专题03 正方形的性质与判定 同步培优讲义（重点知识梳理+19大核心题型+分层练习）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题03正方形的性质与判定同步培优讲义 ✺知识框架 本节在平行四边形、矩形、菱形的基础上，学习特殊平行四边形的最终图形 —— 正方形。主要内容包括正方形的定义、正方形的综合性质、正方形的多种判定方法。 重点厘清平行四边形、矩形、菱形、正方形四者的递进从属关系，掌握正方形兼具矩形与菱形的全部特征，能够灵活运用性质与判定解决几何计算与证明问题，完善特殊平行四边形的整体知识体系。 ✺学习目标 1.理解正方形的定义，明确正方形、平行四边形、矩形、菱形四者的从属包含关系。 2.熟练掌握正方形边、角、对角线的性质，能够使用规范文字与几何符号语言进行推理、计算与证明。 3.熟练掌握正方形的判定方法，能根据已知条件选择最优判定路径，规范书写几何证明过程。 4.能综合运用特殊平行四边形的性质与判定解决基础及综合题型，规避易错点，提升几何推理能力。 ✺知识梳理 知识点一：正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 核心要素：①图形为平行四边形；②有一组邻边相等；③有一个角为直角。 从属关系：正方形是特殊的平行四边形，既是特殊的矩形，也是特殊的菱形，因此具备平行四边形、矩形、菱形的全部性质。 知识点二：正方形的性质 性质分类 文字描述 符号语言 图示说明 边 正方形四条边相等，对边平行。 ∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=AD，AB∥CD，AD∥BC。 角 正方形的四个角都是直角。 ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°。 对角线 正方形对角线相等、互相垂直且互相平分，每条对角线平分一组对角。 ∵四边形 ABCD 是正方形，∴AC=BD，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD；AC平分∠BAD、∠BCD，BD平分∠ABC、∠ADC。 对称性 正方形是轴对称图形，有4 条对称轴；也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。 ------ 知识点三：正方形的判定定理 判定方法 文字叙述 几何语言 图示 定义判定 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 ∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∠A=90°，∴四边形 ABCD 是正方形。 定理1 有一组邻边相等的矩形是正方形； ∵四边形ABCD是矩形，AB=AD，∴四边形ABCD是正方形。 定理2 对角线互相垂直的矩形是正方形； ∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形。 定理3 有一个角是直角的菱形是正方形； ∵四边形ABCD是菱形，∠A=90°， ∴四边形ABCD是正方形。 定理4 对角线相等的菱形是正方形 ∵四边形ABCD是菱形，AC=BD.∴四边形ABCD是正方形。 【重要提示】任意四边形不能直接判定为正方形。判定正方形一般两条路径：先证矩形，再证邻边相等或对角线垂直；或先证菱形，再证有一个直角或对角线相等。 【重要推论】正方形的两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，常用于角度与线段长度计算。 重难点与易错辨析 1.矩形对角线相等但不垂直，菱形对角线垂直但不相等，正方形对角线既相等又互相垂直，是其核心独有性质。 2.仅有邻边相等或仅有一个直角的四边形，无法判定为正方形，必须依托矩形或菱形的基础条件。 3.从属层级关系：正方形属于矩形，正方形属于菱形；矩形、菱形都属于平行四边形。 4.判定正方形按需选择方法：已知矩形，证邻边相等或对角线垂直；已知菱形，证直角或对角线相等，无需重复证明平行四边形。 5.对角线分割形成的等腰直角三角形结论，仅适用于正方形，不可套用至其他四边形。 ✺题型精讲 题型1.正方形性质理解 1．正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是（    ） A．两组对边分别相等 B．两条对角线互相平分 C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，正方形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用正方形具备而矩形不具备的性质．如，正方形的对角线相等，邻边相等．根据正方形和矩形的性质容易得出结论． 【详解】解：A、两组对边分别相等，矩形和正方形都具有，故不合题意； B、两条对角线互相平分，矩形和正方形都具有，故不合题意； C、两条对角线互相垂直，正方形具有而一般矩形不一定具有的性质，故合题意； D、两条对角线相等，矩形和正方形都具有，故不合题意； 故选：C． 2．如图，把含角的直角三角尺放置在正方形中，，直角顶点在正方形的对角线上，点，分别在边和上，与交于点，且为的中点，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据正方形性质得，再求出，再根据直角三角形斜边中线性质得，则是等边三角形，进而得，由此得，然后根据即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在中，， ∴， ∵点是MN的中点，， ∴是斜边上的中线， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 即的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 3．如图（1）是一景区的标语牌，将其抽象成如图（2）所示的示意图，垂直于地面，点A，B，C，E在一条直线上，四边形是正方形，，，． (1)求的度数． (2)求点M到地面的距离（结果保留整数．参考数据：）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，正方形的性质，平行线的判定和性质等，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数． （1）连接，利用正方形的性质得出，得出，利用平行线的性质即可求出角的度数； （2）连接，过点B作，过点M作，H为垂足，利用锐角三角函数逐步进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵点A，B，C，E在一条直线上，四边形是正方形， ∴， ∴. 又∵， ∴， ∴. （2）解：如图，连接，过点B作，过点M作，H为垂足. ∵， ∴.     ∵在中，， ， ∴， ， ∴在中，， ∴ 答:点M到地面的距离约为． 题型2.根据正方形的性质求角度 1．如图，在正方形中，连接，点是边上一点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质得到的度数，再由角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴． 2．如图，在正方形中，是对角线上的一点，且，则的度数是________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质得，由等边对等角知，最后利用三角形内角和定理得． 【详解】解：在正方形中，，， ， 又， ， 在中，， ． 3．如图，E是正方形的边的延长线上一点，且，交于点．求的度数． 【答案】 【分析】连接， 根据正方形的性质结合推出， 根据等边对等角的性质可得，然后根据正方形的对角线平分一组对角以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出，再根据 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型3.根据正方形的性质求线段长 1．如图，在正方形中，点E在边上，若，，则正方形的对角线的长为（    ） A． B．4 C．8 D． 【答案】B 【分析】连接，由正方形的性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵在正方形中，点E在边上，若，， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形的对角线的长为4． 2．在正方形中，对角线，交于点，延长至点，使，连接，点为的中点，连接．若，则的长为______． 【答案】 【分析】利用正方形的性质得到，且由勾股定理及正方形对角线相等且互相平分求得，进而求出斜边，再由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得答案． 【详解】四边形是正方形， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 3．如图，在正方形中， ，对角线，求的长． 【答案】 【分析】根据正方形的性质和勾股定理即可求得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ． 题型4.根据正方形的性质求面积 1．如图，长方形内放置了三个正方形，三个正方形的面积分别是，，，则图中两块阴影部分的面积和为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正方形面积求出两种正方形的边长，结合图形结构确定外围大长方形的长和宽，算出大长方形的面积后，减去三个正方形的面积和，即可得到两块阴影部分的面积和． 【详解】根据正方形面积公式计算边长： 面积为的正方形边长： ， 面积为的正方形边长：， 确定外围大长方形的长和宽： 由图形结构可得， 大长方形的长小正方形边长大正方形边长； 大长方形的宽两个小正方形的边长和； 计算阴影面积和：阴影面积和大长方形面积三个正方形面积和大长方形面积： ， 三个正方形面积和为， ∴阴影面积和为． 2．如图，大、小两个正方形连在一起，大正方形的面积为，小正方形的面积为，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】连接，根据正方形的性质推出，进而推出，即得出阴影部分的面积等于的面积，即大正方形面积的一半． 【详解】解：如图，连接， 四边形和右侧四边形均为正方形， 、分别为正方形的对角线， ， ， ， 大正方形的面积为， ，即阴影部分的面积为． 3．如图，正方形的边长为，是边上的一点，且，为的中点，连接、、． (1)求的周长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，由，得到，，根据为的中点，得到，最后根据勾股定理求出、、的值，即可求解； （2）根据，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ， ，， 为的中点， ， 在中，， 在中，， 在中，， 的周长为； （2）解： ． 题型5.根据正方形的性质证明 1．如图，在正方形中，为上一点，延长到，使，连接的延长线交于点，则下面结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明，得出，，，判断A正确；根据三角形内角和定理证明，判断B正确；根据已知条件可以证明，但无法证明，判断C错误，根据，，得出，判断D正确． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，，故A正确，不符合题意； ∵， 又∵， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； 根据已知条件能够证明，但无法证明，故C错误，符合题意； ∵，， ∴，故D正确，不符合题意． 2．如图，在正方形中，E，F分别为，上的点，连接，，若于点G，，则的长为________． 【答案】2 【分析】根据正方形的性质和得到，进而得到，求出的长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 3．如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接． (1)写出图中所有的全等三角形； (2)延长交于点F，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正方形的性质及全等三角形的判定即可判断； （2）证明，由对应角相等可求得，进而由三角形内角和求得的度数，再由平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：在正方形中，, 在与中， ， ∴； 同理可证明； 故图中所有的全等三角形有． （2）解：∵四边形是正方形， ，且， ， ． ， ． ， ． ， ． 题型6.正方形折叠问题 1．如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为．若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查翻折变换——折叠问题，正方形的性质，勾股定理．由折叠的性质以及正方形的性质可得，，设，则，在中，利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵正方形的边长为， ∴，， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 故选：C． 2．如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点D落在边上的点E处，折痕为．若，则线段的长是_________ 【答案】4 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理与折叠问题，熟练掌握正方形和折叠的性质是解题的关键．根据正方形的性质得到，，由得到，由折叠的性质得，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：4． 3．探究以下问题： (1)【问题情境】正方形是生活中常见的几何图形，如图1，在正方形中，分别在边、上，且，垂足为，判断：______（填“”或“”） (2)【问题探究】如图2，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为，请你写出线段与线段的数量关系，并证明你的结论； (3)【问题拓展】如图3，将边长为的正方形折叠，使得点落在上的点处．若折痕的长为，则线段的长为______． 【答案】(1) (2)． 证明：如图2，过点A作，交于点H，交于点N，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵于M， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴； (3) 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）过点A作，交于点H，交于点N，先证明四边形是平行四边形得到，再证明得到，进而可得结论； （3）连接交于M，过点A作，交于点H，交于点N，由折叠性质得，同（2）方法可得，然后根据正方形的性质和勾股定理可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：连接交于M，过点A作，交于点H，交于点N， 由折叠性质得， 同（2）可得四边形是平行四边形，， ∴， ∵四边形是正方形，边长为， ∴，， ∴． 题型7.求正方形重叠部分面积 1．如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到正方形性质的应用，正确认识图形是解题的关键． 根据题意，结合图形，先得到图1中，结合已知条件，得到，结合图2，得到结果． 【详解】解∶如图，设正方形的面积为，正方形的面积为，图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为， ∵图1中，，，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，图2中，， ∴， 即当的对角线交点与的一个顶点重合时，重叠部分的面积是的， 故选∶． 2．如图，正方形的对角线相交于点，又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长均为2，正方形可绕点转动且始终保持点在正方形内部，则四边形的面积为_________，、和的数量关系为_________． 【答案】 1 【分析】由题可证，故两个正方形重叠部分的面积等于三角形的面积；连接，由勾股定理得到，再根据得到，，即可得出结论． 【详解】∵四边形、四边形均为正方形， ∴，，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴，，， ∴四边形的面积； 如图，连接， ∵四边形、四边形均为正方形， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴，即． 3．如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，正方形环的面积计算是解题的关键．连接，根据题意，得阴影部分的面积是，解答即可． 【详解】解：连接， 由正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3， 根据题意，得阴影部分的面积是， 故选：A． 题型8.正方形的判定定理理解 1．下列结论错误的是（     ） A．有一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．有一个角是直角的平行四边形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形 【答案】C 【分析】正方形需同时满足矩形与菱形的特征，以此为依据判断各选项． 【详解】解：A、有一组邻边相等的矩形是正方形，判断正确，不符合题意； B、对角线互相垂直的矩形是正方形，判断正确，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，不是正方形，判断错误，符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，判断正确，不符合题意． 2．如图，数学课上老师给出了以下四个条件：①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组邻边相等；④一个角是直角．写出一个你认为能得到正方形的组合：______．（填序号） 【答案】①③④或②③④ 【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解决问题的关键． 根据有一个角是直角的菱形是正方形即可求解． 【详解】解：由①得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加③得一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加④得一个角是直角的菱形是正方形； 由②得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，同样再添加③④即可得到正方形． 故能得到正方形的组合有①③④或②③④． 故答案为：①③④或②③④． 3．请认真完成下列数学活动 如图，在中，，，D是的中点，过点A作直线，过点D的直线交的延长线于点E，交直线l于点F，连接，．    ●分析发现 （1）试说明：①；②． ●探究思考 （2）若，试判断四边形是什么特殊四边形，并证明你的结论； ●拓展延伸 （3）若，则_____________，能使四边形为正方形． 【答案】 （1）①， ， 是的中点， ， 在与中， ， ； ②由①可知：， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）四边形是矩形 理由如下：， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是矩形； （3） 【分析】（1）①由题意可知，，利用即可证明； ②由①可知，可得，结合，可知四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质即可证明结论； （2）由，得，由三角形的外角可知，根据，得，可知，由平行四边形的性质可知，，，进而可知，即可证明四边形是矩形； （3）由（2）可得，由（1）可知四边形是平行四边形，由可知，四边形是菱形，则，若要使得四边形是正方形，只需要，即只需，根据，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）， ， ，即， 由（1）可知四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，则， 若要使得四边形是正方形，只需要， 即只需， ∴只需， 即：若，当时，能使得四边形是正方形； 故答案为：．    【点睛】本题考查全等三角的判定及性质，平行四边形的判定及性质，矩形的判定，菱形的判定及性质，正方形的判定，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 题型9.添一个条件使四边形是正方形 1．如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】掌握正方形的判定条件是解题的关键． 有一组邻边相等的矩形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形． 【详解】解：在矩形中， 当时不能判定四边形是正方形，故A不符合题意； 当时，四边形是正方形，故B符合题意； 当时不能判定四边形是正方形，故C不符合题意； 当时不能判定四边形是正方形，故D不符合题意． 2．如图，在菱形中，对角线，相交于点．在不添加辅助线的前提下，增加一个条件，使得菱形是正方形．这个条件可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据正方形的判定，解答即可； 【详解】解：根据有一个角是直角的菱形是正方形，可以添加条件，，答案不唯一； 3．如图，在中， ，E是边上任意一点，连结，过点B作交的延长线于点F，连结． (1)猜想四边形的形状，并证明； (2)若E是边延长线上任意一点，且 ，当和满足_____________关系时，四边形是正方形． 【答案】(1) 解：四边形是菱形，证明如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的判定和性质： （1）证明，可得，可证得四边形是平行四边形，即可； （2）证明，可得，可证得四边形是菱形，再由，可得到是等腰直角三角形，从而得到，即可． 【详解】（1）略 （2）解： ， 如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 题型10.证明四边形是正方形 1．小金在复习平行四边形章节时，整理出如下所示的思维导图，其中（1）、（2）、（3）、（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（     ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】B 【分析】根据特殊平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．（1）处若填，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知四边形是矩形，故A选项添加正确，不符合题意； B．（2）处若填，因为矩形的对边本身就相等，该条件无法判定矩形是正方形，应填等邻边相等的条件，故B选项添加错误，符合题意； C．（3）处若填，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可知四边形是菱形，故C选项添加正确，不符合题意； D．（4）处若填，根据“有一个角是直角的菱形是正方形”可知四边形是正方形，故D选项添加正确，不符合题意． 2．四边形的对角线，分别过A，B，C，D作对角线的平行线，所成的四边形是______． 【答案】正方形 【分析】本题主要考查了正方形的判定，平行四边形的性质与判定，根据题意作图，先证明四边形是平行四边形，再证明，即可证明四边形为正方形． 【详解】解：如图所示，， ∴四边形、四边形、四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴平行四边形是正方形， 故答案为：正方形．    3．如图，在矩形中，的平分线交对角线于点，于点，于点，求证：四边形是正方形． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵是的平分线，且，， ∴， ∴四边形是正方形． 【分析】先推出，根据有三个角是直角的四边形是矩形，证明四边形是矩形，再由角平分线的性质，得到，即可证明四边形是正方形． 【详解】略 题型11.根据正方形的性质与判定求角度 1．将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠，正方形的判定与性质．熟练掌握矩形与折叠，正方形的判定与性质是解题的关键． 由矩形与折叠的性质可证四边形是正方形，，由折叠的性质可知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由矩形与折叠的性质可知，，， ∴四边形是正方形，， 由折叠的性质可知，， ∴， 故选：B． 2．如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键，先求出的度数，折叠，推出四边形是正方形，进而得到，根据三角形的外角的性质，折叠的性质和平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：在矩形中，，． 沿折叠，点C恰好落在边上的点处，， 四边形是正方形， ． 由三角形的外角性质，得． 由翻折的性质，得，． 故答案为：． 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的每一个顶点都在格点上． (1)求的度数； (2)仅用无刻度的直尺作出（不写作法），并求格点四边形的面积． 【答案】(1) (2) 如图所示，取格点四边形或四边形， 或 【分析】本题主要考查网格与勾股定理，勾股定理的逆定理，平行四边形、正方形的性质等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）如图：连接，由勾股定理逆定理得到是直角三角形，即可求解； （2）根据平行四边形的性质，正方形的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图：连接， 根据勾股定理得，，， ∴，， ∴， 是直角三角形， ． （2）解：四边形：根据格点可得四边形是平行四边形， ∴对角线相互平分，交点为点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴即为所求； 四边形，连接， ∵， ∴， ∴即为所求； 根据格点图示，可得点到的高为， ∴ ． 题型12.根据正方形的性质与判定求线段长 1．如图，E为正方形内一点，，，．将绕点C按顺时针方向旋转，得到．延长交于点H，则的长为（    ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求得，然后根据图形旋转的性质证明四边形是正方形，即可求得答案． 【详解】解：在中，，， ， 绕点C按顺时针方向旋转，得到， ，，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ． 2．如图，正方形边长为6，，M、N分别是和的中点，则长为_________． 【答案】 【分析】取中点H，的中点P，连接并延长交于点G，连接并延长交于点Q，根据正方形边长为6，得，， 则，，根据M、N分别是和的中点，得是的中位线，是的中位线， ，，，根据得，，即，，则四边形是矩形，即，，即四边形是正方形，根据，得，根据，得，根据四边形是正方形得，运用勾股定理即可得． 【详解】解：如图所示，取中点H，的中点P，连接并延长交于点G，连接并延长交于点Q，    ∵正方形边长为6，， ∴，， ∴，， ∵M、N分别是和的中点， ∴， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵ ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴，   ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，三角形的中位线，勾股定理，矩形的判定和性质，平行线的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点，添加辅助线． 3．如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵的垂直平分线交于，交于， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； (2) 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关的知识是解题的关键． （1）先根据，判定四边形是矩形，再根据，即可得证； （2）先根据证明，得出，再根据正方形中，，即可得到，从而可求得的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 题型13.根据正方形的性质与判定求面积 1．如图，在菱形中，，点E在上．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先证明四边形为正方形，得出，根据勾股定理求出，根据求出结果即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ． 2．如图，在正方形中，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）若，则矩形的面积为_______； （2）当线段与正方形的一边的夹角是时，则的度数为_______． 【答案】 3 或 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）作，，证明，得到，根据正方形的判定定理证明即可； （2）分两种情况讨论即可，①当与的夹角为时，②当与的夹角为时，从而可得答案． 【详解】如图，作于P，于Q， 四边形为正方形， ∵， ∴， 矩形， ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； ∵ ∴正方形的面积为：， 故答案为：3； （2）①当与的夹角为时， 如图2， ∵，， ∴， ②当与的夹角为时，如图3，即交于， ， 综上所述：或． 故答案为：或 3．如图，将边长为2cm的菱形沿边所在的直线翻折得到四边形．若，则四边形的面积为______．    【答案】4 【分析】直接利用翻折变换的性质再结合等边三角形的判定方法得出的长，再证明出四边形是正方形，进而求出答案． 【详解】解：∵将边长为2cm的菱形沿边所在的直线翻折得到四边形，   ∴，，， ， ∴是等边三角形， ∴， 同理可得：， ∵四边形，是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积为． 故答案为：4． 【点睛】本题考查菱形的性质，翻折变换的性质等知识，准确判断四边形是正方形是解题关键． 题型14.根据正方形的性质与判定证明 1．如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．若正方形的面积是4，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积都是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形的面积，即可列式作答． 【详解】解：过点O分别作于点M，于点N，如图所示： ∵四边形和是正方形，且正方形的面积是4， ∴，， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形的面积， ∵， ∴两个正方形重叠部分的面积等于． 2．如图，已知正方形的边长为8，点E为中点，点P在对角线上，且，则的长为__________．    【答案】 【分析】过点P作于F，作于G，判断出四边形是正方形，根据正方形的性质可得，，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，设，表示出BF，再列出方程求解得到，然后根据正方形的对角线等于边长的倍计算即可得解． 【详解】如图，过点P作于F，作于G，    ∵， ∴四边形为矩形， ∵四边形为正方形，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵正方形的边长为8， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理，利用全等三角形的性质是解题关键． 3．如图，在中，，于，将沿折叠为，将沿折叠为，延长和相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：， ； 由折叠可知，，， ，， ； ； 四边形是正方形． (2) 【分析】本题考查了正方形的判定及性质、折叠的性质及勾股定理： （1）由折叠的性质可得到的条件是：①，②，且；由②可判定四边形是矩形，由可证得四边形是正方形； （2）设，由折叠的性质可得：（即正方形的边长为x），，；进而可用x表示出的长，即可在中，由勾股定理求得的长，进而可求出的长； 熟练掌握正方形的判定是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）四边形是正方形， ， 又，，， 设的长为，则，． 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ，． 题型15.中点四边形 1．定义：将顺次连接四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形．如果中点四边形是正方形，那么原四边形的两条对角线一定满足（     ） A．两条对角线互相平分且相等 B．两条对角线互相垂直且相等 C．两条对角线互相平分且垂直 D．两条对角线互相垂直且不等 【答案】B 【分析】根据题意画图，利用中位线定理得，，，，然后根据正方形的性质得四个角是直角，四条边相等，然后，根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：根据题意画出图形如下： ∵E、F、G、H分别是四边形 各边、 、、的中点， ∴，， ∴，， ∵四边形是正方形， ，， ∴，，即两条对角线互相垂直且相等． 2．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是的中点，连接与交于点，若，则四边形的周长是__________． 【答案】12 【分析】由三角形中位线定理易得四边形是菱形，即可求得结果． 【详解】解：∵E，F，G，H分别是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长是． 3．如图，在四边形中，E，F，G，H分别为，，，的中点．请猜想四边形的形状，并证明自己的猜想． 【答案】四边形是平行四边形． 证明：如图，连接， ∵F，G分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵H，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【分析】连接，根据三角形中位线定理，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明即可． 【详解】解：略． 题型16.（特殊）平行四边形的动点问题 1．如图，点P，Q分别是菱形的边，上的两个动点，若线段长的最大值为，菱形的边长为10，则线段长的最小值为（    ） A． B．8 C．6 D． 【答案】B 【分析】过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，由题意可得当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC=，利用勾股定理求出AH，再由当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线CD，直线AB的距离为8，即CH的长． 【详解】解：如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB=BC， ∵点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点， ∴当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC=， ∵菱形的边长为10，即AB=BC=10， 设BH=x，则AH=10+x， 则， 即， 解得：x=6， ∴AH=16， ∴CH==8， 当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线CD，直线AB的距离为8，即CH=8， 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． 2．如图在矩形中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当的面积为时，值为________．    【答案】6或11/11或6 【分析】分在上、在上两种情况，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：①当在上时， 的面积等于， ， 解得：； ②当在上时， 的面积等于， ， ， 解得：； 综上所述，的值为6或11， 故答案为：6或11． 【点睛】本题考查了矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握矩形的性质，分情况讨论是解题的关键． 3．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的速度都是连接，，，设点，运动的时间为． (1)求为何值时，四边形是矩形； (2)求为何值时，四边形是菱形． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了菱形、矩形的判定与性质，解决此题注意结合方程的思想解题． (1)当四边形是矩形时，，据此求得t的值； (2)当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t． 【详解】（1）解：由题意，得，则， 四边形是矩形， ，， 当时，四边形为矩形， ， 解得， 故当时，四边形为矩形． （2）解：由（1）可知，四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形． 在中，， 时，四边形为菱形， 解得， 故当时，四边形为菱形． 题型17.利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 1．如图，O是矩形的对角线上一点，过点O作，分别交于点E，F，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先作，可知四边形是矩形，再得出，然后根据得出答案． 【详解】解：过点O作，交于点P，Q， ∵四边形是矩形，且， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 2．如图，正方形的边长为2，E，F分别是对角线上的两点，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】2 【分析】由正方形的性质、全等三角形的判定与性质得四边形的面积与四边形的面积相等，从而得阴影部分的面积为正方形面积的一半． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 同理，则， ∴， ∵， ∴， 即， ∴阴影部分面积 ． 3．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【分析】过点作，利用矩形对角线将矩形分成面积相等的两部分这一性质，证明，再结合矩形对边相等求出的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作交于点，交于点， 四边形是矩形，， 四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形． 是矩形的对角线， ， 同理可得，， ， 即． ，， ． 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． 题型18.四边形中的线段最值问题 1．如图，在边长为6的正方形中，点P为对角线上一动点，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，如图， 四边形是正方形， ，， ，， 四边形是矩形， ， 当时，最短， 在中，， ， ，解得（负值已舍去）， ， 则的最小值为． 2．如图，在矩形中，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为_______________． 【答案】 【分析】延长到G，使，连接，，证明，得出， ，根据两点之间线段最短，得出当G、F、C共线时，最小，最小值为，根据勾股定理求出最小值即可． 【详解】解：延长到G，使，连接，，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当G、F、C共线时，最小，最小值为， ∴最小值为， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴最小值为． 3．【问题探究】 (1)如图，在矩形中，，，点、分别在边、上，且，点为边上的动点，连接、，求的最小值； 【问题解决】 (2)如图，四边形是一片矩形城区，，．为方便城区内的居民出行，现计划分别在边、、、上取点、、、，连接、、、，并沿这四条线段修建道路，围成一个四边形，已知，请求出四边形周长的最小值．（道路的宽度忽略不计） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图，作点关于直线的对称点，连接、、，交于点，连接，由对称性质可得，，，，，则当点与点重合时，取得最小值，最小值为的长．过点作于点，则，在中，由勾股定理求解即可； （2）分别作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，连接、、、、、，由（1）可知，，；作点关于直线的对称点，连接，交的延长线于点，连接、，设交于点，交于点，连接，交于点，由对称性质可得当点与重合、点与点重合、点与点重合时，取得最小值，最小值为的长．在中，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，作点关于直线的对称点，连接、、，交于点，连接， 由对称性质可得，，，，， ， 当点与点重合时，取得最小值，最小值为的长． 四边形为矩形， ， 点在的延长线上， 过点作于点，则， 四边形为矩形， ，， ， 在中，由勾股定理，得， 的最小值为； （2）解：四边形的周长， 当取得最小值，同时取得最小值时，四边形的周长取得最小值． 如图，分别作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，连接、、、、、，则，，，，，， 由（1）可知，，； 作点关于直线的对称点，连接，交的延长线于点，连接、，设交于点，交于点，连接，交于点， 由对称可得，，， ， ， 当点与重合、点与点重合、点与点重合时，取得最小值，最小值为的长． 四边形是矩形， ， 点、都在直线上，且． ， 四边形为矩形， ，， ， 在中，由勾股定理，得， 四边形周长的最小值为． 题型19.四边形其他综合问题 1．下列说法不正确的是（   ） A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B．菱形的对角线互相垂直 C．矩形的对角线相等 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】A 【分析】根据菱形的判定与性质，矩形的性质，平行四边形的判定，进行判断即可得． 【详解】解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，选项说法错误，符合题意； B、菱形的对角线互相垂直平分，选项说法正确，不符合题意； C、矩形的对角线相等，选项说法正确，不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，选项说法正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，平行四边形的判定，解题的关键是掌握这些性质． 2．已知：如图，在正方形外取一点E，连接，过点A作的垂线交于点P，若，下列结论中正确的是_________． ①；②；③；④；⑤．    【答案】①②③④ 【分析】根据正方形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“边角边”证明，从而判断①正确，根据全等三角形对应角相等可得，可证，从而判断②正确，根据等腰直角三角形的性质求出，再利用勾股定理列式求出的长，根据列式计算即可判断出③正确；过点B作，交的延长线于点F，先求出，由等腰三角形的性质可求，由勾股定理可求的长，即可求正方形的面积，从而判断④正确；连接PC，连接，过点P作，交于M，交于N，利用三角形的面积关系可求的长，同理可求的长，由勾股定理可求的长，从而判断⑤错误． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴，故①正确； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确， 如图，过点B作，交的延长线于点F，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确， 如图，连接，过点P作，交于M，交于N，    ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴，故⑤错误， 故答案为：①②③④ 【点睛】此题分别考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形的面积及勾股定理，综合性比较强，解题时要求熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题． 3．已知平行四边形，对角线与相交于点O，点P在边上，过点P分别作，垂足分别为E、F，． (1)如图，若，求的长； (2)若点P是的中点，点F是的中点．求证：平行四边形是正方形． 【答案】(1) (2) 证明：∵P是中点， ∴ 又∵ ， ∴． ∴． ∴ ． ∴ ． ∴平行四边形是矩形． ∵ 点P是中点，，点F是的中点， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴平行四边形是菱形． ∴平行四边形是正方形． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、特殊平行四边形的判定与性质，勾股定理． （1）连接，易证，所以，在，，利用勾股定理得到，即； （2）证明，得到，证明平行四边形是矩形，再证明平行四边形是菱形，根据条件即可证出平行四边形是正方形． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵ ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ∴； （2）略 ✺分层练习 一、单选题 1．如图，在正方形中，是对角线上一点，且，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，根据正方形的性质，得到，，进而得到，又因为，推出，进而即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ∴, ， ． 2．如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为，则两个正方形重叠部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设与交于点，与交于点，根据题意可得，结合正方形的性质证明，则两个正方形重叠部分的面积等于，即正方形面积的四分之一，已知正方形的边长，可据此求出重叠部分的面积． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 正方形、正方形， ，，， ， 在和中， ， ， ， 则两个正方形重叠部分的面积为 ． 3．如图，在矩形中，对角线、相交于点，若要使矩形成为正方形，添加的条件不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据各选项添加条件结合正方形的判定定理判断即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， A、当时，则矩形是正方形，不符合题意； B、当时，则， ， ， 矩形是正方形，不符合题意； C、当时，则矩形是正方形，不符合题意； D、当时， 则， 则，矩形不是正方形，符合题意． 4．如图，在任意四边形中，E，F，G，H分别是边的中点，连接，对于四边形的形状，下列说法中错误的是（   ） A．若，则四边形为菱形 B．若，则四边形为矩形 C．若，且，则四边形为正方形 D．若与互相平分，且，则四边形是正方形 【答案】D 【分析】连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵在任意四边形中，E，F，G，H分别是边的中点， ， ∴四边形为平行四边形； A．当E，F，G，H是四边形各边中点，且时，则，故四边形为菱形，故本选项不符合题意； B、当E，F，G，H是四边形各边中点，且时，则，则，故四边形为矩形，故本选项不符合题意； C、当E，F，G，H是四边形各边中点，，且时，存在，故四边形为正方形，故本选项不符合题意； D、当E，F，G，H是四边形各边中点，且与互相平分，且时，故四边形为菱形，故本选项符合题意． 5．如图，在正方形中，，分别是，的中点，连接，交于点，连接，，．下列结论：①；②；③依次连接，，，的中点，，，，则四边形为正方形；④．其中结论正确的序号有（     ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定得到，可判断①；根据全等三角形的性质得出，进而得到，设正方形的边长为，利用勾股定理表示出的长，可判断②；根据中点四边形的性质，结合，利用正方形的判定可判断③；延长和交于点H，通过证明，得到，利用斜边中线定理得到，则有，再利用角的和差和等量代换可判断④，即可得出答案． 【详解】解：正方形， ， ，分别是，的中点， ， ， 在和中， ， ，故①正确； ， ， ， ， ，即， 设正方形的边长为，则， 在中，由勾股定理可得， ， ， ， 在中，由勾股定理可得， ，故②正确； 如图， 根据题意可知：， ， ， 四边形是菱形， ， ， 菱形是正方形，故③正确； 延长和交于点H， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，说法正确的有． 二、填空题 6．如图，在正方形中，，是的中点，是对角线上一动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】由正方形性质可得关于对称，则，故求的最小值即求的最小值，当三点共线时最小为，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵在正方形中，，是的中点， ∴，关于对称， ∴， ∴的最小值即求的最小值， ∴当三点共线时最小为， 由勾股定理得． 7．如图，在四边形中，，为对角线，点E，F，G，H分别是边，，，的中点，连接，．若，，则线段的长为_________． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理求出的长及位置关系，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：连接，如图 点，分别是边的中点， 是的中位线， ∴，， 同理是的中位线， ，， ，，， 在中，． 8．如图，正方形的边长为，，分别是边，上的点，沿着将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，若点将分成两部分，则的长是_______． 【答案】或 【分析】根据题意，得点将分成的两部分的长为，，分或，利用勾股定理，结合方程的思想求解即可； 【详解】解：正方形的边长为， ， 点将分成两部分， 点将分成的两部分的长为，， 当时，如图，连接，则，设，则 根据折叠的性质，得， 根据勾股定理，得， ， 解得； 当时，如图，连接，则，设，则 根据折叠的性质，得， 根据勾股定理，得， ， 解得； 故的长是或． 9．为线段上任意一点，分别以、为边在线段同侧作正方形与正方形，连接、、、、，下列说法正确的是______． ①  ②  ③  ④ 【答案】 ①②④ 【分析】根据正方形性质可得边长相等及直角，结合图形判断线段关系；利用判定三角形全等；通过角度转换证明垂直关系；利用面积割补法计算三角形面积即可得出结果. 【详解】 解：设，， 四边形和均为正方形， ，，， 三点共线， 对于①：由图可知 ，则，故①正确； 对于②：在和中， ， ，故②正确； 对于③：由②得， 延长交于点， ，， ， ， ， 不共线， 不垂直于，故③错误； 对于④：， ； ，故④正确； 综上所述，正确的说法是①②④. 10．如图，四边形ABCD是正方形，点G是边BC上一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．已知DE＝10，BF＝6，则EF的长度为 ___． 【答案】4 【分析】因为AF=AE+EF，则可以通过证明△ABF≌△DAE，从而得到AE=BF，AF=DE 便得到了EF=DE- BF． 【详解】证明：∵ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠BAD=90° ∵DE⊥AG， ∴∠AED=90° ∴∠ADE+∠DAE=90° 又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°， ∴∠ADE=∠BAF． ∵BF∥DE， ∴∠AFB=∠DEG=∠AED． 在△ABF与△DAE中， ， ∴△ABF≌△DAE（AAS）． ∴BF=AE，AF=DE ∵AF=AE+EF， ∴EF=DE- BF=4， 故答案为：4. 【点睛】此题主要考查学生对正方形的性质及全等三角形的判定的掌握情况，本题难度一般． 三、解答题 11．如图，将矩形放置在平面直角坐标系中，点与原点重合，点，分别在轴和轴上，顶点的坐标，满足． (1)求点的坐标． (2)求证：四边形为正方形． (3)若点为正方形边上的动点，连接，过E点作，且，连接，的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明：由（1）可得点的坐标为， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴矩形为正方形； (3)的大小为定值，恒为 【分析】（1）根据非负数的性质计算得出，，从而即可得出结果； （2）由（1）可得，再结合正方形的判定定理证明即可； （3）在上截取，连接，先证明为等腰直角三角形，得出，从而可得，再证明，得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴点的坐标为； （2）略 （3）解：的大小为定值，恒为， 如图，在上截取，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的大小为定值，恒为． 12．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是，连接、、，设点、运动的时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形； (2)当为何值时，四边形是菱形； (3)分别求出（2）中菱形的周长和面积． 【答案】(1) (2) (3)周长为，面积为 【分析】（1）由矩形的性质可得，据此可建立一元一次方程，解方程即可求出答案； （2）由菱形的性质可得，据此可建立一元一次方程，解方程即可求出答案； （3）先利用的值求出的长，然后根据和即可求出菱形的周长和面积． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， 即：， 解得：， 答：当时，四边形是矩形； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形； 四边形是菱形， ， 即：， 解得：， 答：当时，四边形是菱形； （3）解：当时，， 菱形的周长为：， 菱形的面积为：． 【点睛】本题主要考查了（特殊）平行四边形的动点问题，矩形的性质，菱形的性质，解一元一次方程，代数式求值，多边形的周长，利用菱形的性质求面积等知识点，利用各种图形的性质建立方程解决问题是解题的关键． 13．如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且． (1)求证：； (2)试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值． 【答案】(1) 证明：∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)的大小是定值，定值为 (3) 【分析】（1）利用正方形的性质证明，得到，再利用角的和差得到，即可证明； （2）由的周长为4，得到，由正方形的边长为2得到，得到，进而利用线段的和差推出，通过证明得到，结合即可得出结论； （3）连接，利用全等三角形的性质得到，利用三角形的面积公式得到，利用勾股定理求出的长，再根据即可求出的最小值． 【详解】（1）略 （2）解：∵的周长为4， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴的大小是定值，定值为； （3）解：连接， ∵正方形的边长为2， ∴，， ∴是的高， ∵， ∴是的高， 由（2）得，， ∴， ∴， 由（2）得，， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、三角形的面积公式、线段最值问题，正确找出全等三角形并证明是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03正方形的性质与判定同步培优讲义 ✺知识框架 本节在平行四边形、矩形、菱形的基础上，学习特殊平行四边形的最终图形 —— 正方形。主要内容包括正方形的定义、正方形的综合性质、正方形的多种判定方法。 重点厘清平行四边形、矩形、菱形、正方形四者的递进从属关系，掌握正方形兼具矩形与菱形的全部特征，能够灵活运用性质与判定解决几何计算与证明问题，完善特殊平行四边形的整体知识体系。 ✺学习目标 1.理解正方形的定义，明确正方形、平行四边形、矩形、菱形四者的从属包含关系。 2.熟练掌握正方形边、角、对角线的性质，能够使用规范文字与几何符号语言进行推理、计算与证明。 3.熟练掌握正方形的判定方法，能根据已知条件选择最优判定路径，规范书写几何证明过程。 4.能综合运用特殊平行四边形的性质与判定解决基础及综合题型，规避易错点，提升几何推理能力。 ✺知识梳理 知识点一：正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 核心要素：①图形为平行四边形；②有一组邻边相等；③有一个角为直角。 从属关系：正方形是特殊的平行四边形，既是特殊的矩形，也是特殊的菱形，因此具备平行四边形、矩形、菱形的全部性质。 知识点二：正方形的性质 性质分类 文字描述 符号语言 图示说明 边 正方形四条边相等，对边平行 ∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=AD，AB∥CD，AD∥BC。 角 正方形的四个角都是直角 ∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°。 对角线 正方形对角线相等、互相垂直且互相平分，每条对角线平分一组对角 ∵四边形 ABCD 是正方形，∴AC=BD，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD；AC 平分∠BAD、∠BCD，BD 平分∠ABC、∠ADC。 对称性 正方形是轴对称图形，有 4 条对称轴；也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点 知识点三：正方形的判定定理 判定方法 文字叙述 几何语言 图示 定义判定 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 ∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∠A=90°，∴四边形 ABCD 是正方形。 定理1 有一组邻边相等的矩形是正方形； ∵四边形ABCD是矩形，AB=AD，∴四边形ABCD是正方形。 定理2 对角线互相垂直的矩形是正方形； ∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形。 定理3 有一个角是直角的菱形是正方形； ∵四边形ABCD是菱形，∠A=90°， ∴四边形ABCD是正方形。 定理4 对角线相等的菱形是正方形 ∵四边形ABCD是菱形，AC=BD.∴四边形ABCD是正方形。 【重要提示】任意四边形不能直接判定为正方形。判定正方形一般两条路径：先证矩形，再证邻边相等或对角线垂直；或先证菱形，再证有一个直角或对角线相等。 【重要推论】正方形的两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，常用于角度与线段长度计算。 重难点与易错辨析 1.矩形对角线相等但不垂直，菱形对角线垂直但不相等，正方形对角线既相等又互相垂直，是其核心独有性质。 2.仅有邻边相等或仅有一个直角的四边形，无法判定为正方形，必须依托矩形或菱形的基础条件。 3.从属层级关系：正方形属于矩形，正方形属于菱形；矩形、菱形都属于平行四边形。 4.判定正方形按需选择方法：已知矩形，证邻边相等或对角线垂直；已知菱形，证直角或对角线相等，无需重复证明平行四边形。 5.对角线分割形成的等腰直角三角形结论，仅适用于正方形，不可套用至其他四边形。 ✺题型精讲 题型1.正方形性质理解 1．正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是（    ） A．两组对边分别相等 B．两条对角线互相平分 C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等 2．如图，把含角的直角三角尺放置在正方形中，，直角顶点在正方形的对角线上，点，分别在边和上，与交于点，且为的中点，则的度数为________． 3．如图（1）是一景区的标语牌，将其抽象成如图（2）所示的示意图，垂直于地面，点A，B，C，E在一条直线上，四边形是正方形，，，． (1)求的度数． (2)求点M到地面的距离（结果保留整数．参考数据：）． 题型2.根据正方形的性质求角度 1．如图，在正方形中，连接，点是边上一点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形中，是对角线上的一点，且，则的度数是________． 3．如图，E是正方形的边的延长线上一点，且，交于点．求的度数． 题型3.根据正方形的性质求线段长 1．如图，在正方形中，点E在边上，若，，则正方形的对角线的长为（    ） A． B．4 C．8 D． 2．在正方形中，对角线，交于点，延长至点，使，连接，点为的中点，连接．若，则的长为______． 3．如图，在正方形中， ，对角线，求的长． 题型4.根据正方形的性质求面积 1．如图，长方形内放置了三个正方形，三个正方形的面积分别是，，，则图中两块阴影部分的面积和为（     ） A． B． C． D． 2．如图，大、小两个正方形连在一起，大正方形的面积为，小正方形的面积为，则阴影部分的面积为________． 3．如图，正方形的边长为，是边上的一点，且，为的中点，连接、、． (1)求的周长； (2)求的面积． 题型5.根据正方形的性质证明 1．如图，在正方形中，为上一点，延长到，使，连接的延长线交于点，则下面结论错误的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形中，E，F分别为，上的点，连接，，若于点G，，则的长为________． 3．如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接． (1)写出图中所有的全等三角形； (2)延长交于点F，若，求的度数． 题型6.正方形折叠问题 1．如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为．若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点D落在边上的点E处，折痕为．若，则线段的长是_________ 3．探究以下问题： (1)【问题情境】正方形是生活中常见的几何图形，如图1，在正方形中，分别在边、上，且，垂足为，判断：______（填“”或“”） (2)【问题探究】如图2，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为，请你写出线段与线段的数量关系，并证明你的结论； (3)【问题拓展】如图3，将边长为的正方形折叠，使得点落在上的点处．若折痕的长为，则线段的长为______． 题型7.求正方形重叠部分面积 1．如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 2．如图，正方形的对角线相交于点，又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长均为2，正方形可绕点转动且始终保持点在正方形内部，则四边形的面积为_________，、和的数量关系为_________． 3．如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 题型8.正方形的判定定理理解 1．下列结论错误的是（     ） A．有一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．有一个角是直角的平行四边形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形 2．如图，数学课上老师给出了以下四个条件：①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组邻边相等；④一个角是直角．写出一个你认为能得到正方形的组合：______．（填序号） 3．请认真完成下列数学活动 如图，在中，，，D是的中点，过点A作直线，过点D的直线交的延长线于点E，交直线l于点F，连接，．    ●分析发现 （1）试说明：①；②． ●探究思考 （2）若，试判断四边形是什么特殊四边形，并证明你的结论； ●拓展延伸 （3）若，则_____________，能使四边形为正方形． 题型9.添一个条件使四边形是正方形 1．如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ）． A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，对角线，相交于点．在不添加辅助线的前提下，增加一个条件，使得菱形是正方形．这个条件可以是________． 3．如图，在中， ，E是边上任意一点，连结，过点B作交的延长线于点F，连结． (1)猜想四边形的形状，并证明； (2)若E是边延长线上任意一点，且 ，当和满足_____________关系时，四边形是正方形． 题型10.证明四边形是正方形 1．小金在复习平行四边形章节时，整理出如下所示的思维导图，其中（1）、（2）、（3）、（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（     ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 2．四边形的对角线，分别过A，B，C，D作对角线的平行线，所成的四边形是______． 3．如图，在矩形中，的平分线交对角线于点，于点，于点，求证：四边形是正方形． 题型11.根据正方形的性质与判定求角度 1．将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的每一个顶点都在格点上． (1)求的度数； (2)仅用无刻度的直尺作出（不写作法），并求格点四边形的面积． 题型12.根据正方形的性质与判定求线段长 1．如图，E为正方形内一点，，，．将绕点C按顺时针方向旋转，得到．延长交于点H，则的长为（    ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 2．如图，正方形边长为6，，M、N分别是和的中点，则长为_________． 3．如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 题型13.根据正方形的性质与判定求面积 1．如图，在菱形中，，点E在上．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．3 C． D． 2．如图，在正方形中，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）若，则矩形的面积为_______； （2）当线段与正方形的一边的夹角是时，则的度数为_______． 3．如图，将边长为2cm的菱形沿边所在的直线翻折得到四边形．若，则四边形的面积为______．    题型14.根据正方形的性质与判定证明 1．如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．若正方形的面积是4，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积都是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，已知正方形的边长为8，点E为中点，点P在对角线上，且，则的长为__________．    3．如图，在中，，于，将沿折叠为，将沿折叠为，延长和相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，求的长． 题型15.中点四边形 1．定义：将顺次连接四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形．如果中点四边形是正方形，那么原四边形的两条对角线一定满足（     ） A．两条对角线互相平分且相等 B．两条对角线互相垂直且相等 C．两条对角线互相平分且垂直 D．两条对角线互相垂直且不等 2．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是的中点，连接与交于点，若，则四边形的周长是__________． 3．如图，在四边形中，E，F，G，H分别为，，，的中点．请猜想四边形的形状，并证明自己的猜想． 题型16.（特殊）平行四边形的动点问题 1．如图，点P，Q分别是菱形的边，上的两个动点，若线段长的最大值为，菱形的边长为10，则线段长的最小值为（    ） A． B．8 C．6 D． 2．如图在矩形中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当的面积为时，值为________．    3．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的速度都是连接，，，设点，运动的时间为． (1)求为何值时，四边形是矩形； (2)求为何值时，四边形是菱形． 题型17.利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 1．如图，O是矩形的对角线上一点，过点O作，分别交于点E，F，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，正方形的边长为2，E，F分别是对角线上的两点，，则图中阴影部分的面积为______． 3．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为___________． 题型18.四边形中的线段最值问题 1．如图，在边长为6的正方形中，点P为对角线上一动点，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为_______________． 3．【问题探究】 (1)如图，在矩形中，，，点、分别在边、上，且，点为边上的动点，连接、，求的最小值； 【问题解决】 (2)如图，四边形是一片矩形城区，，．为方便城区内的居民出行，现计划分别在边、、、上取点、、、，连接、、、，并沿这四条线段修建道路，围成一个四边形，已知，请求出四边形周长的最小值．（道路的宽度忽略不计） 题型19.四边形其他综合问题 1．下列说法不正确的是（   ） A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B．菱形的对角线互相垂直 C．矩形的对角线相等 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 2．已知：如图，在正方形外取一点E，连接，过点A作的垂线交于点P，若，下列结论中正确的是_________． ①；②；③；④；⑤．    3．已知平行四边形，对角线与相交于点O，点P在边上，过点P分别作，垂足分别为E、F，． (1)如图，若，求的长； (2)若点P是的中点，点F是的中点．求证：平行四边形是正方形． ✺分层练习 一、单选题 1．如图，在正方形中，是对角线上一点，且，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为，则两个正方形重叠部分的面积为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，对角线、相交于点，若要使矩形成为正方形，添加的条件不正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在任意四边形中，E，F，G，H分别是边的中点，连接，对于四边形的形状，下列说法中错误的是（   ） A．若，则四边形为菱形 B．若，则四边形为矩形 C．若，且，则四边形为正方形 D．若与互相平分，且，则四边形是正方形 5．如图，在正方形中，，分别是，的中点，连接，交于点，连接，，．下列结论：①；②；③依次连接，，，的中点，，，，则四边形为正方形；④．其中结论正确的序号有（     ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 6．如图，在正方形中，，是的中点，是对角线上一动点，则的最小值为________． 7．如图，在四边形中，，为对角线，点E，F，G，H分别是边，，，的中点，连接，．若，，则线段的长为_________． 8．如图，正方形的边长为，，分别是边，上的点，沿着将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，若点将分成两部分，则的长是_______． 9．为线段上任意一点，分别以、为边在线段同侧作正方形与正方形，连接、、、、，下列说法正确的是______． ①  ②  ③  ④ 10．如图，四边形ABCD是正方形，点G是边BC上一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．已知DE＝10，BF＝6，则EF的长度为 ___． 三、解答题 11．如图，将矩形放置在平面直角坐标系中，点与原点重合，点，分别在轴和轴上，顶点的坐标，满足． (1)求点的坐标． (2)求证：四边形为正方形． (3)若点为正方形边上的动点，连接，过E点作，且，连接，的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 12．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是，连接、、，设点、运动的时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形； (2)当为何值时，四边形是菱形； (3)分别求出（2）中菱形的周长和面积． 13．如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且． (1)求证：； (2)试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $