBF是平行四边形， ∴AF∥BG， 即AF∥GE， ∵AE＝CE， ∴GE是△ACF的中位线， ∴CG＝GF＝2DG， ∴CD＝CG+DG＝3DG＝6， ∴DG＝2， 即重心与斜边中点之间的距离为2． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了三角形的重心，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理，理解三角形重心的定义，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理是解决问题的关键． 【作业 2】（2025•长宁区二模）我们把一个三角形的重心与外心之间的距离叫做该三角形的“变形值”．已知等腰三角形的腰长为5，底边长为8，那么它的“变形值”等于　　 ． 【分析】根据题意画出示意图，分别求出重心及外心到顶点的距离即可解决问题． 【解答】解：如图所示， 点E，F分别为△ABC的重心和外心． ∵AM⊥BC，AB＝AC， ∴BM． 在Rt△ABM中， AM． ∵点E为△ABC的重心， ∴AE． 令△ABC外接圆的半径为r， 则BF＝r，MF＝r﹣3， 在Rt△BFM中， 42+（r﹣3）2＝r2， 解得r， ∴AF， ∴EF＝AF﹣AE． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了三角形的重心、等腰三角形的性质及三角形的外接圆与外心，熟知三角形重心的定义及等腰三角形的性质是解题的关键． 【作业 3】（2024秋•晋江市期末）如图，△ABC是等边三角形，点G为△ABC的重心，连接BG，以BG为边作等边三角形BDG，若，则△ABC的周长为　18　 ． 【分析】延长BG交AC于点M，由点G为△ABC的重心，得出点M为AC中点，且BM⊥AC，再由BD长得出BG长，进一步得出BM的长，据此求出△ABC的边长即可解决问题． 【解答】解：延长BG交AC于点M， ∵点G为△ABC的重心， ∴BM⊥AC，BG＝2GM． ∵△BDG是等边三角形，且BD， ∴BG＝BD， ∴GM， ∴BM＝BG+GM． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠C＝60°． 在Rt△BCM中， sinC， ∴， 则BC＝6， ∴△ABC的周长为18． 故答案为：18． 【点评】本题主要考查了三角形的重心及等边三角形的性质，熟知等边三角形的性质及三角形重心的性质是解题的关键． 【作业 4】（2025秋•虹口区期中）如图，在△ABC中，点G是△ABC的重心，EF过点G且平行于BC，分别交AB、AC于点E、F，那么的值是 　　 ． 【分析】连接AG并延长，交BC于点P，由三角形的重心的性质可知AG＝2GP，由EF∥BC，根据相似三角形的判定可知△AGF∽△APC，得出 AF：AC＝2：3，最后由EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，从而求出EF：BC＝AF：AC＝2：3． 【解答】解：如图，连接AG并延长，交BC于点P， ∵G为△ABC的重心， ∴AG＝2GP， ∴AG：AP＝2：3， ∵EF过点G且EF∥BC， 在△AGF和△APC中， ， ∴△AGF∽△APC， ∴AF：AC＝AG：AP＝2：3． 又∵EF∥BC， 在△AEF和△ABC中， ， ∴△AEF∽△ABC， ∴， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，理解三角形重心的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定义是解决问题的关键． 【作业 5】（2024春•崇明区期末）我们规定：联结四边形对边中点的线段叫做这个四边形的“对中线”．如图，如果凸四边形ABCD的对角线AC＝BD＝8，且两条对角线的夹角为60°，那么该四边形较长的“对中线”的长度为 　4　 ． 【分析】取四边形ABCD四边中点为M、N、P、Q，连接MN，PN，PQ，MQ，由三角形中位线定理推出MN＝PN＝PQ＝MQ，判定四边形MNPQ是菱形，得到PM⊥QN，∠PQH∠PQM，由四边形两条对角线的夹角为60°，得到∠PQM＝60°，因此∠PQH＝30°，由含30度角的直角三角形的性质得到PHPQ＝2，求出QHPH＝2，得到QN＝2QH＝4，于是得到该四边形较长的“对中线”的长度为4． 【解答】解：取四边形ABCD四边中点为M、N、P、Q，连接MN，PN，PQ，MQ， ∴PQ是△ABD的中位线， ∴PQBD8＝4，PQ∥BD， 同理：QM，MNBD，PNAC，QM∥AC， ∴MN＝PN＝PQ＝MQ， ∴四边形MNPQ是菱形， ∴PM⊥QN，∠PQH∠PQM，QN＝2QH， ∵四边形两条对角线的夹角为60°，PQ∥BD，QM∥AC， ∴∠PQM＝60°， ∴∠PQH＝30°， ∴PHPQ＝2， ∴QHPH＝2， ∴QN＝2QH＝4， ∵NQ＞PM， ∴该四边形较长的“对中线”的长度为4． 故答案为：4． 【点评】本题考查菱形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是由三角形中位线定理判定四边形MNPQ是菱形． 【作业 6】（2025春•峄城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D，E分别是AB，AC的中点，∠ABC的平分线交DE于点F，∠ACB的平分线交DE于点G，若AB＝8，AC＝6，则线段GF的长度为 　2　 ． 【分析】先根据勾股定理求得BC＝10，再根据三角形的中位线定理和角平分线的定义，结合平行线的性质得到，∠DFB＝∠DBF，再根据等角对等边得到DF＝BD＝4，同理，GE＝CE＝3，进而可求解． 【解答】解：由题意可得：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6， ∴， ∵点D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，，， ∴，DE∥BC， ∴∠DFB＝∠CBF， ∵∠ABC的平分线交DE于点F， ∴∠DFB＝∠DBF， ∴DF＝BD＝4， 同理，GE＝CE＝3， ∴GF＝DF+GE﹣DE＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查三角形的中位线定理、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解答的关键． 【作业 7】（2025秋•焦作期末）用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（　　） A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 【分析】支点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心，据此即可作答． 【解答】解：能使三角形保持平衡的支点是重心，而三角形的重心是三条中线的交点， 综上所述，只有选项A正确，符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的重心，掌握数学知识在实际生活中的应用是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $