3 一元二次方程的根与系数的关系课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），通过复习求根公式和判别式引入，以问题“两根与系数还有其他关系吗”搭建旧知到新知的学习支架，引导学生探究根与系数的内在联系。 其亮点在于通过求根公式推导与因式分解验证双路径探究韦达定理，结合例题、变式练习及代数式变形总结，发展学生推理能力与运算能力。以“观察—推导—应用—总结”的教学逻辑，帮助学生形成数学思维，教师可借助结构化内容提升教学效率，学生能在实践中增强应用意识。

2.3 一元二次方程的根与系数的关系 北师大版九年级上册数学 1.一元二次方程的求根公式是什么？ 2.如何用判别式b2–4ac来判断一元二次方程根的情况？ 对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0) 当b2– 4ac>0时，方程有两个不等的实数根； 当b2– 4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b2– 4ac<0时，方程没有实数根. 方程的两根x1和x2与系数a，b，c还有其他关系吗？ 新课导入 探究新知 你还有其他方法得出上述关系吗？ 如果x1, x2 是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 思考·交流 根据上面的结论，你能发现一元二次方程ax2+bx+c=0的系数与它的两个根x1, x2之间有怎样的关系吗?与同伴进行交流。 ax2+bx+c = ax2–a(x1+x2)x+ax1x2 . 由此可得 –a(x1+x2)=b，ax1x2=c . 如果x1, x2 是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理） 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1, x2，那么 注意：满足上述关系的前提条件 方程先化为一般式，确定 a，b，c . a ≠ 0 b2–4ac ≥ 0 例.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2 + 7x + 6 = 0; （2）2x2 - 3x - 2 = 0. 一元二次方程的根与系数的关系的应用 解： （1）这里 a = 1，b = 7，c = 6. △ =b2-4ac = 72+4×1×6 = 49-24 = 25 > 0 ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1，x2，那么. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1，x2，那么. 例.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （2）2x2 - 3x - 2 = 0. 一元二次方程的根与系数的关系的应用 已知方程x2－3x－2＝0的两个根为x1，x2，不解方程，求下列各式的值： 解：∵方程x2－3x－2＝0的两个根为x1，x2， ∴x1＋x2＝3，x1x2＝－2. （1）（x1－1）（x2－1）＝x1x2－（x1＋x2）＋1＝－2－3＋1 ＝－4. 解：∵方程x2－3x－2＝0的两个根为x1，x2， ∴x1＋x2＝3，x1x2＝－2. （1）（x1－1）（x2－1）＝x1x2－（x1＋x2）＋1 ＝－2－3＋1 ＝－4. 变式练习： 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）x2-3x-1=0； （2）3x2+2x-5=0. 解：（1）x1+x2=3， x1x2 = -1. 随堂练习 解：由题意，可得 小明和小华求得的根与算式都不符合， ∴小明和小华的答案都不正确. 随堂练习 解：x1x2 =－7. x1 = 3, 随堂练习 1.已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求k的值及另一个根. 变式：已知方程5x2+x+k=0的一个根是2，求k的值及另一个根. 跟踪练习 2.设x1、x2是方程2x2+3x-1=0的两个根，不解方程，求： （1）x1与x2的倒数和； （2）x1与x2的平方和. x12 + x22 (x1 – x2)2 ｜x1–x2｜ x1x22 + x12x2 = (x1+x2)2 – 2x1x2 = (x1+x2)2 – 4x1x2 = x1x2(x1+x2) 与一元二次方程有关的代数式的常见变形： 二次变形： 分式变形： 绝对值变形： 归纳：求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成 含两根之和,两根之积的形式,再整体代入. 根与系数的关 系（韦达定理） 内 容 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1, x2，那么 应 用 1.不解方程，求一元二次方程的两根之和与两根之积 2.已知一根，求未知系数及另一根 3.求与一元二次方程两根有关的代数式的值 课堂小结 基础题： 教材50页习题2.3 第1，2题 提高题：教材50页习题2.3 第3题 拓展题：教材50页习题2.3 第5题 作业布置 $