专题03正方形的性质与判定精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦正方形的性质与判定核心知识点，立足平行四边形、矩形、菱形已有知识，构建“平行四边形→矩形/菱形→正方形”的特殊四边形层级体系，系统梳理正方形边、角、对角线、对称性等性质及四类判定定理，厘清与矩形、菱形的从属关系和性质差异。 该资料通过18种分层题型设计（含折叠、重叠面积等），结合星级难度标注与精准解题思路（如折叠问题用勾股定理，重叠面积用全等转化），培养学生几何直观与推理能力。课中辅助教师系统授课，课后助力学生针对性练习，有效弥补性质混用、判定跳步等常见错误，提升逻辑推理与数形结合素养。

专题03正方形的性质与判定精讲学案 课堂核心立意 本节课立足平行四边形、矩形、菱形的已有知识，构建平行四边形→矩形/菱形→正方形的特殊四边形层级体系。精准掌握正方形独有的边角、对角线、对称性性质，熟记四类标准判定方法，能熟练完成性质证明、判定推理、线段角度计算、几何综合证明题型，厘清三类特殊平行四边形的从属关系与性质差异，培养数形结合、逻辑推理的几何核心素养。 一、正方形的定义与从属关系 1. 标准定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2. 从属层级：正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形，兼具矩形、菱形、平行四边形全部性质，是特殊平行四边形的终极图形。 二、正方形的核心性质（必考、可直接用于证明） 1. 边的性质 四条边长度全部相等，对边平行、邻边互相垂直。 2. 角的性质 四个内角均为90°直角，邻角互补、对角相等。 3. 对角线性质（考试核心重难点） 对角线互相垂直、互相平分、长度相等；每一条对角线平分一组对角，对角线与边的夹角恒为45°；正方形两条对角线将图形分成四个全等的等腰直角三角形。 4. 对称性 既是中心对称图形（对称中心为对角线交点），又是轴对称图形，共有4条对称轴（两条对角线、两组对边中线）。 5. 面积双公式 面积=边长×边长；面积=对角线乘积的一半（菱形、正方形通用，大题可直接套用）。 三、正方形四大标准判定定理（阅卷唯一认可） 1. 定义法判定：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 2. 矩形升级判定：有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。 3. 菱形升级判定：有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形。 4. 终极判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 四、三类特殊平行四边形核心区别（学生易混、教师必讲） 1. 矩形：四个直角、对角线相等，邻边不一定相等、对角线不垂直。 2. 菱形：四边相等、对角线垂直，内角不是直角、对角线不相等。 3. 正方形：四边相等+四角直角+对角线垂直且相等，集齐矩形、菱形所有特性。 1. 判定逻辑混乱：直接用“四边相等、四角为直角”判定正方形，步骤繁琐，考试优先用矩形、菱形升级判定，简洁规范不扣分。 2. 性质混用：误认为矩形、菱形具备正方形所有性质，忽略正方形是二者叠加的特殊图形。 3. 对角线易错：忘记正方形对角线平分内角、夹角45°的关键结论，导致角度计算题卡顿。 4. 判定跳步：证明四边形是正方形时，未先证平行四边形/矩形/菱形，直接判定，证明过程不严谨、扣分严重。 5. 面积公式乱用：对角线求面积公式只适用于菱形、正方形，不可用于普通矩形、平行四边形。 题型 考察方向 难度 题型一 正方形性质理解 ★★★ 题型二 根据正方形的性质求角度 ★★★ 题型三 根据正方形的性质求线段长 ★★★★ 题型四 根据正方形的性质求面积 ★★★ 题型五 根据正方形的性质证明 ★★★★ 题型六 正方形折叠问题 ★★★★★ 题型七 求正方形重叠部分面积 ★★★★ 题型八 正方形的判定定理理解 ★★★ 题型九 添一个条件使四边形是正方形 ★★★★ 题型十 证明四边形是正方形 ★★★★★ 题型十一 根据正方形的性质与判定求角度 ★★★★ 题型十二 根据正方形的性质与判定求线段长 ★★★★★ 题型十三 根据正方形的性质与判定求面积 ★★★★ 题型十四 根据正方形的性质与判定证明 ★★★★★ 题型十五 中点四边形 ★★★★ 题型十六 （特殊）平行四边形的动点问题 ★★★★★ 题型十七 利用（特殊) 平行四边形的对称性求阴影面积 ★★★★ 题型十八 四边形中的线段最值问题 ★★★★★ 拔高题 9题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：正方形性质理解 解题思路：①明确正方形同时具备平行四边形、矩形、菱形全部性质；②从边、角、对角线、对称性四个维度核对选项；③重点标记独有特征：对角线既相等又互相垂直、对角线平分一组内角、共4条对称轴；④排除只属于矩形或只属于菱形的干扰描述。 1．我们在学习华东师大版八年级下册“图形与几何”部分内容时，先学平行四边形，再学矩形、菱形，最后学正方形，这种学习过程体现的数学思想是（    ） A．转化思想 B．由一般到特殊的思想 C．数形结合思想 D．统计思想 2．如图，有两个正方形、和一个等边三角形，则图中度数为的角有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在正方形的外侧作等边三角形，则的度数为______． 题型二：根据正方形的性质求角度 解题思路：①提取正方形基础条件：四个内角90°，对角线分割出45°特殊角；②结合三角形内角和、三角形外角定理推导角度；③见到对角线优先标注45°角；④存在全等时，利用全等对应角相等完成角度代换计算。 4．如图，已知P是正方形对角线上一点，平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形中，E，F分别是边上的点，，，则的度数为_____ ． 6．如图，在正方形中，平分交于点E，点F是边上一点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型三：根据正方形的性质求线段长 解题思路：①利用正方形四条边相等完成边长转化；②牢记对角线与边长数量关系：对角线=边长；③图中有直角时构造Rt△，使用勾股定理列式计算；④借助全等三角形实现未知线段和已知线段等量代换。 7．如图，网格中每个小正方形边长均为1，点，，都在格点上，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，M是正方形的边上的一点，，且的面积等于8，则线段的长是________． 9．如图，是正方形对角线上一点，，，、分别为垂足，若，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型四：根据正方形的性质求面积 解题思路：①选用对应公式：S=边长2，S=对角线2；②题干给边长直接平方，给出对角线用对角线乘积一半计算；③遇到不规则图形，分割为正方形、直角三角形，通过面积求和或求差得到结果。 10．如图，三个正方形围成一个直角三角形，、分别为所在正方形的面积，则图中字母所表示的正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 11．如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形，，，的面积分别为，，，，则最大的正方形的面积为______． 12．如图，矩形内有两个正方形和，点、在上，点、在上，若正方形的面积为，正方形的面积为，则图中两块阴影部分的面积之和为（     ） A． B． C． D． 题型五：根据正方形的性质证明 解题思路：①由正方形性质直接获取边相等、角相等、对角线相关已知条件；②证线段相等优先找全等三角形，证角相等做角度等量代换；③证明书写每一步要有依据，不能跳过题目没有直接给出的关键条件。 13．如图，点P是正方形的对角线上的一点，于点E，若，则点P到直线的距离为（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 14．如图，正方形的对角线交点为O，点E、F分别在边上，且．若，则图中阴影四边形的面积为________ 15．如图，图1是由边长均为1的小正方形和构成，可以用其面积关系验证勾股定理，将图1按图2所示“嵌入”长方形，则该长方形的面积为（     ） A．60 B．80 C．100 D．110 题型六：正方形折叠问题 解题思路：①抓住折叠不变量：折叠前后对应边相等、对应角相等；②设未知线段为x，其余相关线段用含x代数式表示；③依托正方形自带直角，在直角三角形内列勾股定理方程求解；④留意45°隐藏角，部分题目需要考虑多解。 16．如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为．若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 17．如图，在正方形纸片中，E是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点B落在点P处，延长交于点Q，连接并延长交于点F．则_______． 18．如图，将一边长为15的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点，使，折痕为，则的长为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 题型七：求正方形重叠部分面积 解题思路：①常考模型：一个正方形绕另一个正方形的中心旋转；②利用正方形对角线条件证明三角形全等，实现面积割补转化；③一般模型下重叠面积恒等于原正方形面积的；④可以先用特殊位置验算，再推广到一般旋转位置。 19．如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 20．如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是__________． 21．如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 题型八：正方形的判定定理理解 解题思路：①熟记三类判定路径：平行四边形升级、矩形升级、菱形升级；②辨析命题正误，错误命题可以举反例快速排除；③对角线判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形；④严格区分矩形、菱形、正方形的判定条件，不要发生条件混用。 22．学习了《第五章特殊平行四边形》后，小明同学用图示说明特殊平行四边形之间的关系，则图中的“”表示（     ）    A．正方形 B．平行四边形 C．四边形 D．以上都不正确 23．如图，要使平行四边形是正方形，需增加条件．在条件①，②，③，④中选取两个作为条件，不正确的是(　　) A．①和② B．①和③ C．②和③ D．③和④ 24．根据下列四边形中所标的数据和角，一定可以判定为正方形的是（     ） A．B． C． D． 题型九：添一个条件使四边形是正方形 解题思路：①先看清题干给出的基础图形：平行四边形、矩形还是菱形；②已知是矩形，则添加一组邻边相等或者对角线互相垂直；③已知是菱形，则添加一个内角为直角或者对角线相等；④只能补充一个条件，条件要能够直接推导出正方形。 25．如图，在菱形中，对角线相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 26．如图，在菱形中，对角线，相交于点．在不添加辅助线的前提下，增加一个条件，使得菱形是正方形．这个条件可以是________． 27．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，添加一个条件使得矩形是正方形，下列添加的条件中错误的是（     ） A． B． C． D． 题型十：证明四边形是正方形 解题思路：①路径一：先证平行四边形→再证是矩形→补充邻边相等或对角线垂直得正方形；②路径二：先证平行四边形→再证是菱形→补充一个直角或对角线相等得正方形；③禁止跳步，不能仅凭四边相等、四角是直角直接判定；④也可以直接证明对角线互相垂直平分且相等完成判定。 28．如图，已知四边形的对角线相交于O，则下列条件能判断它是正方形的是（　　） A．，， B． C．， D．， 29．如图，正方形的对角线，相交于点，，．若，则点到边的距离为____________． 30．如图，四边形是菱形，要使四边形是正方形．则（     ） A． B． C． D． 题型十一：根据正方形的性质与判定求角度 解题思路：①先完成四边形判定，确认图形为正方形之后，再使用正方形90°、45°角的性质；②结合全等三角形、三角形内角和完成角度换算；③分清步骤顺序，先判定图形，后调用正方形特有角度条件。 31．如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 32．《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（蜨，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“様”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图，其中和为“大三斜”组件（“一様二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点处，点与点关于直线对称，连接、．若，则 ___________度． 33．如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 题型十二：根据正方形的性质与判定求线段长 解题思路：①先判定四边形是正方形，得到四边相等、对角线和边长的数量关系；②构造直角三角形，利用勾股定理计算；③借助全等完成线段转移；④一道题出现多种特殊四边形时，逐层传递边长条件。 34．如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 35．如图，E为正方形内一点，，，．将绕点C按顺时针方向旋转，得到．延长交于点H，则的长为（    ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 36．如图，在矩形中，点E、F分别在边、上，连接、、，若、分别平分和．已知，则的值为______． 题型十三：根据正方形的性质与判定求面积 解题思路：①先判定图形为正方形，选用面积公式S=边长2或S=对角线2；②若不能直接求边长对角线，利用全等转化，将不规则图形面积转移到规则正方形内；③多个四边形嵌套时，理清边长之间的数量关系再代入计算。 37．如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 38．如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为______ 39．如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点M，N．若正方形的边长为3，则重叠部分（即四边形）的面积为（     ） A．3 B．4 C．8 D． 题型十四：根据正方形的性质与判定证明 解题思路：①第一步先判定四边形为正方形，得到正方形边角对角线的全部可用条件；②再结合全等、平行线性质完成后续线段、角度的证明；③证明链条不能断裂，正方形的结论必须经过判定才能使用，不可以默认图形是正方形；④书写时分层，先写判定过程，再写性质推导。 40．如图，在正方形中，点P是对角线上一点，，垂足分别为E，F，连接．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 41．如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则_____． 42．如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．若正方形的面积是4，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积都是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型十五：中点四边形 解题思路：①核心依据：三角形中位线定理，中点四边形的形状由原四边形对角线决定；②原四边形对角线相等→中点四边形为菱形；原四边形对角线互相垂直→中点四边形为矩形；原四边形对角线既相等又垂直→中点四边形为正方形；③做题先看原四边形对角线关系，直接判断中点四边形类型。 43．顺次连结一个四边形各边的中点所得的四边形是矩形，那么这个四边形一定是（    ） A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形 44．如图，四边形的对角线于点O，点E，F，G，H分别为边和的中点，顺次连接和得到四边形．若，，则四边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 45．如图，在四边形中，对角线，顺次连接其各边的中点得到的四边形是（     ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 题型十六：（特殊）平行四边形的动点问题 解题思路：①设动点运动时间为t，把移动过的线段长度用含t代数式表达；②抓住不变条件：边长、直角、对角线关系；③根据题目要求，列等式，令图形满足平行四边形、矩形、菱形、正方形判定条件，解出t；④检验解出的t是否符合动点实际运动范围，舍去不合题意解。 46．如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动．点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动．两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止运动），设运动时间为秒．当时，运动时间t为何值时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形（    ）    A． B．8 C．4或 D．或8 47．如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，经过_______，使四边形是矩形． 48．已知，如图，在矩形中，菱形的三个顶点，，分别在矩形的边，，上，其中为定点，、为动点，连接．当点从点移动到点的过程中，的面积（     ） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．先增大，再减小 题型十七：利用 (特殊) 平行四边形的对称性求阴影面积 解题思路：①利用中心对称、轴对称，做面积割补转移，把零散阴影拼接成规则图形；②正方形、矩形绕对角线交点旋转，对称位置面积相等；③不用逐个算小块阴影，优先转化为整体图形的几分之一；④最后代入边长求出规则图形面积。 49．如图，在一块长为a，宽为的长方形铁皮中，若，时，则剩下的铁皮的面积（取）为（　　）． A．5 B．7 C．8 D．12 50．下图中，阴影部分面积与其他三幅不相等的是（    ） A．   B．   C．   D．   51．如图，菱形的对角线，长分别为3和8，是对角线上的任一点（点不与点，重合），且交于，交于点，则阴影部分的面积是________． 题型十八：四边形中的线段最值问题 解题思路：①求线段最小、最大，优先两类模型：垂线段最短、两点之间线段最短；②遇到两条线段和最小，做定点关于直线的对称点，连接对称点求线段长；③遇到动点，锁定动点运动轨迹；④结合特殊四边形边长、勾股定理算出最终最值结果。 52．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，P，Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，当四边形APQE的周长最小时，BP的长为（    ） A．0 B．3 C．4 D．6 53．如图，在矩形中，，，点P是对角线上一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作于点E，过点P作于点F，连接，则的最小值为______． 54．如图，在边长为6的正方形中，点P为对角线上一动点，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 解答题 1．如图，正方形的边长为，是边上的一点，且，为的中点，连接、、． (1)求的周长； (2)求的面积． 2．如图1，在正方形中，，点为线段上一个动点，连接，线段的垂直平分线交，对角线于点，，连接． (1)若，求的度数； (2)如图2，连接，． ①若，求的值； ②设的面积为，的面积为，的面积为，请从以下结论中选择一个正确的并证明； （i）为定值；（ii）为定值；（iii）为定值． 3．如图1，在正方形中，为边上的动点（不包含端点），连结，以为折痕，把折叠至，延长、分别交于点、． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)如图2，若为线段的中点，求的值． 4．追本溯源：为了探究特殊化的问题解决策略，小明从课本的一个数学问题出发，问题如下：如图1，有两个边长为1的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合．在正方形绕点旋转的过程中，探究两个正方形重叠部分的面积关系． (1)初步思考：如图2，先考虑特殊情况，当正方形旋转到边与垂直的位置，此时两个正方形重叠部分的面积为 ； (2)问题解决：当正方形旋转到如图1所示位置后，求此时两个正方形重叠部分的面积； (3)延伸探究：将个边长都为的正方形按如图3所示的方式摆放，，，，，，分别是正方形的中心，个这样的正方形重叠部分的面积之和为，请你计算出的值． 5．如图，在中，点是边上的点，连接，交于点，，于点，交于点，． (1)求证：四边形是正方形； (2)连接，若平分，，求的长． 6．如图，在中，的平分线交于点D，， (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 7．如图，在矩形中，，，延长至点，使，连接．动点从点出发，以的速度沿线段向点运动；动点从点出发，以的速度沿线段向点运动，点，同时出发，当点，中有一个点到达终点时，另一个点随即停止运动，设运动时间为秒． (1)求为何值时，四边形是矩形； (2)在整个运动过程中，________（选填“存在”或“不存在”）值，使得四边形是菱形； (3)若只改变点的速度，其余条件都不变，在整个运动过程中，当四边形是正方形时，求动点的速度； (4)连接，当为等腰三角形时，直接写出的值． 8．如图，正方形中，是上一点，过点作的垂线，交、于点、，连接、、． (1)求证：； (2)若，在边上且满足，求的长度． (3)若，求的最小值． 9．在正方形中，是延长线上的点，是线段上一点且．过作，使，连接． (1)如图1，连接．求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，连接交于，并取中点，连接．若，，求线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03正方形的性质与判定精讲学案 课堂核心立意 本节课立足平行四边形、矩形、菱形的已有知识，构建平行四边形→矩形/菱形→正方形的特殊四边形层级体系。精准掌握正方形独有的边角、对角线、对称性性质，熟记四类标准判定方法，能熟练完成性质证明、判定推理、线段角度计算、几何综合证明题型，厘清三类特殊平行四边形的从属关系与性质差异，培养数形结合、逻辑推理的几何核心素养。 一、正方形的定义与从属关系 1. 标准定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2. 从属层级：正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形，兼具矩形、菱形、平行四边形全部性质，是特殊平行四边形的终极图形。 二、正方形的核心性质（必考、可直接用于证明） 1. 边的性质 四条边长度全部相等，对边平行、邻边互相垂直。 2. 角的性质 四个内角均为90°直角，邻角互补、对角相等。 3. 对角线性质（考试核心重难点） 对角线互相垂直、互相平分、长度相等；每一条对角线平分一组对角，对角线与边的夹角恒为45°；正方形两条对角线将图形分成四个全等的等腰直角三角形。 4. 对称性 既是中心对称图形（对称中心为对角线交点），又是轴对称图形，共有4条对称轴（两条对角线、两组对边中线）。 5. 面积双公式 面积=边长×边长；面积=对角线乘积的一半（菱形、正方形通用，大题可直接套用）。 三、正方形四大标准判定定理（阅卷唯一认可） 1. 定义法判定：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 2. 矩形升级判定：有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。 3. 菱形升级判定：有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形。 4. 终极判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 四、三类特殊平行四边形核心区别（学生易混、教师必讲） 1. 矩形：四个直角、对角线相等，邻边不一定相等、对角线不垂直。 2. 菱形：四边相等、对角线垂直，内角不是直角、对角线不相等。 3. 正方形：四边相等+四角直角+对角线垂直且相等，集齐矩形、菱形所有特性。 1. 判定逻辑混乱：直接用“四边相等、四角为直角”判定正方形，步骤繁琐，考试优先用矩形、菱形升级判定，简洁规范不扣分。 2. 性质混用：误认为矩形、菱形具备正方形所有性质，忽略正方形是二者叠加的特殊图形。 3. 对角线易错：忘记正方形对角线平分内角、夹角45°的关键结论，导致角度计算题卡顿。 4. 判定跳步：证明四边形是正方形时，未先证平行四边形/矩形/菱形，直接判定，证明过程不严谨、扣分严重。 5. 面积公式乱用：对角线求面积公式只适用于菱形、正方形，不可用于普通矩形、平行四边形。 题型 考察方向 难度 题型一 正方形性质理解 ★★★ 题型二 根据正方形的性质求角度 ★★★ 题型三 根据正方形的性质求线段长 ★★★★ 题型四 根据正方形的性质求面积 ★★★ 题型五 根据正方形的性质证明 ★★★★ 题型六 正方形折叠问题 ★★★★★ 题型七 求正方形重叠部分面积 ★★★★ 题型八 正方形的判定定理理解 ★★★ 题型九 添一个条件使四边形是正方形 ★★★★ 题型十 证明四边形是正方形 ★★★★★ 题型十一 根据正方形的性质与判定求角度 ★★★★ 题型十二 根据正方形的性质与判定求线段长 ★★★★★ 题型十三 根据正方形的性质与判定求面积 ★★★★ 题型十四 根据正方形的性质与判定证明 ★★★★★ 题型十五 中点四边形 ★★★★ 题型十六 （特殊）平行四边形的动点问题 ★★★★★ 题型十七 利用（特殊) 平行四边形的对称性求阴影面积 ★★★★ 题型十八 四边形中的线段最值问题 ★★★★★ 拔高题 9题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：正方形性质理解 解题思路：①明确正方形同时具备平行四边形、矩形、菱形全部性质；②从边、角、对角线、对称性四个维度核对选项；③重点标记独有特征：对角线既相等又互相垂直、对角线平分一组内角、共4条对称轴；④排除只属于矩形或只属于菱形的干扰描述。 1．我们在学习华东师大版八年级下册“图形与几何”部分内容时，先学平行四边形，再学矩形、菱形，最后学正方形，这种学习过程体现的数学思想是（    ） A．转化思想 B．由一般到特殊的思想 C．数形结合思想 D．统计思想 【答案】B 【分析】本题主要考查的数学思想的认识，主要表现一般到特殊，数形结合思想，模型思想，分类讨论等．根据学生认知能力逐渐的提高，提出共识找出特殊即可掌握数学思想． 【详解】解：学习是一个循序渐进的过程，在学习过程中从一般人手找出共性，然后针对一些特殊图形进行研究，这种研究方法主要体现的数学思想为一般到特殊． 故选：B． 2．如图，有两个正方形、和一个等边三角形，则图中度数为的角有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质可得，再根据正方形的性质可得，利s用角的和差得和等于；再利用四边形内角和为求出，由平角的定义即可得到和等于，即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵三角形是等边三角形， ∴， ∵正方形、， ∴， ∴； ∵， ∴， 故选：D． 3．如图，在正方形的外侧作等边三角形，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据正方形性质得出，，根据等边三角形性质得出，，推出，，根据等腰三角形性质得出，根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理． 题型二：根据正方形的性质求角度 解题思路：①提取正方形基础条件：四个内角90°，对角线分割出45°特殊角；②结合三角形内角和、三角形外角定理推导角度；③见到对角线优先标注45°角；④存在全等时，利用全等对应角相等完成角度代换计算。 4．如图，已知P是正方形对角线上一点，平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形的性质、角平分线定义和三角形外角的性质等，根据正方形性质得，根据角平分线定义求得，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 故选：C． 5．如图，在正方形中，E，F分别是边上的点，，，则的度数为_____ ． 【答案】 【分析】利用直角三角形的性质求得，再求得，最后利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．如图，在正方形中，平分交于点E，点F是边上一点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质知道，证明，再根据角平分线的性质求出的角度，利用等量代换求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴， ∵平分， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 题型三：根据正方形的性质求线段长 解题思路：①利用正方形四条边相等完成边长转化；②牢记对角线与边长数量关系：对角线=边长；③图中有直角时构造Rt△，使用勾股定理列式计算；④借助全等三角形实现未知线段和已知线段等量代换。 7．如图，网格中每个小正方形边长均为1，点，，都在格点上，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可得出，，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵每个小正方形边长均为1，， ∴，， ∴． 8．如图，M是正方形的边上的一点，，且的面积等于8，则线段的长是________． 【答案】5 【分析】由的面积求出正方形的边长，在中，应用勾股定理即可． 【详解】解：过点M作交于点E， 则四边形是矩形， ． 正方形中，， ， 的面积等于8， ． ， 在正方形中，， ，根据勾股定理可得 ． 9．如图，是正方形对角线上一点，，，、分别为垂足，若，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】连接、，由正方形的性质可得，，，证明，得出，证明四边形为矩形，得出，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形为正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型四：根据正方形的性质求面积 解题思路：①选用对应公式：S=边长2，S=对角线2；②题干给边长直接平方，给出对角线用对角线乘积一半计算；③遇到不规则图形，分割为正方形、直角三角形，通过面积求和或求差得到结果。 10．如图，三个正方形围成一个直角三角形，、分别为所在正方形的面积，则图中字母所表示的正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察可看出所处的正方形的面积等于直角三角形的短直角边的平方，已知斜边和另一较长的直角边的平方，则不难求得字母所代表的正方形面积． 【详解】解：根据正方形面积与边长的关系可知，图中直角三角形的长直角边的平方为64，斜边的平方为100， 根据勾股定理，该直角三角形的短直角边的平方， ∴字母所代表的正方形面积是． 11．如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形，，，的面积分别为，，，，则最大的正方形的面积为______． 【答案】 【分析】设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意，利用勾股定理可得，继而得到：正方形的面积是正方形、的面积和，正方形的面积是正方形、的面积和，正方形的面积是正方形、的面积和，由此可得结论． 【详解】解： 如图，设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， ∵所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，且正方形，，，的面积分别为，，，， ∴，， ∴， ∴正方形的面积为，即正方形的面积是正方形、的面积和， 按同样的方法可得：正方形的面积是正方形、的面积和，即正方形的面积为：， ∴正方形的面积是正方形、的面积和， 即正方形的面积为：． 12．如图，矩形内有两个正方形和，点、在上，点、在上，若正方形的面积为，正方形的面积为，则图中两块阴影部分的面积之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形面积计算公式可得正方形和正方形的边长分别为，，据此可得，，，再根据，列式求解即可． 【详解】解：正方形和正方形的面积分别为，， 正方形和正方形的边长分别为，， ，， ． 题型五：根据正方形的性质证明 解题思路：①由正方形性质直接获取边相等、角相等、对角线相关已知条件；②证线段相等优先找全等三角形，证角相等做角度等量代换；③证明书写每一步要有依据，不能跳过题目没有直接给出的关键条件。 13．如图，点P是正方形的对角线上的一点，于点E，若，则点P到直线的距离为（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查角平分线的性质、正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 利用正方形的性质得到为的平分线，直接利用角平分线的性质即可求解． 【详解】解：过点作于点，    ∵四边形为正方形， ∴平分， 又∵， ， ∴点到直线的距离为3． 故选：A． 14．如图，正方形的对角线交点为O，点E、F分别在边上，且．若，则图中阴影四边形的面积为________ 【答案】 【分析】先根据正方形的性质，得出，，，从而可利用证明，得出，求得结果； 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ， ∴， ∴， ， 在与中， ， ， ∵四边形是正方形，， ， ∵， ∴ ． 15．如图，图1是由边长均为1的小正方形和构成，可以用其面积关系验证勾股定理，将图1按图2所示“嵌入”长方形，则该长方形的面积为（     ） A．60 B．80 C．100 D．110 【答案】D 【分析】延长交于点O，延长交于点P，证，得，同理，得，进而求得，即可解决问题． 【详解】解：延长交于点O，延长交于点P，如图2所示： 根据题意可得， 四边形是正方形， ， ， 又中，， ， 在和中， ， ， ， 同理：， ， ，即， ， ， 长方形的面积为：． 题型六：正方形折叠问题 解题思路：①抓住折叠不变量：折叠前后对应边相等、对应角相等；②设未知线段为x，其余相关线段用含x代数式表示；③依托正方形自带直角，在直角三角形内列勾股定理方程求解；④留意45°隐藏角，部分题目需要考虑多解。 16．如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为．若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查翻折变换——折叠问题，正方形的性质，勾股定理．由折叠的性质以及正方形的性质可得，，设，则，在中，利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵正方形的边长为， ∴，， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 故选：C． 17．如图，在正方形纸片中，E是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点B落在点P处，延长交于点Q，连接并延长交于点F．则_______． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握以上知识并正确作出辅助线是解题关键． 证明，从而可证明，设，正方形的边长设为，在中利用勾股定理建立方程，解得，进而可求出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵在正方形纸片中，E是边的中点， ． 由折叠性质可得， ， 由折叠可得， ． ， 设，正方形的边长设为， ， ∴由勾股定理可得：， 解得：， ∴， 由折叠性质可得， ∴，即 故答案为：． 18．如图，将一边长为15的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点，使，折痕为，则的长为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】先过点作于点，利用三角形全等的判定得到，从而求出． 【详解】解：过点作于点， 由折叠得到， ， 又， ， ， ， 则，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的折叠问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，平行线的性质等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等． 题型七：求正方形重叠部分面积 解题思路：①常考模型：一个正方形绕另一个正方形的中心旋转；②利用正方形对角线条件证明三角形全等，实现面积割补转化；③一般模型下重叠面积恒等于原正方形面积的；④可以先用特殊位置验算，再推广到一般旋转位置。 19．如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，正方形环的面积计算是解题的关键．连接，根据题意，得阴影部分的面积是，解答即可． 【详解】解：连接， 由正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3， 根据题意，得阴影部分的面积是， 故选：A． 20．如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是__________． 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识内容，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形，即可列式作答． 【详解】解：过点O分别作于点M，于点N，连接交于点O，如图所示： ∵四边形和是正方形， ∴，， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴ ∵ ∴， ∴， 则， 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形面积， ∴， 那么两个正方形重叠的部分的面积等于， 故答案为：． 21．如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到正方形性质的应用，正确认识图形是解题的关键． 根据题意，结合图形，先得到图1中，结合已知条件，得到，结合图2，得到结果． 【详解】解∶如图，设正方形的面积为，正方形的面积为，图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为， ∵图1中，，，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，图2中，， ∴， 即当的对角线交点与的一个顶点重合时，重叠部分的面积是的， 故选∶． 题型八：正方形的判定定理理解 解题思路：①熟记三类判定路径：平行四边形升级、矩形升级、菱形升级；②辨析命题正误，错误命题可以举反例快速排除；③对角线判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形；④严格区分矩形、菱形、正方形的判定条件，不要发生条件混用。 22．学习了《第五章特殊平行四边形》后，小明同学用图示说明特殊平行四边形之间的关系，则图中的“”表示（     ）    A．正方形 B．平行四边形 C．四边形 D．以上都不正确 【答案】A 【分析】利用正方形的判定定理即可解决问题． 【详解】解：M表示既是矩形又是菱形，从而是正方形． 23．如图，要使平行四边形是正方形，需增加条件．在条件①，②，③，④中选取两个作为条件，不正确的是(　　) A．①和② B．①和③ C．②和③ D．③和④ 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形的判定以及矩形、菱形的判定方法，利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法分别判断得出即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形， 当①时，平行四边形是菱形， 当②时，菱形是正方形，故此选项正确，不合题意； B、四边形是平行四边形， 当①时，平行四边形是菱形， 当③时，菱形不一定是正方形，故此选项错误，符合题意； C、四边形是平行四边形， 当③时，平行四边形是菱形， 当②时，四边形是正方形，故此选项正确，不符合题意； D、当④时，平行四边形是矩形， 当③时，得出四边形是正方形，故此选项正确，不合题意； 故选：B． 24．根据下列四边形中所标的数据和角，一定可以判定为正方形的是（     ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的判断方法逐一分析判断即可． 【详解】解：A、∵三个角为直角 ∴四边形是矩形，不符合题意； B、对角线相等且互相垂直，不能判定四边形是正方形，不符合题意； C、∵一组对边平行且相等，有一个角为直角，对角线互相垂直， ∴四边形是正方形，符合题意； D、四条边相等的四边形是菱形，不能判定四边形是正方形，不符合题意． 题型九：添一个条件使四边形是正方形 解题思路：①先看清题干给出的基础图形：平行四边形、矩形还是菱形；②已知是矩形，则添加一组邻边相等或者对角线互相垂直；③已知是菱形，则添加一个内角为直角或者对角线相等；④只能补充一个条件，条件要能够直接推导出正方形。 25．如图，在菱形中，对角线相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定方法，①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，③对角线互相垂直的矩形是正方形，④一组邻边相等的矩形是正方形．据此解答即可． 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等．即满足条件． 故选：C． 26．如图，在菱形中，对角线，相交于点．在不添加辅助线的前提下，增加一个条件，使得菱形是正方形．这个条件可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据正方形的判定，解答即可； 【详解】解：根据有一个角是直角的菱形是正方形，可以添加条件，，答案不唯一； 27．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，添加一个条件使得矩形是正方形，下列添加的条件中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的判定定理：有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形，对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、四边形是矩形，恒成立，无法判定四边形是正方形，故本选项符合题意； B、由于四边形是矩形，当时，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，可判定四边形是正方形，故本选项不符合题意； C、由于四边形是矩形，当时，根据对角线互相垂直的矩形是正方形，可判定四边形是正方形，故本选项不符合题意； D、∵四边形是矩形， ∴， 若， 则， ∴， 根据有一组邻边相等的矩形是正方形，可判定四边形是正方形，故本选项不符合题意． 题型十：证明四边形是正方形 解题思路：①路径一：先证平行四边形→再证是矩形→补充邻边相等或对角线垂直得正方形；②路径二：先证平行四边形→再证是菱形→补充一个直角或对角线相等得正方形；③禁止跳步，不能仅凭四边相等、四角是直角直接判定；④也可以直接证明对角线互相垂直平分且相等完成判定。 28．如图，已知四边形的对角线相交于O，则下列条件能判断它是正方形的是（　　） A．，， B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查正方形的判定，掌握正方形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：对于A、∵，， ∴四边形是平行四边形. ∵， ∴四边形是菱形，故不符合题意； 对于B、只能判断出四边形是菱形，故不符合题意； 对于C，∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，故符合题意； 对于D、不能判定四边形是正方形，故不符合题意； 故选C． 29．如图，正方形的对角线，相交于点，，．若，则点到边的距离为____________． 【答案】0.5 【分析】连接，交于点，由，可知四边形是平行四边形，进而推断出四边形是正方形，然后利用正方形的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，交于点． ，， 四边形是平行四边形． 在正方形中，，， ， 四边形是正方形， ，． ， ， ， 即点到边的距离为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，掌握正方形的性质与判定是解决本题的关键． 30．如图，四边形是菱形，要使四边形是正方形．则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的判定定理，在菱形的基础上，只要添加条件或者即可证明四边形为正方形，逐一判断即可． 【详解】解：选项A：，该条件无法推出它是正方形，不符合题意； 选项B：，不能直接让菱形成为正方形，不符合题意； 选项C：四边形是菱形，添加条件后，直接符合正方形的判定要求，因此选项C正确； 选项D：和四边形成为正方形没有必然关系，不符合题意． 题型十一：根据正方形的性质与判定求角度 解题思路：①先完成四边形判定，确认图形为正方形之后，再使用正方形90°、45°角的性质；②结合全等三角形、三角形内角和完成角度换算；③分清步骤顺序，先判定图形，后调用正方形特有角度条件。 31．如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 【答案】A 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=45°，再根据菱形的四条边都相等可得BD=DF，根据等边对等角可得∠DBF=∠DFB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可得解． 【详解】解：在正方形ABCD中，∠ADB=∠ADC=×90°=45°， 在菱形BDFE中，BD=DF， 所以，∠DBF=∠AFB， 在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°， 解得∠AFB=22.5°． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的四个角都是直角，对角线平分一组对角的性质，菱形的四条边都相等的性质，以及等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难度不大，熟记各性质是解题的关键． 32．《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（蜨，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“様”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图，其中和为“大三斜”组件（“一様二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点处，点与点关于直线对称，连接、．若，则 ___________度． 【答案】21 【分析】由题意易得四边形ABCD是正方形，进而根据轴对称的性质可得AD=DP，，则有CD=DP，然后可得，最后根据等腰三角形的性质可求解． 【详解】解：∵，且都为等腰直角三角形， ∴四边形ABCD是正方形， ∴， ∵点与点关于直线对称，， ∴，AD=DP， ∴CD=DP，， ∴， ∴， 故答案为21． 【点睛】本题主要考查正方形的判定与性质、轴对称的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的判定与性质、轴对称的性质及等腰三角形的性质是解题的关键． 33．如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键，先求出的度数，折叠，推出四边形是正方形，进而得到，根据三角形的外角的性质，折叠的性质和平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：在矩形中，，． 沿折叠，点C恰好落在边上的点处，， 四边形是正方形， ． 由三角形的外角性质，得． 由翻折的性质，得，． 故答案为：． 题型十二：根据正方形的性质与判定求线段长 解题思路：①先判定四边形是正方形，得到四边相等、对角线和边长的数量关系；②构造直角三角形，利用勾股定理计算；③借助全等完成线段转移；④一道题出现多种特殊四边形时，逐层传递边长条件。 34．如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、折叠的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 根据正方形的性质得到，由折叠的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，同理，得到四边形是正方形，根据正方形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ， ， 同理， ∴四边形是正方形， ∴． 故选B． 35．如图，E为正方形内一点，，，．将绕点C按顺时针方向旋转，得到．延长交于点H，则的长为（    ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求得，然后根据图形旋转的性质证明四边形是正方形，即可求得答案． 【详解】解：在中，，， ， 绕点C按顺时针方向旋转，得到， ，，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ． 36．如图，在矩形中，点E、F分别在边、上，连接、、，若、分别平分和．已知，则的值为______． 【答案】50 【分析】过点A作交于点G，根据角平分线的性质可知，．再证明，得到，，，则四边形是正方形，，设，，则，，，在中，根据勾股定理求得，进而可求解． 【详解】解：过点A作交于点G，如图所示． 根据角平分线的性质可知，，，． ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形，， 设，，则，，， 在中，根据勾股定理，得， 即， 整理，得， ∵， ∴． 题型十三：根据正方形的性质与判定求面积 解题思路：①先判定图形为正方形，选用面积公式S=边长2或S=对角线2；②若不能直接求边长对角线，利用全等转化，将不规则图形面积转移到规则正方形内；③多个四边形嵌套时，理清边长之间的数量关系再代入计算。 37．如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出的长，再证明四边形是正方形，即可作答． 【详解】在中，，，则：， ∵，，，全等， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是正方形， 则四边形面积为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，掌握全等三角形的性质是解答本题的关键． 38．如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为______ 【答案】// 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键． 由旋转得，，，，，可得出四边形为正方形，可得．在中，由勾股定理得，，则，，即可解答． 【详解】解：由旋转得，，，， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， ， 故答案为：． 39．如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点M，N．若正方形的边长为3，则重叠部分（即四边形）的面积为（     ） A．3 B．4 C．8 D． 【答案】B 【分析】过点E作于点P，于点Q，由正方形的性质得到，，，根据勾股定理求得，从而得到，证明四边形是正方形，得到，，，进而证得，得到，从而，根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：过点E作于点P，于点Q， ∵正方形的边长为3， ∴，，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，，， 又， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴． 题型十四：根据正方形的性质与判定证明 解题思路：①第一步先判定四边形为正方形，得到正方形边角对角线的全部可用条件；②再结合全等、平行线性质完成后续线段、角度的证明；③证明链条不能断裂，正方形的结论必须经过判定才能使用，不可以默认图形是正方形；④书写时分层，先写判定过程，再写性质推导。 40．如图，在正方形中，点P是对角线上一点，，垂足分别为E，F，连接．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形，矩形的性质及应用，解题的关键是掌握正方形的对称性和矩形的判定定理和性质定理，连接交于O，可知，根据四边形是正方形，，，可得四边形是矩形，故，从而，即得，故． 【详解】解∶连接交于O．如图∶ 正方形的对称性可知，， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ． ． ． 故选∶A． 41．如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，证明是解题的关键． 根据正方形，矩形，等腰直角三角形的性质得到，，如图所示，过点作于点，于点，可证矩形是正方形，矩形是正方形，从而得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 故答案为： ． 42．如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．若正方形的面积是4，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积都是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形的面积，即可列式作答． 【详解】解：过点O分别作于点M，于点N，如图所示： ∵四边形和是正方形，且正方形的面积是4， ∴，， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形的面积， ∵， ∴两个正方形重叠部分的面积等于． 题型十五：中点四边形 解题思路：①核心依据：三角形中位线定理，中点四边形的形状由原四边形对角线决定；②原四边形对角线相等→中点四边形为菱形；原四边形对角线互相垂直→中点四边形为矩形；原四边形对角线既相等又垂直→中点四边形为正方形；③做题先看原四边形对角线关系，直接判断中点四边形类型。 43．顺次连结一个四边形各边的中点所得的四边形是矩形，那么这个四边形一定是（    ） A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定定理和三角形的中位线的定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，据此可知顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点得到矩形． 【详解】解：如图，    根据题意得，是的中点， ∴， ∴， 同理：， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 所以顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点是矩形． 故选：D． 44．如图，四边形的对角线于点O，点E，F，G，H分别为边和的中点，顺次连接和得到四边形．若，，则四边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中点四边形，涉及了三角形的中位线定理，由题意得四边形是矩形，据此即可求解； 【详解】解：由题意得：分别是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积 故选：C 45．如图，在四边形中，对角线，顺次连接其各边的中点得到的四边形是（     ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理，菱形的判定方法可得结论． 【详解】解：∵分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理可知：， ∴， ∴四边形为平行四边形， ， ∴， ∴四边形为菱形． 题型十六：（特殊）平行四边形的动点问题 解题思路：①设动点运动时间为t，把移动过的线段长度用含t代数式表达；②抓住不变条件：边长、直角、对角线关系；③根据题目要求，列等式，令图形满足平行四边形、矩形、菱形、正方形判定条件，解出t；④检验解出的t是否符合动点实际运动范围，舍去不合题意解。 46．如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动．点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动．两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止运动），设运动时间为秒．当时，运动时间t为何值时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形（    ）    A． B．8 C．4或 D．或8 【答案】D 【分析】根据的速度为每秒，可得，从而得到，由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时以、、、四点组成的四边形为平行四边形，当时，分两种情况考虑，在每种情况中由即可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：四边形为平行四边形， ． 若要以、、、四点组成的四边形为平行四边形，则． 当时，，，，， ， 解得：； 当时，，，， ， 解得：． 综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以、、、四点组成的四边形为平行四边形． 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用，弄清在上往返运动情况是解决此题的关键． 47．如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，经过_______，使四边形是矩形． 【答案】 【分析】根据四边形是矩形时，，列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设运动时间为秒，则，， ∴， 当四边形是矩形时，， 即， 解得：． 48．已知，如图，在矩形中，菱形的三个顶点，，分别在矩形的边，，上，其中为定点，、为动点，连接．当点从点移动到点的过程中，的面积（     ） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．先增大，再减小 【答案】B 【分析】过点作交的延长线于点，通过证明得出为定值，再根据三角形面积公式结合的变化情况即可求解． 【详解】解：如图，过点 作 交 的延长线于点，连接， 四边形 是矩形， ， ， 四边形 是菱形， ，， ， ， ， 在 和 中， ， ， 为定点， 为定值，即 的高 不变， ， 当点 从 点移动到 点的过程中， 逐渐减小， 的面积逐渐减小． 题型十七：利用 (特殊) 平行四边形的对称性求阴影面积 解题思路：①利用中心对称、轴对称，做面积割补转移，把零散阴影拼接成规则图形；②正方形、矩形绕对角线交点旋转，对称位置面积相等；③不用逐个算小块阴影，优先转化为整体图形的几分之一；④最后代入边长求出规则图形面积。 49．如图，在一块长为a，宽为的长方形铁皮中，若，时，则剩下的铁皮的面积（取）为（　　）． A．5 B．7 C．8 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查求不规则图形面积，解答本题的关键在于将不规则图形转化为规则图形面积再去求解即可． 【详解】解：剩下的铁皮的面积＝长方形的面积﹣圆的面积， 故选：A． 50．下图中，阴影部分面积与其他三幅不相等的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】运用平行四边形的面积，三角形的面积公式，先计算出每个阴影部分的面积，比较大小即可． 【详解】解：设平行四边形的面积为S， A选项中阴影部分面积小于，B、C、D三个选项中阴影部分的面积都等于， ∴阴影部分面积与其他三幅不相等的是A选项． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了图形面积的计算，解题的关键是根据平行四边形的面积得出各个图形中阴影部分的面积． 51．如图，菱形的对角线，长分别为3和8，是对角线上的任一点（点不与点，重合），且交于，交于点，则阴影部分的面积是________． 【答案】6 【分析】设与相交于点．先证明四边形是平行四边形．利用平行四边形的性质可得，即，然后结合菱形的面积为对角线积的一半求解即可． 【详解】解：设与相交于点． ∵四边形为菱形， ，． ，， ，． 四边形是平行四边形． ． ． 题型十八：四边形中的线段最值问题 解题思路：①求线段最小、最大，优先两类模型：垂线段最短、两点之间线段最短；②遇到两条线段和最小，做定点关于直线的对称点，连接对称点求线段长；③遇到动点，锁定动点运动轨迹；④结合特殊四边形边长、勾股定理算出最终最值结果。 52．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，P，Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，当四边形APQE的周长最小时，BP的长为（    ） A．0 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF＝DE＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ＝EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH＝45°，再由CQ＝EC即可求出BP的长度． 【详解】解：如图，在AD上截取线段AF＝PQ＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点． ∵四边形是矩形， ∴，，∠QCE＝90°， ∵， ∴, ∵点F点关于BC的对称点G， ∴ ∴ ∴四边形是矩形， ∴GH＝DF＝6，∠H＝90°, ∵点E是CD中点， ∴CE=2， ∴EH＝2+4＝6， ∴∠GEH＝45°， ∴∠CEQ＝45°， 设BP＝x，则CQ＝BC﹣BP﹣PQ＝8﹣x﹣2＝6﹣x， 在△CQE中， ∵∠QCE＝90°，∠CEQ＝45°， ∴CQ＝EC， ∴6﹣x＝2， 解得x＝4． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求． 53．如图，在矩形中，，，点P是对角线上一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作于点E，过点P作于点F，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】利用勾股定理得出，证明四边形是矩形，从而得到，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，最后根据，进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 矩形， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， ， ， ， ． 54．如图，在边长为6的正方形中，点P为对角线上一动点，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，如图， 四边形是正方形， ，， ，， 四边形是矩形， ， 当时，最短， 在中，， ， ，解得（负值已舍去）， ， 则的最小值为． 解答题 1．如图，正方形的边长为，是边上的一点，且，为的中点，连接、、． (1)求的周长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，由，得到，，根据为的中点，得到，最后根据勾股定理求出、、的值，即可求解； （2）根据，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ， ，， 为的中点， ， 在中，， 在中，， 在中，， 的周长为； （2）解： ． 2．如图1，在正方形中，，点为线段上一个动点，连接，线段的垂直平分线交，对角线于点，，连接． (1)若，求的度数； (2)如图2，连接，． ①若，求的值； ②设的面积为，的面积为，的面积为，请从以下结论中选择一个正确的并证明； （i）为定值；（ii）为定值；（iii）为定值． 【答案】(1) (2)①； ②（iii）为定值正确； 证明：过点E作交于点N， 由（1）得， 设， ， ， 过点F作交于点R，过点F作交于点M，过点E作交于点T， 易得四边形为正方形，四边形为矩形， ∴， ∴ ， ∴（iii）为定值正确． 【分析】（1）利用正方形的性质，直角三角形斜边中线定理以及三角形外角定理即可求解； （2）①连接，过点F作交于点M，证明，通过条件得出，最后利用等腰直角三角形的性质求出线段长度即可； ②过点E作交于点N，过点F作交于点R，过点E作交于点T，根据条件求出相关线段的长度，易得四边形为正方形，四边形为矩形，然后根据进行计算即可． 【详解】（1）解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴； （2）①连接，过点 F 作交于点M， 在正方形中，， 又∵， ∴ ， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ， ∴， 在等腰和等腰中，， ∴， ； ②略 3．如图1，在正方形中，为边上的动点（不包含端点），连结，以为折痕，把折叠至，延长、分别交于点、． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)如图2，若为线段的中点，求的值． 【答案】(1)证明：如图1所示，设交于点T， ∵四边形是正方形， ∴， ∴； 由折叠的性质可得，即， ∴， ∴， ∴； (2)证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； (3) 【分析】（1）设交于点T，由正方形的性质得到，由折叠的性质可得，即，则可证明，进而可证明； （2）设，则，由折叠的性质可得，，则，可证明，则可得到，解得，可证明，则是等边三角形，即可证明； （3）连接，证明，得到；设，则，，；由勾股定理得，解得，据此可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴； 设，则， ∵为线段的中点， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． 4．追本溯源：为了探究特殊化的问题解决策略，小明从课本的一个数学问题出发，问题如下：如图1，有两个边长为1的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合．在正方形绕点旋转的过程中，探究两个正方形重叠部分的面积关系． (1)初步思考：如图2，先考虑特殊情况，当正方形旋转到边与垂直的位置，此时两个正方形重叠部分的面积为 ； (2)问题解决：当正方形旋转到如图1所示位置后，求此时两个正方形重叠部分的面积； (3)延伸探究：将个边长都为的正方形按如图3所示的方式摆放，，，，，，分别是正方形的中心，个这样的正方形重叠部分的面积之和为，请你计算出的值． 【答案】(1) (2) (3)2027 【分析】（1）连接，设交于点N，利用正方形的性质证明，得，从而有，即可求解； （2）设交于点Q，过点E分别作，垂足分别为P、N，由正方形的性质可证明，从而有，即可求解； （3）设边长为2的正方形的面积为S，则，分析得n个正方形共有处重叠部分，所有重叠部分面积和为，根据题意列出方程即可求解． 【详解】（1）解：连接，设交于点N，如图， ∵正方形的顶点与正方形的中心重合， ∴，,， ∴， ∵正方形的边与垂直，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴ ∵, ∴ 而正方形的边长为1，则其面积为1， ∴； （2）解：如图，设交于点Q，过点E分别作，垂足分别为P、N， ∴， ∵四边形都是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵E点是正方形的中心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 而四边形的面积为， ∴， ∴； （3）解：设边长为2的正方形的面积为S，则， 由（2）知，两个正方形重叠，其重叠面积为， 三个正方形有两处重叠部分，其重叠面积和为， 四个正方形有三处重叠部分，其重叠面积和为， … 一般地：n个正方形共有处重叠部分，所有重叠部分面积和为， 由题意得：， 解得， 即n的值为2027． 5．如图，在中，点是边上的点，连接，交于点，，于点，交于点，． (1)求证：四边形是正方形； (2)连接，若平分，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中 ， ∵有一个内角为直角的菱形是正方形 ∴四边形是正方形； (2) 【分析】（1）先利用平行四边形对边平行结合证出四边形是平行四边形，再由一组邻边相等判定其为菱形，接着借助直角三角形两锐角互余和等角代换推出，最后依据有一个直角的菱形是正方形完成证明． （2）先通过角平分线、垂直得到相等角，用证明与全等，推出，再结合正方形性质得到等腰直角，利用勾股定理求出正方形边长即，最后根据平行四边形对边相等得到长度，作差算出． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分 ∴ ∵ ∴ 在与中 ∴ ∴， ∵， ∴， 由（1）得四边形是正方形 ∴，，， 在中，由勾股定理得 ， ∵， ∴， 将代入得 ， ， ， ∵边长为正数， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 6．如图，在中，的平分线交于点D，， (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定，正方形的性质与判定，等角对等边，熟知菱形的判定定理和正方形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由平行线的性质和角平分线的定义推出，则可得到，据此可得结论； （2）可证明四边形是正方形，再根据正方形对角线相等，且正方形的面积等于其对角线乘积的一半可得答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ，， 四边形是平行四边形． 平分 ． ， ， ， ， 平行四边形是菱形． （2）解：如图所示，连接， 由（1）可知，四边形是菱形． ，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 7．如图，在矩形中，，，延长至点，使，连接．动点从点出发，以的速度沿线段向点运动；动点从点出发，以的速度沿线段向点运动，点，同时出发，当点，中有一个点到达终点时，另一个点随即停止运动，设运动时间为秒． (1)求为何值时，四边形是矩形； (2)在整个运动过程中，________（选填“存在”或“不存在”）值，使得四边形是菱形； (3)若只改变点的速度，其余条件都不变，在整个运动过程中，当四边形是正方形时，求动点的速度； (4)连接，当为等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)2.2秒 (2)不存在 (3) (4)当t的值为或或时，为等腰三角形 【分析】（1）当时，四边形是矩形，根据列出方程即可求解； （2）由勾股定理求出，当时，四边形是平行四边形，可求得t的值，只要判断的长度是否相等，即可判定四边形是否是菱形； （3）设点的速度为，则当时，四边形是正方形，据此列出方程可求解； （4）分三种情况，利用等腰三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，即，，，， 当时，则四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 由题意知，， ∴， ∴， 解得； 答：为2.2秒时，四边形是矩形； （2）解：由勾股定理得，， ∵，即， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 此时， 即不存在t的值，使四边形是菱形； （3）解：设点的速度为， 由（1）知，当时，四边形是矩形， 则当时，四边形是正方形， ∵， ∴， ∴， 解得， 答：在整个运动过程中，当四边形是正方形时，动点的速度为； （4）解：为等腰三角形，有三种情况； ①当时， ∵， ∴， 即， ∴； ②当时，， ∵， ∴在中，， 解得； ③当时，则， ∴， 解得； 综上，当t的值为或或时，为等腰三角形． 8．如图，正方形中，是上一点，过点作的垂线，交、于点、，连接、、． (1)求证：； (2)若，在边上且满足，求的长度． (3)若，求的最小值． 【答案】(1) 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴； (2) (3) 【分析】（1）利用正方形的边与直角性质，结合同角的余角相等推出等角，通过证明△，进而证得； （2）由第一问的全等结论得到，结合正方形性质推导线段等量关系，用证明△得到等腰直角，最终通过勾股定理求出的长度； （3）设正方形边长为、，利用勾股定理由得，将配方为常数加非负完全平方项，即可利用非负性求出的最小值． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设正方形边长为，，则， 在中， ， ∴， 在中， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 9．在正方形中，是延长线上的点，是线段上一点且．过作，使，连接． (1)如图1，连接．求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，连接交于，并取中点，连接．若，，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过作于，根据正方形的性质及垂直的定义，证得四边形为矩形，进而求得，即可解答． （2）连接、，过作于，证明，、、三点共线，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：如图，过作于， ∵四边形为正方形， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接、，过作于， ∵， ∴， ∴， 又∵为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴、、三点共线， 又∵， ∴， ∴，， 在中，根据勾股定理得， 由（1）知， ∴， ∴，， 根据勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $