第26章 二次函数 章末提升试题 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第26章 二次函数 章末提升试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册 一、单选题 1．下列关于的函数中二次函数是（   ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图像经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知三个点都在二次函数（，c为常数）的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（    ） A． B． C． D． 5．关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 6．已知抛物线，当时，，且当时，y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．已知抛物线（为常数）的对称轴为直线，平移该抛物线，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标有（   ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 8．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B． C． D． 9．已知二次函数 （ ）的自变量 与函数 的几组对应值如下表： 则下列关于该二次函数的说法正确的是（     ） A．图象开口向上 B．当 时， 的取值范围为 C．一元二次方程 有两个相等的实数根 D．图象的对称轴是直线 10．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④为任意实数时，总有；⑤若方程的两根为和，且，则；其中正确的结论有（    ）． A．①②⑤ B．①③⑤ C．②③⑤ D．①③④⑤ 二、填空题 11．已知抛物线表达式为，则该抛物线的对称轴为直线______． 12．已知函数的顶点在x轴上，那么______． 13．已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是______ ．（请用“”连接） 14．若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解_____． 15．将抛物线绕原点旋转所得到的抛物线的解析式为__________． 16．当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 三、解答题 17．已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为、，且与y轴的交点为，求这个函数解析式和抛物线的顶点坐标． 18．已知抛物线的对称轴是直线． (1)求证：； (2)若关于的方程的一个根为2，求此方程的另一个根． 19．已知二次函数的图象经过，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围． 20．如图，已知抛物线经过 两点，顶点为． (1)分别求抛物线和直线的解析式； (2)请根据图象直接写出：时的取值范围； 21．已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． 22．抛物线与轴交于点，其对称轴与轴交于点． (1)求的值； (2)如图，为原点，矩形与矩形关于点成中心对称．若抛物线与边相交，矩形与抛物线的交点所连线段将该矩形分为面积比为的两部分，求抛物线的解析式． 23．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，根据市场调查，当销售单价为22元时，每周的销售量为36本，售价每提高1元，每周的销售量就减少2本． (1)请求出该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间的函数关系式； (2)物价部门规定，每本纪念册的售价不高于28元．设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为W元，将该纪念册的销售单价x定为多少时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 24．喷泉是城市中一道美丽的风景．如图1，水花从垂直地面的水管的顶端处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以水管与地面的交点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，水管的高度是米，喷出最远的水花的运动轨迹为抛物线（如图2所示），水花在与水管的水平距离为1米时，达到最大高度2米，水花之后沿抛物线下落，最终落到地面上的点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若图1中喷出的水花的运动轨迹所在的抛物线群如图3所示，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，其中一条抛物线与水平直线相交于点，请求出的顶点坐标和的表达式； (3)若喷泉水花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点，经测算，当时，喷泉的观赏效果最佳，请求出此时抛物线中的取值范围． 25．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C B D C A D C B 1．A 【分析】本题主要考查二次函数的概念，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键．形如的函数即为二次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A．符合二次函数定义，则A符合题意； B．不是二次函数，则B不符合题意； C．，最高次项系数不是2，故不是二次函数，则C不符合题意； D．最高次项系数不是2，故不是二次函数，则D不符合题意； 故选：A． 2．A 【分析】本题考查了二次函数的性质． 将代入解析式即可求出a的值． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 即， ∴． 故选：A． 3．C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质；由二次函数解析式可得对称轴为直线，且故抛物线开口向下，点离对称轴越近函数值越大，计算各点横坐标与对称轴的距离，比较即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且， ∴抛物线开口向下． 点到对称轴的距离分别为： ． ∵抛物线的开口向下， ∴距离越大函数值越小． ∴． 故选 C． 4．B 【分析】设，则，求得的取值范围，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：设，则， 墙长，， ，， 解得， 花园的面积， ∴当时，花园面积最大，最大面积为． 5．D 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点，牢记二次函数概念及“时，二次函数与x轴有2个交点”是解题的关键． 二次函数图象与x轴有两个不同的交点等价于对应方程有两个不同的实数根，需满足判别式大于零且二次项系数不为零． 【详解】∵ 函数为二次函数， ∴ . ∵ 图象与x轴有两个不同的交点， ∴ 方程 有两个不同的实数根， ∴ 判别式 ， 解得 . ∴ 且 ． 故选：D． 6．C 【分析】根据二次函数的性质，结合题目给出的两个条件列出关于的不等式组，即可求解的取值范围． 【详解】解：∵抛物线 开口向上，当时，， ∴将代入解析式得： ， 化简得 ， 解得， ∵当时，随的增大而增大，开口向上的二次函数对称轴右侧随增大而增大， ∴抛物线对称轴不大于， ∵抛物线对称轴为， ∴ ， 解得：， 综上，的取值范围是． 7．A 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的图像与性质，根据抛物线的对称轴为直线，求出的值，即可得到抛物线的解析式，根据平移该抛物线的顶点始终在直线上，设平移后抛物线的顶点坐标为，把抛物线的解析式转化为顶点坐标式，，根据抛物线与轴交点的横坐标为，可得抛物线与轴交点的纵坐标为，根据二次函数的性质可知当时，取最大值，最大值为． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， 解得：， 抛物线的解析式为， 平移该抛物线的顶点始终在直线上， 设平移后抛物线的顶点坐标为， 平移后抛物线的解析式为， 当时， 可得：， 整理得：， ， 有最大值， 即当时，取最大值，最大值为． 故选：A． 8．D 【分析】联立函数得，解得或，得到二次函数与一次函数相交于点和，即可得出答案． 【详解】解：联立得：， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，当时，， ∴二次函数与一次函数相交于点和， ∴只有D选项图象符合题意． 9．C 【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式，再结合二次函数的性质逐一判断各选项即可求解． 【详解】解：把，和 代入得， ， 解得， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴图象开口向下，故选项错误； ∵图象开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大， ∵ ， ∴抛物线的对称轴为直线，故选项错误； ∴当时，可知时函数取最大值， 又由表格知，时， ∴当 时，的取值范围为，故选项错误； ∵二次函数顶点坐标为， ∴直线与二次函数图象只有一个交点，即一元二次方程有两个相等的实数根，故选项正确． 10．B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质． ①利用对称轴，即可得到系数的关系； ②代入到函数表达式判断代数式的符号，得出结论； ③利用函数与轴交点处坐标，得到，，继而代入，根据，得出结论； ④利用函数达到最值时的取值，分别代入和，得到； ⑤根据对称轴和已知交点，得到另一交点坐标，将方程的解转化为二次函数图象与直线交点的问题，结合图象判断根的分布． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即，故①正确； ∵时，， ∴，即，故②错误； ∵抛物线经过点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵当时，，达到最大值， 当时，， ∴， ∴，故④错误； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴抛物线解析式为， ∴方程的两根和为抛物线与直线的交点的横坐标， ∴，故⑤正确； ∴正确的结论有①③⑤． 11． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，对于二次函数（a，b，c为常数，），其对称轴为直线． 根据二次函数的对称轴公式求解． 【详解】解：在中，，， ∴对称轴为直线． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了把化成顶点式，抛物线与x轴的交点问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据函数的顶点在x轴上，得出方程只有一个实数根，从而可得到关于b的方程求解． 【详解】解：∵二次函数的顶点在x轴上， ∴方程只有一个实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次项系数与图象的关系是解题的关键．直接利用二次函数的图象开口大小与的关系即可得出答案． 【详解】解：观察图象可知，开口向上，故， 和开口向下，且的开口大小小于，故， ． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程，由图象可得该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为，从而得出该二次函数与轴的另一个交点为，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴该二次函数与轴的另一个交点为， ∴关于的一元二次方程的一个解，则另一个解， 故答案为：． 15． 【分析】先将原抛物线配方化为顶点式，确定原抛物线的顶点坐标，根据关于原点对称的点的坐标特征得到旋转后抛物线的顶点坐标，结合旋转后二次项系数变为原系数的相反数，利用顶点式写出旋转后抛物线的解析式，整理为一般式即可． 【详解】解：对原抛物线配方得， 可得原抛物线的顶点坐标为， 抛物线绕原点旋转后，顶点关于原点中心对称，开口方向相反，二次项系数变为原系数的相反数， 根据关于原点对称的点的坐标特征，可得旋转后抛物线的顶点坐标为，二次项系数为， 因此旋转后抛物线的顶点式为， 整理为一般式． 16．2或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 根据二次函数的性质，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，最大值可能出现在顶点或区间端点，需结合对称轴位置与的关系分类讨论． 【详解】函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，最大值在顶点处，则， 解得或（舍去）， ； 当时，在时，随的增大而减小， 最大值在处取得，即， 解得，且，符合条件； 当时，在时，随的增大而增大， 最大值在处取得，即， 解得，但，不符合，故舍去； 因此的值为或． 17．抛物线解析式为，抛物线得顶点坐标为 【分析】待定系数法求出抛物线的解析式，再化为顶点式，写出顶点坐标即可． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得：， 所以抛物线解析式为， 而， 所以抛物线的顶点坐标为． 18．(1) 已知抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴． (2) 方程的另一个根为 【分析】（1）根据对称轴直线的计算方法列式得到，由此即可求解； （2）把代入，结合（1）得到，，，则，由此解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵关于的方程的一个根为2， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴， 整理得，， 解得，， ∴方程的另一个根为． 19．(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法，代入已知两点坐标求解系数，即可得到二次函数解析式； （2）将解析式配方为顶点式，当时，y取得最小值；再计算当，时，分别对应的函数值，即可得到y的取值范围． 【详解】（1）解：把，代入 得， 解得 ∴二次函数的解析式为； （2）解：将二次函数配方得， 函数的对称轴为直线 ∵ ∴二次函数开口向上， ∴当时，y取得最小值； 当时，， 当时，； 即在时，y的取值范围是． 20．(1)； (2)或 【分析】（1）用待定系数法即可求解两函数的解析式； （2）观察图象即可求解． 【详解】（1）解：把 代入，得， 解得， ∴该抛物线解析式是：， 把 代入，得， 解得， ∴该直线的解析式是； （2）解：由图象得到：当或时，二次函数的值大于一次函数的值． 21．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）先列表，再描点，最后连线画出函数图象即可； （3）根据函数图象可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：列表如下： … 0 … … … 函数图象见解析； （3）解：由函数图象可知，当时，． 22．(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的对称轴得出方程求解即可； （2）根据题意得出，，，，矩形的面积为，确定抛物线经过点D，抛物线与边相交，设交点为点G，得出，确定，再由题意得出相应方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线对称轴为， ∵对称轴为， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， ∵矩形与矩形关于点成中心对称， ∴，， ∴，矩形的面积为， ∵抛物线与轴交于点，且对称轴为：， ∴抛物线经过点D， ∵抛物线与边相交，设交点为点G，如图所示： ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∵矩形与抛物线的交点所连线段将该矩形分为面积比为的两部分， ∴两部分面积为和， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：． 23．(1) (2)当销售单价为28元时，利润最大，最大利润为192元 【分析】（1）根据“单价每涨1元，销量少2本”,用基础销量减去涨价减少的销量，列出一次函数； （2）单本利润=售价进价，总利润单本利润销量，得到二次函数；二次函数开口向下，对称轴左侧随增大而增大，结合售价上限，取时利润最大． 【详解】（1）解：由题意得：， 即：． （2）解：， ，开口向下， ∴当时，W随x的增大而增大， ， ∴当时，W最大， 此时（元）， 答：当销售单价为28元时，利润最大，最大利润为192元． 24．(1) (2)， (3) 【分析】（1）由题意可知，，顶点坐标为，再利用待定系数法求解； （2）利用配方法求出的顶点坐标，再设直线的表达式，利用待定系数法求解； （3）先求出点、的坐标，再将抛物线顶点坐标代入直线，得出，则，再列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）解：, 的顶点坐标为， 设直线的表达式为， ，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，且，的顶点坐标分别为，， ，解得：， 的表达式为； （3）解：令，则， 解得：（舍），， ， 令，则， 解得：（舍），， ， ， 抛物线顶点坐标为 由（2）可知，顶点所在的直线的表达式为， ， ， 解得：或， 当时，抛物线开口向下，顶点在，不符合题意， ， ， ， ， 解得：， 即当喷泉的观赏效果最佳时，抛物线中的取值范围为． 25．(1) (2)3秒 (3)当时，四边形的面积最大，最大面积为 【分析】（1）根据抛物线过点，，对称轴是求解即可； （2）用待定系数法求出直线的解析式为，求出，根据四边形为平行四边形得．设，，得出求解即可； （3）根据列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，，对称轴是直线， ∴， 解得， ∴； （2）解：设直线的解析式为，把代入得， ， 解得． ∴． ∵， ∴， 当时，， ∴． ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． ∵过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P， ∴设，， ∴， 解得， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴； （3）解：由题意，得，则， 由（2）得，． ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，四边形的面积最大，最大面积为． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $