2.4.1 行程、几何图形及动点问题（课件）--2026-2027学年北师大版数学九年级上册

一北师大版（新教材）数学九年级上册一 第二章一元二次方程 24.1行程、几何图形及动点 问题 授课教师： 班 级： 9年级()班 10/05/2026 时 间 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取方量，于思索 中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 素养目标 1.掌握建立数学模型解决几何（行程）问题；（重 点) 2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程 模型解决实际问题.（难点） 情境导入 1.一元二次方程的一般形式为x2+bx+c=0 b常熟解法有直接开平方法 配方法 公式法 一因式分解法 3.如果一元二次方程x2+bx+c=0有两个实数根x1,x2,那么x1十 b C X2 =aX1X2= 满足上述关系的前提条件是 b2-4c≥0. 03 新知探究 思考 (1)在这个问题中，梯子顶端下滑1米时，梯 子底端滑动的距离大于1米，那么梯子顶端下滑 几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？ 设梯子顶端下滑x米，底端滑动x 米 (8-x)2+(6+x)2=102 10m 8m x2-2x=0 x=0(舍)，x2=2。 03 新知讲解 (2)如果梯子长度是13m,梯子顶端与地面的垂直距离为 12m,那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相 等吗？如果相等，那么这个距离是多少？ 设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米 (12-x)2+(5+x)2=132 x m 13m x2-7x=0 12m xF0（舍)，x=7。 x m 举一反三 知识点1几何图形问题 1.一个直角三角形的两条直角边长相差2，斜边长为10，设较短直角边 长为x,可列方程为x2+(x+2)2=100。 返回 举一反三 2.新考向数学文化 《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作。 其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问 长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的 长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？”则长比宽多 步。 返回 03 新知讲解 提炼概念 实际问题 抽象 寻找等量关系 数学问题（一元二次方程） 解释 解方程 实际问题 数学问题的解 的解 验证 (一元二次方程的解 新课探究 例1 如图：某海军基地位于A处，在其正南方向 200 海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海 里处有一重要目标C,小岛D位于AC的中点，岛上有 一补给码头。小岛F位于BC中点。一艘军舰从A出 发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发， 沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。 E 新课探究 例1 已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B 到C的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少 海里？（结果精确到0.1海里） 一元二次方程的应用-军舰与补给船相遇问题-初中数学A赋能教学素材(html交互动画).html 03 新知讲解 解：连接DF。 .AD-CD,BF-CF, .DF是△ABC的中位线。 .DFM AB,」 且DF2AB。 .'ABL BC,AB-BC-200 n mile, A 华 ∴.DF⊥BC,DFP100 n mile,BF100 n mile。 东 设相遇时补给船航行了x n mile, 那么DEx n mile,AB+BE2 x n mile, EF-AB+BF(AB+BE)=(300-2x)n mile. B E F C 03 新知讲解 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2=100+(300-2x)2, 整理，得3X-1200x+100000=0。 解这个方程，得x-20100618.4, A 1 n 7 东 B E F C 当堂检测 1.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分 区域栽种鲜花，原空地一边减少了1m,另一边减少了 2m,剩余空地的面积为18m,求原正方形空地的边长. 18 设原正方形的空地的边长为xm,则可列方程为（) A.（x+1)(x+2)=18 B.x2-3x+16=0 C.（x-1)(x-2)=18 D.x2+3x+16=0 2.从正方形铁片上截去2cm宽的一个长方形，剩余矩形的面积为 80cm2,则原来正方形的面积为（) A.100cm2 B.121cm2 C.144cm2 D.169cm2 当堂检测 3.如图，AB⊥BC,AB=10cm,BC=8cm,一只蝉从点C沿CB的方 向以1cm/s的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由点A沿AB方向 以2cm/s的速度爬行，当螳螂和蝉爬行xs后，它们分别到达M,N的位 置，此时△MNB的面积恰好为24cm2,由题意可列方程(D) A.2xx=24 B.(10-2x)8-x)=24 C.(10-x)(8-2x)=24 D.(10-2x)(8-x)=48 N M B 当堂检测 4.用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形.设矩形的一边 长为xcm,则可列方程为（20-x)=64 30 5.如图，某小区有一块长为30m,宽为24m的矩形空 地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面 积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的 人行通道，则人行通道的宽度为 6.右图是一个长为30m,宽为20m的矩形花园，现要 30 在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草。如 果要使种植花草的面积为468m2,那么小道进出口的 20 宽度应为2 m。 举一反三 3.威海中考1 [教材P57复习题”第16题变式]如图，某校有一块长 20m、宽14m的矩形种植园。为了方便耕作管理，在种植园的四周和 内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）。小路把种植园分成面积均 为24m的9个矩形地块，请你求出小路的宽度。 20m 14m 举一反三 解：设小路的宽度为xm, 由题意，得(20-4x)(14-4x)=24×9, 整理，得2x2-17x+8=0, 解得x=或x=8(舍去)， 答：小路的宽度为m。 返回 举一反三 知识点2数字问题 4.若两个正数的差为3，且它们的积为54，则这两个正数分别伪9 返回 举一反三 5.如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个方框圈出4个数。若 圈出的4个数中最小的数与最大的数的乘积为65，则这个最小的数为 日 二 三 四 吾 4 5 6 8 9 10 11 12 13 14 1516 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 30 返回 举一反三 知识点3行程、 动点问题 6.如图，东西方向上有A,C两地相距10km,甲以16km/h的速度从A 地出发向正东方向前进，乙以12km/h的速度同时从C地出发向正南方 向前进，甲、乙两人相距6km时，最快经过(A) 北 中B C 个 A h 3-5 B h C.1.5h D h 返回 举一反三 7.[教材P54习题2.4第2题变式] 如图，在△ABC中，∠C=90° AC=6cm,BC=8cm,点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度 移动，同时点Q从点C出发沿边CB向点B以2cm/s的速度移动。当一点 到达终点时，两点同时停止移动。 B A→P 举一反三 (1)几秒后，可使△PCQ的面积为8cm2? 解：设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2,则AP=xcm, CQ 2x cm, 所以PC=AC-AP=(6-x)cm。 根据题意，得(6一x)×2x=8, 解得x1=2,x2=4。 所以2s或4s后，可使△PCQ的面积为8cm2。 举一反三 (2)点P,Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等 于△ABC面积的一半？若存在，求出移动时间；若不存在，请说明理由。 举一反三 解：不存在。理由如下： 设ys后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半。 根据题意，得号(6-y)×2y=××6×8。整理，得 y2-6y+12=0。 因为4=(-6)2-4×1×12=-12<0， 所以此方程没有实数根， 所以不存在使△PCQ的面积等于△ABC面积一半的时刻。 返回 课堂小结 列一元二次方程 解应用题的步骤 → 审→设→列→解→验→答 一元二次方 面积问题 程的应用 第1课时 几何问题 应用类型 动点问题 行程问题 谢谢观看 THANKS