2.4.1 行程(或动点)问题及平均变化率问题 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 北师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第二章 一元二次方程 2.4.1行程(或动点)问题及平均变化率问题 2026年8月2日 2.4.1 行程（动点）问题及平均变化率问题 同步练习题 2.4.1 行程（动点）问题及平均变化率问题 综合同步练习 （排版、分值、题型和前面所有章节习题完全统一） 章节核心知识点梳理 1. 一元二次方程实际应用解题通用步骤 审清题意→设未知数（直接/间接设元）→找等量关系→列一元二次方程→解方程→检验（舍去不符合实际的根）→作答。核心：舍去负数、超范围等无实际意义的解。 2. 行程与动点问题核心公式 路程=速度×时间；动点问题以运动时间为未知数，用含时间的代数式表示线段长度、运动路程，结合勾股定理、路程关系列方程，是中考高频动点题型。 3. 平均变化率问题公式（必考） 设基数为$$a$$，平均变化率为$$x$$，经过$$n$$次变化后总量为$$b$$， 增长模型：$$a(1+x)^n=b$$；下降模型：$$a(1-x)^n=b$$。 初中重点考查两次变化（$$n=2$$）。 4. 易错核心规则 变化率问题必须区分增长、下降；动点问题需结合图形边长范围检验根，负数根、超出图形范围的根直接舍去。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 某商品原价100元，连续两次涨价，平均增长率为x，两次涨价后售价121元，列方程正确的是（） A. $$100(1+2x)=121$$ B. $$100(1+x)^2=121$$ C. $$100(1+x^2)=121$$ D. $$100+2x=121$$ 2. 甲、乙两人匀速行走，甲速度比乙快2km/h，两人4小时行走总路程48km，设乙速度为x km/h，方程正确的是（） A. $$4(x+2)=48$$ B. $$4x+4(x+2)=48$$ C. $$x+x+2=48$$ D. $$4(x-2)+4x=48$$ 3. 某工厂产值连续两年下降，年均下降率为x，原产值50万元，两年后产值32万元，方程为（） A. $$50(1-x)^2=32$$ B. $$50(1+x)^2=32$$ C. $$50-2x=32$$ D. $$50(1-x^2)=32$$ 4. 直角三角形动点问题中，线段长度不能为负数，解方程后需要（） A. 直接保留所有根 B. 舍去负数和超范围的根 C. 只保留正根 D. 只保留整数根 5. 某小区绿化面积两年内从200㎡增至288㎡，年均增长率为x，则x的值为（） A. 10% B. 20% C. 25% D. 30% 6. 动点在边长固定的三角形边上运动，设运动时间为t，求出的t值不需要满足的条件是（） A. $$t>0$$ B. 运动路程不超过边长 C. 时间为负数 D. 线段长度为正 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 平均增长率问题：基数a，两次增长后总量b，方程为________。 2. 平均下降率问题：基数a，两次下降后总量b，方程为________。 3. 动点问题常设________为未知数，用其表示运动路程或线段长度。 4. 解方程解决实际问题，必须________不符合题意的根。 5. 某产品连续两次涨价，原价80元，现价96.8元，若平均增长率相同，可列方程________。 三、解答计算题（共56分） 1. （12分）平均变化率基础题：某书店藏书量两年内从5000本增加到7200本，求这两年藏书量的年均增长率。 2. （14分）平均下降率应用题：某种药品原价200元，经过两次连续降价后售价128元，两次降价百分率相同，求每次的降价百分率。 3. （14分）简单行程问题：甲、乙两车从相距360km的两地相向而行，甲车速度比乙车快10km/h，两车4小时相遇，求甲、乙两车的速度。 4. （16分）直角三角形动点问题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P从A出发沿AC以1cm/s的速度向C运动，点Q从C出发沿CB以1cm/s的速度向B运动，两点同时出发，运动时间为t s，求t为何值时，△PCQ的面积为6cm²。 四、拓展应用题（附加10分） 某公司今年利润为100万元，计划后两年利润持续增长，两年后总利润达到144万元，若每年增长率相同，求年均增长率。 --- 参考答案与详细解析 一、选择题 1.B 2.B 3.A 4.B 5.B 6.C 二、填空题 1. $$a(1+x)^2=b$$ 2. $$a(1-x)^2=b$$ 3. 运动时间 4. 舍去 5. $$80(1+x)^2=96.8$$ 三、解答题 1. 解：设年均增长率为$$x$$。 根据题意列方程： $$5000(1+x)^2=7200$$ 化简得：$$(1+x)^2=1.44$$ 开方得：$$1+x=\pm1.2$$ 解得：$$x_1=0.2=20\%$$，$$x_2=-2.2$$（增长率为负，舍去） 答：这两年藏书量的年均增长率为20%。 2. 解：设每次降价百分率为$$x$$。 $$200(1-x)^2=128$$ 化简：$$(1-x)^2=0.64$$ 开方：$$1-x=\pm0.8$$ 解得：$$x_1=0.2=20\%$$，$$x_2=1.8$$（降价率超100%，舍去） 答：每次降价百分率为20%。 3. 解：设乙车速度为$$x$$ km/h，则甲车速度为$$(x+10)$$ km/h。 相遇问题等量关系：甲路程+乙路程=总距离 $$4x+4(x+10)=360$$ 展开化简：$$8x+40=360$$ 解得：$$x=40$$ 甲车速度：$$40+10=50$$（km/h） 答：甲车速度50km/h，乙车速度40km/h。 4. 解：由题意得： 运动$$t$$秒后，$$AP=t\ \text{cm}$$，$$CQ=t\ \text{cm}$$， $$PC=(8-t)\ \text{cm}$$ 三角形面积公式：$$S=\dfrac{1}{2}\times PC\times CQ$$ 列方程：$$\dfrac{1}{2}(8-t)t=6$$ 整理得：$$t^2-8t+12=0$$ 因式分解：$$(t-2)(t-6)=0$$ 解得：$$t_1=2，t_2=6$$ 经检验，$$t=2$$和$$t=6$$均符合题意。 答：当$$t=2\ \text{s}$$或$$t=6\ \text{s}$$时，△PCQ面积为6cm²。 拓展题答案 解：设年均增长率为$$x$$。 $$100(1+x)^2=144$$$$(1+x)^2=1.44$$$$1+x=1.2$$（负根舍去） 解得：$$x=0.2=20\%$$ 答：年均增长率为20%。 章节易错点总结 1. 变化率问题混淆一次变化和二次变化，严禁误用$$a(1\pm2x)$$公式； 2. 实际问题解方程后，**必须检验取舍**，负数根、超范围根必须舍去； 3. 动点问题未结合图形限制条件，容易保留不符合运动范围的解； 4. 分不清增长、下降模型，符号用反导致整题出错。 1. 掌握列一元二次方程解决行程(动点)、几何、变化率等问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性.（重点、难点） 2. 理解将实际问题抽象为方程模型的过程，并能运用所学的知识解决问题．（难点） 学习目标 知识点1 一元二次方程的应用 问题1 梯子顶端下滑1 m时，梯子底端滑动的距离大于1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动相等的距离呢? ① 梯子底端滑动的距离=梯子顶端滑动的距离； ② 直角三角形的勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方。 10 m 8 m 思考：你能找到哪些等量关系? 知识点1 一元二次方程的应用 问题1 梯子顶端下滑1 m时，梯子底端滑动的距离大于1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动相等的距离呢? 设梯子顶端下滑x m 时，梯子底端滑动的距离和它相等。 由勾股定理，得梯子下滑前，梯子的底端与墙的底端的距离为=6(m)。 根据题意，由勾股定理，得(8-x)²+(6+x)²=10²。 化简，得x²-2x=0。 解得x1=0(不合题意，舍去)，x2=2。 所以梯子顶端下滑2 m时，梯子底端滑动的距离和它相等。 10 m 8 m x m x m 知识点1 一元二次方程的应用 问题2 如果梯子的长度是13 m，梯子顶端到地面的垂直距离是12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗? 设梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离相等且距离都为y m。 由勾股定理，得梯子下滑前，梯子的底端与墙的底端的距离为 =5(m)。 根据题意，由勾股定理，得(12-y)²+(5+y)²=13²。 化简，得y²-7y=0。 解得y1=0 (不合题意，舍去)，y2=7。 所以梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等，这个距离为7m。 13 m 12 m y m y m 知识点1 几何图形问题 1.一个直角三角形的两条直角边长相差2，斜边长为10，设较短直角边 长为 ,可列方程为____________________。 返回 举一反三 6 2. 《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作。 其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问 长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的 长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？”则长比宽多___步。 6 返回 举一反三 7 数学问题( 一元二次方程) 实际问题 实际问题的解 抽象 寻找等量关系 数学问题的解 (一元二次方程的解) 解方程 解释 验证 知识点1 一元二次方程的应用 3.[威海中考] ［教材P57“复习题”第16题变式］如图，某校有一块长 、宽 的矩形种植园。为了方便耕作管理，在种植园的四周和 内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）。小路把种植园分成面积均 为 的9个矩形地块，请你求出小路的宽度。 举一反三 9 解：设小路的宽度为 ， 由题意，得 ， 整理，得 ， 解得或 （舍去）， 答：小路的宽度为 。 返回 举一反三 10 如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200 n mile处有一重要目标B，在B的正东方向200 n mile处有一重要目标C。小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC的中点。一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。 已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里(结果精确到0.1 n mile)? 例1 A D B E F C 北 东 知识点1 一元二次方程的应用 解：连接DF。 ∵AD=CD，BF=CF， ∴DF是△ABC 的中位线。 ∴DF∥AB ， 且DF=AB。 ∵AB⊥BC，AB=BC=200 n mile， ∴DF⊥BC，DF=100 n mile，BF=100 n mile。 设相遇时补给船航行了x n mile， 那么DE=x n mile，AB+BE=2x n mile， EF=AB+BF-(AB+BE)=(300-2x)n mile。 知识点1 一元二次方程的应用 A D B E F C 北 东 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x²=100²+(300-2x)²， 整理，得3x²-1 200x+100 000=0。 解这个方程，得x1=200-≈118.4， x2=200+(不合题意，舍去)。 所以，相遇时补给船大约航行了118.4 n mile。 知识点1 一元二次方程的应用 A D B E F C 北 东 知识点2 数字问题 4.若两个正数的差为3，且它们的积为54，则这两个正数分别为______。 6，9 返回 举一反三 14 5.如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个方框圈出4个数。若 圈出的4个数中最小的数与最大的数的乘积为65，则这个最小的数为___。 5 返回 举一反三 15 知识点3 行程、动点问题 6.如图，东西方向上有，两地相距，甲以的速度从 地出发向正东方向前进，乙以的速度同时从 地出发向正南方 向前进，甲、乙两人相距 时，最快经过( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 16 7.［教材P54“习题2.4”第2题变式］ 如图，在中， ， ，，点从点出发沿边向点以 的速度 移动，同时点从点出发沿边向点以 的速度移动。当一点 到达终点时，两点同时停止移动。 举一反三 17 （1）几秒后，可使的面积为 ？ 解：设后，可使的面积为，则 ， ， 所以 。 根据题意，得 ， 解得， 。 所以或后，可使的面积为 。 举一反三 18 （2）点，在移动过程中，是否存在某一时刻，使得 的面积等 于 面积的一半？若存在，求出移动时间；若不存在，请说明理由。 举一反三 19 解：不存在。理由如下： 设后，的面积等于 面积的一半。 根据题意，得 。整理，得 。 因为 ， 所以此方程没有实数根， 所以不存在使的面积等于 面积一半的时刻。 返回 举一反三 20 8.一个正两位数等于其各数位上数字的积的3倍，且个位数字比十位数 字大2，则这个正两位数是____。 24 返回 举一反三 21 9. 《九章算术》中提出了如下问题：“今有户不知高、广， 竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、 邪各几何？”这段话的意思是：今有门不知其高、宽，有竿不知其长短， 横放，竿比门宽长出4尺，竖放，竿比门高长出2尺，斜放，竿与门对角 线恰好相等.问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 ___尺。 8 返回 举一反三 22 10.［教材P57“复习题”第19题变式］ 如图,已知一艘 轮船以 的速度由西向东航行，途中接到台 风警报,台风中心正以 的速度由南向北移 动,距台风中心 的圆形区域（包括边界） 都属于台风区。当轮船到 处时,测得台风中心移到位 于点正南方向的处,且。若这艘轮船自 处按原速度 继续航行,在途中会不会遇到台风?若会,试求轮船最初遇到台风的时间； 若不会,请说明理由。 举一反三 23 解：会.假设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为从 处航行后 ，此时轮船位于处，台风中心移到处，连接 ，则 ， ， 。在 中，根据勾股定理，得 ， 所以 , 解得, （不合题意，舍去）。 答：这艘轮船自 处按原速度继续航行，在途中会遇到台风，且轮船最 初遇到台风的时间为从处航行后 。 返回 举一反三 24 一元二次方程的解 应用一元二次方程 实际问题 实际问题的解 解方程 建立一元二次方程模型 检验 分析数 量关系 设未知 数 问题 解决 课堂小结 谢谢观看 THANKS $