2.2.1用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

# 北师大版九年级上册 2.1.1认识一元二次方程 专项练习 ## 知识点梳理 1. **一元二次方程定义**：只含有**一个未知数**\(1，0\)并且未知数的**最高次数是2**的**整式方程**\(1，0\)叫做一元二次方程。 2. **一般形式**：$\boldsymbol{ax^2+bx+c=0}$（$a\(b\(x、y\)c\)b\(b\(x、y\)c\)c$为常数\(1，0\)$\boldsymbol{a≠0}$） - $ax^2$：二次项\(1，0\)$a$是二次项系数； - $bx$：一次项\(1，0\)$b$是一次项系数； - $c$：常数项。 > 重点：**$a≠0$**\(1，0\)如果$\(a=0\)$\(1，0\)方程就变成一次方程；$b\(b\(x、y\)c\)c$可以等于0。 3. **方程的根**：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值\(1，0\)叫做一元二次方程的根。 4. 易错提醒 - 必须是**整式方程**\(1，0\)分母含有未知数不是一元二次方程； - 整理成一般形式后\(1，0\)再判断次数； - 判断系数时\(1，0\)要先化为标准形式\(1，0\)注意符号。 ## 一\(b\(x、y\)c\)选择题（每题4分\(1，0\)共20分） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（） A.$\(x+2y=1\)$ B.$x^2-5=0$ C.$\dfrac1{x^2}+\(x=3\)$ D.$x^3+x^2=1$ 2. 将方程$3x^2-5=4x$化为一般形式\(1，0\)二次项系数\(b\(x、y\)c\)一次项系数\(b\(x、y\)c\)常数项依次是（） A.$3\(1，0\)-4\(1，0\)-5$ B.$3\(1，0\)4\(1，0\)-5$ C.$3\(1，0\)-5\(1，0\)4$ D.$-3\(1，0\)-4\(1，0\)5$ 3. 关于$x$的方程$(m-2)x^2+3x-1=0$是一元二次方程\(1，0\)则（） A.$\(\(m=\)2\)$ B.$m≠2$ C.$\(m>2\)$ D.$\(m<2\)$ 4. 若$\(x=2\)$是方程$x^2-ax+2=0$的一个根\(1，0\)则$a$的值是（） A.$3$ B.$-3$ C.$1$ D.$-1$ 5. 下列关于$x$的方程\(1，0\)一定是一元二次方程的是（） A.$ax^2+bx+c=0$ B.$x^2+2x=x^2-1$ C.$(x+1)^2=5$ D.$x^2+\sqrt{x}=0$ ## 二\(b\(x、y\)c\)填空题（每题4分\(1，0\)共20分） 1. 一元二次方程的一般形式是________（$a≠0$）。 2. 方程$x^2-6x=0$的二次项系数是____\(1，0\)常数项是____。 3. 若$(k+3)x^2-2x+1=0$是一元二次方程\(1，0\)则$k$的取值范围为________。 4. 已知$\(x=1\)$是方程$x^2+mx-3=0$的根\(1，0\)则$\(m=\)$________。 5. 把方程$(x-2)^2=3$化成一般形式为________________。 ## 三\(b\(x、y\)c\)解答题（共60分） 1.（18分）判断下面哪些是一元二次方程\(1，0\)说明理由。 (1)$2x^2=9$；(2)$5x^2-6y=0$；(3)$\dfrac1{x^2}-2x=0$ 2.（20分）把下列方程化成一元二次方程的一般形式\(1，0\)并写出二次项系数\(b\(x、y\)c\)一次项系数\(b\(x、y\)c\)常数项。 （1）$4x^2=1-5x$ （2）$(x+3)(x-2)=6$ 3.（22分）已知$\(x=3\)$是一元二次方程$x^2-2x+k=0$的一个根。 （1）求$k$的值；（2）判断$x=-1$是不是这个方程的根。 ## 参考答案与解析 ### 选择题 1.B 解析：A二元；C分母含未知数\(1，0\)不是整式方程；D最高次数3次。 2.A 解析：整理$3x^2-4x-5=0$\(1，0\)二次项系数3\(1，0\)一次项系数$-4$\(1，0\)常数项$-5$。 3.B 解析：一元二次方程二次项系数不能为0\(1，0\)$m-2≠0$\(1，0\)$m≠2$。 4.A 解析：代入$\(x=2\)$\(1，0\)$4-2a+2=0$\(1，0\)解得$\(a=3\)$。 5.C 解析：A缺少$a≠0$；B化简后二次项抵消\(1，0\)是一次方程；D含根号下未知数\(1，0\)不是整式方程。 ### 填空题 1.$ax^2+bx+c=0$ 2.$1\(1，0\)0$ 3.$k≠-3$ 4.$2$ 5.$x^2-4x+1=0$ ### 解答题 1.解： （1）$2x^2=9$是一元二次方程\(1，0\)只含一个未知数\(1，0\)未知数最高次数2\(1，0\)整式方程。 （2）$5x^2-6y=0$不是\(1，0\)含有$x\(b\(x、y\)c\)y$两个未知数。 （3）$\dfrac1{x^2}-2x=0$不是\(1，0\)分母含有未知数\(1，0\)不是整式方程。 2.解： （1）移项得：$\boldsymbol{4x^2+5x-1=0}$ 二次项系数：$4$\(1，0\)一次项系数：$5$\(1，0\)常数项：$-1$。 （2）展开：$x^2+x-6=6$\(1，0\)整理得$\boldsymbol{x^2+x-12=0}$ 二次项系数：$1$\(1，0\)一次项系数：$1$\(1，0\)常数项：$-12$。 3.解： （1）将$\(x=3\)$代入方程： $3^2-2\times3+k=0$\(1，0\)$9-6+k=0$\(1，0\)解得$k=-3$。 方程为$x^2-2x-3=0$。 （2）把$x=-1$代入左边：$(-1)^2-2\times(-1)-3=1+2-3=0$\(1，0\)左边=右边。 ∴$x=-1$是方程的根。 ## 易错点总结 1. 判断一元二次方程\(1，0\)**先化为整式\(1，0\)再看化简后最高次数\(1，0\)二次项系数不为0**。 2. 写一般形式\(1，0\)移项时注意变号；系数包含前面的正负号。 3. 检验根：把数值代入方程左右两边\(1，0\)相等即为根。 下一节：**2.1.2一元二次方程的近似解**\(1，0\)继续写吗？ 北师大版（新教材）数学九年级上册 2.2.1用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/5 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二章 一元二次方程 素养目标 1.理解平方根的意义，能根据平方根的意义解形如(x+m)2＝n (n≥0)的方程;（重点） 2.理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.（难点） 素养目标 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的 .正数a的平方根记作 .读作“正、负根号a”. 平方根 1.平方根的定义是什么？ （a≥0） （a≥0） 开平方 2.开平方 3.填一填下列完全平方公式. (1) a2+2ab+b2=( )2； (2) a2-2ab+b2=( )2. a+b a-b 情境导入 02 新知导入 复习导入 如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8m。如果梯子顶端下滑1m，梯子底端滑动 x m。 x²+12x-15=0。 10 m 8 m 1 m x m 思考：通过估算可以求出x的近似值，你能设法求出它的精确值吗? 03 新知探究 探究 你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？ x2 = 5 2x2 + 3 = 5 解：开平方，得 解：2x2 + 3 = 5 移项，得 2x2 = 2 x2 = 1 x1 = 1 x2 = -1 03 新知探究 x2 + 2x + 1 = 5 (x+6)2 + 72 = 102 你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？ 解： x2 + 2x + 1 = 5 ( x + 1)2 = 5 x+1= x1= x2= 解： (x+6)2 + 72 = 102 x + 6 = x1= x2= 03 新知讲解 定义 利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程解的方法叫作直接开平方法。 直接开平方法利用的是平方根的意义，所以要注意两点： ①不要只取正的平方根而遗漏负的平方根； ②只有非负数才有平方根，所以直接开平方法的前提是x2=p中 p ≥ 0。 03 新知讲解 下列完全平方公式你还记得吗？试着填一填。 (1) a2 + 2ab + b2 = ( )2； (2) a2 - 2ab + b2 = ( )2. a + b a - b 【探究交流】 【思考·交流】(3) 你能解方程 x2 + 12x - 15 = 0 吗？你遇到的困难是什么？你能设法将这个方程转化成上面方程的形式吗？与同伴进行交流。 03 新知讲解 x2 + 12x -15 = 0 移项，得 x2 + 12x = 15 两边都加 62，得 x2 + 12x +62 = 15+62 即 ( x + 6 )2 = 51 03 新知讲解 解一元二次方程的基本思路是什么？ x2 + 12x -15 = 0 ( x + 6 )2 = 51 解一元二次方程的思路是将方程转化为 (x+m)2 = n 的形式。 一元二次方程 (代数式)2=常数 一元一次方程 转化 开平方 降次 03 新知讲解 填上适当的数，使下列等式成立： x²+12x+ =(x+6)²； x²-4x+ =(x- )² ； x²+8x+ =(x+ )²。 观察三个等式的左右两边，你觉得常数项和一次项系数有什么关系呢? 36 4 16 2 4 常数项是一次项系数一半的平方。 知识点1 直接开平方法 1.方程 的解是( ) C A. B. C.， D.， 返回 举一反三 12 2.一元二次方程 可转化为两个一元一次方程，其中一个一 元一次方程是 ，则另一个一元一次方程是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 13 3.如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 14 03 新知讲解 配方的方法： 二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方。 x2+ax+( )2=(x+ )2 新课探究 例1 解方程：x²+8x-9=0 解：可以把常数项移到方程的右边，得x²+8x=9。 两边都加一次项系数8的一半的平方，得 x²+8x+()²=9+()²， 即 (x+4)²=25。 两边开平方，得 x+4=±5， 即 x+4=5，或x+4=-5。 所以 x1=1，x2=-9。 03 新知讲解 我们通过配成完全平方式的方法，得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。 思考：用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ 提炼概念 4. 解方程： 。 解：直接开平方，得____________。 即__________，或____________。 解得___, ____。 6 返回 举一反三 18 5.用直接开平方法解下列方程： （1） ； 解：移项，得 ， 系数化为1，得 , 直接开平方，得， 。 （2） ; 解：开平方，得 。 解得, 。 举一反三 19 （3） 。 解：移项，得 。 整理，得 。 开平方，得 。 解得, 。 返回 举一反三 20 知识点2 配方 6.［教材P37“操作·思考”变式］ 填空： （1）___ ； （2）_______ ； （3）__ ； （4）____ 。 4 36 6 返回 举一反三 21 知识点3 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 7.用配方法解方程 ，配方后所得的方程是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 22 8.用配方法解一元二次方程 时，将它转化为 的形式，则 的值为( ) C A. B.2 027 C. D.1 返回 举一反三 23 9.[教材P38“随堂练习”第1题变式] 用配方法解下列方程： （1）[徐州中考] ； 解：移项，得 ， 配方，得，即 ， 开平方，得 ， 解得 ， 即， 。 举一反三 24 （2） ； 解：移项，得 。 配方，得 ， 即 。 开平方，得 。 所以， 。 举一反三 25 （3） 。 解：移项、合并同类项，得 。 配方，得 ， 即 。 开平方，得 。 所以， 。 返回 举一反三 26 一元二次方程的解法-第1课时 一般的，对于方程 x2 = a, (1)当a>0 时,方程有两个不等的实数根x1=,x2=; (2)当a=0 时,方程有两个相等的实数根x1=x2=0； (3)当a<0 时,方程无实数根. 直接开平方法解一元二次方程 通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法. 理论依据:平方根的意义. 适用范围：能转化为x2=a或（mx＋n）2= a(a≥0)的形式的方程. 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 步骤：移项、配方、开方、求解. 关键：在形如的两边同时加一次项系数一半的平方，即. 课堂小结 谢谢观看 THANKS 二一教育 $