第3讲 分式及其基本性质 (精讲+典例+练习)优等生讲义2026-2027学年鲁教版(五四制)八年级数学上册

第3讲 分式及其基本性质 优等生讲义 2026-2027学年鲁教版五四制九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解分式的概念，会判断一个代数式是否为分式 · 掌握分式有意义、无意义、值为零的条件 · 熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的恒等变形 · 会用约分将分式化为最简分式 · 能综合运用分式知识解决真假分式、伴随分式等创新问题 📚 知识梳理 ☆ 1.分式的概念 形如（A、B为整式，B中含字母且B≠0）的式子叫分式 分式有意义的条件：分母B≠0 分式无意义的条件：分母B=0 分式值为0的条件：分子A=0且分母B≠0 概念辨析例题：当x取何值时，分式的值为0 解析：值为0需分子x-2=0且分母x+3≠0，故x=2 ☆ 2.分式的基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式值不变 ==（M≠0） 不改变分式值可化系数为整数、化最高次项系数为正 分子分母的符号同时改变，分式值不变 概念辨析例题：若把分式中m、n都扩大2倍，分式值如何变化 解析：变为==，值不变 ☆ 3.约分 把分式分子分母的公因式约去叫约分 分子分母为多项式时先分解因式再约分 约分的关键是找分子分母的公因式 约分结果应为整式或最简分式 概念辨析例题：约分 解析：分子=(x+2)(x-2)，分母=(x-2)2，约去(x-2)得 ☆ 4.最简分式 分子分母没有公因式的分式叫最简分式 约分一般要约到最简分式为止 判断最简分式看分子分母是否还有公因式 假分式可化为整式与真分式的和 概念辨析例题：下列分式中是最简分式的是：A. B. 解析：B中分母=x(x-1)，分子x与分母有公因式x，不是最简；A无公因式 📋 知识总结表 【考点1】分式的定义（第1-6题） · 判断分式看分母是否含字母 · 分式有意义只需分母≠0 · 值为0要分子=0且分母≠0 · 区分分式与整式看分母是否含字母 1．（2025秋•南昌期末）下列式子中是分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“（其中A，B为整式，且分母B中含有字母）的式子叫做分式”，即可求解． 【解答】解：A．不是分式，故本选项不符合题意； B．不是分式，故本选项不符合题意； C．是分式，故本选项符合题意； D．不是分式，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了分式的定义，关键是分式定义的熟练掌握． 2．（2025秋•贵州期末）若是分式，则□可以是（　　） A．π B．2025 C．0 D．x 【分析】根据形如，A，B都是整式，其中B中含有字母，这样的式子叫做分式，进行判断即可． 【解答】解：观察四个选项，满足条件的□是x， 故选：D． 【点评】本题主要查了分式，熟练掌握定义是关键． 3．（2026春•辽中区期末）在代数式，，中，属于分式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】仔细观察，确定分母中有字母，与系数，指数无关． 【解答】解：根据题意，得是分式的是，共有2个， 故选：B． 【点评】本题考查了分式的定义，分母中含有字母是判断的关键． 4．（2025春•惠山区校级期中）有整式x﹣1，2，x2，请在上述整式中选择你最喜欢的两个整式组成一个分式　（答案不唯一）．　 ． 【分析】依据分式定义（分母含字母的整式商式），从给定整式里，分别选含字母的整式作分母，其余整式作分子，组合出所有符合条件的分式． 【解答】解：有整式x﹣1，2，x2，请在上述整式中选择你最喜欢的两个整式组成一个分式， 分母为x﹣1时： 分子为2，分式为； 分子为x2，分式为． 分母为x2时： 分子为x﹣1，分式为； 分子为2，分式为． 分母为2时，因2是常数（不含字母），组成的、不是分式，舍去． 综上，所有分式为、、、． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题的关键． 5．（2025秋•襄都区期中）请写出一个含有x，并且化简结果为x的分式　（答案不唯一）　 ． 【分析】根据分式的性质，通过约分可以将分式化简为x． 【解答】解：分子和分母同时除以x+1，得到，因此该分式化简结果为x． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了分式的基本性质，正确 进行计算是解题关键． 6．（2024秋•增城区期末）已知x＞3，代数式：A＝2x2﹣8，B＝3x2﹣6x，C＝x3﹣4x2+4x． （1）因式分解B； （2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 【分析】（1）直接利用提取公因式法即可得出答案； （2）选A，B分别作为分子、分母，组成一个分式，约分即可（答案不唯一）． 【解答】解：（1）B＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2）； （2）当A，B分别作为分子、分母时， （答案不唯一）． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，分式的定义，熟练掌握因式分解的方法和分式的约分是解答的关键． 【考点2】分式的基本性质（第7-13题） · 分子分母同乘除同一非0整时值不变 · 字母扩大倍数代入看分式值变化 · 化系数为整数同乘分母最小公倍数 · 符号变化看分子分母负号个数 7．（2025秋•平原县期末）若把分式中m和n的值都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 【分析】根据分式的基本性质，将m和n都扩大2倍后代入分式计算即可． 【解答】解：若把分式中m和n的值都扩大2倍， ∴新分式 ， ∴分式的值扩大为原来的2倍， 故选：C． 【点评】本题考查了分式的基本性质，解题时注意代数式的化简，正确进行计算是解题关键． 8．（2025秋•临洮县期末）把分式中的x，y的值都扩大为原来的4倍，则分式的值（　　） A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的8倍 C．缩小为原来的 D．不变 【分析】利用分式的基本性质计算即可． 【解答】解：把分式中的x，y的值都扩大为原来的4倍可得， 即该分式的值不变， 故选：D． 【点评】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 9．（2025秋•前郭县期末）下列式子从左到右变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于0的整式，分式值不变据此逐项判断即可得出答案． 【解答】解：根据分式的基本性质逐项分析判断如下： A、，原变形错误，故此选项不符合题意； B、，正确，故此选项符合题意； C、，原变形错误，故此选项不符合题意； D、，与不一定相等，原变形错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了分式的性质，平方差公式，分式乘方等知识，掌握运算法则和性质是解题的关键． 10．（2025秋•通州区校级月考）下列各式从左到右的变形一定正确的是　④　 ． ①；②；③；④． 【分析】利用分式的基本性质逐项进行判断即可． 【解答】解：根据分式的基本性质逐项分析判断如下： ①该选项变形错误，不符合题意； ②，该选项变形错误，不符合题意； ③，当a，b异号的时候，该选项变形错误，不符合题意； ④，该选项变形正确，符合题意； 故答案为：④． 【点评】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质． 11．（2024秋•博山区期末）如果把分式中的x和y都扩大5倍，那么分式的值为﹣2，则原分式的值为 　﹣2　 ． 【分析】用5x、5y代替分式中的x、y即可运算求解． 【解答】解：由题意可得，， ∴， ∴2， 即原分式的值为﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是解题的关键． 12．（2025•市中区校级自主招生）已知x是整数，则的最大值，最小值之和为　10　 ． 【分析】先化简原式再求出最小值与最大值，进而得出答案． 【解答】解：， 当x＞15时，y＞5，y随着x的增大而减小， 当x＜15时，y＜5，y随着x的增大而减小． ∴当x＝16时，y取到最大值8，当x＝14时，y取到最小值2． ∴8+2＝10． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查分式的基本性质，理解题意是解题的关键． 13．不改变分式的值，使分子、分母都不含负号． （1）　　 ． （2）　　 ． 【分析】根据分子符号、分母符号及分式的符号三者之间的关系即可解决问题． 【解答】解：（1）； （2）． 故答案为：（1）；（2）． 【点评】本题考查分式的基本性质，熟知分式的基本性质是解题的关键． 【考点3】约分（第14-19题） · 分子分母先分解因式 · 找出公因式约去 · 结果化为最简分式或整式 · 巧分式约分后为整式 14．（2025•怀仁市校级模拟）计算的结果正确的是（　　） A．mn B．﹣mn C．m2﹣n2 D．n2﹣m2 【分析】分子进行因式分解，然后约分即可． 【解答】解： ＝﹣mn． 故选：B． 【点评】本题主要考查了约分，由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 15．（2025春•锦州期末）分式化简的结果为　　 ． 【分析】将分子与分母的公因式3xy约去即可． 【解答】解：将分子与分母的公因式3xy约去可得： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了约分，解题的关键是约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． 16．不改变分式的值，把下列分式的分子与分母中各项的系数都化为整数，分子与分母的最高次项的系数都化为正数． （1）　　 ； （2）　　 ． 【分析】（1）分子、分母中，各分数系数分母的最小公倍数是4， 分子中最高次项的系数是﹣8、分母中最高次项的系数是2； （2）分子、分母中，各分数系数分母的最小公倍数是100，分子中最高次项的系数是﹣50、分母中最高次项的系数是﹣20． 【解答】解：（1） ． 故答案为：； （2） ． 故答案为：． 【点评】本题考查分式的基本性质，熟练掌握基本性质是解题的关键． 17．（2026春•达州校级期末）约分：　　 ． 【分析】直接约去分子与分母的公因式即可得到答案． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的基本性质的应用，分式的约分找到分子分母的公因式是关键，是基础题． 18．（2025秋•同步）把下列分式约分： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）根据分式的基本性质，分子分母同时除以a即可得出答案； （2）约去分母、分子中的公因式2xy2即可； （3）先把分母中的（x﹣y）2转变成（y﹣x）2，再分子、分母约分即可； （4）先把分子﹣a﹣b转变成﹣（a+b），再分子、分母约分即可． 【解答】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【点评】此题考查了约分，用到的知识点是因式分解、分式的基本性质，在约分时要注意符号的变化． 19．定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：4x，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题： （1）下列分式中是“巧分式”的有　①③；　 （填序号）； ①；②③． （2）若分式的“巧整式”为1﹣x，请判断分式是不是“巧分式”，并说明理由． 【分析】（1）利用分式的约分法则把原式化简，再根据“巧分式”的定义判断； （2）根据“巧分式”的定义求出A，把A代入需要判断的分式，约分后，根据“巧分式”的定义证明． 【解答】解：（1）①2x﹣3， ∵2x﹣3是整式， ∴①是“巧分式”； ②不是“巧分式”； ③x﹣y， ∵x﹣y是整式， ∴③是“巧分式”； 故答案为：①③； （2）是“巧分式”，理由如下： 由题意得：A2x+2x2， x+1， ∵x+1是整式， ∴是“巧分式”． 【点评】本题考查的是分式的约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． 【考点4】最简分式（第20-24题） · 判断最简分式看有无公因式 · 多项式先分解再判断 · 约分到不能再约 · 数最简分式个数要逐个判断 20．（2026春•城关区校级期末）下列分式中是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简分式的定义对各选项进行判断． 【解答】解：A． ，所以A选项不符合题意； B． 为最简分式，所以B选项符合题意； C． ，所以C选项不符合题意； D． x2+1，所以D选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 21．（2025秋•河北区期末）下列分式中，是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】最简分式是指分子与分母没有公因式的分式，要判断哪个分式是最简分式，需依次分析每个选项的分子与分母是否有公因式，若没有公因式则为最简分式． 【解答】解：根据最简分式的定义逐项分析判断如下： A、，不是最简分式，不符合题意； B、是最简分式，符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、，不是最简分式，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了最简分式的定义．熟练掌握该知识点是关键． 22．（2024秋•东平县期末）在分式，，，中，最简分式有　2　 个． 【分析】根据最简分式的定义解答即可． 【解答】解：，不是最简分式，不符合题意； ，不是最简分式，不符合题意； ，不能继续化简，是最简分式，符合题意， ∴最简分式有2个． 故答案为：2． 【点评】本题考查最简最简分式，熟知最简分式是分式的分子、分母没有非零的公因式是解题的关键． 23．（1）约分：　　 ； （2）若m为实数，分式不是最简分式，则m＝　0，﹣4　 ． 【分析】（1）找到分子和分母的公因式，进行约分即可； （2）直接利用最简分式的定义结合分式的性质得出答案． 【解答】解：（1）原式， 故答案为：； （2）∵分式不是最简分式， ∴m＝0或﹣4时，都可以化简分式． 故答案为：0，﹣4． 【点评】此题主要考查了最简分式，正确掌握分式的基本性质是解题关键． 24．（2025秋•同步）判断下面的语句是否正确，并说明理由： （1）分式与相等． （2）分式与相等． （3）分式与相等． （4）分式与相等． 【分析】把各个分式化为最简分式，判断即可． 【解答】解：（1）不正确， ∵， ∴； （2）不正确， ∵， ∴； （3）正确， 理由：； （4）正确， 理由：． 【点评】本题考查的是最简分式，掌握分式的性质、分式的约分法则是解题的关键． 【考点5】创新及压轴题（第25-27题） · 新定义题先读懂规则再代入 · 真分式假分式按分子分母次数比较 · 循环规律题找周期 · 阅读题类比分数方法迁移 25．（2025•合肥校级二模）庐阳中学七（11）班数学兴趣小组在学习完七下实数内容后，研究了“当正整数n（n＞1）满足何种条件时，可以化为有限小数”的问题． 请您帮助七（11）班的同学完成下面研究过程： （1）尝试探索：分别计算符合条件情况下的，n不同取值时，的结果．完成填空． n（n＞1） 2 0.5 4 0.25 10 0.1 20 0.05 ①　）　 250 0.004 2500 0.0004 （2）大胆猜想： 当且仅当的n的质因数仅含　2　 和　5　 时，可以化为有限小数． （3）归纳： 如果n的质因数仅含2和5，设n＝2α5β（α，β是非负整数，且不同为0） ①当α≥β≥0时，　　 是一个有限小数； ②当β＞α≥0时，　　 也是一个有限小数． 反过来，如果可以化为有限小数0．a1a2a3⋯ak，那么，n的质因数仅含2和5．（如，可以理解成25×4＝102＝22×52） 阅读以上内容，请填写七（11）班数学兴趣小组探究内容中所缺序号内容． 【分析】（1）模仿示例写成分母中的因素2和5的乘方相同的形式，即分母是10的乘方的形式即可， （2）由（1）分母是10的乘方，可知当n的质因数仅含2和 5时，可以化为有限小数． （3）根据（1）发现的规律和分式利用同底数幂乘法变形即可． 【解答】解：（1）由题意可得：， 故答案为：， （2）当且仅当n的质因数仅含2和 5时，可以化为有限小数． 故答案为：2，5； （3）归纳： 如果n的质因数仅含2和5，设n＝2α5β（α，β是非负整数，且不同为0） ①当α≥β≥0时，是一个有限小数； ②当β＞α≥0时，也是一个有限小数． 反过来，如果可以化为有限小数0．a1a2a3⋯ak，那么，n的质因数仅含2和5．（如，可以理解成25×4＝102＝22×52） 故答案为：，． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法和分数的基本性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 26．填空：． 【分析】利用分式的基本性质解答． 【解答】解：． 故答案为：a2+a，a﹣1． 【点评】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质． 27．（2024春•雅安期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：，； 解决下列问题： （1）分式是 　真　 分式（填“真”或“假”）； （2）将假分式化为带分式； （3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值． 【分析】（1）认真读懂题意，利用题中给出的定义判断； （2）依据题意化简即可； （3）依据题意化简后分情况讨论出结果即可． 【解答】解：（1）分式是真分式； 故答案为：真； （2）； （3）原式， ∵分式的值为整数， ∴x+2＝±1或±13， ∴x＝﹣1或﹣3或11或﹣15． 【点评】本题考查分式的运算，熟练掌握分式的化简运算方法，弄清定义，利用整体的数学思想是解题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（1）不改变分式的值，把分式 的分子分母中各项的系数都化为整数，得 　　 ． （2）不改变分式的值，把分式的分子和分母中x的最高次项系数都化为正数，得 　　 ． 【分析】运用分式的性质分别进行变形、化简． 【解答】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：． 【点评】此题考查了分数基本性质的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行变形、化简． 💯 课后巩固 复习建议 · 分式分母必含字母且不能为0 · 值为0要同时满足分子0分母非0 · 基本性质是恒等变形依据 · 约分先分解因式再约公因式 · 结果必须是最简分式 【作业 1】（2026春•昆都仑区校级期中）下列分式中，是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接判断分子和分母在因式分解后有没有公因式即可． 【解答】解：A选项中分子和分母有公因式2m，所以A选项不符合题意； B选项中分子和分母有公因式（3﹣a），所以B选项不符合题意； C选项中的分子和分母没有公因式，所以C选项符合题意； D 选项中分子和分母有公因式（x﹣1），所以D选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了最简分式，熟练掌握该知识点是关键． 【作业 2】（2024秋•桂阳县校级期中）下列各项中，是分式的是（　　） A．7 B． C． D． 【分析】根据分式定义判断即可． 【解答】解：7、、都是单项式，为分式． 故选：C． 【点评】本题考查了分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． 【作业 3】（2026•曹县二模）若m为整数，则能使也为整数的m有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】先对分式分子分母因式分解，结合分式有意义的条件约分，再将分式变形，根据分式值为整数的条件，找出所有符合要求的整数m即可． 【解答】解：对分子分母因式分解：m2﹣4m+4＝（m﹣2）2，m2﹣4＝（m﹣2）（m+2）， 根据分式有意义的条件可知m≠2且m≠﹣2， 原式变形可得：， ∵m为整数，上式结果也为整数， ∴为整数，即m+2是4的整数约数，4的所有整数约数为±1，±2，±4， 分别计算对应m的值：m+2＝1，m＝﹣1，符合要求； m+2＝﹣1，m＝﹣3，符合要求； m+2＝2，m＝0，符合要求； m+2＝﹣2，m＝﹣4，符合要求； m+2＝4，m＝2，不满足分式有意义，舍去； m+2＝﹣4，m＝﹣6，符合要求． 故选：C． 【点评】本题考查了分式的值，熟练掌握该知识点是关键． 【作业 4】（2024秋•泰山区期中）下列各式中：3x﹣4，x2﹣1，，，0，，，其中分式共有　3　 个． 【分析】根据分式的定义，形如，B中含有字母，这样的式子叫做分式，进行判断即可． 【解答】解：题目所有式子中，分式有，，共3个， 故答案为：3． 【点评】本题考查分式的判断，一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫分式． 【作业 5】对于分式P，，我们把分式叫作P的伴随分式．若分式P1满足，分式P2是P1的伴随分式，分式P3是P2的伴随分式，分式P4是P3的伴随分式，…，依此类推，则分式P2024等于　　 ． 【分析】根据伴随分式的定义依次求出每个分式的伴随分式，然后发现每4个为一循环，再让2024÷4，根据结果即可确定． 【解答】解：∵P1， ∴P2， ∴P3， ∴P4， ∴P5， ∴P5＝P1，P6＝P2，......， ∴4个一循环， ∵2024÷4＝506， ∴P2024＝P4． 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的定义，规律型：数字的变化类，掌握分式的定义是关键． 【作业 6】（2025秋•同步）将下列分式约分： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）直接将分子与分母分解因式，进而化简得出答案； （2）直接将分子与分母分解因式，进而化简得出答案． （3）直接将分子与分母分解因式，进而化简得出答案； （4）直接将分子与分母分解因式，进而化简得出答案． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【点评】此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质和因式分解是解题关键． 【作业 7】（2026秋•同步）填空： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】根据分式的基本性质填空（1）、（2）、（3）、（4）即可． 【解答】解：（1）； 故答案为：b； （2）； 故答案为：a+1； （3）； 故答案为：xy； （4）； 故答案为：2y． 【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握该知识点是关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 分式及其基本性质 优等生讲义 2026-2027学年鲁教版五四制九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解分式的概念，会判断一个代数式是否为分式 · 掌握分式有意义、无意义、值为零的条件 · 熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的恒等变形 · 会用约分将分式化为最简分式 · 能综合运用分式知识解决真假分式、伴随分式等创新问题 📚 知识梳理 ☆ 1.分式的概念 形如（A、B为整式，B中含字母且B≠0）的式子叫分式 分式有意义的条件：分母B≠0 分式无意义的条件：分母B=0 分式值为0的条件：分子A=0且分母B≠0 概念辨析例题：当x取何值时，分式的值为0 解析：值为0需分子x-2=0且分母x+3≠0，故x=2 ☆ 2.分式的基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式值不变 ==（M≠0） 不改变分式值可化系数为整数、化最高次项系数为正 分子分母的符号同时改变，分式值不变 概念辨析例题：若把分式中m、n都扩大2倍，分式值如何变化 解析：变为==，值不变 ☆ 3.约分 把分式分子分母的公因式约去叫约分 分子分母为多项式时先分解因式再约分 约分的关键是找分子分母的公因式 约分结果应为整式或最简分式 概念辨析例题：约分 解析：分子=(x+2)(x-2)，分母=(x-2)2，约去(x-2)得 ☆ 4.最简分式 分子分母没有公因式的分式叫最简分式 约分一般要约到最简分式为止 判断最简分式看分子分母是否还有公因式 假分式可化为整式与真分式的和 概念辨析例题：下列分式中是最简分式的是：A. B. 解析：B中分母=x(x-1)，分子x与分母有公因式x，不是最简；A无公因式 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 分式 （B含字母，B≠0） 分母必含字母 有意义 分母B≠0 无意义则B=0 值为0 分子A=0且B≠0 勿忘分母≠0 基本性质 同乘除同一非0整式 值不变 约分 约去公因式 先分解因式 最简分式 无公因式 约到不能再约 ⚠️ 核心考点 【考点1】分式的定义（第1-6题） · 判断分式看分母是否含字母 · 分式有意义只需分母≠0 · 值为0要分子=0且分母≠0 · 区分分式与整式看分母是否含字母 1．（2025秋•南昌期末）下列式子中是分式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025秋•贵州期末）若是分式，则□可以是（　　） A．π B．2025 C．0 D．x 3．（2026春•辽中区期末）在代数式，，中，属于分式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2025春•惠山区校级期中）有整式x﹣1，2，x2，请在上述整式中选择你最喜欢的两个整式组成一个分式____________________ ． 5．（2025秋•襄都区期中）请写出一个含有x，并且化简结果为x的分式____________________ ． 6．（2024秋•增城区期末）已知x＞3，代数式：A＝2x2﹣8，B＝3x2﹣6x，C＝x3﹣4x2+4x． （1）因式分解B； （2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 【考点2】分式的基本性质（第7-13题） · 分子分母同乘除同一非0整时值不变 · 字母扩大倍数代入看分式值变化 · 化系数为整数同乘分母最小公倍数 · 符号变化看分子分母负号个数 7．（2025秋•平原县期末）若把分式中m和n的值都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 8．（2025秋•临洮县期末）把分式中的x，y的值都扩大为原来的4倍，则分式的值（　　） A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的8倍 C．缩小为原来的 D．不变 9．（2025秋•前郭县期末）下列式子从左到右变形正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（2025秋•通州区校级月考）下列各式从左到右的变形一定正确的是_____ ． ①；②；③；④． 11．（2024秋•博山区期末）如果把分式中的x和y都扩大5倍，那么分式的值为﹣2，则原分式的值为 _______ ． 12．（2025•市中区校级自主招生）已知x是整数，则的最大值，最小值之和为_______ ． 13．不改变分式的值，使分子、分母都不含负号． （1）___________________ ． （2）____________________ ． 【考点3】约分（第14-19题） · 分子分母先分解因式 · 找出公因式约去 · 结果化为最简分式或整式 · 巧分式约分后为整式 14．（2025•怀仁市校级模拟）计算的结果正确的是（　　） A．mn B．﹣mn C．m2﹣n2 D．n2﹣m2 15．（2025春•锦州期末）分式化简的结果为___________________ ． 16．不改变分式的值，把下列分式的分子与分母中各项的系数都化为整数，分子与分母的最高次项的系数都化为正数． （1）____________________ ； （2）____________________ ． 17．（2026春•达州校级期末）约分：____________________ ． 18．（2025秋•同步）把下列分式约分： （1）； （2）； （3）； （4）． 19．定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：4x，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题： （1）下列分式中是“巧分式”的有________ （填序号）； ①；②③． （2）若分式的“巧整式”为1﹣x，请判断分式是不是“巧分式”，并说明理由． 【考点4】最简分式（第20-24题） · 判断最简分式看有无公因式 · 多项式先分解再判断 · 约分到不能再约 · 数最简分式个数要逐个判断 20．（2026春•城关区校级期末）下列分式中是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 21．（2025秋•河北区期末）下列分式中，是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 22．（2024秋•东平县期末）在分式，，，中，最简分式有_____ 个． 23．（1）约分：____________________ ； （2）若m为实数，分式不是最简分式，则m＝_________ ． 24．（2025秋•同步）判断下面的语句是否正确，并说明理由： （1）分式与相等． （2）分式与相等． （3）分式与相等． （4）分式与相等． 【考点5】创新及压轴题（第25-27题） · 新定义题先读懂规则再代入 · 真分式假分式按分子分母次数比较 · 循环规律题找周期 · 阅读题类比分数方法迁移 25．（2025•合肥校级二模）庐阳中学七（11）班数学兴趣小组在学习完七下实数内容后，研究了“当正整数n（n＞1）满足何种条件时，可以化为有限小数”的问题． 请您帮助七（11）班的同学完成下面研究过程： （1）尝试探索：分别计算符合条件情况下的，n不同取值时，的结果．完成填空． n（n＞1） 2 0.5 4 0.25 10 0.1 20 0.05 ①____________________ 250 0.004 2500 0.0004 （2）大胆猜想： 当且仅当的n的质因数仅含_____ 和_____ 时，可以化为有限小数． （3）归纳： 如果n的质因数仅含2和5，设n＝2α5β（α，β是非负整数，且不同为0） ①当α≥β≥0时，____________________ 是一个有限小数； ②当β＞α≥0时，____________________ 也是一个有限小数． 反过来，如果可以化为有限小数0．a1a2a3⋯ak，那么，n的质因数仅含2和5．（如，可以理解成25×4＝102＝22×52） 阅读以上内容，请填写七（11）班数学兴趣小组探究内容中所缺序号内容． 26．填空：． 27．（2024春•雅安期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：，； 解决下列问题： （1）分式是 _____ 分式（填“真”或“假”）； （2）将假分式化为带分式； （3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值． 📝 随堂检测 【练习 1】（1）不改变分式的值，把分式 的分子分母中各项的系数都化为整数，得 ____________________ ． （2）不改变分式的值，把分式的分子和分母中x的最高次项系数都化为正数，得 ____________________ ． 💯 课后巩固 【作业 1】（2026春•昆都仑区校级期中）下列分式中，是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【作业 2】（2024秋•桂阳县校级期中）下列各项中，是分式的是（　　） A．7 B． C． D． 【作业 3】（2026•曹县二模）若m为整数，则能使也为整数的m有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【作业 4】（2024秋•泰山区期中）下列各式中：3x﹣4，x2﹣1，，，0，，，其中分式共有_____ 个． 【作业 5】对于分式P，，我们把分式叫作P的伴随分式．若分式P1满足，分式P2是P1的伴随分式，分式P3是P2的伴随分式，分式P4是P3的伴随分式，…，依此类推，则分式P2024等于____________________ ． 【作业 6】（2025秋•同步）将下列分式约分： （1）； （2）； （3）； （4）． 【作业 7】（2026秋•同步）填空： （1）； （2）； （3）； （4）． 复习建议 · 分式分母必含字母且不能为0 · 值为0要同时满足分子0分母非0 · 基本性质是恒等变形依据 · 约分先分解因式再约公因式 · 结果必须是最简分式 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $