2.2.3用公式法解一元二次方程 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

# 北师大版九年级上册 2.2.3 用公式法解一元二次方程 专项练习 ## 知识点梳理 1. **一元二次方程一般形式**：$\boldsymbol{ax^2+bx+\(c=\)0\ (a≠0)}$ 2. **求根公式**：当$b^2-4ac\ge0$时 $$\boldsymbol{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$$ 3. **根的判别式**：$\boldsymbol{\Delt\(a=\)b^2-4ac}$ - $\boldsymbol{\Delta>0}$：方程有**两个不相等的实数根** - $\boldsymbol{\Delt\(a=\)0}$：方程有**两个相等的实数根** - $\boldsymbol{\Delta<0}$：方程**没有实数根** ### 公式法解题步骤 ① 化为**一般形式**：$ax^2+bx+\(c=\)0$，确定$\(a,b,c\)$（注意符号！） ② 计算判别式$\Delt\(a=\)b^2-4ac$ ③ 判断$\Delta$正负，$\Delta<0$直接写无实数根 ④ $\Delta\ge0$，代入求根公式计算$x$ > 易错提醒 1. $a$是二次项系数，**$a≠0$**； 2. $a、b、c$要带前面的正负号； 3. $-b$不要漏掉负号；根号下是$\Delta$；分母是$2a$，不是$2$乘$b$； 4. 先算判别式，再代入公式。 ## 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 一元二次方程$2x^2-5x-1=0$中，$\(a,b,c\)$的值分别是（） A.$2,-5,1$ B.$2,-5,-1$ C.$2,5,-1$ D.$-2,-5,-1$ 2. 方程$x^2-2x-1=0$的判别式$\Delta$的值为（） A.$0$ B.$4$ C.$8$ D.$12$ 3. 一元二次方程$3x^2+2x+1=0$根的情况是（） A.两个不等实根 B.两个相等实根 C.无实数根 D.无法判断 4. 方程$x^2-4x+4=0$的根是（） A.$x_1=2,x_2=-2$ B.$x_1=x_2=2$ C.$x_1=4,x_2=0$ D.$\(x=2\)$ 5. 用公式法解方程$x^2-6x+5=0$，代入公式正确的是（） A.$x=\dfrac{6\pm\sqrt{36-20}}{2}$ B.$x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36-20}}{2}$ C.$x=\dfrac{6\pm\sqrt{36+20}}{2}$ D.$x=\dfrac{-(-6)\pm\sqrt{36+20}}{2\times1}$ ## 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 一元二次方程$ax^2+bx+\(c=\)0(a≠0)$，求根公式是________。 2. 判别式$\Delt\(a=\)$________。 3. 方程$2x^2+3x-2=0$，$\(a=\)$____，$\(b=\)$____，$\(c=\)$____。 4. 若一元二次方程$x^2-2x+\(m=\)0$有两个相等实数根，则$\(m=\)$____。 5. 方程$x^2-3x=0$的判别式$\Delt\(a=\)$________。 ## 三、解答题（共60分，用公式法求解） 1.（18分）$x^2-2x-3=0$ 2.（20分）$2x^2-7x+3=0$ 3.（22分）$3x^2-2x+2=0$ ## 参考答案与解析 ### 选择题 1.B 解析：$2x^2-5x-1=0$，$\(a=\)2，\(b=\)-5，\(c=\)-1$。 2.C 解析：$\Delt\(a=\)(-2)^2-4\times1\times(-1)=4+4=8$。 3.C 解析：$\Delt\(a=\)2^2-4\times3\times1=4-12=-8<0$，无实数根。 4.B 解析：$\Delt\(a=\)16-16=0$，两个相等实数根$x_1=x_2=2$。 5.A 解析：$\(a=\)1,\(b=\)-6,\(c=\)5$，$x=\dfrac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4\times1\times5}}{2\times1}=\dfrac{6\pm\sqrt{36-20}}{2}$。 ### 填空题 1.$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ (b^2-4ac\ge0)$ 2.$b^2-4ac$ 3.$2，3，-2$ 4.$1$ 5.$9$ ### 解答题 1. 解：$x^2-2x-3=0$ $\(a=\)1，\(b=\)-2，\(c=\)-3$ $\Delt\(a=\)b^2-4a\(c=\)(-2)^2-4\times1\times(-3)=4+12=16>0$ $x=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{16}}{2\times1}=\dfrac{2\pm4}{2}$ $x_1=\dfrac{2+4}{2}=3,\quad x_2=\dfrac{2-4}{2}=-1$ 2. 解：$2x^2-7x+3=0$ $\(a=\)2，\(b=\)-7，\(c=\)3$ $\Delt\(a=\)(-7)^2-4\times2\times3=49-24=25>0$ $x=\dfrac{-(-7)\pm\sqrt{25}}{2\times2}=\dfrac{7\pm5}{4}$ $x_1=\dfrac{7+5}{4}=3,\quad x_2=\dfrac{7-5}{4}=\dfrac12$ 3. 解：$3x^2-2x+2=0$ $\(a=\)3，\(b=\)-2，\(c=\)2$ $\Delt\(a=\)(-2)^2-4\times3\times2=4-24=-20<0$ ∴方程**没有实数根**。 ## 易错点总结 1. 先化成一般形式，$\(a,b,c\)$**带符号**，负号不能丢； 2. $\Delta$小于0，直接写无实数根，不能继续开根号； 3. 求根公式分子是$\boldsymbol{-b\pm\sqrt{\Delta}}$，$b$为负数时，$-b$就变成正数； 4. 分母是$2a$，不是2。 下一节：**因式分解法解一元二次方程**，继续写专项练习吗？ 北师大版（新教材）数学九年级上册 2.2.3用公式法解一元二次方程 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/5 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二章 一元二次方程 素养目标 1.经历用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，理解求根公式和根的判别式；（难点） 2.会用公式法解一元二次方程;（重点） 3.不解方程，会用一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况.（难点） 素养目标 用配方法解一元二次方程的步骤： ①化：二次项系数化为 ； ②移项：将常数项移到右边，含未知数的项移到左边； ③配方：左、右两边同时加上 ，使原方程变为( x + m) 2 = n的形式； ④开方：若方程右边为负数，则方程 ，若方程右边为非负数，就可以左右两边开平方得 ； ⑤求解：解两个一元一次方程，得方程的解为 . 1 一次项系数一半的平方 没有实数根 x + m = x= 情境导入 03 新知探究 用配方法解方程：ax2+bx+c = 0（a，b，c为常数，a ≠ 0） 探究1 推导求根公式 03 新知讲解   解:       03 新知讲解 问题 接下来能用直接开平方解吗？ 一元二次方程的求根公式 特别提醒 因为a≠0，所以4a²>0。当b²-4ac≥0时， 是一个非负数， 此时两边开平方，得 =±， 即 =±， =。 03 新知讲解 提炼概念 一元二次方程的求根公式： 对于一元二次方程ax²+bx+c=0，当b²-4ac≥0时，它的根是 =。 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。 03 新知讲解 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 一般步骤 示例(2x²+x=2) 一化 二定   三算 四解   b²-4ac=1²-4×2×(-2)= 17>0。 a=2，b=1，c=-2。 2x²+x-2=0。 x=，即x1=，x2= 将一元二次方程化为ax²+bx+c=0。 计算b²-4ac的值。 确定a，b，c的值。 若b²-4ac≥0，则将a，b，c的值代入求根公式=。 新课探究 例1 解方程 ： (1)x²-7x-18=0； (2)4x²+1=4x。 所以 x= = 解：(1)这里a=1，b=-7，c=-18。 因为 b²-4ac=(-7)²-4×1×(-18)=121>0， 即x1=9，x2=-2。 03 新知讲解 (2)4x²+1=4x。 解：(2)将原方程化成一般形式，得 4x²-4x+1=0。 这里a=4，b=-4，c=1。 因为b²-4ac=(-4)²-4×4×1=0， 所以 x= = 即 x1=x2=。 知识点1 一元二次方程的求根公式 1.在用求根公式解方程时，，， 的值分别是( ) C A.3，， B.，，3 C.，3， D.，3， 返回 举一反三 11 2. 中国古代数学家赵爽在对《周髀算经》作注解时，写的一 篇《勾股圆方图注》中用到了求根公式。若一个方程用求根公式求得 ，则这个一元二次方程可以是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 12 03 新知讲解 （1）你能解一元二次方程 x2 -2x + 3 = 0 吗？你是怎么想的？ 解：（1）a = 1，b = -2，c = 3 ∵ b2 - 4ac = (-2)2 - 4×1×3= -8 < 0， 方程没有实数根。 尝试·思考 03 新知讲解 （2）对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0），当 b2 -4ac < 0 时，它的根的情况是怎样的？与同伴交流。 03 新知讲解 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0）， 根的判别式是： ⊿ = b2 -4ac 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0） 判别式的情况 根的情况 定理与逆定理 ⊿ = b2 -4ac > 0 两个不相等的实数根 ⊿>0 两个不相等的实数根 ⊿ = b2 -4ac = 0 两个相等的实数根 ⊿=0 两个相等的实数根 ⊿ = b2 -4ac < 0 没有实数根 ⊿<0 没有实数根 1.用公式法解方程4x2-12x=3，得到（       ） A．x=      B．x=     C．x=      D．x= D 2.不解方程，判断所给方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有（    ） A．0个              B．1个              C．2个                     D．3个 B 3.下列方程中有两个相等的实数根的是（    ） A. 3x2－x－1=0;                                      B. x2－2x－1=0; C. 9x2=4（3x－1）;                                   D. x2＋7x＋15=0. C 当堂检测 4.已知a,b,c分别是三角形的三边长，则一元二次方程(a+b)x2+2cx+(a+b)=0的根的情况是（ ） A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 A 5.关于x的一元二次方程kx2＋2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ）      A. k>-1                   B. k>1              C. k≠0             D. k>-1且k≠0 D 当堂检测 知识点2 用公式法解一元二次方程 3. 嘉嘉同学解一元二次方程 的过程如下。 解：这是，， ，① 因为 ，② 所以 ，③ 所以， 。④ 举一反三 18 （1）嘉嘉解方程的方法是________；他的求解过程从第____步开始出 现错误。 公式法 ① （2）请你写出这个方程正确的解题步骤。 解：这里，， ， 因为 ， 所以 ， 所以， 。 返回 举一反三 19 4.用公式法解下列方程： （1） ; 解：因为，， ， 所以 。 所以 。 所以， 。 举一反三 20 （2） ； 解：将方程化为一般形式，得，所以， ， ， 所以，所以 ， 所以， 。 举一反三 21 （3） 。 解：将方程化为一般形式为 ， 所以，， 。所以 。 所以 。 所以， 。 返回 举一反三 22 知识点3 一元二次方程的根的判别式 5.一元二次方程 的根的判别式的值是( ) A A.33 B.23 C. D. 返回 举一反三 23 6.[扬州中考] 关于一元二次方程 的根的情况，下列结论 正确的是( ) A A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断根的情况 返回 举一反三 24 7.关于的方程，根的判别式 _________, 当 _____时，方程有两个不相等的实数根； 当 _____时，方程有两个相等的实数根； 当 _____时，方程没有实数根。 返回 举一反三 25 一元二次方程的解法-第3课时 求根公式 对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0),当b2-4ac ≥0时,它的根是：（求根公式） 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 公式法解一元二次方程 一元二次方程根的判别式 1.化; 2.定;3.算;4.求. 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）， 当b2 - 4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当b2 - 4ac < 0 时，方程没有实数根. b2－4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示. 课堂小结 谢谢观看 THANKS 二一教育 $