专题07 二次函数的综合应用压轴题（2）---角度存在性问题- 2026‑2027学年人教版九年级数学上册 课时同步练习

专题07 二次函数的综合应用压轴题（2） ---角度存在性问题 题型一 二次函数与等角存在性问题的综合 1．如图，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)P是抛物线上的一个点，连接，，直接写出点P的坐标． 2．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 3．如图，点和，抛物线经过点． (1)请计算：=______． (2)抛物线上是否存在点，使四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线在第一象限内的部分是否存在一点，使得平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 4.如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)在第四象限的抛物线上是否存在一点M，使的面积为？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 题型二 二次函数与二倍角存在性问题的综合 5.二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的解析式； 6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1．点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 8.抛物线 为常数，经过点和点，与轴相交于点，顶点为． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)是第一象限内该抛物线上的动点． ①当时，求点的坐标； ②与该抛物线的对称轴相交于点，是线段上一点，当点在对称轴的右侧时，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 题型三 二次函数与45°角存在性问题的综合 9．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴交于B（﹣1，0），C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接AB，点P为抛物线上一点，且∠ABP＝45°，求点P的坐标； 10．如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点P在抛物线上，求当∠CBP＝45°时点P的坐标． 11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于两点，B（点A在B左边），交y轴于C，点是抛物线上一点． （1）求抛物线的关系式； （2）在对称轴上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标； （3）如图2，抛物线上是否存在点Q，使∠QCP＝45°？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2与x轴相交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，连接PB，PC，求△PBC面积的最大值以及此时点P的坐标； （3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型四 二次函数与其它角度存在性问题的综合 13．如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，直线过顶点和点． (1)求的值； (2)求函数的解析式； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，已知点． (1)求抛物线的解析式； (2)是线段上的一个动点，过点作轴，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段下方抛物线上一点，过点作轴交线段于点，过点作轴交轴于点，求出的最大值，及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 16.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，连接，若平分，求点P的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 二次函数的综合应用压轴题（2） ---角度存在性问题 题型一 二次函数与等角存在性问题的综合 1．如图，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)P是抛物线上的一个点，连接，，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当点P在x轴上方时，取点，连接，可证明，推出，则点P在射线上，求出直线的解析式为，联立对应的函数解析式求出点P的坐标即可；当点P在x轴下方时，取点，连接，同理可证明点P在射线上，联立对应的函数解析式求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴分别交于，两点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，当点P在x轴上方时，取点，连接， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P在射线上； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在x轴下方时，取点，连接， 同理可证明， ∴， ∵， ∴， ∴点P在射线上； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 2．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为； (2)顶点坐标为，对称轴为直线； (3)点的横坐标为． 【分析】（1）已知抛物线与轴交于、，可设交点式，再利用与轴交点求出；利用待定系数法求直线解析式即可． （2）把抛物线解析式化为顶点式，或直接利用顶点横坐标公式，代入求纵坐标． （3）延长交x轴于点，由可得，设点的坐标为，利用两点距离公式求出m，再用待定系数法求出直线的解析式，最后与抛物线联立求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于、， 设其解析式为， 抛物线与轴交于点，令得， 又此时， ， 解得：， ， 点的坐标为， 设直线解析式为， 把、，代入，得 解得， 直线的解析式为． （2）解：， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． （3）解：、、， ，，， 在中，， 延长交x轴于点， ， ∴， 设点的坐标为， ， 解得， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 直线过点， ， 又直线过点， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在抛物线上， ， 解得：（为点，舍去）或， 点的横坐标为． 3．如图，点和，抛物线经过点． (1)请计算：=______． (2)抛物线上是否存在点，使四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线在第一象限内的部分是否存在一点，使得平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）把代入函数解析式即可求出； （2）设，又，分三种情况：①以为对角线，则的中点重合，可得；②以为对角线，则的中点重合，由无解，知这种情况不存在；③以为对角线，则的中点重合，解得； （3）作点关于直线的对称点，作直线交第一象限的抛物线于，由得，可得，即，设直线解析式为，可得直线解析式，由，得坐标． 【详解】（1）解：经过， ， （2）抛物线上存在点，使四点构成的四边形是平行四边形，理由如下： 由（1）知， 抛物线解析式为， 设，又， 以为对角线，则的中点重合， ， 解得， 以为对角线，则的中点重合， ， 同时满足两个方程的不存在， 这种情况不存在； 以为对角线，则的中点重合， ， 解得，， ， 综上所述，坐标为或； （3）抛物线在第一象限内的部分存在一点，使得平分，理由如下： 作点关于直线的对称点，作直线交第一象限的抛物线于，如图： ， ， ， 关于直线对称， ，， ， ， 设直线解析式为，将代入得： ， 解得， 直线解析式为， 由，得或（不在第一象限，舍去） 4.如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)在第四象限的抛物线上是否存在一点M，使的面积为？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)存在，； (3)存在，或． 【分析】（1）由直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，求出B、C两点坐标，然后用代入法求抛物线解析式； （2）如图，M是抛物线第四象限上的点，连接，设，根据面积公式求出得，解方程接可求出； （3）如图，作抛物线的对称轴交x轴于N，作，连接由（2）可知，对称轴为，根据等腰直角三角形性质证即，根据勾股定理求出，从而得到，当P 在第一象限时、当P 在第四象限时讨论即可． 【详解】（1）解：直线与x轴、y轴分别交于B、C两点 当时，解得， 当时，解得， ， 抛物线经过点B、C 解得 抛物线的解析式为： （2）解：如图，M是抛物线第四象限上的点，连接， 设，则 即 解得或（舍去） 当时 （3）解：如图，作抛物线的对称轴交x轴于N，作，连接 由（2）可知，对称轴为 ，， ， 当P 在第一象限时： 当P 在第四象限时： 故答案为：存在，或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，通过角度和面积探讨点的存在性；用代入法求函数解析式，假设点存在，根据条件做出图形，利用数形结合是解题的关键． 题型二 二次函数与二倍角存在性问题的综合 5.二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的解析式； 【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4； （2）； 【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案； （2）设BP与y轴交于点E，设OE＝a，则CE＝4﹣a，BE＝4﹣a，运用勾股定理可求得，得出E，再利用待定系数法即可求出答案； 【详解】解：（1）∵二次函数 y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0）， ， 解得：， ∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣3x+4； （2）如图，设BP与y轴交于点E， ∵PD∥y轴， ∴∠DPB＝∠OEB， ∵∠DPB＝2∠BCO， ∴∠OEB＝2∠BCO， ∴∠ECB＝∠EBC， ∴BE＝CE， 令x＝0，得y＝4， ∴C（0，4），OC＝4， 设OE＝a，则CE＝4﹣a， ∴BE＝4﹣a， 在Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2＝OE2+OB2， ∴（4﹣a）2＝a2+12， 解得 ， ∴， 设BE所在直线表达式为 y＝kx+e（k≠0）， ∴， 解得：， ∴直线BP的表达式为； 【点睛】本题是与二次函数有关的综合题，主要考查了待定系数法，一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，勾股定理等，属于中考数学压轴题，综合性强，难度较大，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识是解题关键． 6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1．点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时点的坐标为 (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法解答； （2）先求出直线的解析式，证明为等腰直角三角形，则，设，则，可得，即可求解； （3）分两种情况：当点Q在上方时， 当点Q在下方时，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于， 当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， 当时，取得最大值，此时点，的面积最大，最大值为； （3）解：存在． 当点Q在上方时，作点关于y轴的对称点，过点B作交抛物线于点Q，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，此时点Q符合题意， 设直线的解析式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点Q的坐标为； 当点Q在下方时，作点，直线与抛物线交于点， 同理直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 联立得：， 解得：或， ∴点的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 7．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点或或或或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）先求出点，再分类求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，点， 由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， ∵，故有最大值， 此时，则， 即点； （3）解：存在，理由： 设直线的表达式为， 由点的坐标得，，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，，故， 过点作轴交轴于点，则， ， 则， 即直线和关于直线对称，故， 设直线的表达式为， 代入，，得， 解得：， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：(舍去)或5， 即点； 设点，由的坐标得，， 当时，则， 解得：，即点或； 当或时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或或； 综上，点或或或或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 8.抛物线 为常数，经过点和点，与轴相交于点，顶点为． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)是第一象限内该抛物线上的动点． ①当时，求点的坐标； ②与该抛物线的对称轴相交于点，是线段上一点，当点在对称轴的右侧时，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①点的坐标为或；②或或 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）①当时，；则，进而求得直线的解析式为，过点作轴于点，交于点，设，则点，根据建立方程，解方程即可求解； ②设， ，分类讨论，，当时，则，当时，则，当时，过点作，垂足为，根据建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线 为常数，经过点和点， ∴ 解得： ∴抛物线解析式为； （2）①由，当时，； ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得，，解得： ∴直线的解析式为， 过点作轴于点，交于点，    设，则点， ∴ ∵， ， ， 解得：， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或； ②由 ∴对称轴为直线， 直线的解析式为，当时，， ∴ 设， ， 1）如图所示，当时，则    又∵ ∴，即 ∴ 解得：（舍去） ∴， ∴， 2）如图所示，当时，    ∴ 解得：（舍去） 又∵ ∴，即 ∴ ∴； 3)如图所示，当时，过点作，垂足为，    ∵ ∴ 解得：（舍去） ∴ ∴ ∴， 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求二次函数解析式，面积问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型三 二次函数与45°角存在性问题的综合 9．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴交于B（﹣1，0），C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接AB，点P为抛物线上一点，且∠ABP＝45°，求点P的坐标； 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3． （2）P点坐标为（，）． 【分析】（1）将点A（0，3）、B（﹣1，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中即可求得b、c的值，进而得到解析式； （2）过点A作AM⊥BP于点M，过点M作MN⊥y轴于点N，构造等腰直角三角形，利用“一线三垂直模型”证明△ABO≌△MAN．继而得到点M坐标，求出直线BM解析式，联立BM解析式与抛物线解析式即可得交点P的坐标； 【详解】解：（1）将点A（0，3）、B（﹣1，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，得： ，解得：． ∴该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3． （2）过点A作AM⊥AB交BP于点M，过点M作MN⊥y轴于点N． 又∠ABP＝45°， 则△ABM为等腰直角三角形，AM＝AB， ∵∠BAO+∠PAO＝∠BAM＝90°，∠PAO+∠APN＝90°， ∴∠BAO＝∠AMN． 在△ABO和△MAN中， ， ∴△ABO≌△MAN（AAS）． ∴AN＝BO＝1，ON＝OA﹣AN＝3﹣1＝2，MN＝AO＝3， ∴点M坐标为（3，2）． 设直线BM解析式为y＝kx+b，代入点B（﹣1，0）、M（3，2）得： ，解得：． 故直线BM解析式为y． 把BM解析式与抛物线解析式联立： ，解得， 故点P坐标为（，）． 【点睛】本题以二次函数为背景考查了待定系数法求解析式、全等三角形判定与性质、不等式等知识，根据题意作出合理辅助线以及数形结合思考问题是解题关键所在． 10．如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点P在抛物线上，求当∠CBP＝45°时点P的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3； （2）P点坐标为（，）． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）当BP在BC下方时，过点C作CD⊥BC交PB于点D，过C点作EF∥x轴，过B点作BE⊥EF交于E点，过D点作DF⊥EF交于F点，证明△BCE≌△CDF（AAS），可求D（﹣3，2），直线BD与抛物线的交点即为P点；当BP在BC上方时，过C点作CM⊥BP交于M点，过M点作MK⊥y轴交于K点，同理可得△CMK≌△BCO（AAS），求出M（3，4），直线BM与抛物线的交点为P点． 【详解】解：（1）将A（﹣3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2） 如图1，当BP在BC下方时，过点C作CD⊥BC交PB于点D，过C点作EF∥x轴，过B点作BE⊥EF交于E点，过D点作DF⊥EF交于F点， ∵∠CBD＝45°， ∴CD＝CB， ∵∠DCF+∠BCE＝90°，∠DCF+∠FDC＝90°， ∴∠BCE＝∠FDC， ∴△BCE≌△CDF（AAS）， ∴CE＝DF，BE＝CF， 当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，解x＝1或x＝﹣3， ∴B（1，0）， ∴DF＝CE＝1，BE＝CF＝3， ∴D（﹣3，2）， 设直线BD的解析式为y＝kx+m， ∴， 解得， ∴直线BD的解析式为yx， 当xx2﹣2x+3时，解得x＝1或x， ∴P（，）； 如图2，当BP在BC上方时，过C点作CM⊥BP交于M点，过M点作MK⊥y轴交于K点， ∵∠CBM＝45°， ∴CM＝BC， 同理可得△CMK≌△BCO（AAS）， ∴MK＝CO＝3，CK＝OB＝1， ∴M（3，4）， ∴直线BM的解析式为y＝2x﹣2， 当2x﹣2＝﹣x2﹣2x+3时，解得x＝1或x＝﹣5， ∴P（﹣5，﹣12）（舍）； 综上所述：P点坐标为（，）． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于两点，B（点A在B左边），交y轴于C，点是抛物线上一点． （1）求抛物线的关系式； （2）在对称轴上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标； （3）如图2，抛物线上是否存在点Q，使∠QCP＝45°？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ； （2） （3）或． 【分析】（1）根据待定系数法，将点A，点P代入抛物线解析式，解关于b，c的二元一次方程组，即可求得抛物线的解析式； （2）由对称可得，直线BC与对称轴的交点就是所求的点M，求出直线BC的关系式和对称轴，求出交点坐标即可； （3）分两种情况：当Q在PC下方或当Q在PC上方，构造等腰直角三角形和全等三角形求解即可． 【详解】解：（1）将点，代入y＝ax2+bx+2， 得：， 解得： ∴抛物线的解析式为 ； （2）当x＝0时，y＝2， ∴点C（0，2）， 当y＝0时，有， 解得：，x2＝4， ∴点B（4，0）， ∴抛物线的对称轴为：直线， 设直线BC的关系式为y＝kx+2，把点B坐标代入， 得：0＝4k+2，解得，， ∴直线BC的关系式为， 由对称可得，直线BC与对称轴交点就是所求的点M， 当时，， ∴时，MA+MC最小； （3）当Q在PC下方时，如图，过P作PH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过P作PN⊥MH于N， ∴∠PHC＝∠CMH＝∠HNP＝90°， ∵∠QCP＝45°， ∴△PHC是等腰直角三角形， ∴CH＝HB， ∴∠CHM+∠BHN＝∠HBN+∠BHN＝90°， ∴∠CHM＝∠HPN， ∴△CHM≌△HPN（AAS）， ∴CM＝HN，MH＝PN， ∵H（m，n）， ∵C（0，2），， ∴，解得 ， ∴， 设直线CH的解析式为 y＝px+q， ∴，解得， ∴直线CH的解析式为 ， 联立直线CH与抛物线解析式得， 解得或 ， ∴； ②当Q在PC上方时，如图，过P作．PH⊥CQ于H，过H作．MN⊥y轴，交y轴于M，过P作PN⊥MH于N， 同理得． 综上，存在，点Q的坐标为或． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法确定出解析式是解本题的关键． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2与x轴相交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，连接PB，PC，求△PBC面积的最大值以及此时点P的坐标； （3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）yx2x+2； （2）△PBC面积的最大值为4，此时点P的坐标为（2，3）； （3）Q的坐标为（，）或（9，﹣25）． 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为yx2x+2； （2）过P作PK∥y轴交BC于K，求出C（0，2），直线BC解析式为yx+2，设P（t，t2t+2），可得PKt2t+2﹣（t+2）t2+2t，故S△PBCPK•|xB﹣xC|（t2+2t）×4＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，根据二次函数性质可得答案； （3）当Q在BC上方时，过B作BT⊥CQ于T，过T作MN⊥y轴于N，过B作BM⊥MN于M，证明△BTM≌△TCN（AAS），有BM＝NT，TM＝CN，设T（m，n），可得，即知T（3，3），直线CT解析式为yx+2，联立，解得Q（，）；当Q在BC下方时，过B作BR⊥CQ于R，过R作SW⊥y轴于W，过B作BS⊥SW于S，同理可得Q（9，﹣25）． 【详解】解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为yx2x+2； （2）过P作PK∥y轴交BC于K，如图： 在yx2x+2中，令x＝0得y＝2， ∴C（0，2）， 由B（4，0），C（0，2）得直线BC解析式为yx+2， 设P（t，t2t+2），则K（t，t+2）， ∴PKt2t+2﹣（t+2）t2+2t， ∴S△PBCPK•|xB﹣xC|（t2+2t）×4＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4， ∵﹣1＜0， ∴当t＝2时，S△PBC取最大值4，此时P（2，3）， ∴△PBC面积的最大值为4，此时点P的坐标为（2，3）； （3）抛物线上存在点Q，使∠QCB＝45°，理由如下： 当Q在BC上方时，过B作BT⊥CQ于T，过T作MN⊥y轴于N，过B作BM⊥MN于M，如图： ∵∠QCB＝45°， ∴△BCT是等腰直角三角形， ∴∠BTC＝90°，BT＝CT， ∴∠CTN＝90°﹣∠BTM＝∠TBM， ∵∠M＝∠TNC＝90°， ∴△BTM≌△TCN（AAS）， ∴BM＝NT，TM＝CN， 设T（m，n），则NT＝m，BM＝n， ∵B（4，0），C（0，2）， ∴TM＝MN﹣NT＝4﹣m，CN＝ON﹣OC＝n﹣2， ∵BM＝NT，TM＝CN， ∴， 解得 ∴T（3，3）， 由C（0，2），T（3，3）得直线CT解析式为yx+2， 联立， 解得， ∴Q（，）； 当Q在BC下方时，过B作BR⊥CQ于R，过R作SW⊥y轴于W，过B作BS⊥SW于S，如图： 同理可得△BSR≌△RWC（AAS）， ∴BS＝RW，RS＝CW， 设R（p，q）， ∴， 解得， ∴R（1，﹣1）， ∴直线CR解析式为y＝﹣3x+2， 联立， 解得， ∴Q（9，﹣25）， 综上所述，Q的坐标为（，）或（9，﹣25）． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 题型四 二次函数与其它角度存在性问题的综合 13．如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，直线过顶点和点． (1)求的值； (2)求函数的解析式； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的坐标为或 【分析】（1）把代入直线，解方程求出的值即可； （2）把代入直线解析式，得出点的坐标，再利用待定系数法确定二次函数解析式即可； （3）分在上方和下方两种情况，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 解得：． （2）解：由（1）可知，， ∴直线的解析式为， ∴当时， 解得：， ∴， 将、代入中得， 解得：， ∴二次函数的解析式为：． （3）解：存在，的坐标为或 ①当点在直线上方时，设交轴于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 联立直线与抛物线解析式得：， 解得：，（与点重合，舍去）， ∴； ②如图，当点在直线下方时，设交轴于点， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为 ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式得：， 解得：，（与点重合，舍去）， 所以； 综上所述：存在点，使得，的坐标为或． 14．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，已知点． (1)求抛物线的解析式； (2)是线段上的一个动点，过点作轴，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为2，的坐标为 (3)存在． 设点， 如图，过点作于点，连接，则， ， ， ∴， ∴ ． ∵，，， ∴， ． 由的面积，得， 即 化简，得， 解得（不符合题意，舍去）， ． 设点与点关于原点对称，则， ． 综上所述，点的坐标为或． 【分析】（1）根据对称轴，利用待定系数法即可求解； （2）根据对称轴得出点坐标，由点、的坐标得直线的解析式为，设点，则点，进而求解； （3）根据三角形的面积，可得关于的方程，然后解方程，可得答案 【详解】（1）解：点的坐标为 ． 抛物线过点，对称轴是直线， ， 解得， 抛物线的解析式为． （2）抛物线对称轴为直线，点的坐标为， 点的坐标为． ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为． 设点， 则点， ． ， 当时，线段的值最大，最大值为2，此时点的坐标为； （3）略． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段下方抛物线上一点，过点作轴交线段于点，过点作轴交轴于点，求出的最大值，及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】(1) (2)最大值为4，点的坐标为 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线，设，然后用的代数式表示出，再由二次函数的性质求解即可； （3）先求出平移后的抛物线表达式，过点作轴于点，则，那么，设，则，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、点， ∴ 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：对于，令，则 ∴ ∵ 设直线， 则 解得 ∴直线 设 ∵轴， ∴， ∵轴， ∴ 整理得， ∵， ∴当时，取得最大值为， 此时点； （3）解：∵， ∴， ∵ ∴， 设点的对应点为点，作轴于点，则为等腰直角三角形，， 则由题意得， ∵ ∴ ∴点向右平移2个单位，向下平移2个单位得到点， 而抛物线， 则向右平移2个单位，向下平移2个单位得到， ∵ ∴， 过点作轴于点 ∴ ∴ 设，则 ∴或 解得，或（舍去）； 解得，或（舍去） ∴当时，；当时，， 综上：符合条件的点的坐标为或． 16.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，连接，若平分，求点P的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用角平分线的性质和平行线的性质作轴，交于点Q，交x轴于点E，可证得，求的解析式为，设点P的横坐标为t，则有，，，求出，，由求得t值即可解答； （3）将绕点O顺时针方向旋转，至，可得，，则，求出过点的直线的解析式为，与抛物线联立方程组求得交点；再过C作轴，过B作轴，与交于点F，则四边形为正方形，作关于的对称点G，点G在上，作直线，则直线与抛物线的交点也满足条件，则，与点D重合，则可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵点、在抛物线上， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：作轴，交于点Q，交x轴于点E，如图1所示： ∵轴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， 将代入，， ∴的解析式为， 设点P的横坐标为t，则有，，，， ∴，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （3）解：存在，或． 当时，，则， ∴，则， 将绕点O顺时针方向旋转，至，如图2所示： 则，， ∴ 由题意知，直线过点， 设直线的解析式为， 将，，代入，得：， 解得：， ∴直线BP的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， 此时使； 如图2所示，过C作轴，过B作轴，与交于点F，则四边形为正方形， 作关于的对称点G，则点G在上且， ∴，与点D重合， 作直线，则， ∴直线与抛物线的交点也满足条件， ∵点在抛物线上， ∴． 综上，抛物线上存在点P，使，点P的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式、坐标与图形、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程、二次函数与几何变换（旋转和轴对称）、正方形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，会利用数形结合思想和正确添加辅助线求解是解答的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $