2.2.3 用公式法解一元二次方程 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的公式法解法，系统涵盖求根公式推导、根的判别式及应用。通过问题导入引导学生用配方法推导一般形式方程的求根公式，搭建从具体解题到抽象公式的学习支架，衔接配方法与公式法的知识脉络。 其亮点是以“探究-操作-应用”为主线，推导公式时通过步骤化操作培养推理能力，根的判别式教学结合实例发展抽象能力，实际问题（如矩形场地面积）解决体现模型意识。采用分层例题和清晰步骤总结，学生能提升逻辑思维与应用能力，教师可高效落实教学目标。

第3课时　 用公式法解一元二次方程 第二章　一元二次方程 2 探究与应用 我们发现,利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的.因此,如果能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),得到根的一般表达式,那么在解具体的一元二次方程时,就会方便简捷得多. 你能用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)吗? 探究一　一元二次方程的求根公式 问题导入 略 解一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0). 方程两边都除以a,得　　　　　　.  配方,得x2+x+　　　-　　 +　　=0,  (x+　　)2-　　　　=0.  移项,得　　　　　　　　.  因为a≠0,所以4a2____0.  操作思考 x2+x+=0　 ()2 ()2 　 　 　 (x+)2=　 > 当b2-4ac≥0时,是一个　　　数,  此时两边开平方,得x+=　　　　　,  即x=____________, x=____________.  非负 ±　 - 公式法:对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,它的根是x=　　　　　　　.  这个式子称为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 概括新知 解方程: (1)x2-7x-18=0;　　 应用一　用公式法解一元二次方程 例 1 解:(1)这里a=1,b=-7,c=-18. ∵b2-4ac=(-7)2-4×1×(-18)=121>0, ∴x=, 即x1=9,x2=-2. (2)4x2+1=4x; 解: (2)将原方程化为一般形式,得4x2-4x+1=0. 这里a=4,b=-4,c=1. ∵b2-4ac=(-4)2-4×4×1=0, ∴x=,即x1=x2=. (3)2x2-5=4(x+1). 解:(3)原方程整理得2x2-4x-9=0. 这里a=2,b=-4,c=-9. ∵b2-4ac=(-4)2-4×2×(-9)=88>0, ∴x=, 即x1=,x2=. 用公式法解一元二次方程的一般步骤 (1)化:把方程化为一般形式ax2+bx+c=0. (2)定:确定a,b,c的值. (3)算:计算b2-4ac的值,并判断其符号. (4)代:当b2-4ac≥0时,把a,b,c的值代入求根公式x=;当b2-4ac<0时,方程无实数根. (5)写:在b2-4ac≥0的前提下,写出方程的根. 懂 步骤 探究二　一元二次方程的根的判别式 尝试思考 (1)你能解一元二次方程x2-2x+3=0吗?你是怎么想的? (2)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac<0时,它的根的情况是怎样的? 解:(1)能解一元二次方程x2-2x+3=0. x2-2x+3=0,求得b2-4ac<0,∴该方程无实数根. (2)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac<0时,方程没有实数根. 概括新知 1.b2-4ac与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的关系: 当b2-4ac>0时,方程有　　　 　　的实数根;  当b2-4ac=0时,方程有　　　 　的实数根;  当b2-4ac<0时,方程　 　实数根.  2.根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由 　　　来判定.我们把　　　叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母“Δ”来表示.  两个不相等 两个相等 没有 b2-4ac b2-4ac 不解方程,判断下列方程的根的情况: (1)2x2+3x=4;　　 应用二　依据根的判别式判断一元二次方程的根的情况 例 2 解: (1)2x2+3x=4. 移项,得2x2+3x-4=0. ∵Δ=9+32=41>0, ∴方程2x2+3x=4有两个不相等的实数根. (2)ax2+bx=0(a≠0);　　(3)3(x2+1)-5x=0. 解:(2)ax2+bx=0(a≠0). ∵Δ=b2-4a×0=b2≥0, ∴方程ax2+bx=0(a≠0)有两个实数根. (3)3(x2+1)-5x=0. 整理,得3x2-5x+3=0. ∵Δ=25-4×3×3=-11<0, ∴方程3(x2+1)-5x=0没有实数根. 使用根的判别式的一般步骤:①方程化为一般形式,确定a,b,c的值;②计算Δ的值,确定Δ的符号;③判断根的情况,得出结论. 懂 步骤 如图2-2-1,利用一面墙(墙的长度不限)和20 m长的篱笆围成一个矩形场地ABCD. (1)若矩形场地的面积为48 m2,求AB的长; 　 应用三　应用公式法与根的判别式求解实际问题 例 3 解:(1)设AB=x m,则BC=(20-2x)m, 根据题意得x(20-2x)=48, 整理得x2-10x+24=0, Δ=(-10)2-4×1×24=4,∴x=, 解得x1=4,x2=6.故AB的长为4 m或6 m. 图2-2-1 (2)该矩形场地的面积能否为60 m2?若能,求出AB的长;若不能,请说明理由. 解: (2)该矩形场地的面积不能为60 m2,理由如下: 假设该矩形场地的面积能为60 m2,设AB=y m,则BC=(20-2y)m, 根据题意得y(20-2y)=60, 整理得y2-10y+30=0, ∵Δ=(-10)2-4×1×30=-20<0,∴原方程没有实数根, ∴假设不成立,即该矩形场地的面积不能为60 m2. 图2-2-1 【延伸拓展】 利用根的判别式求字母的值(范围) (1)若关于x的一元二次方程x2-4x+c=0有两个相等的实数根,则c的值是　　;  (2)关于x的一元二次方程x2-3x+a=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是　　　;  (3)关于x的一元二次方程ax2+6x+1=0没有实数根,那么a的最小整数值是 　 　;  (4)关于x的一元二次方程(m-2)x2+4x+2=0有实数根,则m的取值范围是 　　 .  4 a< 10 m≤4且m≠2 利用根的判别式求字母的值(范围),应先将方程化为一般形式,并求出Δ=b2-4ac;再根据所给的方程根的情况列出不等式或方程;然后解之即可.但一定要注意b2-4ac的使用前提:“方程必须是一 元二次方程”. 理 思路 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 1.如果一元二次方程x2+px+q=0有实数解,那么p,q满足的条件是 (　　) A.p2-4q≥0 B.p2-4q≤0 C.p2-4q>0 D.p2-4q<0 | 课堂检测 | A 2.一元二次方程3x2-4x+1=0的根的情况是 (　　) A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 C 3.用公式法解方程: (1)2x2-3x+1=0; (2)x-1=3x2; 解:(1)这里a=2,b=-3,c=1. ∵Δ=(-3)2-4×2×1=1>0,∴x=,即x1=1,x2=. (2)将原方程化为一般形式,得3x2-x+1=0. 这里a=3,b=-1,c=1. ∵Δ=(-1)2-4×3×1=-11<0,∴此方程没有实数根. (3)3y2+1=2y. 解: (3)将原方程化为一般形式,得3y2-2y+1=0. 这里a=3,b=-2,c=1. ∵Δ=(-2)2-4×3×1=0, ∴y=,即y1=y2=. 4.一个直角三角形的两条直角边的和是28 cm,面积是96 cm2.求这个直角三角形的三条边的长. 解:设这个直角三角形的一条直角边长为x cm,则另一条直角边长为(28-x)cm, 由题意得x(28-x)=96,整理得x2-28x+192=0, Δ=(-28)2-4×1×192=16,∴x=, 解得x1=12,x2=16,∴28-x=16或12, 即这个直角三角形的两条直角边长分别是12 cm,16 cm, 由勾股定理得斜边长==20(cm), 因此,这个直角三角形的三条边的长分别为12 cm,16 cm,20 cm. $