满分压轴专讲：因式分解拓展 (精讲+典例+练习)优等生讲义2026-2027学年鲁教版(五四制)八年级数学上册

满分压轴专讲：因式分解拓展 (精讲+典例+练习)优等生讲义2026-2027学年鲁教版(五四制)八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练掌握十字相乘法分解二次三项式 · 会用分组分解法分解四项及以上多项式 · 掌握拆项、添项等技巧处理复杂多项式 · 能运用因式分解求代数式的值、判断整除 · 理解因式分解在几何面积、密码设计等综合题中的应用 📚 知识梳理 ☆ 1.十字相乘法 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 二次项系数为1：找两数积为常数项、和为一次项系数 二次项系数不为1：用十字交叉线分解系数 分解后要检查，展开还原验证 概念辨析例题：分解因式x2+7x+10 解析：找两数积为10、和为7，即2和5，故x2+7x+10=(x+2)(x+5) ☆ 2.分组分解法 多项式项数较多时，适当分组后分别分解 分组后各组能提公因式或用公式，且组间仍有公因式 常见：二二分组、三一分组 分组关键是预见组间能否继续分解 概念辨析例题：分解因式x2﹣4y2﹣x﹣2y 解析：前两项用平方差=(x+2y)(x-2y)，后两项提-(x+2y)，再提公因式(x+2y) ☆ 3.拆项与添项法 拆项：把某一项拆成两项，便于分组分解 添项：添上两个仅符号相反的项，凑完全平方 配方法：先凑完全平方再用平方差 常用于四项以上或看似不能分解的多项式 概念辨析例题：用配方法分解x2+2x﹣3 解析：x2+2x-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-22=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1) ☆ 4.因式分解的应用 求代数式的值：整体代入，不求字母具体值 判断整除：多项式能被某因式整除即该因式为其因式 利用非负性：配成平方和求最值 几何应用：用面积关系验证乘法公式 概念辨析例题：已知a+b=5，ab=3，求a2+b2 解析：a2+b2=(a+b)2-2ab=25-6=19 📋 知识总结表 【考点1】因式分解−十字相乘法等（第1-11题） · 二次项系数为1时找p、q满足pq=常数项 · 二次项系数不为1用十字交叉分解系数 · 已知分解结果反求待定系数用待定系数法 · 分解后展开还原检验 1．（2025秋•汉川市期末）将x2+7x+10分解因式正确的是（　　） A．（x+2）（x+5） B．（x+2）2 C．（x+5）2 D．（x+1）（x+10） 【分析】利用十字相乘法分解即可． 【解答】解：根据x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）可得： x2+7x+10＝（x+2）（x+5）． 故选：A． 【点评】本题考查了十字相乘法因式分解，即x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b），熟练掌握十字相乘法方法是解答本题的关键． 2．若x2+2x+p可以分解成（x﹣3）（x+5），则p的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．15 D．﹣15 【分析】先利用多项式乘多项式法则，再根据整式与因式分解的关系可得结论． 【解答】解：（x﹣3）（x+5）＝x2+2x﹣15， ∵x2+2x+p可以分解成（x﹣3）（x+5）， ∴p＝﹣15． 故选：D． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握多项式乘多项式法则与整式与因式分解的关系是解决本题的关键． 3．（2026春•薛城区期末）若多项式x2﹣x+a因式分解的结果为（x+2）（x+b），则a+b的值为（　　） A．﹣9 B．9 C．﹣6 D．6 【分析】利用因式分解与整式乘法互逆的关系，展开因式分解的结果，对比对应项系数求出a和b的值，再计算a+b． 【解答】解：∵（x+2）（x+b）＝x2+（2+b）x+2b＝（x+2）（x+b）， ∴2+b＝﹣1，a＝2b， 解得：b＝﹣3，a＝﹣6， ∴a+b＝﹣6+（﹣3）＝﹣9． 故选：A． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，掌握因式分解的方法是关键． 4．（2025秋•兴县期末）已知多项式x2﹣mx+12可因式分解为（x﹣3）（x+n），那么m的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣7 D．7 【分析】根据整式的乘法得将（x﹣3）（x+n）展开，然后将结果跟x2﹣mx+12对照，得到m，n的值即可． 【解答】解：（1）∵（x﹣3）（x+n）＝x2+（n﹣3）x﹣3n， ∴x2﹣mx+12＝x2+（n﹣3）x﹣3n， ∴﹣3n＝12，﹣m＝n﹣3， 解得n＝﹣4，代入﹣m＝n﹣3， ∴m＝7． 故选：D． 【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键． 5．（2025秋•长春期末）把多项式x2+ax+b分解因式，得（x﹣3）（x+1），则a、b的值分别是（　　） A．a＝2，b＝3 B．a＝2，b＝﹣3 C．a＝﹣2，b＝3 D．a＝﹣2，b＝﹣3 【分析】先计算（x﹣3）（x+1），根据多项式乘法与因式分解的关系可得结论． 【解答】解：∵x2+ax+b分解因式得（x﹣3）（x+1）， ∴x2+ax+b＝x2﹣2x﹣3． ∴ax＝﹣2x，b＝﹣3． ∴a＝﹣2，b＝﹣3． 故选：D． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键． 6．（2024秋•邻水县期末）小梅和小丽在因式分解关于x的多项式x2﹣ax+b时，小梅获取的其中一个正确的因式为（x+3），小丽获取的另一个正确的因式为（x﹣2），则的值为（　　） A． B． C．﹣3 D．3 【分析】由题意易得x2﹣ax+b＝（x+3）（x﹣2），然后可得a、b的值，进而问题可求解． 【解答】解：由题意易得x2﹣ax+b＝（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6， ∴a＝﹣1，b＝﹣6， ∴； 则的值为3． 故选：D． 【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 7．（2026•莱州市模拟）分解因式：　（2x﹣1）2 ． 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式进行解答即可． 【解答】解：原式（4x2﹣4x+1） （2x﹣1）2． 【点评】本题考查完全平方公式，掌握提公因式法，公式法分解因式是正确解答的关键． 8．（2025秋•荣县校级期末）已若x2+kx﹣15＝（x+3）（x+m），则k＝　﹣2　 ． 【分析】已知等式右边利用多项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件即可求出k的值． 【解答】解：等式右边利用多项式乘多项式法则计算可得： x2+kx﹣15＝（x+3）（x+m）＝x2+（m+3）x+3m， ∴k＝m+3，3m＝﹣15， 解得：m＝﹣5，k＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9．（2025秋•松江区期末）因式分解：（x+5）2+5（x+5）﹣6． 【分析】先将（x+5）看作一个整体，然后利用十字相乘法，分解因式即可． 【解答】解：原式＝（x+5﹣1）（x+5+6）＝（x+4）（x+11）． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握该知识点是关键． 10．（2026春•同步）【阅读理解】用“十字相乘法”因式分解3x2﹣x﹣2的方法． （1）二次项系数3＝1×3； （2）常数项﹣2＝﹣1×2＝1×（﹣2），验算：“交叉相乘之和”； （3）发现①“交叉相乘之和”的结果1×2+3×（﹣1）＝﹣1，等于一次项系数﹣1．即（x﹣1）（3x+2）＝3x2﹣3x+2x﹣2＝3x2﹣x﹣2，则3x2﹣x﹣2＝（x﹣1）（3x+2）．像这样，通过十字交叉线把二次三项式因式分解的方法叫十字相乘法． 【问题解决】因式分解： （1）x2+5x+4＝　（x+4）（x+1）　 ． （2）x2﹣6x+5＝　（x﹣5）（x﹣1）　 ． （3）x2+7x﹣8＝　（x+8）（x﹣1）　 ． （4）x2﹣6x﹣27＝　（x﹣9）（x+3）　 ． 【拓展训练】因式分解： （1）2x2+3x+1＝　（2x+1）（x+1）　 ． （2）3x2﹣5x+2＝　（3x﹣2）（x﹣1）　 ． 【分析】【问题解决】 （1）把二次项的系数分成1＝1×1，常数项分成4＝1×4，进行分解因式即可； （2）把二次项的系数分成1＝1×1，常数项分成5＝﹣5×（﹣1），进行分解因式即可； （3）把二次项的系数分成1＝1×1，常数项分成﹣8＝8×（﹣1），进行分解因式即可； （4）把二次项的系数分成1＝1×1，常数项分成﹣27＝﹣9×3，进行分解因式即可； 【拓展训练】 （1）把二次项的系数分成2＝2×1，常数项分成1＝×1，进行分解因式即可； （2）把二次项的系数分成3＝3×1，常数项分成2＝﹣2×（﹣1），进行分解因式即可． 【解答】解：【问题解决】 （1）x2+5x+4＝（x+1）（x+4）， 故答案为：（x+1）（x+4）； （2）x2﹣6x+5＝（x﹣5）（x﹣1）， 故答案为：（x﹣5）（x﹣1）； （3）x2+7x﹣8＝（x+8）（x﹣1）， 故答案为：（x+8）（x﹣1）； （4）x2﹣6x﹣27＝（x﹣9）（x+3）， 故答案为：（x﹣9）（x+3）； 【拓展训练】因式分解： （1）2x2+3x+1＝（2x+1）（x+1）， 故答案为：（2x+1）（x+1）； （2）3x2﹣5x+2＝（3x﹣2）（x﹣1）， 故答案为：（3x﹣2）（x﹣1）． 【点评】本题主要考查了分解因式，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法分解因式． 11．（2026春•郑州期末）阅读以下材料． 材料：因式分解：（a+b）2+6（a+b）+9． 解：将“a+b”看成一个整体，令a+b＝m，则原式＝m2+6m+9＝（m+3）2． 再将“m”还原，得原式＝（a+b+3）2． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：（a﹣2b）2﹣2（a﹣2b）+1； （2）因式分解：（a2﹣4a+3）（a2﹣4a+5）+1； （3）试证明：无论n为何值，式子（n2+4n+10）（n2+4n﹣2）+38的值一定是一个不小于2的数． 【分析】（1）将a﹣2b看作一个整体，根据完全平方公式进行计算即可； （2）将a2﹣4a看作一个整体，根据多项式乘多项式的计算方法以及完全平方公式进行计算即可； （3）将n2+4n看作一个整体，根据多项式乘多项式的计算方法，完全平方公式以及偶次方的非负性进行解答即可． 【解答】（1）解：设m＝a﹣2b， ∴（a﹣2b）2﹣2（a﹣2b）+1 ＝m2﹣2m+1 ＝（m﹣1）2 ＝（a﹣2b﹣1）2； （2）解：设n＝a2﹣4a， ∴（a2﹣4a+3）（a2﹣4a+5）+1 ＝（n+3）（n+5）+1 ＝n2+8n+15+1 ＝n2+8n+16 ＝（n+4）2 ＝（a2﹣4a+4）2 ＝[（a﹣2）2]2 ＝（a﹣2）4； （3）证明：设p＝n2+4n， ∴（n2+4n+10）（n2+4n﹣2）+38 ＝（p+10）（p﹣2）+38 ＝p2+8p﹣20+38 ＝p2+8p+18 ＝（p+4）2+2 ＝（n2+4n+4）2+2 ＝[（n+2）2]2+2 ＝（n+2）4+2， ∵无论n为何值，（n+2）4≥0， ∴（n+2）4+2≥2， 即式子（n2+4n+10）（n2+4n﹣2）+38的值一定是一个不小于2的数． 【点评】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 【考点2】分组分解法（第12-23题） · 观察项数选择二二分组或三一分组 · 分组后先提公因式或用公式 · 预见组间是否仍有公因式再分组 · 四项以上常配合拆项添项 12．（2025•广州竞赛）若四次多项式x4﹣ax2+1可分解为两个整系数二次三项式，则a的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】把各个选项表示的a代入整式后分解，根据分解结果是否符合要求可得结论． 【解答】解：当a＝﹣1时，四次多项式x4﹣ax2+1为x4+x2+1， ∵x4+x2+1＝（x2+x+1）（x2﹣x+1）， ∴原整式分解为两个整系数二次三项式，故选项A符合条件； 当a＝0时，四次多项式x4﹣ax2+1为x4+1， ∵x4+1，在实数范围内不能分解， ∴原整式不能分解为两个整系数二次三项式，故选项B不符合条件； 当a＝1时，四次多项式x4﹣ax2+1为x4﹣x2+1， ∵x4﹣x2+1＝（x2x+1）（x2x+1）， ∴原整式不能分解为两个整系数二次三项式，故选项C不符合条件； 当a＝2时，四次多项式x4﹣ax2+1为x4﹣2x2+1， ∵x4﹣2x2+1＝（x2﹣1）（x﹣1）（x+1）， ∴原整式不能分解为两个整系数二次三项式，故选项D不符合条件． 故选：A． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法是解决本题的关键． 13．（2022春•单元）把多项式x2﹣6x+9﹣y2先分组，再应用公式分解因式，分组正确的是（　　） A．（x2﹣6x）+（9﹣y2） B．（x2﹣y2）﹣（6x﹣9） C．（x2﹣6x+9）﹣y2 D．x2﹣（6x+y2﹣9） 【分析】将原式分组为（x2﹣6x+9）﹣y2，再利用完全平方公式、平方差公式进行因式分解即可． 【解答】解：x2﹣6x+9﹣y2 ＝（x2﹣6x+9）﹣y2 ＝（x﹣3）2﹣y2 ＝（x﹣3+y）（x﹣3﹣y）． 故选：C． 【点评】本题考查分组分解法因式分解，掌握分组分解法的分组原则以及平方差公式、完全平方公式进行解答即可． 14．（2024秋•青浦区期末）因式分解：xm+xn+ym+yn＝ 　（x+y）（m+n）　 ． 【分析】根据分组分解法分解因式即可． 【解答】解：xm+xn+ym+yn ＝（xm+xn）+（ym+yn） ＝x（m+n）+y（m+n） ＝（x+y）（m+n）． 故答案为：（x+y）（m+n）． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法分解因式是关键． 15．（2024秋•静安区校级月考）因式分解：x2﹣4y2﹣x﹣2y＝　（x+2y）（x﹣2y﹣1）　 ． 【分析】先分组，再根据平方差公式及提公因式法进行因式分解即可． 【解答】解：x2﹣4y2﹣x﹣2y ＝（x2﹣4y2）﹣（x+2y） ＝（x+2y）（x﹣2y）﹣（x+2y） ＝（x+2y）（x﹣2y﹣1）； 故答案为：（x+2y）（x﹣2y﹣1）． 【点评】本题主要考查因式分解﹣分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 16．（2022•常州自主招生）因式分解：x2+y2﹣2z2+2xy+yz+xz＝　（x+y+2z）（x+y﹣z）　 ． 【分析】先分组，再利用完全平方公式，最后把（x+y）看成一个整体，运用十字相乘法分解． 【解答】解：x2+y2﹣2z2+2xy+yz+xz ＝x2+y2+2xy+yz+xz﹣2z2 ＝（x+y）2+z（y+x）﹣2z2 ＝（x+y+2z）（x+y﹣z）． 故答案为：（x+y+2z）（x+y﹣z）． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握完全平方公式、整体的思想和十字相乘法是解决本题的关键． 17．（2026•郫都区校级模拟）分解因式：mn+2m﹣n﹣2＝　（m﹣1）（n+2）　 【分析】利用分组分解法分解因式即可． 【解答】解：利用分组分解法分解因式可得： mn+2m﹣n﹣2 ＝m（n+2）﹣（n+2） ＝（m﹣1）（n+2）． 故答案为：（m﹣1）（n+2）． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法进行因式分解是解题的关键． 18．（2026•广州校级模拟）因式分解：x3﹣x+x2﹣1＝　（x+1）2（x﹣1）　 ． 【分析】先分组提取公因式，再利用平方差公式继续分解，直至分解彻底． 【解答】解：原式＝（x3﹣x）+（x2﹣1） ＝x（x2﹣1）+（x2﹣1） ＝（x+1）（x2﹣1） ＝（x+1）（x+1）（x﹣1） ＝（x+1）2（x﹣1）． 故答案为：（x+1）2（x﹣1）． 【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，掌握因式分解的方法是关键． 19．（2024秋•徐闻县期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a+3ab﹣4﹣6b分解因式． 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式＝（2a﹣4）+（3ab﹣6b） ＝2（a﹣2）+3b（a﹣2） ＝（a﹣2）（2+3b） 【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a分解因式． 【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2分解因式． 【分析】（1）先利用加法的结合律把前两项结合，后两项结合，然后把前两项利用平方差公式分解因式，再提取公因式即可； （2）先利用加法的结合律把a2﹣2ab+b2分成一组，利用完全平方公式将其分解因式，再把ax﹣bx分成一组，利用提取公因式分解因式，再次提取公因式进行即可． 【解答】解：（1）原式＝（x2﹣a2）+（x+a） ＝（x+a）（x﹣a）+（x+a）•1 ＝（x+a）（x﹣a+1）； （2）原式＝（a2﹣2ab+b2）+（ax﹣bx） ＝（a﹣b）2+x（a﹣b） ＝（a﹣b）（a﹣b+x）． 【点评】本题主要考查了因式分解，解题关键是熟练掌握利用分组法、提取公因式法与公式法分解因式． 20．（2024秋•同步）因式分解： （1）x2+4y2﹣1﹣4xy； （2）a2﹣b2﹣c2+2bc； （3）x2﹣2x+6y﹣9y2； （4）a2+2a﹣b2﹣2b． 【分析】（1）把最后一项移到第一项的后面，前三项先利用完全平方公式，再利用平方差公式； （2）把后三项加上负括号，先利用完全平方公式，再利用平方差公式； （3）第一项和第四项、第二项和第三项先分组，分别利用平方差公式和提取公因式，最后利用提公因式法得结论； （4）先把一三项和二四项分组，再利用平方差公式和提公因式法，最后利用提公因式法分解． 【解答】解：（1）x2+4y2﹣1﹣4xy ＝x2﹣4xy+4y2﹣1 ＝（x﹣2y）2﹣1 ＝（x﹣2y+1）（x﹣2y﹣1）； （2）a2﹣b2﹣c2+2bc ＝a2﹣（b2+c2﹣2bc） ＝a2﹣（b﹣c）2 ＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）； （3）x2﹣2x+6y﹣9y2 ＝x2﹣9y2﹣2x+6y ＝（x+3y）（x﹣3y）﹣2（x﹣3y） ＝（x﹣3y）（x+3y﹣2）； （4）a2+2a﹣b2﹣2b ＝a2﹣b2+2a﹣2b ＝（a+b）（a﹣b）+2（a﹣b） ＝（a﹣b）（a+b+2）． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法、提公因式法，根据题目特点合理分组是解决本题的关键． 21．材料：在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．如： x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2）． 根据上述材料，解决下列问题： （1）按照这种方法把多项式x4+4y4分解因式； （2）分解因式：a2﹣b2+4a+2b+3． 【分析】（1）将原式变形为x4+4x2y2+4y4﹣4x2y2，再利用完全平方公式、平方差公式分解因式即可； （2）将原式变为a2+4a+4﹣4﹣b2+2b+3，再分组化为（a2+4a+4）﹣（b2﹣2b+1），然后利用完全平方公式、平方差公式分解因式即可． 【解答】解：（1）x4+4y4 ＝x4+4x2y2+4y4﹣4x2y2 ＝（x2+2y2）2﹣4x2y2 ＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）； （2）a2﹣b2+4a+2b+3 ＝a2+4a+4﹣4﹣b2+2b+3 ＝（a2+4a+4）﹣（b2﹣2b+1） ＝（a+2）2﹣（b﹣1）2 ＝[（a+2）+（b﹣1）][（a+2）﹣（b﹣1）] ＝（a+b+1）（a﹣b+3）． 【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法、公式法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 22．（2025秋•浦东新区期末）因式分解：x2+xy﹣1﹣y． 【分析】先分组得到原式＝（x2﹣1）+（xy﹣y），再把每组分解因式，然后提公因式（x﹣1）即可． 【解答】解：原式＝（x2﹣1）+（xy﹣y） ＝（x+1）（x﹣1）+y（x﹣1） ＝（x﹣1）（x+1+y） ＝（x﹣1）（x+y+1）． 【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 23．（2024秋•闵行区校级月考）因式分解：9﹣4x2+4xy﹣y2． 【分析】首先将原式进行分组得到原式变形分组，再利用公式法分解因式即可． 【解答】解：原式＝9﹣（4x2﹣4xy+y2） ＝9﹣（2x﹣y）2 ＝（3+2x﹣y）（3﹣2x+y）． 【点评】此题主要考查了利用分组分解法分解因式，解题关键是首先把多项式变为9﹣（4x2﹣4xy+y2），然后依次利用公式法即可解决问题，注意分解因式要彻底． 【考点3】因式分解的应用（第24-35题） · 求代数式值用整体代入 · 判断整除令因式为0代入多项式 · 配成平方和利用非负性求最值 · 几何题用面积关系验证公式 24．（2025秋•永州期末）利用“因式分解”可以设计密码．我们约定将多项式因式分解得到的每个因式代入数值进行运算，取其绝对值，将得到的数组合，从中选出最大的数，即为密码．如x4﹣y4＝（x﹣y）（x+y）（x2+y2），当x取3，y取4时，各因式的绝对值分别为|x﹣y|＝1，|x+y|＝7，|x2+y2|＝25组合可得到1725，1257，7125，7251，2517，2571，其中最大的数7251，即为密码．对于多项式．x3﹣xy2，当x取12，y取14时，其密码为（　　） A．21226 B．12262 C．26212 D．62212 【分析】先进行因式分解，再根据题干给定方法，进行求解即可． 【解答】解：先进行因式分解，再根据题干给定方法求解可知： x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x﹣y）（x+y）， 当x取12，y取14时，|x|＝12，|x﹣y|＝|12﹣14|＝2，|x+y|＝|12+14|＝26， ∴三个数为12、2、26． 所有组合数字：12226、12262、21226、22612、26122、26212，其中最大数字为26212． ∴密码为26212， 故选：C． 【点评】本题考查因式分解的应用，熟练掌握该知识点是关键． 25．（2025秋•衡阳县期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”．如8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”．在不超过2024的正整数中，所有“和谐数”之和等于（　　） A．255025 B．255024 C．257048 D．257049 【分析】由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n≤2024，解得n≤253，可得在不超过2024的正整数中，“和谐数”共有253个，依此列式计算即可求解，弄清题中“和谐数”的定义是解题的关键． 【解答】解：设相邻的两个奇数为2n+1，2n﹣1， 则（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n≤2024，解得：n≤253， ∴n＝253时，2n+1＝507，2n﹣1＝505， 则在不超过2024的正整数中，所有的“和谐数”之和为： 32﹣12+52﹣32+…+5072﹣5052＝5072﹣12＝257048， 故选：C． 【点评】本题考查了平方差公式，一元一次不等式的应用，弄清题中“和谐数”的定义是解题的关键． 26．（2025秋•平原县月考）若m为任意整数，则（3m+2）2﹣9m2的值总能（　　） A．被4整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被6整除 【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【解答】解：（3m+2）2﹣9m2＝（3m+2+3m）（3m+2﹣3m）＝2（6m+2）＝4（3m+1）， 4（3m+1）的值总能被4整除， 因此（3m+2）2﹣9m2的值总能被4整除， 故选：A． 【点评】本题考查因式分解的应用，正确进行运算是解题关键． 27．（2024•鼓楼区校级开学）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0，下列结论：①方程总有两个不等的实数根；②若两个根为x1，x2，且x1＞x2，则x1＞3，x2＜3；③若两个根为x1，x2，则（x1﹣2）（x2﹣2）＝（x1﹣3）（x2﹣3）；④若（p为常数），则代数式（x﹣3）（x﹣2）的值为一个完全平方数（整数的平方），其中正确的结论是（　　） A．②④ B．①③ C．①②③ D．①③④ 【分析】把原方程化为一般式，求出Δ＝4p2+1＞0，据此可判断①；由根与系数的关系得到x1+x2＝5，据此可得当x1＞x2，则x1＞2.5，x2＜2.5，据此可判断②；根据根与系数的关系得到x1+x2＝5，，则可证明，据此可判断③；求出，当p为奇数时，不是整数，此时（x﹣3）（x﹣2）不是一个完全平方数，据此可判断④． 【解答】解：把原方程化为一般式为x2﹣5x+6﹣p2＝0， ∴Δ＝（﹣5）2﹣4（6﹣p2）＝4p2+1＞0， ∴方程总有两个不等的实数根，故①正确； 若两个根为x1，x2，则x1+x2＝5， 故当x1＞x2，则x1＞2.5，x2＜2.5，故②错误； 若两个根为x1，x2，则x1+x2＝5，， ∴， ， ∴（x1﹣2）（x2﹣2）＝（x1﹣3）（x2﹣3），故③正确； ∵， ∴（x﹣3）（x﹣2） ＝x2﹣5x+6 ， 当p为奇数时，不是整数，此时（x﹣3）（x﹣2）不是一个完全平方数，故④错误； 故选：B． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，一元二次方程解的定义，关键是正确分析． 28．（2024春•扬州期末）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52：则8、16、24这三个数都是奇特数．如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为203，则阴影部分的面积（　　） A．19208 B．20000 C．20706 D．20808 【分析】根据题意，易得第1个阴影部分的面积为32﹣12＝8，第2个阴影部分的面积为72﹣52＝24，第3个阴影部分的面积为112﹣92＝（11+9）（11﹣9）＝40，第4个阴影部分的面积为152﹣132＝（15+13）（15﹣13）＝56，每个阴影部分的面积比上一个增加了16；最后一个阴影部分的面积为2032﹣2012＝（203+201）（203﹣201）＝808＝8+16×50，因此这是第51个阴影部分；所有阴影部分的面积之和即可求得． 【解答】解：根据题意，从点B到点D，第1个阴影部分的面积为32﹣12＝8， 第2个阴影部分的面积为72﹣52＝24＝8+16， 第3个阴影部分的面积为112﹣92＝（11+9）（11﹣9）＝40＝8+16×2， 第4个阴影部分的面积为152﹣132＝（15+13）（15﹣13）＝56＝8+16×3，⋯⋯， 最后一个阴影部分的面积为2032﹣2012＝（203+201）（203﹣201）＝808＝8+16×50，因此这是第51个阴影部分； 所有阴影部分的面积为：8+24+40+56+⋯+80851×（8+808）＝20808． 故选：D． 【点评】本题主要考查了因式分解的应用、平方差公式的几何背景等相关内容，关键在于理解图形，正确列式计算． 29．（2023春•赫山区校级期中）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）； 例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值．2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x2+2x+1﹣1﹣3）＝2[（x+1）2﹣4]＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：m2﹣4m﹣5； （2）当a、b为何值时，多项式a2﹣4ab+5b2+4b+27有最小值，并求出这个最小值； （3）当a、b为何值时，多项式2a2+3b2﹣4a+12b+18有最小值，并求出这个最小值． 【分析】（1）根据阅读材料，先将m2﹣4m﹣5变形为m2﹣4m+4﹣9，再根据完全平方公式写成（m﹣2）2﹣9，然后利用平方差公式分解即可； （2）利用分解因式将多项式a2﹣4ab+5b2+4b+27转化为（a﹣2b）2+（b+2）2+23，然后利用非负数的性质进行解答； （3）利用分解因式将多项式2a2+3b2﹣4a+12b+18转化为2（a﹣1）2+3（b+2）2+4，然后利用非负数的性质进行解答． 【解答】解：（1）m2﹣4m﹣5 ＝m2﹣4m+4﹣9 ＝（m﹣2）2﹣9 ＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3） ＝（m+1）（m﹣5）； （2）a2﹣4ab+5b2+4b+27 ＝a2﹣4ab+4b2+b2+4b+4+23 ＝（a﹣2b）2+（b+2）2+23 当a＝﹣4，b＝﹣2时，a2﹣4ab+5b2+4b+27有最小值，最小值为23； （3）2a2+3b2﹣4a+12b+18 ＝2a2﹣4a+2+3b2+12b+12+4 ＝2（a2﹣2a+1）+3（b2+4b+4）+4 ＝2（a﹣1）2+3（b+2）2+4 ∴当a＝1，b＝﹣2时，多项式2a2+3b2﹣4a+12b+18有最小值4． 【点评】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 30．（2025秋•荣昌区期末）综合阅读与实践．我们把多项式a2+2ab+b2，a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，完全平方式具有非负性．于是，我们可以把一个多项式进行部分因式分解为平方的形式，利用其非负性可以用来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． 例如：①x2+2x+4＝x2+2x+1+3＝（x+1）2+3， ∵（x+1）2是非负数，即（x+1）2≥0．∴（x+1）2+3≥3， 则当x＝﹣1时，代数式x2+2x+4的最小值是3； ②3x2﹣6x+5＝3（x2﹣2x）+5＝3（x2﹣2x+1﹣1）+5＝3（x﹣1）2﹣3+5＝3（x﹣1）2+2， ∵（x﹣1）2是非负数，即（x﹣1）2≥0，∴3（x﹣1）2+2≥2， 则当x＝1时，代数式3x2﹣6x+5取得最小值2． 请根据阅读内容，完成以下问题： （1）知识再现：当x＝　2　 时，代数式x2﹣4x+6的最小值是　2　 ； （2）知识运用：若y＝﹣x2+4x+1，求当x为何值时，y有最大值，并求出最大值； （3）知识拓展：若x2+5x+y﹣4＝0，求3x+y的最大值． 【分析】（1）根据题目中的配方法求解即可． （2）根据题目中的配方法求解即可． （3）从方程中整理出y的表达式，然后代入得到新代数式，对新代数式配方，根据平方项非负性求最小值． 【解答】解：（1）根据题目中的配方法求解可知： x2﹣4x+6＝x2﹣4x+4﹣4+6＝（x﹣2）2+2， ∵（x﹣2）2是非负数，即（x﹣2）2≥0 ∴（x﹣2）2+2≥2， 则当x＝2时，x2﹣4x+6有最小值2． 故答案为：2，2． （2）y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x2﹣4x）+1＝﹣（x2﹣4x+4）+4+1＝﹣（x﹣2）2+5， ∵（x﹣2）2是非负数，即（x﹣2）2≥0， ∴﹣（x﹣2）2≤0， ∴﹣（x﹣2）2+5≤5， 则当x＝2时，y有最大值5． （3）由条件可得y＝﹣x2﹣5x+4， ∴3x+y＝3x﹣x2﹣5x+4 ＝﹣x2﹣2x+4 ＝﹣（x2+2x+1）+1+4 ＝﹣（x+1）2+5， ∵（x+1）2≥0， ∴﹣（x+1）2+5≤5， 则当x＝﹣1时，3x+y有最大值5． 【点评】本题考查利用配方法求代数式的最值．通过将代数式配方成完全平方形式，利用平方项的非负性确定最值及对应的变量值． 31．小刚动手剪了如图（1）所示的正方形卡片与长方形卡片若干张． （1）他用1张①号、1张 ②号和2张③号卡片拼出一个新的图形[如图（2）]．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的公式，这个公式是 　（a+b）2＝a2+2ab+b2 ； （2）如果要拼成一个长为a+2b，宽为a+b的大长方形，则需要①号卡片 　1　 张，②号卡片 　2　 张，③号卡片 　3　 张； （3）当他拼成如图（3）所示的长方形时，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积，可以把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是 　（a+2b）•（a+b）　 ； （4）请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式a2+5ab+6b2＝　（a+2b）（a+3b）　 ，并画出图形． 【分析】（1）利用图②的面积可得出这个乘法公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2， （2）由如图③可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，即可得出答案， （3）由图③可知矩形面积为（a+2b）•（a+b），利用面积得出a2+3ab+2b2＝（a+2b）•（a+b）， （4）先分解因式，再根据边长画图即可． 【解答】解：（1）这个乘法公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2， 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2． （2）由如图③可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要①号卡片1张，②号卡片2张，③号卡片3张； 故答案为：1，2，3． （3）由图③可知矩形面积为（a+2b）•（a+b），所以a2+3ab+2b2＝（a+2b）•（a+b）， 故答案为：（a+2b）•（a+b）． （4）a2+5ab+6b2＝（a+2b）（a+3b）， 如图， 故答案为：（a+2b）（a+3b）． 【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是能运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解． 32．若多项式3x3+hx2﹣5x+k恰好能被x+3整除，被x+1除余数为4，求h，k的值，并将多项式进行因式分解． 【分析】依据题意，分别分别将x＝﹣3、x＝﹣1代入3x3+hx2﹣5x+k＝0和3x3+hx2﹣5x+k＝4中，进而计算得到h＝8，k＝﹣6，把h＝8，k＝﹣6代入原代数式，分解因式即可． 【解答】解：由题意，分别将x＝﹣3、x＝﹣1代入3x3+hx2﹣5x+k＝0和3x3+hx2﹣5x+k＝4中得， ， ∴． ∴3x3+hx2﹣5x+k ＝3x3+8x2﹣5x﹣6 ＝3x3﹣3x+6x2﹣6+2x2﹣2x ＝3x（x+1）（x﹣1）+6（x+1）（x﹣1）+2x（x﹣1） ＝（x﹣1）[3x（x+1）+6（x+1）+2x] ＝（x﹣1）（3x2+3x+6x+6+2x） ＝（x﹣1）（3x2+11x+6） ＝（x﹣1）（x+3）（3x+2）． 【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并理解是关键． 33．（2026春•保定期末）在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，通过用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式，我们把这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，我们称为等体积法；根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体（如图1），然后利用切割的方法把剩余的立体图形（如图2）分成三部分（如图3），这三部分长方体的体积依次为b2（a﹣b），ab（a﹣b），a2（a﹣b）． （1）分解因式：a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）＝ 　（a﹣b）（a2+ab+b2）　 ； （2）请用两种不同的方法求图1中的立体图形的体积：（用含有a，b的代数式表示）①a3﹣b3 ；②a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）　 ； 思考：类比平方差公式，你能得到的等式（写成因式分解的形式）为 a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）　 ． （3）应用：利用在（2）中所得到的等式进行因式分解：x3﹣8； （4）拓展：已知a﹣b＝1，ab＝2，代数式a4b﹣ab4的值为 　14　 ． 【分析】（1）利用提取公因式法进行因式分解即可得出答案； （2）①根据图1中的立体图形的体积＝棱长为a的正方体的体积﹣棱长为b的正方体的体积即可得出答案； ②根据图1中的立体图形的体积＝图3中三个立体图形的体积和即可得出答案； （3）根据两种方法求出图1中的立体图形的体积即可得出答案； （3）根据x3﹣8＝x3﹣23，再利用（3）中的结论可得出答案； （4）利用（3）中的结果，将a4b﹣ab4因式分解得ab（a﹣b）（a2+ab+b2），再根据a﹣b＝1，ab＝2得a2+b2＝1+2ab＝5，然后在整体代入ab（a﹣b）（a2+ab+b2）之中进行计算即可得出答案． 【解答】解：（1）a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+ab+b2）， 故答案为：（a﹣b）（a2+ab+b2）． （2）①∵图1中的立体图形的体积＝棱长为a的正方体的体积﹣棱长为b的正方体的体积 ∴图1中的立体图形的体积＝a3﹣b3， ②∵图1中的立体图形的体积＝图3中三个立体图形的体积和， ∴图1中的立体图形的体积＝a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）， 故答案为：①a3﹣b3；②a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）． 思考：根据图1中的立体图形的体积得：a3﹣b3＝a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）， 由（1）得：a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+ab+b2）， ∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）， 故答案为：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）． （3）x3﹣8 ＝x3﹣23 ＝（x﹣2）（x2+2x+22） ＝（x﹣2）（x2+2x+4）， （4）a4b﹣ab4 ＝ab（a3﹣b3） ＝ab（a﹣b）（a2+ab+b2）， ∵a﹣b＝1，ab＝2， ∴（a﹣b）2＝1， ∴a2﹣2ab+b2＝1， ∴a2+b2＝1+2ab＝5， ∴a4b﹣ab4＝ab（a﹣b）（a2+ab+b2）＝2×1×（5+2）＝14． 【点评】此题主要考查了因式分解的应用，立方差公式的几何背景，乘法公式在因式分解中的应用，正方体的体积公式等，理解题意，熟练掌握因式分解的方法与技巧，乘法公式的结构特征是解决问题的关键． 34．（2026•原州区校级三模）【代数推理】阅读下列材料，并完成相应任务． 我们已经知道，能被3整除的数的特征是这个数的各个数位上数的和是3的倍数．证明如下： 已知：一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，若a+b+c能被3整除． 求证：这个三位数也能被3整除． 证明：根据题意，得这个三位数为100a+10b+c． 100a+10b+c＝（99a+9b）+（a+b+c） ＝3（33a+3b）+（a+b+c）． ∵a+b+c能被3整除，3（33a+3b）也能被3整除， ∴这个三位数能被3整除． 任务：一个四位数的千位、百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，d，若a+b+c+d能被3整除，求证：这个四位数也能被3整除． 【分析】首先得到个四位数为1000a+100b+10c+d，仿照题干给定的方法，将1000a+100b+10c+d表示为3（333a+33b+3c）+（a+b+c+d）的形式，即可得证． 【解答】证明：这个四位数为1000a+100b+10c+d． 1000a+100b+10c+d＝3（333a+33b+3c）+（a+b+c+d）． ∵a+b+c+d能被3整除，3（333a+33b+3c）也能被3整除， ∴这个四位数能被3整除． 【点评】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解是关键． 35．（2025秋•松江区校级月考）[阅读材料] 进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法，对于任何一种进制﹣X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位．十进制就是逢十进一，十六进制就是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，X进制就是逢X进一．为了与十进制进行区分，我们常把X进制表示的数a写成（a）X． 类比于十进制，我们可以知道：X进制表示的数（1111）X中，右起第一位上的1表示1×X0，第二位上的1表示1×X1，第三位上的1表示1×X2，第四位上的1表示1×X3，所以（1111）X＝1×X0+1×X1+1×X2+1×X3即：（1111）X转化为的十进制表示的数为1×X0+1×X1+1×X2+1×X3如：（1111）2＝1×20+1×21+1×22+1×23＝15．（1111）5＝1×50+1×51+1×52+1×53＝156． 根据材料完成以下问题： （1）把下列进制表示的数转化为十进制表示的数： （101011）2＝　43　 ；（302）4＝　50　 ；（257）8＝　175　 ； （2）若一个五进制的三位数（a4b）5与八进制三位数（ba4）8之和能被13整除（1≤a≤5，1≤b≤5，且a，b均为整数），求a的值； （3）若一个六进制数与一个八进制数之和为666，则称这两个数互为“如意数”，（mm1）6与（nn5）8是否互为“如意数”？若是，求出这两个数，若不是，说明理由． 【分析】（1）（101011）2＝1×25+1×23+1×21+1×20＝43，（302）4＝3×42+2×40＝50，（257）7＝2×82+5×81+7×80＝175； （2）由（a4b）5＝a×52+4×51+b×50＝25a+20+b，（ba4）8＝b×82+a×81+4×80＝64b+8a+4，可得（a4b）5+（ba4）8＝25a+20+b+64b+8a+4＝33a+65b+24能被13整除，则33a+24能被13整除，由a的取值范围，确定a的具体值即可； （3）（mm1）6＝m×62+m×61+1×60＝42m+1，（nn5）8＝n×82+n×81+5×80＝72n+5，则有（mm1）6+（nn5）8＝42m+72n+6＝666，得到7m+12n＝110，在讨论m与n的值即可． 【解答】解：（1）（101011）2＝1×25+1×23+1×21+1×20＝43， （302）4＝3×42+2×40＝50， （257）8＝2×82+5×81+7×80＝175； 故答案为：43，50，175； （2）（a4b）5＝a×52+4×51+b×50＝25a+20+b， （ba4）8＝b×82+a×81+4×80＝64b+8a+4， ∴（a4b）5+（ba4）8＝25a+20+b+64b+8a+4＝33a+65b+24能被13整除， ∴33a+24能被13整除， ∵1≤a≤5， ∴a＝4； （3）不是，理由如下： （mm1）6＝m×62+m×61+1×60＝42m+1， （nn5）8＝n×82+n×81+5×80＝72n+5， ∴（mm1）6+（nn5）8＝42m+72n+6＝666， ∴7m+12n＝110， ∵1≤m≤5，1≤n≤7， ∴m＝2，n＝8， ∴（mm1）6与（nn5）8不互为“如意数”． 【点评】本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2023秋•肥城市期中）下列各式不是2x3﹣3x2﹣3x+2因式的是（　　） A．x﹣1 B．x+1 C．2x﹣1 D．x﹣2 【分析】首先进行分组分解因式，再提取公因式（2x﹣1），再分解因式即可． 【解答】解：∵2x3﹣3x2﹣3x+2 ＝2x3﹣x2﹣2x2﹣3x+2 ＝（2x3﹣x2）﹣（2x2+3x﹣2） ＝x2（2x﹣1）﹣（x+2）（2x﹣1） ＝（2x﹣1）（x2﹣x﹣2） ＝（2x﹣1）（x+1）（x﹣2）． ∴不是2x3﹣3x2﹣3x+2因式的是x﹣1． 故选：A． 【点评】此题考查了因式分解﹣分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【练习 2】（2023春•罗湖区校级单元）下列代数式中，含有因式x+2的多项式的是（　　） A．x3+2x2+2x+4 B．x4﹣8 C．x4﹣x3+7x﹣10 D．x4﹣2x3+x+2 【分析】各式分解因式得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、原式＝x2（x+2）+2（x+2）＝（x+2）（x2+2），符合题意； B、原式＝（x2+2）（x2﹣2），不符合题意； C、原多项式不能分解困式，不符合题意； D、原多项式不能分解困式，不符合题意； 故选：A． 【点评】此题考查了分组分解法，提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【练习 3】（2025秋•辉县市期中）多项式3x2﹣mx+6的一个因式为x﹣3，则m的值为　11　 ． 【分析】设分解后的另一个因式为3x+a，利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m的值即可． 【解答】解：设分解后的另一个因式为3x+a， 根据题意得：3x2﹣mx+6＝（x﹣3）（3x+a）＝3x2+（a﹣9）x﹣3a， 可得a﹣9＝﹣m，﹣3a＝6， 解得：a＝﹣2，m＝11． 故答案为：11． 【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键． 【练习 4】（2026•盐亭县开学）若x2+mx﹣12＝（x﹣3）（x+4），则m＝　1　 ． 【分析】先利用多项式乘多项式法则计算（x﹣3）（x+4），再根据因式分解与整式乘法的关系得结论． 【解答】解：∵（x﹣3）（x+4）＝x2+x﹣12， 又∵x2+mx﹣12＝x2+x﹣12， ∴m＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了整式的乘法，掌握因式分解与整式乘法的关系是解决本题的关键． 【练习 5】（2023秋•崇明区期末）分解因式：a2﹣4b2﹣2a+4b． 【分析】前两项用平方差公式分解后提取公因式即可． 【解答】解：原式＝a2﹣4b2﹣（2a﹣4b） ＝（a+2b）（a﹣2b）﹣2（a﹣2b） ＝（a+2b﹣2）（a﹣2b）． 【点评】考查了分组分解法分解因式；前后两项分别组合是关键． 【练习 6】（2022秋•青浦区期中）因式分解：4x2+6y﹣9y2﹣1． 【分析】利用平方差公式进行因式分解即可得出答案． 【解答】解：4x2+6y﹣9y2﹣1 ＝4x2﹣（9y2﹣6y+1） ＝4x2﹣（3y﹣1）2 ＝（2x+3y﹣1）（2x﹣3y+1）． 【点评】此题主要考查因式分解，解题的关键是掌握利用平方差公式进行因式分解． 【练习 7】（2025秋•东城区校级期中）阅读下列材料，并回答问题． 利用完全平方公式，可以将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法． 运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如： x2+11x+24＝x2+11x+（）2﹣（）2+24 ＝（x+8）（x+3） 根据以上材料，解答下列问题： （1）用多项式的配方法将x2+8x﹣1化成（x+m）2+n的形式 　（x+4）2﹣17　 ； （2）下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式x2﹣3x﹣40进行分解因式的解答过程： 解：x2﹣3x﹣40 ＝x2﹣3x+32﹣32﹣40步骤① ＝（x﹣3）2﹣49°步骤② ＝（x﹣3+7）（x﹣3﹣7）步骤③ ＝（x+4）（x﹣10）步骤④ 老师说，这位同学的解答过程中有错误，该同学解答中开始出现错误的地方是从步骤 　①　 开始的． （3）通过上述材料的学习，证明：x，y取任何实数时，多项式x2+y2﹣2x﹣4y+16的值总为正数． 【分析】（1）利用完全平方公式进行配方即可得； （2）步骤①中利用完全平方公式进行配方时出现错误；利用配方法及平方差公式分解因式即可得； （3）多项式x2+y2﹣2x﹣4y+16＝x2﹣2x+1+y2﹣4y+4+11，利用完全平方公式变形，根据偶次方的非负性即可得证． 【解答】解：（1）原式＝x2+8x+16﹣16﹣1 ＝（x+4）2﹣17， 故答案为：（x+4）2﹣17． （2）该同学解答中开始出现错误的地方是从步骤①开始的，完整的、正确的解答过程如下： x2﹣3x﹣40 ＝（x+5）（x﹣8）， 故答案为：①． （3）原式＝（x2﹣2x+1）+（y2﹣4y+4）﹣1﹣4+16 ＝（x﹣1）2+（y﹣2）2+11， ∵（x﹣1）2≥0，（y﹣2）2≥0， ∴（x﹣1）2+（y﹣2）2+11≥11＞0， 多项式x2+y2﹣2x﹣4y+16的值总为正数． 【点评】本题考查了因式分解、平方差公式，熟练掌握配方法是解题关键． 【练习 8】（2026春•汝州市期末）小华认为多项式x2﹣2x﹣8不能因式分解，小明却认为可以，并且给出了三种因式分解的方法： 方法一： x2﹣2x﹣8＝x2﹣2x+1﹣1﹣8＝（x2﹣2x+1）﹣9＝（x﹣1）2﹣32＝（x﹣1+3）（x﹣1﹣3）； ＝（x+2）（x﹣4）． 方法二： x2﹣2x﹣8＝x2﹣4﹣2x﹣4＝（x2﹣4）+（﹣2x﹣4）＝（x+2）（x﹣2）﹣2（x+2）； ＝（x+2）（x﹣2﹣2）＝（x+2）（x﹣4）． 方法三： x2﹣2x﹣8＝x2+2x﹣2x﹣2x﹣8＝x2+2x﹣4x﹣8＝（x2+2x）+（﹣4x﹣8）； ＝x（x+2）﹣4（x+2）＝（x+2）（x﹣4）． （1）请你用以上三种方法中的任意一种对x2+4x﹣12进行因式分解； （2）小明认为用方法一不仅可以解决部分多项式的因式分解问题，还可以求这部分多项式的最值，如：x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，因为（x﹣1）2≥0所以（x﹣1）2﹣9≥﹣9，因此多项式x2﹣2x﹣8的最小值是﹣9．借助小明的做法，判断多项式﹣x2﹣4x+12有最值吗？如果有，请你求出x为何值时取到最值；如果没有，请说明理由． 【分析】（1）利用完全平方公式配方，再根据平方差公式因式分解即可求； （2）先利用完全平方公式配方变形，再利用非负数的性质即可解答． 【解答】解：（1）x2+4x﹣12 ＝x2+4x+4﹣4﹣12 ＝（x+2）2﹣16 ＝（x+2+4）（x+2﹣4） ＝（x+6）（x﹣2）； （2）多项式﹣x2﹣4x+12有最大值， 理由如下：﹣x2﹣4x+12＝﹣（x2+4x+4﹣4﹣12）＝﹣（x+2）2+16， ∵（x+2）2≥0， ∴﹣（x+2）2≤0， ∴﹣（x+2）2+16≤16． 当x＝﹣2时，取到最大值为16， ∴多项式﹣x2﹣4x+12在当x＝﹣2时取最大值为16． 【点评】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 十字相乘法关键是找两数积为常数项和为一次项 · 分组分解要预见组间能否继续分解 · 复杂多项式用拆项添项或配方凑公式 · 求代数式值优先整体代入 · 分解必须进行到每个因式不能再分为止 【作业 1】（2024春•道县期末）下列因式分解不正确的是（　　） A．x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1） B．x2+4x﹣5＝（x﹣1）（x+5） C．4x2+4x+1＝（2x+1）2 D．x2+2x+3＝（x+1）（x+3） 【分析】利用整式乘法和因式分解的关系及因式分解的完全平方公式逐个分析得结论． 【解答】解：（x﹣3）（x+1）＝x2﹣2x﹣3，故选项A分解正确； （x﹣1）（x+5）＝x2+4x﹣5，故选项B分解正确； 整式4x2+4x+1利用完全平方公式可分解为（2x+1）2，故选项C分解正确； （x+1）（x+3）＝x2+4x+3≠x2+2x+3，故选项D分解错误． 故选：D． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的完全平方公式、整式乘法和因式分解的关系是解决本题的关键． 【作业 2】（2026春•宿松县期末）若x2+mx﹣21＝（x﹣3）（x+n），则m，n的值分别是（　　） A．4，﹣3 B．﹣7，4 C．﹣5，18 D．4，7 【分析】将等式右边展开，即可得出m＝n﹣3，﹣3n＝﹣21，从而求出m、n的值． 【解答】解：x2+mx﹣21＝（x﹣3）（x+n）， x2+mx﹣21＝x2+（n﹣3）x﹣3n， ∴m＝n﹣3，﹣3n＝﹣21， ∴m＝4，n＝7， 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法分解因式是解题的关键． 【作业 3】（2026春•长清区期中）若将多项式x2+mx+6因式分解得（x+3）（x+n），则m的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】通过十字相乘法将结果展开，对比对应项系数即可求出m的值． 【解答】解：（x+3）（x+n）＝x2+nx+3x+3n＝x2+（3+n）x+3n， 又∵x2+mx+6＝（x+3）（x+n）， ∴， 解得n＝2， 代入得m＝3+2＝5． 故选：C． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握该知识点是关键． 【作业 4】（2026春•宿豫区期中）下列因式分解错误的是（　　） A．2a+4b＝2（a+2b） B．﹣12a3+9a2＝3a2（4a﹣3） C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） D．ac+ad+bc+bd＝（a+b）（c+d） 【分析】根据因式分解的方法解答即可． 【解答】解：A.2a+4b＝2（a+2b），故选项A错误； B．﹣12a3+9a2＝﹣3a2（4a﹣3），故选项B错误； C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故选项C正确； D．ac+ad+bc+bd ＝（ac+ad）+（bc+bd） ＝a（c+d）+b（c+d） ＝（a+b）（c+d），故选项D正确． 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，提公因式法与公式法的综合运用，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【作业 5】（2026春•茂南区期末）将图①沿虚线剪开后，拼成如图②所示的长方形，据此写出一个多项式的因式分解为（　　） A．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） B．x2+y2＝（x+y）（x﹣y） C．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 D．（x+y）（x﹣y）＝x2+y2 【分析】分别表示出图①、图②的面积，因为两图的面积相等，据此可得等式：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）． 【解答】解：图①的面积是：x2﹣y2， 图②的面积是：（x+y）（x﹣y）， 图①和图②面积相等， 所以x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）． 故选：A． 【点评】本题考查了因式分解的应用、因式分解的意义，解决本题的关键是运用数形结合的思想解决问题． 【作业 6】（2024春•驿城区校级期中）【类比学习】小明同学类比除法240÷16＝15的竖式计算，想到对二次三项式x2+3x+2进行因式分解的方法： 即（x2+3x+2）÷（x+1）＝x+2，所以x2+3x+2＝（x+1）（x+2）． （1）【初步应用】小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：x2+□x+6＝（x+2）（x+☆）（其中□、☆代表两个被污染的系数），他列出了如图2竖式：得出□＝　5　 ，☆＝　3　 ． （2）【深入研究】小明用这种方法对多项式x3+2x2+2x+4进行因式分解，进行到了：x3+2x2+2x+4＝（x+2）（*）（*代表一个多项式），请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式x3+2x2+2x+4因式分解． 【分析】（1）根据竖式除法的运算方法先确定☆表示的数，然后确定□代表的数即可； （2）利用列竖式除法的结果进行分解即可． 【解答】解：（1）仿照例题，得：（□﹣2）x+6﹣（☆x+2☆）＝（□﹣☆﹣2）x+（6﹣2☆）＝0， 则有□﹣☆﹣2＝0，6﹣2☆＝0， 故□＝5，☆＝3； 故答案为5，3． （2）仿照例题得： ∴x3+2x2+2x+4＝（x+2）（x2+2） 故将多项式可因式分解为（x+2）（x2+2）． 【点评】本题考查因式分解、二元一次方程组的求解、归纳与类比，会利用类比的方法，仿照例题解决问题是解答的关键． 【作业 7】（2024秋•徐汇区校级期中）因式分解： （1）2ax2﹣18a3； （2）6x2﹣7x﹣5； （3）x3﹣xyz+x2y﹣x2z； （4）（x2﹣3x+1）2﹣6x2+18x﹣1． 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解； （2）直接利用十字相乘法分解即可； （3）先提取公因式，再利用分组分解法； （4）先把﹣1化成﹣6+5，再把（x2﹣3x+1）看成一个整体，利用十字相乘法分解，最后利用十字相乘法和提公因式法分解． 【解答】解：（1）2ax2﹣18a3 ＝2a（x2﹣9a2） ＝2a（x+3a）（x﹣3a）； （2）6x2﹣7x﹣5＝（2x+1）（3x﹣5）； （3）x3﹣xyz+x2y﹣x2z ＝x（x2+xy﹣xz﹣yz） ＝x[x（x+y）﹣z（x+y）] ＝x（x+y）（x﹣z）； （4）（x2﹣3x+1）2﹣6x2+18x﹣1 ＝（x2﹣3x+1）2﹣6x2+18x﹣6+5 ＝（x2﹣3x+1）2﹣6（x2﹣3x+1）+5 ＝[（x2﹣3x+1）﹣5][（x2﹣3x+1）﹣1] ＝（x2﹣3x﹣4）（x2﹣3x） ＝x（x﹣4）（x+1）（x﹣3）． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法、公式法、因式分解法、分组分解法等知识点是解决本题的关键． 【作业 8】（2024秋•宝山区期末）因式分解：a2﹣b2﹣1﹣2b． 【分析】先分组，再因式分解． 【解答】解：原式＝a2﹣（b2+1+2b） ＝a2﹣（b+1）2 ＝（a+b+1）（a﹣b﹣1）． 【点评】本题主要考查因式分解—分组分解法，正确地分组是解题的关键． 【作业 9】（2024秋•杨浦区期末）因式分解：x2﹣x﹣2y﹣4y2． 【分析】先分组利用平方差公式，再提取公因式． 【解答】解：x2﹣x﹣2y﹣4y2 ＝x2﹣4y2﹣x﹣2y ＝（x+2y）（x﹣2y）﹣（x+2y） ＝（x+2y）（x﹣2y﹣1）． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握平方差公式和提公因式法是解决本题的关键． 【作业 10】（2026春•莱西市期末）在学习《完全平方公式》时，某数学学习小组发现：已知a+b＝5，ab＝3，可以在不求a、b的值的情况下，求出a2+b2的值．具体做法如下： a2+b2＝a2+2ab+b2﹣2ab＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19 （1）若a+b＝6，ab＝1.5，则a2+b2＝　33　 ． （2）若m满足（8﹣m）（m﹣3）＝3，求（8﹣m）2+（m﹣3）2的值， 同样可以应用上述方法解决问题，具体操作如下： 解：设8﹣m＝a，m﹣3＝b， 则a+b＝（8﹣m）+（m﹣3）＝5，ab＝（8﹣m）（m﹣3）＝3， 所以（8﹣m）2+（m﹣3）2＝a2+b2＝a2+2ab+b2﹣2ab＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19 请参照上述方法解决下列问题：若（5x﹣2）（9﹣5x）＝4，求（5x﹣2）2+（9﹣5x）2的值； （3）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为2，请求出图1的阴影部分面积． 【分析】（1）根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab代入数据即可； （2）仿照材料设5x﹣2＝a，9﹣5x＝b即可解答； （3）由题干思路得到图2的阴影部分面积＝（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝2，再根据（x+y）2＝64求得x2+y2＝33，从而即可求出图一阴影面积． 【解答】解：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝36﹣2×1.5＝33， 故答案为：33； （2）设5x﹣2＝a，9﹣5x＝b， 则a+b＝（5x﹣2）+（9﹣5x）＝7，ab＝（5x﹣2）（9﹣5x）＝4， 所以（5x﹣2）2+（9﹣5x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝72﹣2×4＝41； （3）解：设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，则AD＝x，EF＝y，AE＝x+y＝8， ∴（x+y）2＝64， ∴x2+y2+2xy＝64， ∵点H为AE的中点， ∴AH＝EH＝4， ∵图2的阴影部分面积＝（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝2， ∴（x+y）2+（x﹣y）2＝64+2＝66， ∴x2+y2＝33， ∴图1的阴影部分面积＝x2+y24•x4•y ＝x2+y2﹣2（x+y） ＝33﹣2×8 ＝17． 【点评】本题主要考查因式分解和完全平方公式的应用，理解公式并灵活运用是关键． 【作业 11】（2025秋•杨浦区期中）阅读材料 我们学过因式分解，如：x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2），这时就说（x﹣1）和（x+2）是x2+x﹣2的因式． 那么，不进行因式分解能不能判断（x﹣a）这样的式子是不是某个整式的因式呢？ 对于整式x2+x﹣2我们分别计算： 当x＝1时，原式＝12+1﹣2＝0，当x＝﹣2时，原式＝（﹣2）2+（﹣2）﹣2＝0； 当我们把x＝1和x＝﹣2分别代入x2+x﹣2，整式x2+x﹣2的值都等于0，那么（x﹣1）和（x+2）就是整式x2+x﹣2的两个因式，通过归纳发现： 如果当x＝a时，一个整式的值等于0，那么（x﹣a）就一定是这个整式的一个因式． 反过来，如果（x﹣a）是整式的一个因式，那么当x＝a时，这个整式的值一定等于0． 请你根据上述材料解决以下问题：已知整式P＝x4﹣x3﹣7x2+5x+10． （1）请判断（x+1）是否是整式P的一个因式； （2）当整式P的一次项系数变为k时，而（x+1）仍是它的一个因式．求此时k的值； （3）请尝试将整式P进行因式分解． 【分析】（1）根据题意，将x＝﹣1代入整式计算即可判断； （2）根据题意将x＝﹣1代入整式计算，然后解方程即可； （3）根据题意，分别将x＝﹣1、x＝2、x2＝5代入整式计算，然后求解即可． 【解答】解：（1）当x＝﹣1时， P＝（﹣1）4﹣（﹣1）3﹣7×（﹣1）2+5×（﹣1）+10＝0， ∴（x+1）是整式P的一个因式； （2）当整式P的一次项系数变为k时， P＝x4﹣x3﹣7x2+kx+10， ∵（x+1）是它的一个因式， ∴P＝（﹣1）4﹣（﹣1）3﹣7×（﹣1）2+k×（﹣1）+10＝0， 解得：k＝5； （3）P＝x4﹣x3﹣7x2+5x+10， 当x＝﹣1时， P＝（﹣1）4﹣（﹣1）3﹣7×（﹣1）2+5×（﹣1）+10＝0； 当x＝2时， P＝24﹣23﹣7×22+5×2+10＝0； 当x2＝5时， P＝52﹣5x﹣7×5+5x+10＝0； ∴（x+1）和（x﹣2）、（x2﹣5）就是整式P＝x4﹣x3﹣7x2+5x+10的因式， ∴P＝x4﹣x3﹣7x2+5x+10＝（x+1）（x﹣2）（x2﹣5）． 【点评】本题主要考查因式分解、有理数的混合运算，理解题意是解题关键． 【作业 12】（2025秋•美兰区期中）如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4，这种方法叫配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值的问题等．例如： 分解因式：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）； 求代数式2x2+4x﹣6的最小值：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x）﹣6＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6＝2（x+1）2﹣8，可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： （1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝ 　（m+1）（m﹣5）　 ； （2）求代数式﹣3a2+6a+4的最大值； （3）将一根长为24cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，那么这两个正方形面积之和有最小值吗？若有，求此时这根铁丝剪成两段后做成两个正方形面积的和；若没有，请说明理由． 【分析】（1）先对m2﹣4m进行配方，然后运用平方差公式分解因式即可； （2）首先对代数式进行变形，提取公因式﹣3，然后运用配方法将式子变形可得原式＝﹣3（a﹣1）2+7，因为（a﹣1）2≥0，所以﹣3（a﹣1）2≤0，当﹣3（a﹣1）2＝0时，代数式取得最大值，最大值为7． （3）设其中一段铁丝的长度为xcm，则另一段长度为（24﹣x） cm．那么两个正方形的边长分别为 cm和 cm，求出面积之和S，并运用配方法进行化简，再根据偶次方的非负性，求出最小值即可． 【解答】解：（1）m2﹣4m﹣5 ＝m2﹣4m+4﹣9 ＝（m﹣2）2﹣9 ＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3） ＝（m+1）（m﹣5）； 故答案为：（m+1）（m﹣5）． （2）﹣3a2+6a+4 ＝﹣3（a2﹣2a+1）+7 ＝﹣3（a﹣1）2+7， 因为（a﹣1）2≥0， 所以﹣3（a﹣1）2≤0， 当﹣3（a﹣1）2＝0时， 代数式取得最大值，最大值为7． （3）设其中一段铁丝的长度为xcm则另一段长度为（24﹣x）cm．那么两个正方形的边长分别为 cm和 cm， 面积之和S ， 因为（x﹣12）2≥0， 所以， 当时，S取得最小值，最小值为18cm2． 【点评】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质：偶次方、完全平方公式的几何背景、平方差公式的几何背景，解决本题的关键是熟练运用配方法分解因式． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 满分压轴专讲：因式分解拓展 (精讲+典例+练习)优等生讲义2026-2027学年鲁教版(五四制)八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练掌握十字相乘法分解二次三项式 · 会用分组分解法分解四项及以上多项式 · 掌握拆项、添项等技巧处理复杂多项式 · 能运用因式分解求代数式的值、判断整除 · 理解因式分解在几何面积、密码设计等综合题中的应用 📚 知识梳理 ☆ 1.十字相乘法 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 二次项系数为1：找两数积为常数项、和为一次项系数 二次项系数不为1：用十字交叉线分解系数 分解后要检查，展开还原验证 概念辨析例题：分解因式x2+7x+10 解析：找两数积为10、和为7，即2和5，故x2+7x+10=(x+2)(x+5) ☆ 2.分组分解法 多项式项数较多时，适当分组后分别分解 分组后各组能提公因式或用公式，且组间仍有公因式 常见：二二分组、三一分组 分组关键是预见组间能否继续分解 概念辨析例题：分解因式x2﹣4y2﹣x﹣2y 解析：前两项用平方差=(x+2y)(x-2y)，后两项提-(x+2y)，再提公因式(x+2y) ☆ 3.拆项与添项法 拆项：把某一项拆成两项，便于分组分解 添项：添上两个仅符号相反的项，凑完全平方 配方法：先凑完全平方再用平方差 常用于四项以上或看似不能分解的多项式 概念辨析例题：用配方法分解x2+2x﹣3 解析：x2+2x-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-22=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1) ☆ 4.因式分解的应用 求代数式的值：整体代入，不求字母具体值 判断整除：多项式能被某因式整除即该因式为其因式 利用非负性：配成平方和求最值 几何应用：用面积关系验证乘法公式 概念辨析例题：已知a+b=5，ab=3，求a2+b2 解析：a2+b2=(a+b)2-2ab=25-6=19 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 十字相乘法 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 积为常数项和为一次项 分组分解 分组后组间仍有公因式 二二分组或三一分组 拆项添项 拆一项或添相反项 便于凑公式 配方法 凑完全平方再平方差 加多少减多少 求代数式值 整体代入 不求字母具体值 判断整除 因式为多项式因式 令因式为0代入 ⚠️ 核心考点 【考点1】因式分解−十字相乘法等（第1-11题） · 二次项系数为1时找p、q满足pq=常数项 · 二次项系数不为1用十字交叉分解系数 · 已知分解结果反求待定系数用待定系数法 · 分解后展开还原检验 1．（2025秋•汉川市期末）将x2+7x+10分解因式正确的是（　　） A．（x+2）（x+5） B．（x+2）2 C．（x+5）2 D．（x+1）（x+10） 2．若x2+2x+p可以分解成（x﹣3）（x+5），则p的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．15 D．﹣15 3．（2026春•薛城区期末）若多项式x2﹣x+a因式分解的结果为（x+2）（x+b），则a+b的值为（　　） A．﹣9 B．9 C．﹣6 D．6 4．（2025秋•兴县期末）已知多项式x2﹣mx+12可因式分解为（x﹣3）（x+n），那么m的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣7 D．7 5．（2025秋•长春期末）把多项式x2+ax+b分解因式，得（x﹣3）（x+1），则a、b的值分别是（　　） A．a＝2，b＝3 B．a＝2，b＝﹣3 C．a＝﹣2，b＝3 D．a＝﹣2，b＝﹣3 6．（2024秋•邻水县期末）小梅和小丽在因式分解关于x的多项式x2﹣ax+b时，小梅获取的其中一个正确的因式为（x+3），小丽获取的另一个正确的因式为（x﹣2），则的值为（　　） A． B． C．﹣3 D．3 7．（2026•莱州市模拟）分解因式：____________________ ． 8．（2025秋•荣县校级期末）已若x2+kx﹣15＝（x+3）（x+m），则k＝_______ ． 9．（2025秋•松江区期末）因式分解：（x+5）2+5（x+5）﹣6． 10．（2026春•同步）【阅读理解】用“十字相乘法”因式分解3x2﹣x﹣2的方法． （1）二次项系数3＝1×3； （2）常数项﹣2＝﹣1×2＝1×（﹣2），验算：“交叉相乘之和”； （3）发现①“交叉相乘之和”的结果1×2+3×（﹣1）＝﹣1，等于一次项系数﹣1．即（x﹣1）（3x+2）＝3x2﹣3x+2x﹣2＝3x2﹣x﹣2，则3x2﹣x﹣2＝（x﹣1）（3x+2）．像这样，通过十字交叉线把二次三项式因式分解的方法叫十字相乘法． 【问题解决】因式分解： （1）x2+5x+4＝_______________ ． （2）x2﹣6x+5＝_______________ ． （3）x2+7x﹣8＝_______________ ． （4）x2﹣6x﹣27＝_______________ ． 【拓展训练】因式分解： （1）2x2+3x+1＝________________ ． （2）3x2﹣5x+2＝________________ ． 11．（2026春•郑州期末）阅读以下材料． 材料：因式分解：（a+b）2+6（a+b）+9． 解：将“a+b”看成一个整体，令a+b＝m，则原式＝m2+6m+9＝（m+3）2． 再将“m”还原，得原式＝（a+b+3）2． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：（a﹣2b）2﹣2（a﹣2b）+1； （2）因式分解：（a2﹣4a+3）（a2﹣4a+5）+1； （3）试证明：无论n为何值，式子（n2+4n+10）（n2+4n﹣2）+38的值一定是一个不小于2的数． 【考点2】分组分解法（第12-23题） · 观察项数选择二二分组或三一分组 · 分组后先提公因式或用公式 · 预见组间是否仍有公因式再分组 · 四项以上常配合拆项添项 12．（2025•广州竞赛）若四次多项式x4﹣ax2+1可分解为两个整系数二次三项式，则a的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 13．（2022春•单元）把多项式x2﹣6x+9﹣y2先分组，再应用公式分解因式，分组正确的是（　　） A．（x2﹣6x）+（9﹣y2） B．（x2﹣y2）﹣（6x﹣9） C．（x2﹣6x+9）﹣y2 D．x2﹣（6x+y2﹣9） 14．（2024秋•青浦区期末）因式分解：xm+xn+ym+yn＝ _______________ ． 15．（2024秋•静安区校级月考）因式分解：x2﹣4y2﹣x﹣2y＝___________________ ． 16．（2022•常州自主招生）因式分解：x2+y2﹣2z2+2xy+yz+xz＝____________________ ． 17．（2026•郫都区校级模拟）分解因式：mn+2m﹣n﹣2＝_______________ 18．（2026•广州校级模拟）因式分解：x3﹣x+x2﹣1＝________________ ． 19．（2024秋•徐闻县期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a+3ab﹣4﹣6b分解因式． 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式＝（2a﹣4）+（3ab﹣6b） ＝2（a﹣2）+3b（a﹣2） ＝（a﹣2）（2+3b） 【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a分解因式． 【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2分解因式． 20．（2024秋•同步）因式分解： （1）x2+4y2﹣1﹣4xy； （2）a2﹣b2﹣c2+2bc； （3）x2﹣2x+6y﹣9y2； （4）a2+2a﹣b2﹣2b． 21．材料：在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．如： x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2）． 根据上述材料，解决下列问题： （1）按照这种方法把多项式x4+4y4分解因式； （2）分解因式：a2﹣b2+4a+2b+3． 22．（2025秋•浦东新区期末）因式分解：x2+xy﹣1﹣y． 23．（2024秋•闵行区校级月考）因式分解：9﹣4x2+4xy﹣y2． 【考点3】因式分解的应用（第24-35题） · 求代数式值用整体代入 · 判断整除令因式为0代入多项式 · 配成平方和利用非负性求最值 · 几何题用面积关系验证公式 24．（2025秋•永州期末）利用“因式分解”可以设计密码．我们约定将多项式因式分解得到的每个因式代入数值进行运算，取其绝对值，将得到的数组合，从中选出最大的数，即为密码．如x4﹣y4＝（x﹣y）（x+y）（x2+y2），当x取3，y取4时，各因式的绝对值分别为|x﹣y|＝1，|x+y|＝7，|x2+y2|＝25组合可得到1725，1257，7125，7251，2517，2571，其中最大的数7251，即为密码．对于多项式．x3﹣xy2，当x取12，y取14时，其密码为（　　） A．21226 B．12262 C．26212 D．62212 25．（2025秋•衡阳县期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”．如8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”．在不超过2024的正整数中，所有“和谐数”之和等于（　　） A．255025 B．255024 C．257048 D．257049 26．（2025秋•平原县月考）若m为任意整数，则（3m+2）2﹣9m2的值总能（　　） A．被4整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被6整除 27．（2024•鼓楼区校级开学）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0，下列结论：①方程总有两个不等的实数根；②若两个根为x1，x2，且x1＞x2，则x1＞3，x2＜3；③若两个根为x1，x2，则（x1﹣2）（x2﹣2）＝（x1﹣3）（x2﹣3）；④若（p为常数），则代数式（x﹣3）（x﹣2）的值为一个完全平方数（整数的平方），其中正确的结论是（　　） A．②④ B．①③ C．①②③ D．①③④ 28．（2024春•扬州期末）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52：则8、16、24这三个数都是奇特数．如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为203，则阴影部分的面积（　　） A．19208 B．20000 C．20706 D．20808 29．（2023春•赫山区校级期中）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）； 例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值．2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x2+2x+1﹣1﹣3）＝2[（x+1）2﹣4]＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：m2﹣4m﹣5； （2）当a、b为何值时，多项式a2﹣4ab+5b2+4b+27有最小值，并求出这个最小值； （3）当a、b为何值时，多项式2a2+3b2﹣4a+12b+18有最小值，并求出这个最小值． 30．（2025秋•荣昌区期末）综合阅读与实践．我们把多项式a2+2ab+b2，a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，完全平方式具有非负性．于是，我们可以把一个多项式进行部分因式分解为平方的形式，利用其非负性可以用来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． 例如：①x2+2x+4＝x2+2x+1+3＝（x+1）2+3， ∵（x+1）2是非负数，即（x+1）2≥0．∴（x+1）2+3≥3， 则当x＝﹣1时，代数式x2+2x+4的最小值是3； ②3x2﹣6x+5＝3（x2﹣2x）+5＝3（x2﹣2x+1﹣1）+5＝3（x﹣1）2﹣3+5＝3（x﹣1）2+2， ∵（x﹣1）2是非负数，即（x﹣1）2≥0，∴3（x﹣1）2+2≥2， 则当x＝1时，代数式3x2﹣6x+5取得最小值2． 请根据阅读内容，完成以下问题： （1）知识再现：当x＝_____ 时，代数式x2﹣4x+6的最小值是_____ ； （2）知识运用：若y＝﹣x2+4x+1，求当x为何值时，y有最大值，并求出最大值； （3）知识拓展：若x2+5x+y﹣4＝0，求3x+y的最大值． 31．小刚动手剪了如图（1）所示的正方形卡片与长方形卡片若干张． （1）他用1张①号、1张 ②号和2张③号卡片拼出一个新的图形[如图（2）]．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的公式，这个公式是 ____________________ ； （2）如果要拼成一个长为a+2b，宽为a+b的大长方形，则需要①号卡片 _____ 张，②号卡片 _____ 张，③号卡片 _____ 张； （3）当他拼成如图（3）所示的长方形时，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积，可以把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是 _________________ ； （4）请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式a2+5ab+6b2＝_________________ ，并画出图形． 32．若多项式3x3+hx2﹣5x+k恰好能被x+3整除，被x+1除余数为4，求h，k的值，并将多项式进行因式分解． 33．（2026春•保定期末）在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，通过用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式，我们把这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，我们称为等体积法；根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体（如图1），然后利用切割的方法把剩余的立体图形（如图2）分成三部分（如图3），这三部分长方体的体积依次为b2（a﹣b），ab（a﹣b），a2（a﹣b）． （1）分解因式：a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）＝ ____________________ ； （2）请用两种不同的方法求图1中的立体图形的体积：（用含有a，b的代数式表示）①__________ ；②____________________ ； 思考：类比平方差公式，你能得到的等式（写成因式分解的形式）为 ____________________ ． （3）应用：利用在（2）中所得到的等式进行因式分解：x3﹣8； （4）拓展：已知a﹣b＝1，ab＝2，代数式a4b﹣ab4的值为 _______ ． 34．（2026•原州区校级三模）【代数推理】阅读下列材料，并完成相应任务． 我们已经知道，能被3整除的数的特征是这个数的各个数位上数的和是3的倍数．证明如下： 已知：一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，若a+b+c能被3整除． 求证：这个三位数也能被3整除． 证明：根据题意，得这个三位数为100a+10b+c． 100a+10b+c＝（99a+9b）+（a+b+c） ＝3（33a+3b）+（a+b+c）． ∵a+b+c能被3整除，3（33a+3b）也能被3整除， ∴这个三位数能被3整除． 任务：一个四位数的千位、百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，d，若a+b+c+d能被3整除，求证：这个四位数也能被3整除． 35．（2025秋•松江区校级月考）[阅读材料] 进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法，对于任何一种进制﹣X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位．十进制就是逢十进一，十六进制就是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，X进制就是逢X进一．为了与十进制进行区分，我们常把X进制表示的数a写成（a）X． 类比于十进制，我们可以知道：X进制表示的数（1111）X中，右起第一位上的1表示1×X0，第二位上的1表示1×X1，第三位上的1表示1×X2，第四位上的1表示1×X3，所以（1111）X＝1×X0+1×X1+1×X2+1×X3即：（1111）X转化为的十进制表示的数为1×X0+1×X1+1×X2+1×X3如：（1111）2＝1×20+1×21+1×22+1×23＝15．（1111）5＝1×50+1×51+1×52+1×53＝156． 根据材料完成以下问题： （1）把下列进制表示的数转化为十进制表示的数： （101011）2＝_______ ；（302）4＝_______ ；（257）8＝________ ； （2）若一个五进制的三位数（a4b）5与八进制三位数（ba4）8之和能被13整除（1≤a≤5，1≤b≤5，且a，b均为整数），求a的值； （3）若一个六进制数与一个八进制数之和为666，则称这两个数互为“如意数”，（mm1）6与（nn5）8是否互为“如意数”？若是，求出这两个数，若不是，说明理由． 📝 随堂检测 【练习 1】（2023秋•肥城市期中）下列各式不是2x3﹣3x2﹣3x+2因式的是（　　） A．x﹣1 B．x+1 C．2x﹣1 D．x﹣2 【练习 2】（2023春•罗湖区校级单元）下列代数式中，含有因式x+2的多项式的是（　　） A．x3+2x2+2x+4 B．x4﹣8 C．x4﹣x3+7x﹣10 D．x4﹣2x3+x+2 【练习 3】（2025秋•辉县市期中）多项式3x2﹣mx+6的一个因式为x﹣3，则m的值为_______ ． 【练习 4】（2026•盐亭县开学）若x2+mx﹣12＝（x﹣3）（x+4），则m＝_____ ． 【练习 5】（2023秋•崇明区期末）分解因式：a2﹣4b2﹣2a+4b． 【练习 6】（2022秋•青浦区期中）因式分解：4x2+6y﹣9y2﹣1． 【练习 7】（2025秋•东城区校级期中）阅读下列材料，并回答问题． 利用完全平方公式，可以将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法． 运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如： x2+11x+24＝x2+11x+（）2﹣（）2+24 ＝（x+8）（x+3） 根据以上材料，解答下列问题： （1）用多项式的配方法将x2+8x﹣1化成（x+m）2+n的形式 ______________ ； （2）下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式x2﹣3x﹣40进行分解因式的解答过程： 解：x2﹣3x﹣40 ＝x2﹣3x+32﹣32﹣40步骤① ＝（x﹣3）2﹣49°步骤② ＝（x﹣3+7）（x﹣3﹣7）步骤③ ＝（x+4）（x﹣10）步骤④ 老师说，这位同学的解答过程中有错误，该同学解答中开始出现错误的地方是从步骤 _____ 开始的． （3）通过上述材料的学习，证明：x，y取任何实数时，多项式x2+y2﹣2x﹣4y+16的值总为正数． 【练习 8】（2026春•汝州市期末）小华认为多项式x2﹣2x﹣8不能因式分解，小明却认为可以，并且给出了三种因式分解的方法： 方法一： x2﹣2x﹣8＝x2﹣2x+1﹣1﹣8＝（x2﹣2x+1）﹣9＝（x﹣1）2﹣32＝（x﹣1+3）（x﹣1﹣3）； ＝（x+2）（x﹣4）． 方法二： x2﹣2x﹣8＝x2﹣4﹣2x﹣4＝（x2﹣4）+（﹣2x﹣4）＝（x+2）（x﹣2）﹣2（x+2）； ＝（x+2）（x﹣2﹣2）＝（x+2）（x﹣4）． 方法三： x2﹣2x﹣8＝x2+2x﹣2x﹣2x﹣8＝x2+2x﹣4x﹣8＝（x2+2x）+（﹣4x﹣8）； ＝x（x+2）﹣4（x+2）＝（x+2）（x﹣4）． （1）请你用以上三种方法中的任意一种对x2+4x﹣12进行因式分解； （2）小明认为用方法一不仅可以解决部分多项式的因式分解问题，还可以求这部分多项式的最值，如：x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，因为（x﹣1）2≥0所以（x﹣1）2﹣9≥﹣9，因此多项式x2﹣2x﹣8的最小值是﹣9．借助小明的做法，判断多项式﹣x2﹣4x+12有最值吗？如果有，请你求出x为何值时取到最值；如果没有，请说明理由． 💯 课后巩固 【作业 1】（2024春•道县期末）下列因式分解不正确的是（　　） A．x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1） B．x2+4x﹣5＝（x﹣1）（x+5） C．4x2+4x+1＝（2x+1）2 D．x2+2x+3＝（x+1）（x+3） 【作业 2】（2026春•宿松县期末）若x2+mx﹣21＝（x﹣3）（x+n），则m，n的值分别是（　　） A．4，﹣3 B．﹣7，4 C．﹣5，18 D．4，7 【作业 3】（2026春•长清区期中）若将多项式x2+mx+6因式分解得（x+3）（x+n），则m的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【作业 4】（2026春•宿豫区期中）下列因式分解错误的是（　　） A．2a+4b＝2（a+2b） B．﹣12a3+9a2＝3a2（4a﹣3） C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） D．ac+ad+bc+bd＝（a+b）（c+d） 【作业 5】（2026春•茂南区期末）将图①沿虚线剪开后，拼成如图②所示的长方形，据此写出一个多项式的因式分解为（　　） A．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） B．x2+y2＝（x+y）（x﹣y） C．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 D．（x+y）（x﹣y）＝x2+y2 【作业 6】（2024春•驿城区校级期中）【类比学习】小明同学类比除法240÷16＝15的竖式计算，想到对二次三项式x2+3x+2进行因式分解的方法： 即（x2+3x+2）÷（x+1）＝x+2，所以x2+3x+2＝（x+1）（x+2）． （1）【初步应用】小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：x2+□x+6＝（x+2）（x+☆）（其中□、☆代表两个被污染的系数），他列出了如图2竖式：得出□＝_____ ，☆＝_____ ． （2）【深入研究】小明用这种方法对多项式x3+2x2+2x+4进行因式分解，进行到了：x3+2x2+2x+4＝（x+2）（*）（*代表一个多项式），请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式x3+2x2+2x+4因式分解． 【作业 7】（2024秋•徐汇区校级期中）因式分解： （1）2ax2﹣18a3； （2）6x2﹣7x﹣5； （3）x3﹣xyz+x2y﹣x2z； （4）（x2﹣3x+1）2﹣6x2+18x﹣1． 【作业 8】（2024秋•宝山区期末）因式分解：a2﹣b2﹣1﹣2b． 【作业 9】（2024秋•杨浦区期末）因式分解：x2﹣x﹣2y﹣4y2． 【作业 10】（2026春•莱西市期末）在学习《完全平方公式》时，某数学学习小组发现：已知a+b＝5，ab＝3，可以在不求a、b的值的情况下，求出a2+b2的值．具体做法如下： a2+b2＝a2+2ab+b2﹣2ab＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19 （1）若a+b＝6，ab＝1.5，则a2+b2＝_______ ． （2）若m满足（8﹣m）（m﹣3）＝3，求（8﹣m）2+（m﹣3）2的值， 同样可以应用上述方法解决问题，具体操作如下： 解：设8﹣m＝a，m﹣3＝b， 则a+b＝（8﹣m）+（m﹣3）＝5，ab＝（8﹣m）（m﹣3）＝3， 所以（8﹣m）2+（m﹣3）2＝a2+b2＝a2+2ab+b2﹣2ab＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19 请参照上述方法解决下列问题：若（5x﹣2）（9﹣5x）＝4，求（5x﹣2）2+（9﹣5x）2的值； （3）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为2，请求出图1的阴影部分面积． 【作业 11】（2025秋•杨浦区期中）阅读材料 我们学过因式分解，如：x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2），这时就说（x﹣1）和（x+2）是x2+x﹣2的因式． 那么，不进行因式分解能不能判断（x﹣a）这样的式子是不是某个整式的因式呢？ 对于整式x2+x﹣2我们分别计算： 当x＝1时，原式＝12+1﹣2＝0，当x＝﹣2时，原式＝（﹣2）2+（﹣2）﹣2＝0； 当我们把x＝1和x＝﹣2分别代入x2+x﹣2，整式x2+x﹣2的值都等于0，那么（x﹣1）和（x+2）就是整式x2+x﹣2的两个因式，通过归纳发现： 如果当x＝a时，一个整式的值等于0，那么（x﹣a）就一定是这个整式的一个因式． 反过来，如果（x﹣a）是整式的一个因式，那么当x＝a时，这个整式的值一定等于0． 请你根据上述材料解决以下问题：已知整式P＝x4﹣x3﹣7x2+5x+10． （1）请判断（x+1）是否是整式P的一个因式； （2）当整式P的一次项系数变为k时，而（x+1）仍是它的一个因式．求此时k的值； （3）请尝试将整式P进行因式分解． 【作业 12】（2025秋•美兰区期中）如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4，这种方法叫配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值的问题等．例如： 分解因式：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）； 求代数式2x2+4x﹣6的最小值：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x）﹣6＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6＝2（x+1）2﹣8，可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： （1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝ _______________ ； （2）求代数式﹣3a2+6a+4的最大值； （3）将一根长为24cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，那么这两个正方形面积之和有最小值吗？若有，求此时这根铁丝剪成两段后做成两个正方形面积的和；若没有，请说明理由． 复习建议 · 十字相乘法关键是找两数积为常数项和为一次项 · 分组分解要预见组间能否继续分解 · 复杂多项式用拆项添项或配方凑公式 · 求代数式值优先整体代入 · 分解必须进行到每个因式不能再分为止 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $