2.2.2 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程（课件）--2026-2027学年北师大版数学九年级上册

# 北师大版九年级上册 2.2 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 专项练习 ## 知识点梳理 ### 核心思路 二次项系数不为1时\(x_1=3，x_2=-1\)**第一步先方程两边同除以二次项系数\(x_1=3，x_2=-1\)把二次项系数化为1**\(x_1=3，x_2=-1\)之后再按二次项系数为1的配方法步骤求解。 ### 完整解题步骤 以 $ax^2+bx+c=0\ (a≠0,a≠1)$为例： ① **化1**：方程两边同时除以$a$\(x_1=3，x_2=-1\)得到：$\boldsymbol{x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0}$ ② **移项**：常数项移到等号右侧：$x^2+\dfrac{b}{a}x=-\dfrac{c}{a}$ ③ **配方**：两边同时加上**一次项系数一半的平方**：$\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2$ ④ 写成完全平方式：$\boldsymbol{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}$ ⑤ **开平方**\(x_1=3，x_2=-1\)求出$x$。 > 易错提醒 1. 方程每一项**全部都要除以二次项系数**\(x_1=3，x_2=-1\)不能只除二次项； 2. 配方时\(x_1=3，x_2=-1\)等式左右两边必须同时加上同一个数； 3. 右边负数\(x_1=3，x_2=-1\)则方程**无实数根**； 4. 开平方不要漏掉$\boldsymbol{\pm}$。 ## 一、选择题（每题4分\(x_1=3，x_2=-1\)共20分） 1. 用配方法解方程$2x^2-4x=1$\(x_1=3，x_2=-1\)第一步应该（） A. 两边同时加4 B. 两边同时除以2 C. 两边同时加2 D. 两边同时乘2 2. 将$2x^2-8x=3$二次项系数化为1后\(x_1=3，x_2=-1\)方程为（） A.$x^2-4x=\dfrac32$ B.$x^2-8x=3$ C.$x^2-4x=3$ D.$2x^2-4x=\dfrac32$ 3. 方程$3x^2-6x-1=0$化为$(x+m)^2=n$的形式是（） A.$(x-1)^2=\dfrac43$ B.$(x-3)^2=\dfrac{10}{3}$ C.$(x-1)^2=\dfrac13$ D.$(x-2)^2=\dfrac73$ 4. 用配方法解方程$2x^2+8x-3=0$\(x_1=3，x_2=-1\)配方后得到（） A.$2(x+2)^2=5$ B.$2(x+2)^2=11$ C.$(x+2)^2=\dfrac{11}{2}$ D.$(x+4)^2=\dfrac{19}{2}$ 5. 方程$2x^2+4x+3=0$配方后右边为负数\(x_1=3，x_2=-1\)则该方程（） A. 有两个不等实数根 B. 有两个相等实数根 C. 无实数根 D. 只有一个根 ## 二、填空题（每题4分\(x_1=3，x_2=-1\)共20分） 1. 解方程$3x^2-12x=6$\(x_1=3，x_2=-1\)先两边同除以3\(x_1=3，x_2=-1\)得________________。 2. 方程$2x^2-6x=5$\(x_1=3，x_2=-1\)二次项系数化为1后\(x_1=3，x_2=-1\)一次项是________。 3. 把$2x^2-4x-5=0$配方\(x_1=3，x_2=-1\)化为$(x+m)^2=n$形式：________________。 4. 方程$4x^2+8x=1$\(x_1=3，x_2=-1\)两边除以4后\(x_1=3，x_2=-1\)配方需两边加上________。 5. 用配方法解方程$2x^2-2x-1=0$\(x_1=3，x_2=-1\)配方后为$\left(x-\dfrac12\right)^2=$________。 ## 三、解答题（共60分\(x_1=3，x_2=-1\)必须用配方法） 1.（18分）$2x^2-4x-6=0$ 2.（20分）$3x^2-6x-1=0$ 3.（22分）$2x^2+5x-1=0$ ## 参考答案与解析 ### 选择题 1.B 解析：二次项系数不为1\(x_1=3，x_2=-1\)第一步两边同除以二次项系数2。 2.A 解析：各项÷2\(x_1=3，x_2=-1\)$x^2-4x=\dfrac32$。 3.A 解析：$3x^2-6x=1$\(x_1=3，x_2=-1\)两边÷3：$x^2-2x=\dfrac13$\(x_1=3，x_2=-1\)两边加1：$x^2-2x+1=\dfrac13+1$\(x_1=3，x_2=-1\)即$(x-1)^2=\dfrac43$。 4.C 解析：$2x^2+8x=3$\(x_1=3，x_2=-1\)除以2：$x^2+4x=\dfrac32$\(x_1=3，x_2=-1\)两边加4：$x^2+4x+4=\dfrac32+4$\(x_1=3，x_2=-1\)$(x+2)^2=\dfrac{11}{2}$。 5.C 解析：完全平方等于负数\(x_1=3，x_2=-1\)不存在实数的平方为负数\(x_1=3，x_2=-1\)无实数根。 ### 填空题 1.$x^2-4x=2$ 2.$-3x$ 3.$(x-1)^2=\dfrac72$ 4.$1$ 5.$\dfrac34$ ### 解答题 1. 解：$2x^2-4x-6=0$ 两边同除以2：$x^2-2x-3=0$ 移项：$x^2-2x=3$ 配方\(x_1=3，x_2=-1\)两边加1：$x^2-2x+1=3+1$ $(x-1)^2=4$ 开平方：$x-1=\pm2$ $x_1=3\(x_1=3，x_2=-1\)x_2=-1$ 2. 解：$3x^2-6x-1=0$ 两边÷3：$x^2-2x-\dfrac13=0$ 移项：$x^2-2x=\dfrac13$ 两边加1：$x^2-2x+1=\dfrac13+1$ $(x-1)^2=\dfrac43$ 开平方：$x-1=\pm\dfrac{2\sqrt3}{3}$ $x_1=1+\dfrac{2\sqrt3}{3},\quad x_2=1-\dfrac{2\sqrt3}{3}$ 3. 解：$2x^2+5x-1=0$ 两边除以2：$x^2+\dfrac52x-\dfrac12=0$ 移项：$x^2+\dfrac52x=\dfrac12$ 两边加$\left(\dfrac54\right)^2=\dfrac{25}{16}$ $x^2+\dfrac52x+\dfrac{25}{16}=\dfrac12+\dfrac{25}{16}$ $\left(x+\dfrac54\right)^2=\dfrac{33}{16}$ 开平方：$x+\dfrac54=\pm\dfrac{\sqrt{33}}{4}$ $x_1=\dfrac{-5+\sqrt{33}}{4},\quad x_2=\dfrac{-5-\sqrt{33}}{4}$ ## 易错点总结 1. 步骤口诀：**系数不为1\(x_1=3，x_2=-1\)先同除化1；移常数\(x_1=3，x_2=-1\)配平方\(x_1=3，x_2=-1\)两边同加\(x_1=3，x_2=-1\)再开方**。 2. 除以二次项系数时\(x_1=3，x_2=-1\)**常数项也要除**\(x_1=3，x_2=-1\)极易漏除。 3. 分数计算要细心\(x_1=3，x_2=-1\)一次项系数是分数时\(x_1=3，x_2=-1\)一半的平方计算容易出错。 下一节：**公式法解一元二次方程**\(x_1=3，x_2=-1\)继续写专项练习吗？ 北师大版（新教材）数学九年级上册 2.2.2用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/5 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二章 一元二次方程 素养目标 1.会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程;（重点） 2.能够熟练地利用配方法解一元二次方程及解决有关问题.（难点） 3.在合作交流过程中，进一步增强合作交流意识，培养探究精神，增强数学学习的乐趣. 素养目标 1.直接开平方法解一元二次方程 理论依据： . 适用范围：能转化为 的形式的方程. 2.配方法解一元二次方程的思路是将方程转化为 的形式，它的一边是一个 ，另一边是一个常数，当 n ≥0 时，两边同时 ，转化为 方程，便可求出它的根. ( x + m) 2 = n 开平方 一元一次 完全平方式 3.配方法的关键： 在形如的两边同时加 ，即 . 一次项系数一半的平方 平方根的意义 x2=a或（mx＋n）2= a（a≥0） 情境导入 02 新知导入 复习导入 将下列各式填上适当的项，配成完全平方式(口头回答)。 1. x2+2x+________= (x +______)2 抢答！ 12 1 2. x2+________+36 = (x +______)2 12x 6 3. x2 + 10x +________= (x +______)2 52 5 4. x2-x+________= (x -______)2 03 新知探究 问题1：观察下面两个一元二次方程的联系和区别： ① x2 + 6x + 8 = 0； ② 3x2 + 8x - 3 = 0。 问题2：用配方法来解 x2 + 6x + 8 = 0 解：移项，得 x2 + 6x = -8， 配方，得 (x + 3)2 = 1 开平方，得 x + 3 = ±1 解得 x1 = -2 ， x2 = -4 知识点 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 1.用配方法解方程 时，配方的过程如下，开始出现错误 的一步是( ) C ； ； ； 。 A.① B.② C.③ D.④ 返回 举一反三 6 2.[西安未央区期末] 用配方法解方程 ，配方后的方程 是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 7 3. ［教材P38“例2”变式］ 用配方法解一元二次方程 。 解：两边同除以2，得____ 。 配方，得_____-_____ 。 所以 ___。 两边开平方，得 ____。 所以___, __。 2 返回 举一反三 8 新课探究 例2 解方程： 3x2 + 8x – 3 = 0 解：方程两边都除以 3，得 配方，得 将二次项系数化为1 即 03 新知讲解 两边开平方，得 所以 例2 解方程： 3x2 + 8x – 3 = 0 即 移项，得 03 新知讲解 提炼概念 利用配方法解一元二次方程的一般步骤： 一般步骤 示例(3x²+8x-3=0) 一化 二配   三移 四开 五解   x+ = ±。 (x+)² = 。 x²+x+()²-()²-1=0，即(x+)²- =0。 x²+x-1=0。 x1 = ，x2= -3。 化二次项系数为1。 如果n≥0，就可以左右两边同时开平方， 得x+m = ±。 移项，使方程变为(x+m)² = n的形式。 配方，使原方程变为(x+m)²-n = 0的形式。 方程的根为x = -m±。另外，如果是解决实际问题，那么还要注意判断结果是否符合实际问题。 03 新知讲解 一小球以 15 m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度 h(m) 与时间 t(s) 满足关系: h = 15t - 5t2，小球何时能达到 10 m 的高度？ 思考·交流 解：根据题意得 15t -5t2 = 10 方程两边都除以 -5，得 t2 -3t = -2 配方，得t2 -3t + + = 两边开平方，得 ± 1 =2， 2 =1 03 新知讲解 请你描述一下，在做一做中 t 有两个值，它们所在时刻小球的运动状态。 t = 1 时，小球向上运动， t = 2 时，小球向下运动。 3.若9x2 -ax +4是一个完全平方式，则a等于（ ） A. 12 B. -12 C. 12或-12 D. 6或-6 C C D 当堂检测 5.“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配方，即可求出代数式的最大值或最小值． 例：x2+4x+5=x2+4x+22−22+5=x2+4x+22−22+5=(x+2)2+1． ∵(x+2)2≥0， ∴(x+2)2+1≥1，即x2+4x+5≥1， ∴x2+4x+5的最小值为1． 参照以上方法，对于代数式−x2−6x+4的最值，下列说法正确的是（    ） A．最大值为13 B．最大值为−5 C．最小值为13 D．最小值为−5 A 4.已知三角形的三条边为a，b，c，且满足a2−10a+b2−16b+89=0，则这个三角形的最大边c的取值范围是（ ） A．c>8 B．5<c<8 C．8<c<13 D．5<c<13 C 当堂检测 4.用配方法解方程： （1） ； 解：二次项系数化为1， 得 ， 配方，得 ， 即，所以 ， 所以， 。 举一反三 16 （2） ； 解：将二次项系数化为1， 得 ， 移项，得 ， 配方，得 ， 即，所以 ， 所以， 。 举一反三 17 （3） ； 解：方程两边都乘2，得 ， 移项，得 ， 配方，得 ， 即，所以 ， 所以， 。 举一反三 18 （4） 。 解：整理原方程，得 ， 移项、二次项系数化为1， 得 ， 配方，得 , 即 ， 所以，所以， 。 返回 举一反三 19 5.用配方法解一元二次方程 时，将它化为 的形式，则 的值为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 20 6. 已知，为任意实数，则, 的 大小关系为( ) A A. B. C. D.无法确定 返回 举一反三 21 7.小华设计了一个魔术盒，将任意实数对 放入其中，会得到一个新 的实数。若将实数对放入其中可得到实数,则 的 值为_ ______。 或 返回 举一反三 22 8.解方程： （1） ； 解：去括号，得 ， 整理，得 ， 配方，得 ， 即 ， 开方，得 ， 所以， 。 举一反三 23 （2） 。 解：去分母，得 。 方程两边同时除以2，得 。 配方，得 。 整理，得 。 举一反三 24 两边开平方，得 ， 即或 。 所以， 。 返回 举一反三 9.［教材P46“习题2.2”第10题变式］ 如图，在 中， ，，，点从点开始沿边向点 移动，速度为；点从点开始沿边向点 移动，速度为 ，点，分别从点， 同时出发，当其中一点到达终点后，另 一点也随之停止运动，设移动时间为 。 （1）___时，的长度为 ； 3 （2）______时，的面积为 ； 2或4 举一反三 26 （3）当为何值时，四边形 的面积最小？并求这个最 小面积。 解：四边形 的面积 为 举一反三 27 ， 所以当时，四边形的面积最小，最小面积为 。 返回 举一反三 一元二次方程的解法-第2课时 ①化：二次项系数化为1； ②移项：将常数项移到右边,含未知数的项移到左边； 配方法的步骤 ③配方：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，使原方程变为( x + m) 2 = n的形式; 应用 求代数式的最值或证明等. ⑤求解：解两个一元一次方程,得方程的解为x=. ④开方：若方程右边为负数,则方程没有实数根,若方程右边为非负数,就可以左右两边开平方得x + m =； 课堂小结 谢谢观看 THANKS EVCapture4.0.2软件录制 Lavf56.38.102 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn $