1.2.2 菱形的判定（课件）--2026-2027学年北师大版数学九年级上册

# 北师大版九年级上册 1.2.2 菱形的判定 专项练习 ## 知识点梳理 菱形的判定有三种常用方法，做题要分清前提条件： 1. **定义法**：一组邻边相等的**平行四边形**是菱形。 2. **判定定理1**：对角线互相垂直的**平行四边形**是菱形。 3. **判定定理2**：四条边都相等的**四边形**是菱形。 > 易错提醒： > - “对角线互相垂直的四边形是菱形”这句话是错的！缺少前提：必须是平行四边形。 > - “有一组邻边相等的四边形是菱形”也是错的，前提必须是平行四边形。 ## 一\(AC、BD\)选择题（每题4分，共20分） 1. 下列条件中，能判定一个四边形是菱形的是（） A. 对角线相等的四边形 B. 对角线互相垂直的四边形 C. 对角线互相垂直平分的四边形 D. 有一个角是直角的平行四边形 2. 已知平行四边形$ABCD$，添加下面哪个条件，可以判定它是菱形（） A. $\(AC=BD\)$ B. $\(AB=BC\)$ C. $\angle ABC=90^\circ$ D. $AB\parallel CD$ 3. 四边形$ABCD$的四条边长依次为$\(AB=3\)$，$\(BC=3\)$，$\(CD=3\)$，$\(DA=3\)$，则四边形$ABCD$是（） A. 矩形 B. 菱形 C. 平行四边形 D. 正方形 4. 下列命题是假命题的是（） A. 四条边相等的四边形是菱形 B. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 5. 平行四边形$ABCD$对角线交于点$O$，下列条件不能判定为菱形的是（） A. $\(AB=AD\)$ B. $AC\perp BD$ C. $\(AC=BD\)$ D. $BO\perp AO$ ## 二\(AC、BD\)填空题（每题4分，共20分） 1. 一组邻边相等的________是菱形。 2. 对角线互相垂直的________是菱形。 3. 四条边都________的四边形是菱形。 4. 在平行四边形$ABCD$中，若对角线$AC\perp BD$，则四边形$ABCD$是________。 5. 四边形$ABCD$中，$\(AB=BC\)=CD=DA$，则四边形$ABCD$是________。 ## 三\(AC、BD\)解答题（共60分） 1.（18分）如图，在平行四边形$ABCD$中，$\(AB=AD\)$。求证：平行四边形$ABCD$是菱形。 2.（20分）已知：平行四边形$ABCD$，对角线$AC\(AC、BD\)BD$交于点$O$，$AC\perp BD$。求证：四边形$ABCD$是菱形。 3.（22分）如图，四边形$ABCD$中，$\(AB=BC\)=CD=DA$。求证：四边形$ABCD$是菱形。 ## 参考答案与解析 ### 选择题 1. C 解析：对角线互相垂直平分，说明首先是平行四边形，再加对角线垂直，满足菱形判定。A是矩形特征；B缺少平分；D是矩形。 2. B 解析：平行四边形加上一组邻边相等，用定义判定菱形。A\(AC、BD\)C是矩形条件，D本来就是平行四边形性质。 3. B 解析：四条边全部相等的四边形直接判定为菱形。 4. D 解析：对角线相等且垂直，不能保证是平行四边形，不一定是菱形。 5. C 解析：$\(AC=BD\)$是矩形的判定条件，不能判定菱形。 ### 填空题 1. 平行四边形 2. 平行四边形 3. 相等 4. 菱形 5. 菱形 ### 解答题 1. 证明： ∵四边形$ABCD$是平行四边形， 又∵$\(AB=AD\)$（一组邻边相等）， ∴平行四边形$ABCD$是菱形（菱形定义）。 2. 证明： ∵四边形$ABCD$是平行四边形， ∴$\(OA=OC\)$。 ∵$AC\perp BD$， ∴$BD$是线段$AC$的垂直平分线， ∴$\(AB=BC\)$。 ∵平行四边形$ABCD$有一组邻边相等， ∴四边形$ABCD$是菱形。 3. 证明： ∵$\(AB=CD\)$，$\(BC=DA\)$， ∴四边形$ABCD$是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。 又∵$\(AB=BC\)$，即一组邻边相等， ∴平行四边形$ABCD$是菱形。 ## 易错小结 判定菱形分两条路线： 路线①：先证是**平行四边形**，再证邻边相等 / 对角线垂直； 路线②：直接证**四条边全部相等**（不需要先证平行四边形）。 做题一定要看清题干给的是“四边形”还是“平行四边形”，这是考试最容易丢分的地方。 需要我给你单独生成**无答案空白卷**，或者把全文调整到指定字数吗？ 北师大版（新教材）数学九年级上册 1.2.2菱形的判定 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/5 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第一章 特殊平行四边形 素养目标 1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理;（重点） 2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算. （难点） 素养目标 02 新知导入 根据菱形的定义可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 菱形的判定： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形。 除此之外，你认为还有什么条件可以判定一个四边形是菱形? A D C B 03 新知探究 问题1 由菱形的性质定理可知，如果一个四边形是菱形，那么它的四条边相等。反过来，四条边相等的四边形一定是菱形?为什么？ 一定是，因为四边相等意味着两组对边分别相等、邻边相等， 可先判定该四边形为平行四边形，然后根据菱形的定义判定该四边形为菱形。 你能证明一下吗？ 03 新知探究 已知:如图，在四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA。 求证:四边形ABCD是菱形。 A D C B 证明：∵AB=BC=CD=AD， ∴AB = CD，AD = BC， ∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)。 ∵ AB=BC， ∴平行四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)。 03 新知探究 菱形的对角线互相垂直。 逆命题:对角线互相垂直的平行四边形为菱形。 这个逆命题成立。 问题2 菱形的对角线具有怎样的性质?写出它的逆命题，这个逆命题成立吗? 你能说明其中的道理吗？ 03 新知讲解 因为对角线互相垂直，且平行四边形的对角线互相平分， 可得对角线互相垂直平分， 进而得到一组邻边相等， 根据菱形的定义可判定该平行四边形为菱形。 问题2 菱形的对角线具有怎样的性质?写出它的逆命题，这个逆命题成立吗? 03 新知讲解 已知:如图，在□ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD。 求证:□ABCD是菱形。 证明:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC。 又∵AC⊥BD， ∴直线BD是线段AC的垂直平分线， ∴BA＝BC， ∴□ABCD是菱形(菱形的定义)。 03 新知讲解 提炼概念 定理：四边相等的四边形是菱形。 定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 03 新知讲解 问题1 (1)如图，已知线段a，请用尺规作菱形ABCD，使它的对角线AC=a。 (1) 如图，作线段AC=a，分别以 A，C为圆心，以大于 AC 的长为半径作弧，两弧分别相交于点B，D，依次连接AB，BC，CD，DA。 四边形 ABCD即为所求作的菱形。 B D a A C 03 新知讲解 问题1 (2)满足(1)中条件的菱形唯一吗?如果不唯一，那么你认为添加怎样的条件，就可以使作出的菱形是唯一的? (2)不唯一， 给出菱形的边长且菱形的边长大于对角线AC的长度的一半即可作出唯一的菱形。 B D A C a 新课探究 例1 已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝，OA＝2，OB＝1。 求证：▱ABCD是菱形。 【方法指导】利用菱形的性质与判定及勾股定理的逆定理，关键是先根据勾股定理的逆定理得出△AOB为直角三角形。 03 新知讲解 证明：在△AOB中，∵AB＝，OA＝2，OB＝1，∴AB2＝OA2＋OB2。 ∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角。 ∴AC⊥BD。 ∴▱ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形 是菱形)。 知识点1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 1.[西安模拟] 下列条件中，能判定 为菱形的是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 14 2.如图，在中，， ，将线段 水平向右平移个单位长度得到线段 ，若四 边形为菱形，则 的值为( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 返回 举一反三 15 3.如图，在中，，求证： 是菱形。 证明：在中， ， ， 又， ， , 是菱形。 返回 举一反三 16 知识点2 四边相等的四边形是菱形 4.如图，是等腰三角形，把它沿底边 所在直线翻折后，得到 ,则四边形 为____形，理由是________________________。 菱 四边相等的四边形是菱形 返回 举一反三 17 5.如图，在中，,,,分别是, , 边的中点，求证：四边形 是菱形。 证明：，，分别是,, 的中点， ，,, 。 , 。 四边形 是菱形。 返回 举一反三 18 知识点3 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 （第6题） 6.[湖南中考] 如图，在四边形 中，对角线 与互相垂直平分， ，则四边形 的周长为( ) C A.6 B.9 C.12 D.18 返回 举一反三 19 7. 如图，在四边形中，，于点 。 请添加一个条件：_______________________，使四边形 成为菱形。 （答案不唯一） （第7题） 返回 举一反三 20 8.如图，已知四边形 是平行四边形，其对角 线相交于点，,, 。 （1） 是直角三角形吗？请说明理由。 解： 是直角三角形，理由如下： 四边形 是平行四边形， 。 ， 是直角三角形。 举一反三 21 （2）求证：四边形 是菱形。 解：证明：由（1）知是直角三角形， ，即 ， 又 四边形 是平行四边形， 四边形 是菱形。 返回 举一反三 22 9.在校园艺术节中，同学们准备制作4个边长为 的菱形画框。完 成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中 不能判定画框为菱形的测量方式是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 23 菱形的性质与判定第2课时 菱形的判定 方法:定义法 有一组邻边相等的平行四边形叫菱形. 判定定理1：四边相等的四边形是菱形. 菱形的判定定理 判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 菱形的其他判定方法 对角线互相垂直平分的四边形是菱形. 课堂小结 谢谢观看 THANKS $