2.2.4用因式分解法解一元二次方程（课件）--2026-2027学年北师大版数学九年级上册

# 北师大版九年级上册 2.2.4 用因式分解法解一元二次方程 专项练习 ## 知识点梳理 ### 1. 因式分解法原理 如果两个因式的乘积等于0\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)那么**至少其中一个因式等于0**。 若 $A\cdot \(\boldsymbol{B=0}\)$\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)则 $\boldsymbol{\(\boldsymbol{A=0}\)}$ 或 $\boldsymbol{\(\boldsymbol{B=0}\)}$。 ### 2. 解题步骤 ① 移项\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)把方程整理成：$\boldsymbol{\(\boldsymbol{右边=0}\)=0}$\(a=0\(x(x-5)=0；x_1=0,x_2=5\)b=0\) ② 将方程左边因式分解（提公因式、平方差、完全平方公式）\(a=0\(x(x-5)=0；x_1=0,x_2=5\)b=0\) ③ 令每一个因式分别等于0\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)得到两个一元一次方程\(a=0\(x(x-5)=0；x_1=0,x_2=5\)b=0\) ④ 解一元一次方程\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)得到一元二次方程的两个根。 > 常用因式分解公式 - 提公因式：$\(ax+bx=x(a+b)\)$ - 平方差：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ - 完全平方：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$ > 易错提醒 1. **不能随便两边同时除以含有未知数的代数式**\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)会丢失根\(a=0\(x(x-5)=0；x_1=0,x_2=5\)b=0\) 例：$x(x-2)=3(x-2)$\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)不能直接两边除以$(x-2)$\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)否则漏掉$\(x=2\)$这个根\(a=0\(x(x-5)=0；x_1=0,x_2=5\)b=0\) 2. 必须先移项\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)让**等号\(\boldsymbol{右边=0}\)为0**\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)再分解左边\(a=0\(x(x-5)=0；x_1=0,x_2=5\)b=0\) 3. 方程的根可以相等。 ## 一、选择题（每题4分\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)共20分） 1. 方程$x(x-3)=0$的解是（） A.$\(x=3\)$ B.$\(x=0\)$ C.$x_1=0\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)x_2=3$ D.$x_1=0\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)x_2=-3$ 2. 解方程$(x+2)(x-1)=0$\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)得到两个一次方程是（） A.$\(x+2=0\)\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)x-1=0$ B.$\(x+2=0\)\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)x+1=0$ C.$x-2=0\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)x-1=0$ D.$x+2=x-1$ 3. 方程$x^2-4=0$因式分解后正确的是（） A.$(x-2)^2=0$ B.$(x+2)(x-2)=0$ C.$x(x-4)=0$ D.$(x+4)(x-4)=0$ 4. 解方程$x^2-2\(x=0\)$\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)最合适的方法是（） A.公式法 B.配方法 C.因式分解法 D.直接开平方法 5. 下列解方程步骤正确的是（） A.$\(x(x+2)=4\)$\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)直接得$\(x=4\)$或$\(x+2=4\)$ B.$(x-1)(x-2)=2$\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)得$x-1=0\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)x-2=0$ C.$x(x-2)=3(x-2)$\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)移项得$(x-2)(x-3)=0$ D.$x^2=2x$\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)两边除以$x$\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)得到$\(x=2\)$ ## 二、填空题（每题4分\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)共20分） 1. 若$\(ab=0\)$\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)则________或________。 2. 方程$x^2-5\(x=0\)$\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)因式分解得____________\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)根为____________。 3. 方程$x^2-9=0$的根是________________。 4. 方程$(x-4)^2=0$的根是____________。 5. 方程$x^2-6x+9=0$因式分解后为________________。 ## 三、解答题（共60分\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)用因式分解法求解） 1.（18分）$x^2-3\(x=0\)$ 2.（20分）$x^2-4=0$ 3.（22分）$x^2-6x+8=0$ ## 参考答案与解析 ### 选择题 1.C 解析：$\(x=0\)$或$x-3=0$\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)$x_1=0,x_2=3$。 2.A 解析：乘积为0\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)则两个因式分别等于0。 3.B 解析：平方差公式\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)$x^2-2^2=(x+2)(x-2)$。 4.C 解析：左边可以提取公因式$x$\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)因式分解最简单。 5.C 解析：A、B\(\boldsymbol{右边=0}\)不是0\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)不能直接拆分\(a=0\(x(x-5)=0；x_1=0,x_2=5\)b=0\)D直接除以$x$丢失$\(x=0\)$这个根。 ### 填空题 1.$a=0\(a=0\(x(x-5)=0；x_1=0,x_2=5\)b=0\)b=0$ 2.$x(x-5)=0\(a=0\(x(x-5)=0；x_1=0,x_2=5\)b=0\)x_1=0,x_2=5$ 3.$x_1=3\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)x_2=-3$ 4.$x_1=x_2=4$ 5.$(x-3)^2=0$ ### 解答题 1.解：$x^2-3\(x=0\)$ 提取公因式：$x(x-3)=0$ $\(x=0\)$ 或 $x-3=0$ $\boldsymbol{x_1=0\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)x_2=3}$ 2.解：$x^2-4=0$ 平方差分解：$(x+2)(x-2)=0$ $\(x+2=0\)$ 或 $x-2=0$ $\boldsymbol{x_1=-2\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)x_2=2}$ 3.解：$x^2-6x+8=0$ 十字相乘分解：$(x-2)(x-4)=0$ $x-2=0$ 或 $x-4=0$ $\boldsymbol{x_1=2\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)x_2=4}$ ## 易错点总结 1. 因式分解法前提：**方程\(\boldsymbol{右边=0}\)必须等于0**！ 2. 不要随意两边同除含$x$的式子\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)会丢根\(a=0\(x(x-5)=0；x_1=0,x_2=5\)b=0\) 3. 十字相乘法：$x^2+px+q=(x+m)(x+n)$\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)满足$m+n=p\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)mn=q$\(a=0\(x(x-5)=0；x_1=0,x_2=5\)b=0\) 4. 同一个根写为$x_1=x_2=a$\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)不要只写一个。 接下来：**一元二次方程解法综合练习**（配方法、公式法、因式分解法混合）\(x_1=0\(x_1=0\(\(x+2=0\)\(\(x+2=0\)\(x-2=0\(x-1=0\(x_1=3\(\boldsymbol{x_1=0\(\boldsymbol{x_1=-2\(\boldsymbol{x_1=2\(m+n=p，mn=q\)x_2=4}\)x_2=2}\)x_2=3}\)x_2=-3\)x-2=0\)x-1=0\)x+1=0\)x-1=0\)x_2=-3\)x_2=3\)还是直接进入**2.3一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）**？ 北师大版（新教材）数学九年级上册 2.2.4用因式分解法解一元二次方程 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/5 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二章 一元二次方程 素养目标 1.理解用因式分解法解方程的依据； 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程；(重点) 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程. (难点) 素养目标 1.一元二次方程的求根公式： 当b2-4ac ≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，的根是 . 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法． 2.一元二次方程根的判别式： 一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根的判别式是 ，通常用希腊字母“ ”来表示. 3.一元二次方程的根与根的判别式b2－4ac的关系： 当b2 - 4ac ＞0时，方程有 的实数根； 当b2 - 4ac = 0 时，方程有 的实数根； 当b2 - 4ac < 0 时，方程 实数根. b2－4ac Δ 两个不相等 两个相等 没有 情境导入 03 新知探究 问题1 一个小球从地面以15 m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中运动的高度h(单位：m)与运动的时间t(单位：s)满足关系：h=15t-5t²。小球从弹出到落回地面，经过了几秒? 设小球经过t s落回地面，此时h=0，于是可得方程 15t-5t²=0。 03 新知讲解 15t-5t²=0。 小颖、小明、小亮都求出了这个方程的解，但他们的解法各不相同。 分析他们的求解过程，他们分别运用了怎样的方法?他们的结果正确吗? 小颖的解法： 由方程 15t-5t²=0， 得 5t²-15t=0。 因此 t=， 所以 t1=0，t2=3。 小颖的解法是正确的，她运用了公式法解方程。 03 新知讲解 小明的解法： 由方程 15t-5t²=0， 得 5t²=15t。 两边都约去 5t， 得 t=3。 小明的解法是错误的，他进行的方程变形不是同解变形。同解变形要求方程两边同时除以同一个不为0的数，他的做法漏掉了根为0的情况。 03 新知讲解 小亮的解法： 由方程 15t-5t²=0， 得 5t²-15t=0。 即 5t(t-3)=0。 于是t=0，或t-3=0。 所以 t1=0，t2=3。 这样做的依据是什么？ 如果a · b=0，那么 a=0或 b=0。 小亮让方程一边为0，另一边分解成两个一次因式乘积的形式。 03 新知讲解 提炼概念 当一元二次方程的一边为 0，而另一边能够分解成两个一次因式的乘积时，就可以用小亮的方法求解.这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。 因式分解法的基本步骤 一移——使方程的右边为 0； 二分——将方程的左边因式分解； 三化——将方程化为两个一元一次方程； 四解——写出方程的两个解。 简记歌诀： 右化零，左分解； 两因式，各求解。 新课探究 例1 解：(1)原方程可变形为 5x²-4x=0， x(5x-4)=0。 x=0，5x-4=0。 所以 x1=0，x2=。 (2)原方程可变形为 x(x-2)-(x-2)=0， (x-2)(x-1)=0。 x-2=0，或x-1=0。 所以 x1=2，x2=1。 解下列方程： (1) 5x2 = 4x； (2) x(x - 2) = x - 2 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 1.[西安长安区期中] 方程 的根是( ) B A., B., C., D., 返回 举一反三 10 2.一元二次方程 的解是( ) B A.， B.， C.， D.， 返回 举一反三 11 3.用因式分解法将 转化为两个一元一次方程，分别 为___________和___________。 返回 举一反三 12 03 新知讲解 操作·思考 （1）解方程 x2－4 = 0，(x + 1)2－25 = 0，x2 + 2x－3 = 0，x2 + 6x－8 = 0。 （2）你用了哪些方法求解（1）中的方程？ x2－4 = 0 解：原方程可变形为 x2 = 4 x = ±2 x1 = －2，x2 = 2。 解：原方程可变形为 (x + 2)(x－2) = 0 x + 2 = 0 或 x－2 = 0 x1 = －2，x2 = 2。 直接开平方法 因式分解法 03 新知讲解 解：原方程可变形为 (x + 1 + 5)(x + 1－5) = 0 (x + 6)(x－4) = 0 x + 6 = 0 或 x－4 = 0 x1 = －6，x2 = 4。 (x + 1)2－25 = 0 解：原方程可变形为 (x + 1)2 = 4 x +1 = ±2 x + 1 = 2 或 x + 1 = －2 x1 = －2，x2 = 2。 直接开平方法 因式分解法 03 新知讲解 x2 + 2x－3 = 0 解：原方程可变形为 (x + 3)(x－1) = 0 x + 3 = 0 或 x－1 = 0 x1 = －3，x2 = 1。 解：移项，得 x2 + 2x = 3， 两边都加12，得 x2 + 2x + 1 = 4。 即 (x + 1)2 = 4。 两边开平方，得 x + 1 = ±2。 x + 1 = －2 或 x + 1 = 2 x1 = －3，x2 = 1。 因式分解法 配方法 03 新知讲解 x2 + 6x－8 = 0 解：原方程可变形为 (x－2)(x－4) = 0 (x + 6)(x－4) = 0 x + 6 = 0 或 x－4 = 0 x1 = －6，x2 = 4。 解：a = 1，b = 6，c = －8。 ∵ b2 - 4ac = 62 - 4×1×(-8) = 68 > 0， 因式分解法 公式法 03 新知讲解 回顾一元二次方程的各种解法，你对它们的共性及各自的特点有什么理解？   配方法 （直接开平方法） 公式法 因式分解法 各自 特点 共性 将一元二次方程转化为(x+m)²=n的形式；是解一元二次方程的通法。 是配方法的一般 化，将a，b，c直接代入求根公式求解；是解一元二次方程的通法。 将一元二次方程转化为两个一元一次方程来解，只能求特殊形式的方程。 都进行了恒等变形；都运用了转化思想，即将一元二次方程转化为一次方程或可直接求解的形式，即“降次”。 1.方程3x(2x+1)=2(2x+1)的两个根为（ ） A.， B. ， C. ， D.， D 2.解方程2(5x-1)2=3(5x-1)的最适当的方法是（ ） A.配方法 B.公式法 C.因式分解法 D.以上都不合适 C 3.一元二次方程x2-2x=0的两根分别为x1和x2，其中x1＜x2，则x12-2x22的值为（ ） A.-4 B.-8 C.8 D.4 B 当堂检测 4.一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2-8x+15=0的一根,则此三角形的周长是（ ） A.16 B.12 C.14 D.12或16 A 5.下列命题:①方程kx2-x-2=0是一元二次方程;②方程x=1与方程x2=1是同解方程;③方程x2=x与方程x=1是同解方程;④由(x+1)(x-1)=3 可得x+1=3,或x-1=3.其中正确的命题有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 A 6.若x2-2px+3q=0的两根分别是-3与5，则多项式2x2-4px+6q可以分解为 ( ) A.(x+3)(x-5) B.(x-3)(x+5) C.2(x+3)(x-5) D.2(x-3)(x+5) C 当堂检测 4.用因式分解法解下列方程： （1） ； 解：原方程可变形为 ， 所以， 。 （2） ； 解：原方程可变形为 ， 所以 ， 所以， 。 举一反三 20 （3） ; 解：原方程可变形为 ，所以 ， 所以， 。 （4） 。 解：原方程可变形为,所以 ， 所以 , 所以 。 返回 举一反三 21 知识点2 用适当的方法解一元二次方程 5.我们学习了一元二次方程的解法有：①直接开平方法；②配方法；③ 因式分解法；④公式法。指出解下列方程较为适当的方法。（填序号） （1） ，应选用____； （2） ，应选用____； （3） ，应选用____； （4） ，应选用____。 ① ② ③ ④ 返回 举一反三 22 6.用适当的方法解下列方程： （1） ; 解：移项，得 ， 两边开平方，得 ， 所以， 。 举一反三 23 （2） ; 解：原方程可化为 , 所以 , 所以 , 所以 ， 所以, 。 举一反三 24 （3） ; 解：原方程可化为 ，所以 ， 所以 ， 所以， 。 举一反三 25 （4） 。 解：将方程化为一般形式，得 。 这里，， 。 因为 ， 所以方程有两个不相等的实数根。 所以 ， 所以， 。 返回 举一反三 26 一元二次方程的解法-第4课时 因式分解法 当一元二次方程的一边为0，而另一边能够分解成两个一次因式的乘积时,可用解两个一元一次方程的方法求得一元二次方程的解.这种解一元二次方程的方法称为因式分解法. 步骤 依据 若a·b＝0，则a＝0或b=0. 移项、化积、转化、求解. 课堂小结 谢谢观看 THANKS 二一教育 $