精品解析：甘肃省白银市第八中学2026-2027学年高二上学期9月月考数学试题

白银八中2026-2027学年第一学期9月月考 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量共面的性质逐项判断即可； 【详解】对于A，，所以三向量共面，故A错误； 对于B，，所以三向量共面，故B错误； 对于C，，所以三向量共面，故C错误； 对于D，假设共面，则，即， 所以，不符合题意，所以假设不成立，故D正确； 故选：D. 2. 在正四棱台中，，向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，设正四棱台高为h，如图建系，求得各点坐标，进而可得，根据投影向量的公式，即可求得答案. 【详解】设，则，设正四棱台高为h， 设平面中心为F，平面中心为E，取AB中点G，BC中点H， 连接FG、FH、FE，根据正四棱台的性质， 以F为原点，FG、FH、FE为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 则， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为 . 故选：C 3. 如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理结合图形求解即可. 【详解】. 因为，，，， 所以 . 故选：A. 4. 已知空间中三点，则（ ） A. 当时，与是共线向量 B. 与共线的单位向量是 C. 若为钝角，则 D. 当时，在上的投影向量为 【答案】C 【解析】 【分析】对每个选项分别利用空间向量的共线条件、单位向量定义、钝角判定规则和投影向量公式，逐一验证其正确性. 【详解】选项A：当时：，并不存在实数使得，因此不共线，选项A错误； 选项B：，则与共线的单位向量为，选项B错误； 选项C：为钝角的条件是：且不反向共线，，且不反向共线，故，选项C正确； 选项D：当时，，，，投影向量为，选项D错误. 故选：C 5. 已知点A(3,3,-5),B(2,-3,1),C为线段AB上一点,且 ,则点C的坐标为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出C点的坐标，根据A，B，C三个点的坐标，写出两个向量的坐标，根据两个向量之间的关系，得到关于x，y，z的关系式，在每一个关系式中解出变量的结果，得到要求的点的坐标． 【详解】设C的坐标是（x，y，z） ∵A(3,3,-5),B(2,-3,1)， ∴ ∵， ∴ 由此解得 ， 故选C. 【点睛】本题是一个向量之间关系的题目，要使的向量相等，只要向量的横标和纵标分别相等；要使的向量平行，只要满足平行的充要条件，列出关于x的一元二次方程，解方程即可． 6. 已知，则在上的投影向量坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用投影向量公式结合数量积公式及模长公式计算求解. 【详解】由题意可得． 故选：A. 7. 已知直线l过点，且直线l的方向向量为，若点在直线l上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意有存在实数，使得，利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意，所以存在实数，使得， 所以，所以，即. 故选：B. 8. 如图，已知正三棱柱的棱长均为，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得和的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】以的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正三棱柱的棱长均为， 可得， 所以，可得， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值是. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，满分18分．每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的．全部选对得6分，部分选对按比例得分，选错或不选得0分． 9. 如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，动点在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（ ） A. 在中点时，平面平面 B. 异面直线所成角的余弦值为 C. 不在同一个球面上 D. 若，则点轨迹长度为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正方体图像特征证明面，结合面面垂直的判定定理判断A；根据异面直线所成的角判断B错误；根据五点共圆得到C；分析可知点轨迹是过点与平行的线段，根据轨迹求出长度得到D. 【详解】对于选项A：取的中点，连接， 在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点， 易知平面在面内， 所以面面， 所以面面，所以， 连接是正方形，， 因为面面，所以， 因为面面， 所以面，因为面，所以， 综上，面面，又， 所以面面，故平面平面，故A正确； 对于选项B：取的中点，连接，则， 所以是异面直线所成的角， 又，则，故B错误； 对于选项C：记正方体的中心为点，则， 所以在以为球心，以为半径的球面上，故C不正确； 对于选项D：因为，且为的中点， 所以，故， 所以点轨迹是过点与平行的线段，且， 所以，故D正确. 故选：AD 10. 在平行六面体中，，，M为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算判断A，根据A的结果，计算数量积，判断B，利用基底表示，再代入向量数量积运算求模，判断C，根据几何图形，判断D. 【详解】对于A，，故A正确： 对于B，，故B错误， 对于C，，故C错误： 对于D，易得为正三角形，故，故D正确. 故选：AD 11. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为的中点，点满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则四面体的体积为定值 B. 若，则点的轨迹为一段圆弧 C. 若的外心为，则为定值2 D. 若且，则存在点，使得的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】连接，由线面平行的判定定理即可证明平面，从而判断A；建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可判断BD，由空间向量数量积的定义即可判断C. 【详解】对A项，连接，故点在线段上，因为，故平面，所以到平面的距离为定值，又因为为定值，所以四面体的体积为定值，A对； 对B项，如图，取中点，因为底面为一个内角的菱形， 所以，以为原点建系如图，故， 设，由可得， 故点为以为圆心，为半径的圆落在正方形内的部分， 设与圆交于点，因为，所以， 故点轨迹的长度为，B对； 对C项，如图，取中点，所以，故，C错； 对D项，结合B项中建系，设，可得， 所以， 如图，设， 在线段上取点，设，则， 显然，连接使得共线，此时有最小值，故D对. 故选:ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 如图所示四棱锥，平面平面，是AB中点，平面PCD与平面POD的夹角的余弦值为，则线段OP的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】取中点，连接，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后利用向量夹角公式列式求解即可. 【详解】取中点，连接，则， 所以， ，是中点，， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面，， 以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 设，， 则，，，，，， ，，设平面的法向量为， ，， 取，解得，则， ，，设平面的法向量为， ，，取，解得，， ，，，， ，， 设平面与平面的夹角为，则， ，，，. 故答案为： 13. 设，向量，且，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用向量垂直和共线的坐标表示，列出方程，求得的值，得到的坐标，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得，所以， 又因为，可得，解得，所以， 所以，则. 故答案为：. 14. 在空间直角坐标系中，点，，，的坐标分别是，，，，若，，，四点共面，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据四点共面的性质列式求值. 【详解】设，则， 所以. 又，，，四点共面，所以. 由. 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共4小题，满分77分．解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程． 15. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形， 侧棱的长为2，且，在线段、、、分别取、、、四点且，，，.求： （1）证明：； （2）的长； （3）直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1），， 故，故； （2） （3） 【解析】 【分析】(1)选择为基底将表示出来，从而证明，（2）利用数量积的定义求向量的模，从而求的长， （3）利用结合使用作为基底求出直线与平面所成角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 , 故 ； 【小问3详解】 由，，， 故， 又， 故, 又平面，且, 故平面，即是平面的法向量， 令直线与平面所成角为， 则， 又， 故 ， 故 ， 即. 16. 如图，M，N分别是四面体的棱OA，BC的中点，是上靠近点的三等分点，，，． （1）以为基表示； （2）若，，，，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算结合图形计算即可； （2）根据，结合数量积的运算律计算即可. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ， 故当时，取得最小值，所以． 17. 已知点为坐标原点，向量，计算： （1）求向量同向的单位向量； （2）若，求的值； 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据单位向量定义求向量同向的单位向量； （2）应用向量的线性运算和垂直的坐标表示列方程求参数. 【小问1详解】 因为，， 所以，与同向的单位向量为. 【小问2详解】 因为，， 又， 所以，即. 18. 如图，已知四棱锥的底面是矩形，底面，，，是侧棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）以A为原点，以所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 已知，，是侧棱的中点，则： ， 故； ，故； ，故； 又，平面， 由线面垂直判定定理可得，平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知四棱锥的性质，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，利用向量数量积计算得出线线垂直关系，进而利用线面垂直判定定理得出结论； （2）求出平面相关向量及平面法向量，进而利用线面角公式计算求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，设平面的法向量为， 则，令，则，故， 设直线与平面所成角为， 由线面角公式得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白银八中2026-2027学年第一学期9月月考 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 2. 在正四棱台中，，向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间中三点，则（ ） A. 当时，与是共线向量 B. 与共线的单位向量是 C. 若为钝角，则 D. 当时，在上的投影向量为 5. 已知点A(3,3,-5),B(2,-3,1),C为线段AB上一点,且 ,则点C的坐标为(　　) A. B. C. D. 6. 已知，则在上的投影向量坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线l过点，且直线l的方向向量为，若点在直线l上，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知正三棱柱的棱长均为，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，满分18分．每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的．全部选对得6分，部分选对按比例得分，选错或不选得0分． 9. 如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，动点在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（ ） A. 在中点时，平面平面 B. 异面直线所成角的余弦值为 C. 不在同一个球面上 D. 若，则点轨迹长度为 10. 在平行六面体中，，，M为的中点，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为的中点，点满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则四面体的体积为定值 B. 若，则点的轨迹为一段圆弧 C. 若的外心为，则为定值2 D. 若且，则存在点，使得的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 如图所示四棱锥，平面平面，是AB中点，平面PCD与平面POD的夹角的余弦值为，则线段OP的长为___________． 13. 设，向量，且，则___________. 14. 在空间直角坐标系中，点，，，的坐标分别是，，，，若，，，四点共面，则________. 四、解答题：本题共4小题，满分77分．解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程． 15. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形， 侧棱的长为2，且，在线段、、、分别取、、、四点且，，，.求： （1）证明：； （2）的长； （3）直线与平面所成角的余弦值. 16. 如图，M，N分别是四面体的棱OA，BC的中点，是上靠近点的三等分点，，，． （1）以为基表示； （2）若，，，，求的最小值． 17. 已知点为坐标原点，向量，计算： （1）求向量同向的单位向量； （2）若，求的值； 18. 如图，已知四棱锥的底面是矩形，底面，，，是侧棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $