精品解析：天津市咸水沽第一中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

2025~2026学年第一学期第一次月考试卷 高二数学 一、选择题（共9题，每题5分，满分45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 过点与点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先通过过两点的直线的斜率公式求得直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系可求解． 【详解】由斜率公式可知过点与点的直线的斜率为 ． 设直线的倾斜角为，则． 又，所以． 故选：D． 2. 已知直线的方向向量为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求得直线的斜率，再利用斜截式方程求解，化为一般式方程即可. 【详解】由直线的方向向量为得直线的斜率为， 又在轴上的截距为，所以直线的方程为，即. 故选：C 3. 已知圆：，圆：，则两圆公切线的条数为（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据两圆的圆心距与半径之间的关系判断两圆的位置关系，进而可知公切线的条数． 【详解】由圆：，可知其圆心为，半径为； 由圆：，即，可知其圆心为，半径为． 所以两圆的圆心距为， 所以，所以两圆外切，所以公切线的条数为3． 故选：C． 4. 设，已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行求得，然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】当时，，解得或， 当时，两直线分别为，符合题意， 当时，两直线分别为，重合不符合题意， 所以, 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 5. 已知直线：与直线：的交点为，则以点为圆心，且过点的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求交点坐标，再由圆过点，可得，再写出圆的方程即可． 【详解】联立，解得，即， 以点为圆心，且过点， ， 则圆的方程为， 故选：D． 6. 已知圆的方程是，则圆中过点的最短弦所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心，当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短，两垂直直线的斜率乘积等于可求直线方程. 【详解】，圆心为， 圆心与连线所在直线斜率为：， 因为， 所以点在圆内， 所以当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短. 所以，最短弦所在的直线斜率满足，所以 由点斜式方程得，最短弦所在的直线为， 整理得. 故选：B 7. 一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】求出点关于轴的对称点，再求出过且与已知圆相切的直线的斜率即为反射光线所在直线的斜率. 【详解】点关于轴的对称点的坐标为， 圆的圆心为，半径为. 设过且与已知圆相切的直线的斜率为， 则切线方程为即， 所以圆心到切线的距离为， 解得或， 故选：B. 8. 已知两点，，直线：与延长线段得到的以B为端点的射线（不含点）相交，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线所过的定点，再计算该定点与点所在直线的斜率，根据题意得到直线斜率的取值范围，进而得到实数的取值范围. 【详解】直线：的斜率为， 直线可变形为，所以直线恒过定点， 直线的斜率为， 线段所在直线的斜率为， 由直线与线段的延长线相交（不含点）可得：， 即，所以. 故选：A 9. 若圆：与圆：相交于，两点，且两圆在点处的切线互相垂直，点是直线：上的动点，过点作圆的切线，切点为，，那么的最小值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据直线与圆相切的性质判定，得出参数的值，再根据切线长性质及三角形面积公式判定即四边形的面积2倍，将问题化为切线长最短，再根据勾股定理化为点到直线距离即可. 【详解】 易知两圆的圆心分别为，半径分别为， 如图所示，不妨设A在第一象限，由两圆在点处的切线互相垂直可知， 即，所以，， 由切线长性质可知， 又，所以全等，即平分， 所以，故为四边形的面积， 即， 易知M到直线的距离为， 所以. 故选：D 二、填空题（共6题，每题5分，满分30分.） 10. 两条平行直线与之间的距离为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先将两条平行直线方程化为对应系数相同的直线方程，再根据平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】将直线两边同时除以2可得：， 代入平行直线间的距离公式可得：. 故答案为：. 11. 已知点，点在直线上，若直线垂直于直线，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直关系求出直线的斜率，然后写出其方程，联立求解即可. 【详解】因为直线的斜率为，且与直线垂直，所以直线的斜率， 又，所以直线的方程为， 联立解得，即点的坐标为. 故答案为： 12. 已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为______：公共弦长为_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，再由弦长公式计算可得公共弦长为. 【详解】易知两圆相交，将两圆方程相减可得，即； 所以两圆公共弦所在直线的方程为； 易知圆的圆心为，半径为； 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故答案为：； 13. 若直线过点，且到点和点的距离相等，则直线的方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】解法1：设出直线方程，利用两点到直线的距离相等，列出方程并求解，需要根据斜率是否存在进行讨论；解法2：由题意数形结合，可推得直线或直线经过线段的中点，分别求解即可． 【详解】解法1：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即． 由题意知，解得．故直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或． 解法2：如图，当时，，的方程为，即． 当直线经过线段的中点时，又直线过点，故其方程为. 综上所述，直线的方程为或． 故答案为：或. 14. 直线：是圆：的一条对称轴，过点作斜率为1的直线，则直线被圆所截得的弦长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线过圆心求出，然后可得直线的方程，再利用点到直线的距离公式和弦长公式可得. 【详解】圆的圆心为，半径， 由题意可知，直线经过圆心，所以，解得，所以， 又直线的斜率为1，所以直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以，直线被圆所截得的弦长为. 故答案为： 15. 若曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】表示位于轴上方的单位圆，包含，直线过定点，求出直线与圆相切时的值，数形结合得到答案 【详解】两边平方得， 表示位于轴上方的单位圆，包含， 直线过定点，同一坐标系内画出图形如下： 当过点时，，解得， 当与相切时， 圆心到的距离为，解得， 由对称性可知，当曲线与直线有两个不同的交点时， 实数的取值范围是. 故答案为： 三、解答题（共5题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. 已知的顶点、、． （1）求边的中线所在直线方程； （2）求的面积. 【答案】（1） （2）13 【解析】 【分析】（1）先求得线段AB的中点坐标为，再由点求解； （2）先求得直线AB的方程，再求得点C到直线AB的距离及，再利用面积公式求解. 【小问1详解】 由点、，得线段AB的中点坐标为，又， 则，所以边的中线所在直线方程为， 即； 【小问2详解】 由已知的顶点、、， 得， 所以直线AB的方程为：，即； 点C到直线AB的距离为：， ， 所以. 17. 已知直线过点． （1）若直线与两坐标轴截距之和为0，求直线的方程； （2）直线与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线的方程. 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）利用截距的概念与直线的截距式计算即可； （2）利用直线的截距式方程计算即可. 【小问1详解】 若直线与两坐标轴的截距都是0，则该直线为，即可； 若直线与两坐标轴的截距不为0，不妨设在横轴上的截距为， 则其在纵轴上的截距为， 由截距式知，代入得， 所以，整理得； 综上得直线的方程为或. 【小问2详解】 由题意可设在横轴与纵轴上的截距分别为， 则由截距式可知，代入得， 又，联立方程得，解之得， 即直线的方程为，整理得. 18. 已知圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）求过且与圆相切的直线方程； （3）设是圆上的动点，求点到直线的最短距离. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）假设圆心，利用可构造方程求得圆心坐标和半径，由圆心和半径可得圆的方程； （2）当直线斜率不存在时，易知其与圆相切；当直线斜率存在时，假设直线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得斜率，进而得到切线方程； （3）利用点到直线距离公式可求得圆心到直线的距离，根据最短距离为可求得结果. 【小问1详解】 设圆心， 由得：，解得：， 圆心，半径， 圆的方程为：. 【小问2详解】 当过的直线斜率不存在时，即直线为时，与圆为相切关系，符合题意； 当过的直线斜率存在时，设与圆相切的直线为，即， 圆心到直线的距离，解得：， 该切线为，即； 综上所述：过且与圆相切的直线方程为：或. 【小问3详解】 圆心到直线的距离， 点到直线的最短距离为. 19. 如图，平面，，，为的中点，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 取的中点，连接、， 、分别为、的中点，则且， 且，且， 所以，四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）建系，取得直线方向向量和平面法向量，代入夹角公式即可求解； （3）求得平面法向量，代入夹角公式即可求求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则、、、、， 则，， 设平面的法向量为， 则， 令可得， 则， 设直线与平面所成角为， 则 【小问3详解】 ， 设平面的法向量为， 则， 设，则， 即， 又平面的法向量为， 设平面与平面夹角为， 则 20. 已知的三个顶点，，，其外接圆为圆． （1）求圆的方程； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程； （3）对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围． 【答案】（1）; （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用垂直平分线交点来求出圆心坐标，再求出半径，即可求出圆的方程； （2）对直线的斜率是否存在分别讨论，设出直线方程，再由垂径定理把弦长问题转化为圆心到直线距离问题求解即可； （3）设，，表示中点，将点代入圆，若存在，则方程组有解，利用数形结合，把方程有解问题转化为两圆有公共点问题，再根据两圆位置满足的关系式，利用恒成立思想可求得圆的半径的取值范围，再由点P在圆外，综合可得的范围. 【小问1详解】 由题意，，，，的垂直平分线是， 又，的中点是，的垂直平分线斜率为， 即的垂直平分线方程是， 所以由，解得，所以圆心是，， 即圆的方程是； 【小问2详解】 过点作直线的垂线，垂足为，由圆截得的弦长为6，可得， 再由圆的半径，可得， 所以当斜率存在时，可设过点的直线方程为， 再由点到直线的距离公式可得：， 则直线方程为， 当斜率不存在时，此时过点的直线方程为， 再由点到直线的距离公式可得：，满足题意， 综上可得，直线的方程为或； 【小问3详解】 因为，， 所以直线的方程为，即， 设，因为点在线段上， 所以且，所以. 设，因为为的中点， 所以. 设圆：， 由，在圆上得， 整理得. 若，存在，则方程组有解， 即圆心为，半径为的圆与圆心为，半径为的圆有公共点. 根据两圆位置关系可知， 即在时恒成立， 所以， 整理得在时恒成立， 所以. 设，， 所以， 所以，即，解得 若为的中点，则点在圆外， 所以， 即在上恒成立， 所以， 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期第一次月考试卷 高二数学 一、选择题（共9题，每题5分，满分45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 过点与点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的方向向量为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆：，圆：，则两圆公切线的条数为（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 4. 设，已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知直线：与直线：的交点为，则以点为圆心，且过点的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆的方程是，则圆中过点的最短弦所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 7. 一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 已知两点，，直线：与延长线段得到的以B为端点的射线（不含点）相交，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 若圆：与圆：相交于，两点，且两圆在点处的切线互相垂直，点是直线：上的动点，过点作圆的切线，切点为，，那么的最小值是（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（共6题，每题5分，满分30分.） 10. 两条平行直线与之间的距离为________． 11. 已知点，点在直线上，若直线垂直于直线，则点的坐标为________． 12. 已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为______：公共弦长为_____. 13. 若直线过点，且到点和点的距离相等，则直线的方程为______． 14. 直线：是圆：的一条对称轴，过点作斜率为1的直线，则直线被圆所截得的弦长为________． 15. 若曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是________． 三、解答题（共5题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. 已知的顶点、、． （1）求边的中线所在直线方程； （2）求的面积. 17. 已知直线过点． （1）若直线与两坐标轴截距之和为0，求直线的方程； （2）直线与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线的方程. 18. 已知圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）求过且与圆相切的直线方程； （3）设是圆上的动点，求点到直线的最短距离. 19. 如图，平面，，，为的中点，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 20. 已知的三个顶点，，，其外接圆为圆． （1）求圆的方程； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程； （3）对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $