甘肃省临潭县第一中学2026-2027学年高二上学期月考数学模拟卷

临潭县第一中学2026-2027学年上学期月考模拟卷 高二 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版（2019)选择性必修第一册第1-2章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.数列{a}中，a=-12,a-an=4n(neN),则a=(). A.-28 B.28 C.-14 D.14 2.己知点A(2,3),B(-13-5),直线AB的倾斜角为() 4骨 B.d π 6 D.3 3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-1,则S2o27=() A.22027 B.22027-1 C.22026 D.22026-1 4.过点4(2,3)且倾斜角为石的直线方程为（) Ay=5(x-2+3B.y=5(x+2)+3C.y=5( 3(-2)+3 Dy-9+23 5.已知两条不重合的直线l:ax+2y-1=0和l2:x+(a+1)y-1=0,aeR,若ll2,则a的值为() A.-2 B.-2或1 c.1 D.-1或2 21 6.已知圆C:(x-a+(y-b)=1(a>0,b>0)上有两点关于直线x+2y-4=0对称，则二+二的最小 a b 值为() A.22 B.2 C.4 D.8 7.设P为圆C:(x+1)2+y2=9上任意一点，点A(3,3),则|PA的最大值为() A.2 B.6 C.8 D.9 8.己知圆C:x2+(y-5)=9与圆C2:(x-a+y2=9(a>0)交于M,N两点，若点A(4,0)在直线MN上， 则实数t的取值范围为() 71 11 c.（-o,- D.（-i,0) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和.已知a=2,S,=90,则下列结论正确的有() A.a5=10 B.{an}为递减数列 C.S7=42 D.当n=2时，Sn最小 10.己知直线l:(a+1)x+3y+a=0,直线l2:x-2y+1=0,下列结论正确的是() A.直线恒过点 B.对于任意的a∈R,直线l的斜率都存在 C.若l⊥l,则a=2 D.若∥山，则a=-5 2 11.已知圆C:x2+y2-2x-4y+1=0,点P是直线l:y=x+5上一动点，则下列选项正确的是() A.将圆C与坐标轴的所有公共点顺次连接围成的图形面积为√3 B.圆心C到l的距离的最大值为√10 C.若圆C上存在两点关于l对称，则k=-3 D.若k=1,PA是圆C的一条切线(A为切点)，则∠APC可以为 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.过点(2,4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为 B,已知等比数列Q的各项都为正数，且四+凸+4+0，=+++则4442的值为7 14.已知圆C:(x-2)2+(y-3)2=4,直线1：mx-y+1-2m=0(m∈R),若1与C相切，则m= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分)记Sn为等差数列{an}的前n项和，己知a2=3,S=4a4. (1)求数列{an}的通项公式. (2)数列 anan+l 的前n项和为Tn,求证：Tn<2 1615分)已知数列a,}的前n项和为S,S.=”2a(aeN),且4=1.数列，}为等比数列， b=43-4,b4=a5+1. (1)求{an}和{bn}的通项公式： ②设c,=”:b,n∈N,求数列C}的前n项和T 17.(15分)一条直线经过点P(3,2),并且分别满足下列条件，求直线方程： (1)倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的2倍： (2)与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小(O为坐标原点). 18.(17分)己知点(x,y)满足(x-3)2+(y-4)2=9,求： (1)3x+4y的最大值与最小值： (2)(x+1)2+y2的最小值. 19.(17分)已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线1：mx-y+2-m=0,设直线与圆相交于A,B两点 (1)若直线I恒过定点D,求出点D坐标： (2)求弦AB中点的轨迹方程； (3)相交弦AB长度的最小值及相应的m的值. 临潭县第一中学2026-2027学年上学期月考模拟卷 高二 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第一册第1-2章 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．数列中，，，则（   ）． A． B．28 C． D．14 【答案】B 【详解】由，， 得． 2．已知点，直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用斜率公式以及斜率与倾斜角公式即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为， 由题意得：，所以，，所以. 3．已知数列的前项和为，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，所以， 当时，， 所以，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以. 4．过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出. 【详解】直线的斜率为，又直线过点，，即. 故选：C. 5．已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】两直线 ，平行， 则，交叉相乘得. 故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意； 当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此 . 6．已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过圆上对称性质判断出圆心在直线上，从而得出间的关系式，进而通过基本不等式求出最小值. 【详解】因为圆上有两点关于直线对称，可知圆心在直线上，即. ，等号当且仅当时成立. 7．设为圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【详解】因为，所以点在圆外，又, 故的最大值为. 8．已知圆与圆交于两点，若点在直线上，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆方程相减可得直线的方程，代入点，可得的关系式，利用函数单调性可求答案. 【详解】两圆方程相减得，，令，则. 由两圆相交知，，解得， 又，则，易得在上单调递增， 且，所以. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．数列为等差数列，为其前项和.已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B．为递减数列 C． D．当时，最小 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式计算即可. 【详解】因为数列为等差数列，为其前项和.已知，， 设该数列的首项为，公差为，则，化简得，解得. 所以，所以A正确；由于，所以数列为递增数列，B错误； ，C正确；由于， 所以当时，最小，为，D正确. 10．已知直线，直线，下列结论正确的是（    ） A．直线恒过点 B．对于任意的，直线的斜率都存在 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】对于A，由题意得，若直线过定点，则有，，即可求得直线所过的定点，对于B，由题意得的斜率为，对于任意的，直线的斜率都存在，对于C，由可得两直线斜率之积为，对于D，由可得两直线斜率相等. 【详解】对于A，由题意得，即， 若直线过定点，则有，解得，定点为，故A正确； 对于B，直线的斜率为，对于任意的，直线的斜率都存在，故B正确； 对于C，因为，所以有，解得或，故C错误； 对于D，因为，所以，解得，故D错误. 故选：AB. 11．已知圆：，点是直线：上一动点，则下列选项正确的是（    ） A．将圆与坐标轴的所有公共点顺次连接围成的图形面积为 B．圆心到的距离的最大值为 C．若圆上存在两点关于对称，则 D．若，是圆的一条切线（为切点），则可以为 【答案】ABC 【分析】根据圆的方程求出与坐标轴交点的坐标即可判断A，根据直线过定点即可判断B，利用直线过圆心判断C，根据直角三角形中角的正弦值范围判断D. 【详解】圆，圆心为，半径． 对于A，圆C与坐标轴的公共点围成三角形，且三角形的三个顶点为，，围成的三角形面积为，故A正确； 对于B，直线过定点，圆心C到该定点的距离为，故圆心C到l的距离最大值为，故B正确；对于C，若圆C上存在两点关于l对称，则l过圆心，由，得，故C正确； 对于D，当时，直线， 圆心到其距离为，由知，，此时，不能为，故D错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为________． 【答案】或 【详解】设直线，截距分别为和，因为截距互为相反数，所以. 若，，又过点，所以，直线为. 若，解得，，所以，直线为. 13．已知等比数列的各项都为正数，且，则的值为_____. 【答案】4 【分析】利用等比数列下标和性质，将前四项倒数和整理为与前四项和相关的形式，求出两项乘积后即可得到四项总乘积. 【详解】设等比数列的公比为q，由数列各项都为正数得. 根据等比数列性质：若，则，可得， 记，则， 所以，所以. 14．已知圆：，直线：，若与相切，则________． 【答案】 【分析】先从圆方程读出圆心与半径，利用直线与圆相切时圆心到直线距离等于半径这一核心关系，套用点到直线距离公式列式，化简求解参数． 【详解】圆：的圆心，半径， 圆心到直线：的距离， 因为直线与圆相切，所以，即，解得． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）记为等差数列的前项和，已知，． (1)求数列的通项公式． (2)数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)由(1)知，故， ， ， 因为，所以. 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式求解； （2）利用裂项相消法求解. 【详解】（1）设等差数列公差为,因为，所以， 因为， ，所以， 则，解得，即，联立，解得， 则. （2）略 16．（15分）已知数列的前n项和为，，且．数列为等比数列，． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用得出的通项公式，再结合基本量运算得出的通项公式； （2）应用裂项相消法计算求解. 【详解】（1），， 当时，，可得， 即有， 上式对也成立，则； 为公比设为q的等比数列，， 可得，，则，即，∴，所以； （2）， 前n项和为． 17．（15分）一条直线经过点，并且分别满足下列条件，求直线方程： (1)倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (2)与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且的面积最小（O为坐标原点）． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，利用可得所求直线斜率，从而可用点斜式得到直线方程. （2）设直线方程为，将点代入得，利用基本不等式得，从而得到面积的最小值及此时的直线方程. 【详解】（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则，且，，从而所求直线方程为，即． （2）设直线方程为，，，代入，得，得， 当且仅当即时等号成立，从而， 此时直线方程为，即． 18．（17分）已知点满足，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 【答案】(1)40；10. (2)． 【分析】（1）设，根据直线与圆有公共点结合点到直线的距离公式计算求解； （2）解法一：设，代入利用三角恒等变换化简计算求解即可；解法二：根据的几何意义，利用两点间距离公式计算求解. 【详解】（1）表示以为圆心，为半径的圆， 设，直线与圆有公共点， ． ，即的最大值为40，最小值为10. （2）解法一：设， 则， ∴其最小值为． 解法二：设是圆上的点，圆外一点， 则的几何意义是，而最小值是，即． 19．（17分）已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． 【答案】(1)定点的坐标为； (2)弦中点的轨迹方程为； (3)弦长度的最小值为，对应的。 【分析】（1）分离参数求直线恒过定点； （2）利用垂径定理的垂直关系推导中点轨迹； （3）结合弦长公式与距离最值求最短弦长及对应参数. 【详解】（1） 对直线的方程变形：将整理为， 该式对任意实数恒成立，因此需满足，解得， 即定点的坐标为. （2）设弦的中点为，圆的圆心为，由垂径定理可得. 因为在直线上，直线恒过，故，即， 代入，得： ， 展开并配方得，因为圆内含于圆C,故圆上所有点都符合题意， 所以弦中点的轨迹方程为; （3）设圆心到直线的距离为，圆的半径， 由弦长公式得，因此最大时最小， 由于直线恒过定点，故，当且仅当时取最大值， 计算得，. 此时直线的斜率，由得，解得. 学科网（北京）股份有限公司 $临潭县第一中学2026-2027学年上学期月考模拟卷 高二 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版（2019)选择性必修第一册第1-2章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.数列{a}中，a=-12,a-an=4n(neN),则a=(). A.-28 B.28 C.-14 D.14 【答案】B 【详解】由a=-12,an1-an=4nn∈N), 得a=a+(a2-a)+(a-a2)+(a4-a)+(a-a)=-12+4+8+12+16=28 2.已知点A(2,3),B(-l3-V3),直线AB的倾斜角为() B. C.5π 2π D. 6 6 3 【答案】B 【分析】利用斜率公式以及斜率与倾斜角公式即可求解 【详解】设直线AB的倾斜角为a, 由题意得：kB= 3-(3-5)5 所以k=ma=5,ue0,列，所以a= 2-（-1) 3 3 6 3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-1,则So2=() A.22027 B.22027-1 C.22026 D.22026-1 【答案】B 【详解】当n=1时，a=S=2a,-1,所以a=1, 当n≥2时，an=Sn-Sn=(2an-1)-(2an-1), 所以，=2，所以{a,}是首项为1，公比为2的等比数列，所以S, 1-22027 =22027-1. 1-2 4.过点A(2,3)且倾斜角为的直线方程为() 6 A.y=V3(x-2)+3 B.y=V3(x+2)+3 y=3x-2+3 D.y= 3(x+2)+3 【答案】C 【分析】先求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出， 【详解1直线的斜车为k=画名-5又直线注点4亿)少-3-9k-2)即y-(x-2小3 63 故选：C 5.已知两条不重合的直线：ar+2y-1=0和l:x+(a+1)y-1=0,a∈R,若12，则a的值为() A.-2 B.-2或1 C.1 D.-1或2 【答案】A 【详解】两直线4：ax+2y-1=0,12:x+(a+1)y-1=0平行， 则号a-小，交又相乘得aa+小-2d+a-20→(o+2a-小-0 故a=-2或a=1,但两直线不重合，需进一步检验. 当a=1时，1：x+2y-1=0,12:x+2y-1=0,两直线重合，不符合题意； 当a=-2时，1：-2x+2y-1=0,42:x-y-1=0,两直线不重合，且斜率相等，满足平行 因此a=-2 6。已知圆C:(x-a}+0y-b}=1(a>0,b>0)上有两点关于直线x+2y-4=0对称，则2+的最小 a b 值为() A.2W2 B.2 C.4 D.8 【答案】B 【分析】通过圆上对称性质判断出圆心在直线上，从而得出a,b间的关系式，进而通过基本不等式求出最 小值 【详解】因为圆C上有两点关于直线对称，可知圆心(a,b)在直线x+2y-4=0上，即a+2b-4=0 2+6+22+8》-*208}4+208 =2,等号当且仅当a=2b=2时成立 7.设P为圆C:(x+1)2+y2=9上任意一点，点A(3,3),则PA的最大值为() A.2 B.6 C.8 D.9 【答案】C 【详解】因为(3+1)2+32=25>9，所以点A在圆C外，又C(-1,0) 故|PA的最大值为C+3=V42+32+3=8. 8.已知圆G:x2+(y-5)}=9与圆C,:(x-a)2+y2=9(a>0)交于M,N两点，若点A(6,0)在直线MN上， 则实数t的取值范围为() 711 C.（-o,- D.（-i,0 【答案】A 【分析】两圆方程相减可得直线MN的方程，代入点，可得a,1的关系式，利用函数单调性可求答案 【详解】两圆方程相减得，2cx-10y+25-a2=0,令y=0,则1-口-25-9_25 2a22a 由两圆相交知，0<Va2+52<6,解得-<a<, 又a>0,则0<a<,易得4（回）-号8在0可上草调道增， 西点 L,所以1<-7 11 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和.己知a=2,S,=90,则下列结论正确的有() A.a3=10 B.{an}为递减数列 C.S7=42 D.当n=2时，S,最小N 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式计算即可 【详解】因为数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和.已知a3=2,S,=90, a+2d=2 a+2d=2 设该数列的首项为a,公差为d,则 +2一d=90’化简得 9a+ q+4d=10'解得a=6,d=4 所以a=a+4d=-6+4×4=10,所以A正确；由于d>0,所以数列{an}为递增数列，B错误： S,=7a+2 7x6d-7x(-6+X6×4=42,C正确：由于460，d=40,4=6+4=-20,4=20 所以当n=2时，Sn最小，为S2=a,+a2=6+(-2)=-8,D正确 10.已知直线l:(a+1)x+3y+a=0,直线2：ax-2y+1=0,下列结论正确的是() A直线过点(+ B.对于任意的a∈R,直线l的斜率都存在 C.若l⊥12，则a=2 D.老%：则a=马 【答案】AB 【分析】对于A,由题意得l:a(x+1)+x+3y=0,若直线l过定点，则有x+1=0,x+3y=0,即可求得直 线（所过的定点，对于B,由题意得l的斜率为-a+1,对于任意的a∈R,直线1的斜率都存在，对于C, 3 由l⊥1，可得两直线斜率之积为-1，对于D,由l∥12可得两直线斜率相等 【详解】对于A,由题意得l:(a+I)x+3y+a=0,即a(x+)+x+3y=0, x+1=0 x=-1 若直线过定点，则有 (x+3y=0解得 1,定点为 故A正确： y= 3 对于B,直线（的斜率为-a+ ,对于任意的a∈R,直线l的斜率都存在，故B正确： 3 对于C,因为l⊥12，所以有 a+l a =-1,解得a=2或a=-3,故C错误： 对于D,因为l∥2，所以 32解得a=- a+l a ,故D错误 故选：AB 11.已知圆C:x2+y2-2x-4y+1=0,点P是直线l:y=x+5上一动点，则下列选项正确的是() A.将圆C与坐标轴的所有公共点顺次连接围成的图形面积为√3 B.圆心C到l的距离的最大值为√0 C.若圆C上存在两点关于l对称，则k=-3 【答案】ABC 【分析】根据圆的方程求出与坐标轴交点的坐标即可判断A,根据直线过定点即可判断B,利用直线过圆 心判断C,根据直角三角形中角的正弦值范围判断D. 【详解】圆C:(x-1)+(y-2)=4,圆心为(1,2)，半径r=2. 对于A,圆C与坐标轴的公共点围成三角形，且三角形的三个顶点为(0,2±3)，(1,0)，围成的三角形面 积为√3，故A正确： 对于B,直线y=x+5过定点(0,5)，圆心C到该定点的距离为√10，故圆心C到1的距离最大值为V10, 故B正确：对于C,若圆C上存在两点关于1对称，则1过圆心，由2=k+5,得k=-3,故C正确： 对于D,当k=1时，直线：y=x+5, 圆心到其距离为22，由r=2知sim∠APC=4C=2≤2=2 P2N2e2,此时∠APC≤4，不能为 错误。 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.过点(2,4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为 【答案】2x-y=0或x-y+2=0 【详解】设直线y=c+b,截距分别为b和-b 因为截距互为相反数，所以6=么 若b=0,y=kc,又过点(2,4)，所以k=2,直线为2x-y=0 若b≠0，解得k=1,y=x+b,所以b=2,直线为x-y+2=0 5日阳比数列包胸备顶都为止致，且4区国+-片。女女宁则4海的》 【答案】4 【分析】利用等比数列下标和性质，将前四项倒数和整理为与前四项和相关的形式，求出两项乘积后即可 得到四项总乘积 【详解】设等比数列{an}的公比为q,由数列各项都为正数得q>0,an>0,n∈N 根据等比数列性质：若m+n=p+q,则AmAn=a,ag,可得aa,=a,a, 则1-1+1+1+L-4+a+凸+凸-4+4+a+a=1 记k=aa,=a44,则24aa,aa4a,a,4 k k 所以k=2,所以aa2aa4=(aa4)(a2a)=kk=4 14.已知圆C:（x-2)+(y-3)2=4,直线1：mx-y+1-2m=0(m∈R),若I与C相切，则m= 【答案】0 【分析】先从圆方程读出圆心与半径，利用直线与圆相切时圆心到直线距离等于半径这一核心关系，套用 点到直线距离公式列式，化简求解参数m. 【详解】圆C:(x-2)+(y-3)=4的圆心C(2,3),半径r=2, 圆心C(2,3)到直线1：mx-y+1-2m=0的距离d=2m-3+1-2m_2 √m2+1 Vm2+1 因为直线1与C相切，所以d=r,即层2，解得m=0, 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2=3,S=4a4. (1)求数列{an}的通项公式. (2)数列 .1 的前n项和为Tn,求证：Tn< anantl 2 【答案】(1)an=n+1 (2)由(1)知an=n+1,故an1=n+2, 1 (n+2)-(n+1)11 a,~a1(n+1)(n+2）(n+1)(n+2)n+1n+2' 1 T= 1++1=日+g-++1-1=1 aaz aas ad 2 33 4 n+1 n+22 n+2 因为>0，所以7=2n+22 =1-1<1 n+2 【分析】(1)利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解： (2)利用裂项相消法求解 【详解】(1)设等差数列{an}公差为d,因为42=3，所以a2=4+d=3, 因为s,=5a+a）_10a=5a,S=4a,所以54，=4a, 2 2 a+d=3 则5(a,+2d)=4(a1+3d),解得5a,+10d=4a+12d,即a=2d,联立 4-2d,解得 4=2 d=1' 则an=a+(n-1)d=2+(n-1)×1=n+1. (2)略 16（15分)已知数列a的前n项和为S,8=”生2a(eeN),且4=1.数列a}为等比数列， b=43-4,b4=a+1. (1)求{an}和{bn}的通项公式： 2设c,=:b,nEN,求数列c}的前n项和T, an+l 【答案】(a,=nn+, b =2",nEN" 2 h+22 【分析】(1)应用a。=Sn一Sn1得出{an}的通项公式，再结合基本量运算得出{bn}的通项公式： (2)应用裂项相消法计算求解 【详解】(1)S,-”+2。 30a=1, 当0公2时。0或-成20”可有2 a1n-1n≥2， 即有a,=a..=1.3.4.n.n+1n(n+ a d a 1 2 n-2 n-1-2 上式对n=1也成立，则an= n(n+) nEN': 2 {bn}为公比设为q的等比数列，b=a-4,b,=a+1, 可得么=6-4=2，b,=15+1=16,则g=8,即g=2,b=2,n∈N,所以g,-nn+,6=2,neN: 2 (2)c.=n-b=n-2 2221 an1(n+1)(n+2）n+2n+1' 前n项和为T, 2322,2423,222H22 32+43++ +2n+1n+22: 17.(15分)一条直线经过点P(3,2),并且分别满足下列条件，求直线方程： (1)倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的2倍： (2)与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小(O为坐标原点). 【答案】(1)8x-15y+6=0 (2)2x+3y-12=0」 【分析】(1)设所求直线倾斜角为0，己知直线的倾斜角为a,利用tan0=tan2a可得所求直线斜率，从而 可用点斜式得到直线方程 (2)设直线方程为+=1，将点代入得≥+名=1，利用基本不等式得b≥24，从而得到面积的最小值 a b a b 及此时的直线方程 1 【详解】(1)设所求直线倾斜角为0，己知直线的倾斜角为a,则0=2a,且tana=4' 1 2tan a 2× tan tan 2a= 4 1-tana 1)2 15从而所求直线方程为y-2=(x-3),即8-15+6=0。 4 22设直线方程为+1，a>0,b>0,代入P,2,得3+=122了 得ab≥24， a b a b 当且仅当3-2即a=6,b=4时等号成立，从而Sm=b≥12， a b 此时直线方程为+兰=1，即2x+3y-12=0. 64 18.(17分)已知点(x,y)满足(x-3)2+(y-4)2=9,求： (1)3x+4y的最大值与最小值： (2)(x+1)2+y2的最小值. 【答案】(1)40：10. (2)41-24√2. 【分析】(1)设3x+4y=t,根据直线与圆有公共点结合点到直线的距离公式计算求解： (2)解法一：设x=3+3cos0,y=4+3si0,代入利用三角恒等变换化简计算求解即可：解法二：根据 (x+1)2+y2的几何意义，利用两点间距离公式计算求解 【详解】(1)(x-3)2+(y-4)2=9表示以(3,4)为圆心，3为半径的圆， 设3x+4y=t,直线与圆有公共点， :19+16-山s31-25515台10≤1≤40. 5 ∴.tmm=10,tmx=40,即3x+4y的最大值为40，最小值为10. (2)解法一：设x=3+3cos0,y=4+3sin0, 则(c++y2-(4+3cos0+(4+3sin-41+24sin0+cos=41+242sm0+8, ∴.其最小值为41-24√2· 解法二：设M(x,y)是圆上的点，圆外一点Mo(-1,0), 则(x+12+y2的几何意义是MM,而MM。最小值是M,C-r,即(N4+4-3=41-242. 19.(17分)已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线1：mx-y+2-m=0,设直线与圆相交于A,B两点 (1)若直线I恒过定点D,求出点D坐标： (2)求弦AB中点的轨迹方程： (3)相交弦AB长度的最小值及相应的m的值. 【答案】(1)定点D的坐标为(1,2)： ②法8中点的筑迹方E(习犷号 (3)弦AB长度的最小值为2√3，对应的m=-1。 【分析】(1)分离参数求直线恒过定点： (2)利用垂径定理的垂直关系推导中点轨迹： (3)结合弦长公式与距离最值求最短弦长及对应参数 【详解】(1)对直线l的方程变形：将mx-y+2-m=0整理为m(x-l)+(2-y)=0, 该式对红意实数m恒成立。因此需满足)8解得2 即定点D的坐标为(L,2) (2)设弦AB的中点为M(x,y),圆C的圆心为C(O,),由垂径定理可得CM⊥AB. 因为M在直线l上，直线l恒过DI,2),故CM⊥MD,即CM.DM=0, 代入CM=(x,y-1),DM=(x-1,y-2)得：x(x-1)+(y-1)y-2)=0, 展开并配方利(-+(-引号因为(-+-岛引-内含于圆C放圆上所有点部符合慰意， 所以弦B中点的氧迹方程为(-+一引分 (3)设圆心C到直线I的距离为d,圆C的半径R=V5, 由弦长公式得AB=2√R2-d=2V5-d2,因此d最大时|AB|最小， 由于直线I恒过定点DI,2),故dCD,当且仅当CD⊥I时d取最大值|CD|, 计算得1CDV0-02+(2-1)2=V2,1ABLm=2W5-(W2)2=2W3 地时直线(D的斜率知合1，由CD1利如m=,解得m= 临潭县第一中学2026-2027学年上学期月考模拟卷 高二 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第一册第1-2章 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．数列中，，，则（   ）． A． B．28 C． D．14 2．已知点，直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．已知数列的前项和为，且满足，则（   ） A． B． C． D． 4．过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（  ） A． B．或 C． D．或 6．已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．设为圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．9 8．已知圆与圆交于两点，若点在直线上，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．数列为等差数列，为其前项和.已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B．为递减数列 C． D．当时，最小 10．已知直线，直线，下列结论正确的是（    ） A．直线恒过点 B．对于任意的，直线的斜率都存在 C．若，则 D．若，则 11．已知圆：，点是直线：上一动点，则下列选项正确的是（    ） A．将圆与坐标轴的所有公共点顺次连接围成的图形面积为 B．圆心到的距离的最大值为 C．若圆上存在两点关于对称，则 D．若，是圆的一条切线（为切点），则可以为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为________． 13．已知等比数列的各项都为正数，且，则的值为_____. 14．已知圆：，直线：，若与相切，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）记为等差数列的前项和，已知，． (1)求数列的通项公式． (2)数列的前项和为，求证：． 16．（15分）已知数列的前n项和为，，且．数列为等比数列，． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 17．（15分）一条直线经过点，并且分别满足下列条件，求直线方程： (1)倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (2)与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且的面积最小（O为坐标原点）． 18．（17分）已知点满足，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 19．（17分）已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． 学科网（北京）股份有限公司 $