2026-2027学年人教版九年级数学上册 -第一次学情检测 （第25～26章·）

2026—2027学年九年级数学上册第一次学情检测试卷 （测试范围：第二十五章 一元二次方程·第二十六章 二次函数） 满分：150分　　　测试时间：120分钟 注意事项： 1．本试卷共三个大题、25个小题，满分150分，考试时间120分钟。 2．答题前，请将班级、姓名、考号填写在指定位置；答案请写在试卷相应位置。 3．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A．x2＋＝1　　B．ax2＋bx＋c＝0　　C．(x－1)(x＋2)＝x2　　D．3x2－2x＝0 2．抛物线 y＝－2(x＋1)2＋3 的顶点坐标是（　　） A．(1，3)　　B．(1，－3)　　C．(－1，－3)　　D．(－1，3) 3．一元二次方程 x2＋2x－3＝0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4．若 x1、x2 是方程 x2－3x＋1＝0 的两个实数根，则 x1＋x2 的值为（　　） A．－3　　B．1　　C．3　　D．－1 5．将抛物线 y＝x2 先向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式是（　　） A．y＝(x＋2)2＋3 B．y＝(x－2)2－3 C．y＝(x－2)2＋3 D．y＝(x＋2)2－3 6．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的部分图象如图所示，图象经过点 (3，0)，对称轴为直线 x＝1，则方程 ax2＋bx＋c＝0 的另一个根是（　　） A．－1　　B．1　　C．2　　D．－3 7．随着“双碳”战略深入推进，我国新能源汽车出口持续增长。某车企 2024 年新能源汽车出口额为 20 亿元，2026 年达到 28.8 亿元。设年平均增长率为 x，则下列方程正确的是（　　） A．20(1＋x)＝28.8 B．20(1＋2x)＝28.8 C．20(1＋x)2＝28.8 D．20(1＋x2)＝28.8 8．某品牌手机发布时售价为 4000 元/台，经连续两次降价后，售价降为 3240 元/台。设平均每次降价的百分率为 x，则 x 的值为（　　） A．5%　　B．10%　　C．15%　　D．20% 9．二次函数 y＝2x2－4x＋5 的最小值是（　　） A．1　　B．3　　C．5　　D．－1 10．已知二次函数 y＝x2－2x－3，当 －1≤x≤2 时，下列说法正确的是（　　）. A．y 的最大值为 0，最小值为 －4 B．y 的最大值为 －3，最小值为 －4 C．y 的最大值为 0，最小值为 －3 D．y 的最大值为 5，最小值为 －4 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。请将答案填在题中横线上。 11．一元二次方程 x2＝4x 的解是 ． 12．若关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋m＝0 有两个相等的实数根，则 m 的值为 ． 13．已知 x1、x2 是方程 x2－5x＋2＝0 的两个实数根，则 x12＋x22 的值为 ． 14．乡村振兴中，某农户计划用长 40 m 的篱笆围成一个一面靠墙的矩形菜园（垂直于墙的两边均用篱笆），已知墙长 18 m，则该菜园面积的最大值为 m2． 15．若抛物线 y＝x2＋bx＋c 与 x 轴交于点 (－1，0) 和 (3，0)，则 b 的值为 ． 16．将抛物线 y＝x2－2x＋3 沿 x 轴翻折（所得图象与原图象关于 x 轴对称），则所得抛物线对应的函数解析式为 ． 三、解答题：本大题共 9 小题，共 86 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）解下列一元二次方程： （1）x2－4x－5＝0（因式分解法）；（4分） （2）2x2－3x－1＝0（公式法）．（4分） 18．（8分）已知关于 x 的一元二次方程 x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0（k 为常数）． （1）求证：无论 k 取何值，该方程总有两个不相等的实数根；（4分） （2）若该方程的一个根为 2，求 k 的值，并求出此时方程的另一个根．（4分） 19．（8分）某商场开展“以旧换新”促销活动，销售一款智能学习平板。该平板每台进价 40 元，当售价为每台 60 元时，每周可售出 200 台。经调查，售价每降低 1 元，每周可多售出 20 台。设每台降价 x 元，每周销售利润为 w 元。 （1）求 w 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围；（4分） （2）若商场某周希望获得 4480 元的销售利润，且为了尽快减少库存，每台应降价多少元？（4分） 20．（8分）如图，某小区有一块长 32 m、宽 20 m 的矩形空地，计划在其中修建两条互相垂直且宽度相同的直形道路（一条纵向、一条横向），剩余部分铺建草坪。若草坪的面积为 540 m2，求道路的宽。 21．（8分）已知二次函数 y＝x2－2x－3． （1）求该抛物线的顶点坐标和对称轴；（3分） （2）求该抛物线与坐标轴的交点坐标；（3分） （3）当 －2≤x≤1 时，求 y 的最小值．（2分） 22．（10分）已知抛物线 y＝ax2＋bx＋3 经过点 A(1，0)、B(3，0)． （1）求该抛物线的解析式；（4分） （2）若该抛物线与直线 y＝m 有两个公共点，求 m 的取值范围；（3分） （3）当 0≤x≤3 时，求 y 的取值范围．（3分） 23．（10分）2026 年建成的某生态公园里有一座景观拱桥，桥拱呈抛物线形。以拱顶 O 为原点、水平方向为 x 轴建立平面直角坐标系（如图）。已知桥下水面宽 AB＝8 m，拱顶 O 到水面的距离为 4 m。 （1）求该抛物线的函数解析式；（4分） （2）因上游降雨，水位上涨 1 m，求此时水面的宽度（结果保留根号）；（3分） （3）一艘宽 2 m、高出水面 1.5 m 的游船（船体居中）能否安全通过该桥拱？请说明理由．（3分） 24．（12分）如图，抛物线 y＝－x2＋2x＋3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 D． （1）求点 A、B、C、D 的坐标；（4分） （2）求 △BCD 的面积；（4分） （3）点 P 是直线 BC 上方抛物线上的一个动点，当 △PBC 的面积最大时，求点 P 的坐标和 △PBC 面积的最大值．（4分） 25．（14分）已知二次函数 y＝x2－2mx＋m2＋m－1（m 为常数）． （1）用含 m 的代数式表示该抛物线顶点 P 的坐标；（3分） （2）求证：无论 m 取何值，顶点 P 总在直线 y＝x－1 上；（4分） （3）当 －1≤x≤2 时，该二次函数的最小值为 －2，求 m 的值．（7分） 2026—2027学年九年级数学上册第一次学情检测试卷 第二十五章 一元二次方程·第二十六章 二次函数参考答案与详细解析 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A C C A C B B A 1．D A 项含分式 ，不是整式方程；B 项未注明 a≠0，当 a＝0 时不是一元二次方程；C 项化简后 x2＋x－2＝x2，即 x－2＝0，是一元一次方程；D 项 3x2－2x＝0 符合“一个未知数、最高次数为 2、整式方程”．故选 D． 2．D 抛物线 y＝a(x－h)2＋k 的顶点为 (h，k)．y＝－2(x＋1)2＋3 中 h＝－1，k＝3，故顶点为 (－1，3)．易错点：x＋1 是 x 减去（－1），顶点横坐标为 －1 而不是 1．故选 D． 3．A Δ＝22－4×1×(－3)＝4＋12＝16＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选 A． 4．C 由根与系数的关系，x1＋x2＝－＝－＝3．（不必解方程．）故选 C． 5．C “左加右减、上加下减”：向右平移 2 个单位，x 换成 x－2；向上平移 3 个单位，整体加 3，得 y＝(x－2)2＋3．故选 C． 6．A 抛物线与 x 轴的两个交点关于对称轴对称．设另一根为 x0，则 ＝1，解得 x0＝－1．故选 A． 7．C 从 2024 年到 2026 年经过两年增长，2025 年为 20(1＋x) 亿元，2026 年为 20(1＋x)2 亿元，由 2026 年出口额 28.8 亿元得 20(1＋x)2＝28.8．易错点：两年增长要平方两次，不能写成 20(1＋2x)．故选 C． 8．B 由题意 4000(1－x)2＝3240，即 (1－x)2＝0.81，开方得 1－x＝0.9（降价时 1－x＞0），解得 x＝0.1＝10%．故选 B． 9．B 配方：y＝2x2－4x＋5＝2(x－1)2＋3．因为 a＝2＞0，开口向上，当 x＝1 时函数有最小值 3．故选 B． 10．A y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，开口向上，对称轴为直线 x＝1．因为 x＝1 在 －1≤x≤2 范围内，所以最小值为 y(1)＝－4；再比较端点：y(－1)＝0，y(2)＝－3，所以最大值为 y(－1)＝0．故选 A．易错点：最大值不在顶点处取，须比较两端点的函数值． 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 11．x1＝0，x2＝4 移项得 x2－4x＝0，因式分解得 x(x－4)＝0，所以 x＝0 或 x＝4．易错点：不能在两边同除以 x，否则丢掉 x＝0 这个根． 12．1 有两个相等的实数根 ⇔ Δ＝0：Δ＝(－2)2－4m＝4－4m＝0，解得 m＝1． 13．21 由根与系数的关系：x1＋x2＝5，x1x2＝2，所以 x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝25－4＝21． 14．198 设垂直于墙的边长为 x m，则平行于墙的边长为 (40－2x) m，面积 S＝x(40－2x)＝－2(x－10)2＋200．由墙长限制：40－2x≤18，得 x≥11，而顶点横坐标 x＝10 不在 x≥11 范围内，所以当 x＞10 时 S 随 x 增大而减小，故 x＝11 时 S 最大，最大值为 11×18＝198 m2．易错点：不检验墙长限制而误答 200 m2． 15．－2 设两根为 x1＝－1，x2＝3，由根与系数的关系 b＝－(x1＋x2)＝－2．（也可将两点分别代入求 b、c．） 16．y＝－x2＋2x－3 关于 x 轴对称的点的横坐标不变、纵坐标互为相反数，故将 y 换成 －y：－y＝x2－2x＋3，即 y＝－x2＋2x－3． 三、解答题（共 86 分） 17．（8分） （1）（4分）因式分解：x2－4x－5＝(x－5)(x＋1)＝0， 所以 x－5＝0 或 x＋1＝0，解得 x1＝5，x2＝－1． （2）（4分）a＝2，b＝－3，c＝－1，Δ＝(－3)2－4×2×(－1)＝9＋8＝17＞0， x＝，即 x1＝，x2＝． 18．（8分） （1）（4分）Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×(k2＋k) ＝4k2＋4k＋1－4k2－4k＝1＞0， 所以无论 k 取何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）（4分）把 x＝2 代入方程：4－2(2k＋1)＋k2＋k＝0， 整理得 k2－3k＋2＝0，即 (k－1)(k－2)＝0，解得 k＝1 或 k＝2． 当 k＝1 时，方程为 x2－3x＋2＝0，两根为 2 和 1，另一个根为 1； 当 k＝2 时，方程为 x2－5x＋6＝0，两根为 2 和 3，另一个根为 3． 综上：k＝1，另一个根为 1；或 k＝2，另一个根为 3． 19．（8分） 解：（1）（4分）每台降价 x 元后，每台利润为 (60－x－40)＝(20－x) 元，每周售出 (200＋20x) 台， 所以 w＝(20－x)(200＋20x)＝－20x2＋200x＋4000． 由每台售价不能低于 0 元且降价不小于 0，得 0≤x＜60， 即 w＝－20x2＋200x＋4000（0≤x＜60）． （2）（4分）由题意得 －20x2＋200x＋4000＝4480， 整理得 x2－10x＋24＝0，因式分解得 (x－4)(x－6)＝0，解得 x1＝4，x2＝6． 因为要尽快减少库存，即每周销量尽可能大，降价越多销量越大，所以取 x＝6． 答：每台应降价 6 元（此时售价 54 元，每周售出 320 台）． 20．（8分） 解：设道路的宽为 x m． 将两条道路分别平移到矩形空地的边上，剩余草坪可拼成一个长为 (32－x) m、宽为 (20－x) m 的矩形， 由草坪面积为 540 m2 得 (32－x)(20－x)＝540， 展开整理得 x2－52x＋100＝0，因式分解得 (x－2)(x－50)＝0， 解得 x1＝2，x2＝50． 因为道路的宽不能超过空地的宽 20 m，所以 x＝50 不合题意，舍去，故 x＝2． 答：道路的宽为 2 m．（检验：(32－2)×(20－2)＝30×18＝540，符合题意．） 易错点：求出两根后必须结合实际意义舍根，不能直接答两个答案． 21．（8分） 解：（1）（3分）配方：y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， 所以顶点坐标为 (1，－4)，对称轴为直线 x＝1． （2）（3分）令 y＝0：x2－2x－3＝0，因式分解得 (x－3)(x＋1)＝0， 解得 x1＝3，x2＝－1，故与 x 轴的交点为 (3，0)，(－1，0)； 令 x＝0，得 y＝－3，故与 y 轴的交点为 (0，－3)． （3）（2分）y＝(x－1)2－4 的对称轴为直线 x＝1，而 x＝1 恰在 －2≤x≤1 范围的端点处， 所以当 x＝1 时 y 取最小值 －4． 22．（10分） 解：（1）（4分）把 A(1，0)、B(3，0) 代入 y＝ax2＋bx＋3，得 a＋b＋3＝0，9a＋3b＋3＝0． 两式相减得 8a＋2b＝0，即 b＝－4a；代入第一式得 a－4a＋3＝0，解得 a＝1，b＝－4． 所以该抛物线的解析式为 y＝x2－4x＋3． （2）（3分）y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，开口向上，最小值为 －1． 抛物线与直线 y＝m 有两个公共点 ⇔ 水平直线位于抛物线顶点上方，即 m＞－1． （3）（3分）对称轴为直线 x＝2，且 2 在 0≤x≤3 范围内， 所以最小值为 y(2)＝－1；再比较端点：y(0)＝3，y(3)＝0，最大值为 y(0)＝3． 故 y 的取值范围为 －1≤y≤3． 23．（10分） 解：（1）（4分）由题意，B(4，－4) 在抛物线上，可设抛物线为 y＝ax2， 把 (4，－4) 代入：－4＝16a，解得 a＝－， 所以该抛物线的函数解析式为 y＝－x2（－4≤x≤4）． （2）（3分）水位上涨 1 m 后，水面所在直线为 y＝－3． 令 －x2＝－3，解得 x2＝12，x＝±， 所以此时水面的宽度为 2×＝（m）． （3）（3分）能安全通过．理由如下： 水位上涨后水面为 y＝－3，游船宽 2 m 且居中，船体两侧位于 x＝±1 处， 船顶所在高度为 －3＋1.5＝－1.5； 拱圈在 x＝±1 处的高度为 y＝－×1＝－，且在 |x|≤1 内拱圈都不低于 －， 因为 －＞－1.5，即拱圈高于船顶，所以该游船能安全通过． 24．（12分） 解：（1）（4分）令 y＝0：－x2＋2x＋3＝0，即 x2－2x－3＝0， 因式分解得 (x－3)(x＋1)＝0，解得 x＝3 或 x＝－1， 所以 A(－1，0)，B(3，0)；令 x＝0，得 y＝3，所以 C(0，3)； y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，所以顶点 D(1，4)． （2）（4分）直线 BC 过 B(3，0)、C(0，3)，其解析式为 y＝－x＋3． 过 D 作 x 轴的垂线交 BC 于点 E，则 E(1，2)，所以铅垂高 DE＝4－2＝2． BC 的水平跨度为 3，所以 S△BCD＝×3×2＝3． （3）（4分）设 P(t，－t2＋2t＋3)（0＜t＜3）． P 在直线 BC 上方，铅垂高 h＝(－t2＋2t＋3)－(－t＋3)＝－t2＋3t． 则 S△PBC＝×3×(－t2＋3t)＝－t2＋t， 对称轴为直线 t＝－＝，且 0＜＜3， 所以当 t＝ 时，S 取最大值 －×＋×＝， 此时 yP＝－＋3＋3＝，即 P(，)． 答：点 P 的坐标为 (，)，△PBC 面积的最大值为 ． 25．（14分） 解：（1）（3分）配方：y＝x2－2mx＋m2＋m－1＝(x－m)2＋(m－1)， 所以顶点 P 的坐标为 (m，m－1)． （2）（4分）把 x＝m 代入直线 y＝x－1，得 y＝m－1，恰为顶点 P 的纵坐标， 所以无论 m 取何值，顶点 P(m，m－1) 都在直线 y＝x－1 上． （3）（7分）y＝(x－m)2＋(m－1)，开口向上，对称轴为直线 x＝m，区间为 －1≤x≤2． ①当 m＜－1 时，区间 －1≤x≤2 在对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大， 最小值为 y(－1)＝(－1－m)2＋m－1＝m2＋3m． 令 m2＋3m＝－2，即 m2＋3m＋2＝0，解得 m＝－1 或 m＝－2， 由 m＜－1 得 m＝－2； ②当 －1≤m≤2 时，最小值为顶点纵坐标 m－1． 令 m－1＝－2，解得 m＝－1，符合前提； ③当 m＞2 时，区间在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减小， 最小值为 y(2)＝(2－m)2＋m－1＝m2－3m＋3． 令 m2－3m＋3＝－2，即 m2－3m＋5＝0，Δ＝9－20＝－11＜0，无实数解，舍去． 综上，m 的值为 －2 或 －1． 易错点：开口向上的抛物线在闭区间上的最小值必须按对称轴与区间的位置关系分三类讨论． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $