第03讲 三角函数的图象与性质（复习讲义）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦三角函数图象与性质核心考点，系统梳理正弦、余弦、正切函数图象性质及伸缩偏移变换，通过知识解构、题型归纳构建知识网络。教学流程涵盖考情分析、方法指导、真题训练，帮助学生突破单调区间、最值等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料采用“知识-题型-素养”三维教学法，如用整体换元法破解单调区间问题，培养逻辑推理能力；结合五点法由图象确定解析式，提升直观想象素养。分层练习设计基础与创新演练，配合真题溯源与方法技巧总结，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、学生提升应考能力提供有力支持。

第03讲 三角函数的图象与性质 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 正弦函数、余弦函数的图象、性质对比 知识点2 正切函数的图象与性质 知识点3 三角函数的伸缩偏移变换及三角函数型的图象与性质 题型破译 (含超链接） 题型1 求单调区间【含方法技巧】 题型2 已知单调区间求参数【含方法技巧】 题型3 求周期及参数值【含方法技巧】 题型4 求最值【含方法技巧】 题型5 性质综合【含方法技巧】 题型6 由图象确定解析式【含方法技巧】 题型7 求参数的值或最值【含方法技巧】 题型8 三角函数的伸缩偏移变换【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 三角函数的图象与性质 T16（13分） T8（4分） T6（4分） 三角函数的伸缩偏移变换 T8（4分） — — 考情分析 三角函数的图象与性质是高考的核心内容之一，北京卷近年考查频率高，分值约13~17分，题型覆盖选择、填空、解答，难度中等。图象变换（平移、伸缩）为选择题常考内容，侧重对变换规律的理解与图象特征的判断；图象与性质（周期、单调性、对称性、最值）贯穿选择与解答题，解答题第16题通常将恒等变换、图象性质与解三角形综合考查，体现三角函数作为工具的应用价值。复习时需将“图象”与“性质”紧密结合，以图象辅助性质理解，以性质指导图象分析。 复习目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的图象形状与关键特征（零点、最值点、对称轴、对称中心）。 2.理解三角函数图象的平移变换（左加右减）、伸缩变换（横纵坐标变化），能根据变换前后关系求解析式或参数。 3.掌握正弦型函数 的图象与性质，能由图象确定 或由解析式描述其性质。 4.能利用三角函数的周期性、单调性、对称性解决参数范围、方程解及最值等综合问题。 5.体会数形结合思想在三角函数学习中的核心地位，提升直观想象与逻辑推理素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 正弦函数、余弦函数的图象、性质对比 函数 图象 定义域 _____________ _____________ 值域 _____________ _____________ 奇偶性 _____________ _____________ 周期性 最小正周期：_____________ 最小正周期：_____________ 最值 当_____________时，；当_____________时， 当_____________时，；当_____________时， 单调性 在_________________________上单调递增；在_____________上单调递减 在_______________________上单调递增；在_________________上单调递减 零点 ， ， 对称轴 ， ， 对称中心 自主检测1函数是（     ） A．周期为的奇函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的偶函数 自主检测2下列区间是函数的一个单调递增区间的是（   ） A． B． C． D． 自主检测3已知函数，则下列正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在单调递减 C．在上单调递增 D．的最大值为 知识点2 正切函数的图象与性质 解析式 图像 定义域 值域 最小正周期 _________ 奇偶性 ___函数 单调性 在每一个区间___________上都单调递增 对称性 对称中心___________ 自主检测1已知函数，则（   ） A．在定义域内是增函数 B．是奇函数 C．的最小正周期为 D．图象的一个对称中心是 自主检测2函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 知识点3 三角函数的伸缩偏移变换及三角函数型的图象与性质 函数 的图象变换 函数 的图象性质 函数 定义域 值域 ⑦_________ 最值 由，解得 由，解得 最小正周期 ⑧_________ 奇偶性 当⑨_________，且时，函数为奇函数； 当⑩_________时，函数为偶函数 单调性 当时，函数⑪_________ 当时，函数⑫_________ 对称性 由解得对称轴；由 解得对称中心横坐标，对称中心纵坐标为⑬_________ 自主检测1将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象的解析式为（    ） A． B． C． D． 自主检测2要得到函数的图象，只需将的图象（   ） A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 题●型●破●译 题型1 求单调区间 例1-1（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数． (1)若，求及的单调递增区间； (2)已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期． 条件①：；条件②：是的一个极值点；条件③：是的一个零点． 注：如果选择的条件不符合题目要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 例1-2（2026·北京·三模）已知函数（）． (1)若，求及的单调递增区间； (2)已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期. 条件①：； 条件②：点在的图象上； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 方法技巧 1.化为标准形式：先将函数化为 或 的形式（，）。若 ，先利用诱导公式提取负号，化为 的标准形式。 2.整体换元法：令 ，先求出 或 的单调区间： 对于 ：增区间为 ，减区间为 （）； 对于 ：增区间为 ，减区间为 （）。 然后将 代回，解关于 的不等式，得到原函数的单调区间。 3.正切函数的单调性： 的单调递增区间为 （），无递减区间。对于 ，同样用整体换元法，令 ，解 。 4.复合函数的单调性：若 ，则单调性与 （或 ）相反，即“ 的符号翻转单调性”。若 ，则整体换元后关于 的不等式方向会发生反转，需格外小心。 5.写单调区间时的规范：单调区间应写成区间形式，且在端点处是否取闭区间，需结合函数定义域和实际意义判断。正弦、余弦函数在连续的单调区间端点处可以取闭区间。 【变式训练1-1】（2026·北京海淀·一模）已知函数两个相邻零点的距离为，且. (1)求、的值； (2)设，求的单调递增区间. 【变式训练1-2】（2026·北京石景山·一模）已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)在中，，若的平分线交于，求的长. 【变式训练1-3】（2026·北京房山·二模）已知函数． (1)若，求的值； (2)从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，使得函数存在，求的单调递增区间． 条件①：函数的最大值为； 条件②：函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为； 条件③：函数满足． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 题型2 已知单调区间求参数 例2-1已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2-2若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 1.子集关系法：若已知函数 （或 ）在区间 上单调递增（或递减），则区间 必为函数某个单调区间的子集。利用整体换元法，将 映射到 轴上，得到 的取值范围，再将该范围包含于 的相应单调区间内，建立不等式组求参数。 2.周期约束法：若函数在给定区间上单调，则区间长度不能超过半个周期，即 （正弦、余弦函数）。正切函数的周期为 ，单调区间长度为半个周期 。 3.分类讨论 的正负：当 作为参数且符号不确定时，需分 和 两类讨论。通常先将 化为正数再处理（利用诱导公式或整体换元后调整不等式方向）。 4.端点值验证：求出参数范围后，需检验区间端点处函数是否确实单调（注意端点处是否可取等号），避免因 在区间内部出现而导致单调性中断。 【变式训练2-1】若函数在是单调递减，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】（2026·北京顺义·一模）设函数，则图象的一条对称轴方程为________；若在上单调递增，则的最大值为________. 【变式训练2-3】（2026·北京·三模）已知函数．若在区间上既不是增函数也不是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型3 求周期及参数值 例3-1（2026·北京延庆·一模）下列函数中，是奇函数且最小正周期为的是（    ）． A． B． C． D． 例3-2（2026·北京西城·二模）已知函数，其中. (1)求函数的最小正周期； (2)从条件①、条件②、条件③中选择一个条件作为已知，使得函数存在且唯一确定，当时，求函数的最大值和最小值. 条件①：； 条件②：函数在上单调递减； 条件③：函数为偶函数. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 方法技巧 1.基本周期公式： 和 的周期 ； 的周期 ； 和 的周期 （加绝对值后周期减半）。 2.求参数 ：若已知函数的周期为 ，则 （正弦、余弦型）或 （正切型）。注意 是通常的默认条件，若题目未特别说明， 取正值。 3.周期与对称性的关系： 若函数有两条对称轴 和 ，则 ； 若函数有两个对称中心 和 ，则 ； 若函数有一条对称轴 和一个对称中心 ，则 。 利用这些关系，可由对称性间接求出周期或 。 4.三角函数的周期与解析式的关系：如果题中给出的解析式不是标准形式（如含绝对值、含 等），需先化简变形，化为标准形式或利用图象判断周期。 【变式训练3-1】（25-26高三上·北京朝阳·期末）函数的最小正周期是___________． 【变式训练3-2】（2026·北京西城·一模）已知函数，则是（   ） A．奇函数，且最小正周期为 B．奇函数，且最小正周期为 C．偶函数，且最小正周期为 D．偶函数，且最小正周期为 【变式训练3-3】（25-26高三上·北京丰台·期末）已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)求在区间上的值域. 题型4 求最值 例4-1（2026·北京大兴·三模）函数的最大值是_____________，取最大值时，____________． 例4-2（25-26高三上·北京顺义·期末）已知函数. (1)求的值； (2)设，，求的最大值. 例4-3（2026·北京石景山·二模）已知函数． 从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在． (1)求的值； (2)求在区间上的最大值和最小值． 条件①：函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为； 条件②：； 条件③：函数在区间上具有单调性，且. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 方法技巧 1.标准形式的最值：对于 （）： 最大值 ，当 时取得； 最小值 ，当 时取得。 余弦型同理。若 ，则最大值和最小值互换位置。 2.给定区间上的最值：若 限定在区间 内，则先求 的取值范围，再在 的取值范围内，利用单位圆或正弦曲线确定 （或 ）的最大值和最小值，最后代回原式。注意 的范围可能不包含使 的点，此时最值在区间端点处取得。 3.含绝对值的三角函数最值： 的最值可通过图象法求解，最大值为 （在 时取得），最小值为 （在 时取得）。更复杂的绝对值函数需分段讨论或画图。 4.复合型三角函数的最值：对于含 和 的式子，利用换元法 ，将原式转化为关于 的二次函数求最值。注意 的取值范围为 。 5.数形结合：对于较复杂的三角函数最值问题，画出函数在给定区间上的图象，直观判断最高点和最低点对应的 值及 值。 【变式训练4-1】（2026·北京海淀·三模）已知函数，则的最大值为______，将函数图象向右平移个单位得到函数，若对任意，都有成立，则常数的最小值为______． 【变式训练4-2】（2026·北京延庆·一模）已知函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在． (1)求的值； (2)设，求在区间上的最大值和最小值． 条件①：是偶函数； 条件②：的图象上所有点向右平移个单位长度，所得函数是奇函数； 条件③：在区间上单调递增． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【变式训练4-3】（25-26高三上·北京朝阳·期末）已知函数. (1)当时，求的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数唯一确定，求的解析式及在区间上的最大值与最小值. 条件①：在处取得最大值，且在处取得最小值； 条件②：的图象关于直线对称，且的最小正周期大于； 条件③：在区间上单调递增，且. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【变式训练4-4】（25-26高三上·北京昌平·期末）已知函数（）的最大值为2. (1)求m的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数存在且唯一，并求在上的最大值和最小值. 条件①：； 条件②：相邻两条对称轴之间的距离为； 条件③：的最小正周期，且. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 题型5 性质综合 例5-1（2026·北京丰台·模拟预测）已知函数，则下列结论不正确的是（　　） A．的周期为 B．的图象关于对称 C．的最大值为 D．在区间上单调递增 例5-2已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（    ） A． B．将函数图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于y轴对称 C．关于点对称 D．在区间上的最大值为 例5-3（25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数，是函数的对称轴，且在区间上单调. (1)从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得的解析式存在，并求出其解析式； 条件①：函数的图象经过点； 条件②：是的对称中心； 条件③：是的对称中心. (2)根据（1）中确定，若函数在上有唯一零点，求的取值范围. 方法技巧 1.研究函数性质的标准流程：遇到三角函数的综合问题，按以下顺序逐一分析—— 定义域：确保函数有意义（如分母不为 、偶次根号下非负等）； 值域（最值） ：将函数化为 后求解； 周期：由 或 求出； 对称性：令 得对称中心横坐标；令 得对称轴（正弦型）； 单调性：利用整体换元法求解； 奇偶性：将 与 比较，或利用图象对称性判断。 2.已知部分性质求解析式中的参数：利用上述性质建立方程（组），联立求解参数。注意各性质之间的相互约束关系。 3.多性质综合求值：若题目给出多个条件（如“最大值为 ，周期为 ，图象过点 ”等），逐一转化为方程，联立求解所有未知参数。 【变式训练5-1】已知函数，则下列结论正确的个数是（   ） ①的图象关于点对称； ②在区间内有2个极大值点； ③； ④将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于直线对称． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练5-2】已知函数的图象是由函数的图象向左移动个单位长度得到，则下列命题正确的是（     ） A． B．是的一条对称轴 C．在单调递增 D．是奇函数 【变式训练5-3】已知函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，且的最大值为，，则（    ） A． B．在区间上单调递增 C．在区间上只有一个极值点 D．在区间上的图象与直线所有交点的横坐标之和为 【变式训练5-4】（25-26高三下·北京·开学考试）设函数 ，且 ． (1)求的值； (2)若在区间 上有且只有一个零点，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的最大值． 条件①：恒成立； 条件②：恒成立； 条件③：为对称中心． 题型6 由图象确定解析式 例6-1函数的部分图象如图所示，则（   ） A．的单调递增区间是 B．函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象 C．图象的对称中心是 D．图象的一条对称轴方程是 例6-2（2025·北京海淀·一模）已知函数的部分图象如图所示.若四点在同一个圆上，则（    ） A．1 B． C． D． 方法技巧 1.确定 （振幅）：。若图象有上下平移，则 ，此时函数可写为 。 2.确定 （角频率）：由图读出周期 （图象上相邻两对称轴、两对称中心或两个最高点之间的距离即为周期或半周期），然后利用 （正弦、余弦型）或 （正切型）求解。若读取的是相邻两零点距离 ，则 （正弦、余弦型）；若读取的是相邻最高点到最低点水平距离 ，则 。 3.确定 （初相）：利用图象上的特殊点（通常选最高点、最低点或与 轴的交点），代入 或 中，建立方程求解 。优先选择离 轴最近的已知点，以避免多解。注意 的取值范围通常限制在 或 内。 4.五点法的逆向应用：已知图象的五个关键点（三个零点、一个最高点、一个最低点），可分别确定 、、、 的值。注意判断用正弦型还是余弦型更方便（通常看 处的函数值及附近趋势）。 5.验证：将求得的解析式代回图象中若干点验证，确保所有已知点均满足解析式。 【变式训练6-1】函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ① ②在区间上单调递减 ③在区间上有且仅有个零点 ④把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到一个奇函数的图象 其中所有正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为，图象在轴上的截距为．则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的最大值为 C．在区间上单调递增 D．为偶函数 【变式训练6-3】已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（   ） A． B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．将的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 【变式训练6-4】（2026·北京大兴·三模）已知函数（），如图所示，直线与曲线交于，两点，若，在区间上单调递减，则_____；的一个取值为_____． 题型7 求参数的值或最值 例7-1（2026·北京海淀·二模）若函数的值域为，则可以为（   ） A． B． C． D． 37．（2026·北京顺义·三模）已知函数，若两个不等的实数满足且，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 例7-2（2026·北京通州·一模）已知函数（），若存在，使得，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 例7-3（2026·北京门头沟·一模）设函数，若点为函数图象的一个对称中心，且在上的最大值为2，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．7 D．10 例7-4（25-26高三上·北京昌平·期末）设函数（）.若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 方法技巧 1.由图象上的点求参数：将已知点的坐标代入解析式，建立方程（组）求解参数。若方程含三角函数，需结合点所在的位置（上升段、下降段、最高点、最低点等）确定解的取舍。 2.由图象的几何特征求参数： 由图象上相邻两对称轴的距离（）或相邻两零点的距离（）求 ； 由图象的最高点纵坐标求 ，由最低点纵坐标求 ，联立求 和 ； 由图象过特定点（如 ）求 。 3.由图象的交点情况求参数范围：若两个三角函数图象在给定区间上有特定交点个数，先画出不含参函数的图象，再分析参数变化时另一函数图象的平移或伸缩，利用临界状态（相切、过端点等）确定参数范围。 4.最值的讨论：若参数影响振幅 、角频率 或初相 ，求参数的最值时，需将目标函数表示为参数的函数，结合参数的取值范围和三角函数的界性求解。 【变式训练7-1】（2026·北京丰台·二模）已知函数，，若的最大值为，则（    ） A．，有2个零点 B．，有3个零点 C．，有2个零点 D．，有3个零点 【变式训练7-2】（2025·北京平谷·一模）已知函数，若在区间上没有最值，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【变式训练7-3】（2026·北京·模拟预测）设函数，若恒成立，且在上存在零点，写出一个满足题意的的值为___________. 题型8 三角函数的伸缩偏移变换 例8-1（2026·北京昌平·一模）将函数图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移个单位，得到函数的图象．则下列说法正确的是（   ） A．是函数的图象的一条对称轴 B．是函数的图象的一个对称中心 C．在上是增函数 D．在上是减函数 例8-2（25-26高三上·北京顺义·期末）将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，记函数，若，则的最小值为________；若的最大值为，则的一个取值为____________． 例8-3（2026·北京丰台·三模）已知，函数，从①②③中任选两个条件作为已知条件．使得唯一确定． ①在处取得最大值； ②是偶函数； ③相邻两个零点之间的距离为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间上恰有3个零点，求t的取值范围． 方法技巧 1.函数图象变换的两种路径： 先平移后伸缩：； 先伸缩后平移：。 两种路径结果相同，但平移量不同（先伸缩后平移的平移量为 ）。 2.振幅变换：（）的图象由 的图象纵坐标伸长为原来的 倍（）或缩短为原来的 倍（）。横坐标不变。 3.周期变换（伸缩变换） ：（）的图象由 的图象横坐标缩短为原来的 （）或伸长为原来的 倍（）。纵坐标不变。注意是“横坐标变为原来的 倍”，而不是“伸长 倍”。 4.平移变换： 左右平移： 由 向左（）或向右（）平移 个单位； 上下平移： 由 向上（）或向下（）平移 个单位。 5.由变换前后函数求变换量： 已知变换前的函数和变换后的函数，求平移量或伸缩量时，先将两函数化为同名的标准形式，再比较 、、、 的差异，确定变换方式及量值。 注意区分“函数 的图象向左平移 个单位”与“将函数 变为 ”之间的对应关系。 6.逆向变换：若已知变换后的函数和变换过程，求变换前的函数，则进行逆变换（反向操作）。例如，若 是由 先伸缩后平移得到的，则逆变换为先向右平移 个单位，再将横坐标伸长为原来的 倍，回到 。 【变式训练8-1】将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2】（25-26高三下·北京·开学考试）把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再把所得图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为，则的解析式为______，若在区间上单调递增，则的最小值为______． 【变式训练8-3】已知函数下面三个条件中选择两个作为已知，使得的解析式唯一确定，并解出以下问题： ①为奇函数;②图象的相邻两对称轴间的距离为；③ (1)求的解析式. (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象，当时，求函数的值域. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·北京·高考真题）（），将向轴正方向平移个单位，得到的函数图像与图像关于轴对称，则的取值个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 3．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026·北京·高考真题）已知函数，，．最小正周期为，且，． (1)求、的值； (2)求的单调递减区间． 5．（2023·北京·高考真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1. 求函数的最小正周期． 2. 求函数的单调递增区间． 3. 请画出函数的图象，你能从图中发现此函数具备哪些性质？（可以借助信息技术画图） 4. 已知函数的图象经过点和． (1)求实数a和b的值； (2)当x为何值时，取得最大值． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，则函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 4．下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．先将函数的图象上所有点的横坐标扩大为原来3倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的对称中心为（    ）． A．， B．， C．， D．， 6．已知函数，则（   ） A．在定义域内是增函数 B．是奇函数 C．的最小正周期为 D．图象的一个对称中心是 7．已知函数（），，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的最大值为2，则的值可以是（　　） A．-1 B．1 C． D．2 9．已知函数，则函数（    ） A．最小正周期为 B．是奇函数 C．在区间上单调递增 D．一条对称轴是 10．若函数关于对称，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 12．已知函数，则下列命题中错误的是（   ） A．若在上单调递增，则的取值范围是 B．若在上恰有3个零点，则的取值范围是 C．若在上的值域为，则的取值范围是 D．若在上有最大值，没有最小值，则的取值范围是 13．函数的定义域是__________. 14．设函数，则______；若满足对于定义域内的每一个都有，，则的最小值是______. 15．已知函数的图象关于直线对称，则常数的一个取值为______． 16．设函数，则使得函数在区间上存在最大值的一个值为______． 17．已知直线为函数图象的一条对称轴，则满足条件的一个的取值为_____；若在区间上有零点，则的最小值为_______． 18．函数的最小正周期___________，函数的长度为的一个单调递减区间为___________．（只需写出一个） 19．已知函数． (1)求函数的周期和其图像的对称轴方程； (2)当时，求的值域． 20．已知函数，其中．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题． (1)求的值； (2)当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围． 条件①：； 条件②：是的一个零点； 条件③：． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 重难·创新演练21．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 22．已知函数，函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数的图像，则下列说法正确的是（　　） A．函数图像关于对称 B．函数在上单调递增 C．函数图像在内有3个极值点 D．函数图像关于中心对称 23．已知函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 24．设函数的图象在区间内恰有三条对称轴、两个对称中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．若函数满足如下条件， ①任意， ②存在唯一， ③存在． 则的值是（    ） A． B． C． D． 26．已知函数，则“”是“为偶函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 27．设函数在上有零点且有唯一极大值点，同时存在，使得且，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 28．已知函数，,，如图A，B是直线与曲线的交点，若，，则（    ）．    A．， B．， C．， D．， 29．已知函数在上递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 30．已知函数（），若恒成立，且在内至少有3个零点，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 31．已知函数在 处取到最小值，且在区间上存在极大值，的最小整数解是（  ） A．2 B．8 C．10 D．14 32．已知函数从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定． (1)求的解析式； (2)设，求函数在上的单调递增区间． 条件①：的最大值为1； 条件②：为偶函数； 条件③：； 条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为． 33．已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求： (1)的单调递增区间； (2)在区间的取值范围. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 34．已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)若，且是函数的一个零点，直线是曲线的一条对称轴，求的值． 35．已知函数 (1)若，求的值 (2)若将的图像向右平移个单位得到的图像，再从下面三个条件中选出两个条件，使得存在且唯一，求出此时的解析式.若在上仅有两个零点，求出此时的取值范围. 条件①：相邻的两个零点之间的距离为； 条件②的对称中心为 条件③：． 36．设函数，且． (1)求的值； (2)已知在区间上单调递减，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求在区间上的取值范围． 条件①：； 条件②：是的一个极值点； 条件③：的图象关于点对称； 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分，如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 37．已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若在区间上的最大值为，求的值. 38．已知，是函数的两个相邻极值点.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使的解析式能唯一确定. (1)求的解析式； (2)若在区间上有且仅有2个零点，求的取值范围. 条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 39．已知函数，且在上单调.从以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在. ①的最大值为2；②；③的图象关于直线对称； (1)求函数的单调增区间； (2)已知，且，求的最小值. 注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 40．已知函数. (1)若，求的值； (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值. 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 三角函数的图象与性质 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 正弦函数、余弦函数的图象、性质对比 知识点2 正切函数的图象与性质 知识点3 三角函数的伸缩偏移变换及三角函数型的图象与性质 题型破译 (含超链接） 题型1 求单调区间【含方法技巧】 题型2 已知单调区间求参数【含方法技巧】 题型3 求周期及参数值【含方法技巧】 题型4 求最值【含方法技巧】 题型5 性质综合【含方法技巧】 题型6 由图象确定解析式【含方法技巧】 题型7 求参数的值或最值【含方法技巧】 题型8 三角函数的伸缩偏移变换【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 三角函数的图象与性质 T16（13分） T8（4分） T6（4分） 三角函数的伸缩偏移变换 T8（4分） — — 考情分析 三角函数的图象与性质是高考的核心内容之一，北京卷近年考查频率高，分值约13~17分，题型覆盖选择、填空、解答，难度中等。图象变换（平移、伸缩）为选择题常考内容，侧重对变换规律的理解与图象特征的判断；图象与性质（周期、单调性、对称性、最值）贯穿选择与解答题，解答题第16题通常将恒等变换、图象性质与解三角形综合考查，体现三角函数作为工具的应用价值。复习时需将“图象”与“性质”紧密结合，以图象辅助性质理解，以性质指导图象分析。 复习目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的图象形状与关键特征（零点、最值点、对称轴、对称中心）。 2.理解三角函数图象的平移变换（左加右减）、伸缩变换（横纵坐标变化），能根据变换前后关系求解析式或参数。 3.掌握正弦型函数 的图象与性质，能由图象确定 或由解析式描述其性质。 4.能利用三角函数的周期性、单调性、对称性解决参数范围、方程解及最值等综合问题。 5.体会数形结合思想在三角函数学习中的核心地位，提升直观想象与逻辑推理素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 正弦函数、余弦函数的图象、性质对比 函数 图象 定义域 _____________ _____________ 值域 _____________ _____________ 奇偶性 ______奇函数_______ _______偶函数______ 周期性 最小正周期：_____________ 最小正周期：_____________ 最值 当_____________时，；当_____________时， 当_____________时，；当_____________时， 单调性 在_________________________上单调递增；在_____________上单调递减 在_______________________上单调递增；在_________________上单调递减 零点 ， ， 对称轴 ， ， 对称中心 自主检测1函数是（     ） A．周期为的奇函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的偶函数 【答案】C 【分析】根据题意，结合正弦型函数的周期性和奇偶性即可求解. 【详解】因为， 而，所以，即为偶函数， 周期，所以是周期为的偶函数，故C正确. 自主检测2下列区间是函数的一个单调递增区间的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以令，解得， 当时，单调递增区间为， 因为， 所以是函数的一个单调递增区间. 自主检测3已知函数，则下列正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在单调递减 C．在上单调递增 D．的最大值为 【答案】B 【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数解析式，利用余弦型函数的周期公式可判断A选项；利用余弦型函数的单调性可判断BC选项；利用余弦型函数的最值可判断D选项. 【详解】因为， 对于A选项，函数的最小正周期为，A错； 对于B选项，当时，， 所以，函数在单调递减，B对； 对于C选项，当时，， 所以，函数在上不单调，C错； 对于D选项，，D错. 故选：B. 知识点2 正切函数的图象与性质 解析式 图像 定义域 值域 最小正周期 _________ 奇偶性 _奇__函数 单调性 在每一个区间___________上都单调递增 对称性 对称中心___________ 自主检测1已知函数，则（   ） A．在定义域内是增函数 B．是奇函数 C．的最小正周期为 D．图象的一个对称中心是 【答案】D 【分析】代入计算特殊值即可排除AB，根据周期的计算公式即可求解C，代入验证即可求解D. 【详解】对于A， 由于故A错误， 对于B， 由于在处有定义，但，故B错误， 对于C， 的最小正周期为，故C错误， 对于D， ，故是的一个对称中心，故D正确， 故选：D 自主检测2函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正切函数的定义域，令，，解不等式，即可求出结果. 【详解】由正切函数的定义域，令，，即，所以函数的定义域为. 故选:D． 知识点3 三角函数的伸缩偏移变换及三角函数型的图象与性质 函数 的图象变换 函数 的图象性质 函数 定义域 值域 ⑦_________ 最值 由，解得 由，解得 最小正周期 ⑧_________ 奇偶性 当⑨_________，且时，函数为奇函数； 当⑩_________时，函数为偶函数 单调性 当时，函数⑪_________ 当时，函数⑫_________ 对称性 由解得对称轴；由 解得对称中心横坐标，对称中心纵坐标为⑬_________ 【答案】①；②；③A；④；⑤；⑥A；⑦；⑧；⑨；⑩；⑪单调递增；⑫单调递减；⑬B 自主检测1将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将的图象向右平移个单位长度，得到， 根据诱导公式可得 . 自主检测2要得到函数的图象，只需将的图象（   ） A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】A 【分析】先把目标函数变形为与原函数结构相似的形式，再利用三角函数图象平移规律确定平移方向和单位． 【详解】， 由到，需要向右平移个单位， 故选：A． 题●型●破●译 题型1 求单调区间 例1-1（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数． (1)若，求及的单调递增区间； (2)已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期． 条件①：；条件②：是的一个极值点；条件③：是的一个零点． 注：如果选择的条件不符合题目要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)，，． (2)条件③不符合题目要求，选①或②时的最小正周期均为． 【分析】（1）利用三角函数恒等式化简函数解析式，根据整体思想，结合正弦函数单调性以及复合函数单调性，可得答案； （2）根据正弦型函数的单调性以及周期内的零点，可得参数的范围，再根据所给条件，结合三角函数的周期性与对称性，可得答案. 【详解】（1）因为 ， 当时，， 所以． 令，， 解得，． 所以的单调递增区间为，． （2）因为，在区间上单调递增，且， 所以，解得． 若选①：因为，又在区间上单调递增， 所以曲线关于对称． 所以，所以，． 解得，． 又，所以． 所以的最小正周期为． 若选②：是的一个极值点，又在区间上单调递增， 所以在处取得最大值． 所以． 所以，．解得，． 又，所以． 所以的最小正周期为． 若选③：因为，，则， 由于在区间上单调递增，所以， 解得. 因为是的一个零点，所以， 解得， 又，所以或， 所以函数不唯一确定，故条件③不符合题目要求 例1-2（2026·北京·三模）已知函数（）． (1)若，求及的单调递增区间； (2)已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期. 条件①：； 条件②：点在的图象上； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)，单调递增区间，； (2)选①，最小正周期； 选③，最小正周期． 【分析】（1）利用二倍角公式与辅助角公式，先对函数解析式进行化简，根据所给条件，利用整体代换的思想求解函数的单调递增区间； （2）通过题干所给条件先求出参数的取值范围，再根据所选择的条件计算出参数的具体取值，再利用周期公式计算最小正周期． 【详解】（1） ； 因为，则； ； 令，解得； 故的单调递增区间为，； （2）由（1）知，， 令，； 解得；当时，； 已知在区间上单调递增，故，解得； 选① 因为，即， 解得，因为，则， 故，解得； ，的最小正周期； 选② 因为点在的图象上， 则，即，，解得， 综上，，；，； 此时不唯一，故不符合题意； 选③ 因为，则对称轴为， 则，解得， 因为，故，； ，的最小正周期． 方法技巧 1.化为标准形式：先将函数化为 或 的形式（，）。若 ，先利用诱导公式提取负号，化为 的标准形式。 2.整体换元法：令 ，先求出 或 的单调区间： 对于 ：增区间为 ，减区间为 （）； 对于 ：增区间为 ，减区间为 （）。 然后将 代回，解关于 的不等式，得到原函数的单调区间。 3.正切函数的单调性： 的单调递增区间为 （），无递减区间。对于 ，同样用整体换元法，令 ，解 。 4.复合函数的单调性：若 ，则单调性与 （或 ）相反，即“ 的符号翻转单调性”。若 ，则整体换元后关于 的不等式方向会发生反转，需格外小心。 5.写单调区间时的规范：单调区间应写成区间形式，且在端点处是否取闭区间，需结合函数定义域和实际意义判断。正弦、余弦函数在连续的单调区间端点处可以取闭区间。 【变式训练1-1】（2026·北京海淀·一模）已知函数两个相邻零点的距离为，且. (1)求、的值； (2)设，求的单调递增区间. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求出函数的最小正周期，可求出的值，再利用可得出的值； （2）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的单调性可得出关于的不等式，即可解得函数的单调递增区间. 【详解】（1）因为函数两个相邻零点的距离为， 故函数的最小正周期为，所以，即， 又因为，故. （2）因为 ， 由可得， 故函数的单调递增区间为. 【变式训练1-2】（2026·北京石景山·一模）已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)在中，，若的平分线交于，求的长. 【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）利用倍角公式及辅助角公式得，再由三角函数的性质，即可求解； （2）根据条件得到，再结合题设条件及面积公式，建立方程，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以的最小正周期为， 由，得到， 所以的单调递增区间为. （2）因为，则，即，所以， 解得，又，所以，又的平分线交于，， 由，即， 得到，解得. 【变式训练1-3】（2026·北京房山·二模）已知函数． (1)若，求的值； (2)从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，使得函数存在，求的单调递增区间． 条件①：函数的最大值为； 条件②：函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为； 条件③：函数满足． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)选择①②，则函数的单调递增区间为； 选择①③，则函数不存在； 选择②③，则函数的单调递增区间为. 【分析】（1）把0代入即可计算； （2）选择①②，①③，②③不同的条件组合进行分析，通过函数最值、周期及奇偶性计算出的值，再判断函数是否存在，最后求出的单调递增区间. 【详解】（1），解得. （2）， 其中为辅助角，. 选择①②，则由条件②可知的最小正周期为，所以， 则， 由条件①函数的最大值为可得，解得 ，或（舍去） 所以，， 由，得， 故的单调递增区间为； 选择①③，则由条件③函数满足可知为上的奇函数， 则，那么，， 此时，， 与条件①：函数的最大值为相矛盾，函数不存在； 选择②③，则由条件②可知的最小正周期为，那么， 则， 由条件③函数满足可知为上的奇函数，则， 由，可得， 此时，， 由，得， 故的单调递增区间为. 题型2 已知单调区间求参数 例2-1已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，解得. 又解得，∴， ∴要使函数在区间上单调递增，则该区间必须是函数某个单调递增区间的子集， 则，， 解得， ∴的取值范围是. 例2-2若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令， 得， 所以的单调递增区间为， 因为在区间上单调递增， 所以，， 解得， 当，得； 当，且，无交集； 当，由可知显然不符合题意， 所以的取值范围为． 方法技巧 1.子集关系法：若已知函数 （或 ）在区间 上单调递增（或递减），则区间 必为函数某个单调区间的子集。利用整体换元法，将 映射到 轴上，得到 的取值范围，再将该范围包含于 的相应单调区间内，建立不等式组求参数。 2.周期约束法：若函数在给定区间上单调，则区间长度不能超过半个周期，即 （正弦、余弦函数）。正切函数的周期为 ，单调区间长度为半个周期 。 3.分类讨论 的正负：当 作为参数且符号不确定时，需分 和 两类讨论。通常先将 化为正数再处理（利用诱导公式或整体换元后调整不等式方向）。 4.端点值验证：求出参数范围后，需检验区间端点处函数是否确实单调（注意端点处是否可取等号），避免因 在区间内部出现而导致单调性中断。 【变式训练2-1】若函数在是单调递减，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式，将化成，根据余弦函数的单调性可得. 【详解】， . 又， 因为余弦函数在上单调递减，所以，解得. 所以的最大值为. 故选：B. 【变式训练2-2】（2026·北京顺义·一模）设函数，则图象的一条对称轴方程为________；若在上单调递增，则的最大值为________. 【答案】 ，（任意符合的结果都正确） 【详解】利用辅助角公式化简得：， 由正弦函数的对称轴满足，令： ， 取，得一条对称轴为，（任意符合的结果都正确）； 再由正弦函数的单调递增区间满足， 令： ， 整理得的单调递增区间为， 因为区间关于原点对称，只有时的递增区间包含原点， 要满足，得，因此的最大值为. 【变式训练2-3】（2026·北京·三模）已知函数．若在区间上既不是增函数也不是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用辅助角公式化简三角函数，再结合内层函数的取值范围与正弦函数的单调性，判断给定区间内是否存在极值点，进而求解的取值范围. 【详解】， 当时，令，因，故随单调递增，。 正弦函数在上单调递增，在上单调递减， 若在上既不是增函数也不是减函数，则的取值区间需包含的极值点，即，解得，故的取值范围为. 题型3 求周期及参数值 例3-1（2026·北京延庆·一模）下列函数中，是奇函数且最小正周期为的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对A：因为，为奇函数，且，故A满足条件； 对B：因为为偶函数，故B不满足条件； 对C：因为的最小正周期为，故C不满足条件； 对D：函数不是周期函数，故D不满足条件. 例3-2（2026·北京西城·二模）已知函数，其中. (1)求函数的最小正周期； (2)从条件①、条件②、条件③中选择一个条件作为已知，使得函数存在且唯一确定，当时，求函数的最大值和最小值. 条件①：； 条件②：函数在上单调递减； 条件③：函数为偶函数. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)选条件①或③：最大值为1，最小值为；不能选条件② 【分析】（1）先根据三角恒等变换公式化简可得，进而结合周期公式求解即可； （2）选①：结合题设可得，进而求出，再根据正弦函数的性质求解；选②：由正弦函数的单调性结合题设可得到无解，因此不能选择此条件；选③：先得到，再结合正弦型函数的奇偶性求出，再根据正弦函数的性质求解. 【详解】（1）由， 则函数的最小正周期为. （2）选条件①：由，则， 所以（舍去）或， 即，又，则，即， 当时，，则， 所以函数的最大值为1，最小值为. 选条件②：当时，， 因为函数在上单调递减， 所以，，无解，则函数不存在，不满足题意； 选条件③：由， 因为为偶函数，所以， 则，又，则，即， 当时，，则， 所以函数的最大值为1，最小值为. 方法技巧 1.基本周期公式： 和 的周期 ； 的周期 ； 和 的周期 （加绝对值后周期减半）。 2.求参数 ：若已知函数的周期为 ，则 （正弦、余弦型）或 （正切型）。注意 是通常的默认条件，若题目未特别说明， 取正值。 3.周期与对称性的关系： 若函数有两条对称轴 和 ，则 ； 若函数有两个对称中心 和 ，则 ； 若函数有一条对称轴 和一个对称中心 ，则 。 利用这些关系，可由对称性间接求出周期或 。 4.三角函数的周期与解析式的关系：如果题中给出的解析式不是标准形式（如含绝对值、含 等），需先化简变形，化为标准形式或利用图象判断周期。 【变式训练3-1】（25-26高三上·北京朝阳·期末）函数的最小正周期是___________． 【答案】 【分析】先利用降幂公式化简，再根据余弦型函数的周期公式求解即可. 【详解】由， 则函数的最小正周期是. 故答案为：. 【变式训练3-2】（2026·北京西城·一模）已知函数，则是（   ） A．奇函数，且最小正周期为 B．奇函数，且最小正周期为 C．偶函数，且最小正周期为 D．偶函数，且最小正周期为 【答案】B 【分析】根据的关系判断的奇偶性，再根据周期的定义，判断的周期，即可选择. 【详解】由题意得， 故， 又其定义域为，故为奇函数； 又的最小正周期为， 且的最小正周期为，则的最小正周期为， 且， 故的最小正周期为. 综上所述：是奇函数，且最小正周期为. 【变式训练3-3】（25-26高三上·北京丰台·期末）已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)求在区间上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合正弦型函数的周期公式可求得的值； （2）由可求得的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得在区间上的值域. 【详解】（1） ， 因为，且的最小正周期为，所以，解得. （2）由（1）可得，当时，， 所以，故在区间上的值域为. 题型4 求最值 例4-1（2026·北京大兴·三模）函数的最大值是_____________，取最大值时，____________． 【答案】 / 【分析】先根据辅助角公式化简，再根据正弦函数的值域即可求出的最大值，此时得到的值，再根据同角三角函数的关系，及诱导公式求出取最大值时的值． 【详解】由，，， 又，所以函数的最大值是， 此时，则，， 即，， 所以取最大值时，． 例4-2（25-26高三上·北京顺义·期末）已知函数. (1)求的值； (2)设，，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将直接代入，化简求值即可； （2）先根据求出的表达式，再结合的取值范围，利用三角函数的性质求出的最大值. 【详解】（1）. （2）因为 . 当，，所以， 所以的最大值为，此时. 例4-3（2026·北京石景山·二模）已知函数． 从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在． (1)求的值； (2)求在区间上的最大值和最小值． 条件①：函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为； 条件②：； 条件③：函数在区间上具有单调性，且. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)选择条件①或③，的值为 (2)在区间上的最大值为，最小值 【分析】（1）先化简函数，再根据所选条件确定的值，进而求出的值. （2）先求出的范围，再根据三角函数的性质求出给定区间上的最值. 【详解】（1） 选条件①：根据题意，解得，即，因为，所以， 则，． 选条件②：由，可得， 因为正弦函数的值域为，而，所以此条件下函数不存在. 选条件③：因为函数在单调，且， 所以，解得，即，因为，所以， 则，． （2）据题意，，， 当，即时，，所以的最大值为． 当，即时，，所以的最小值为. 方法技巧 1.标准形式的最值：对于 （）： 最大值 ，当 时取得； 最小值 ，当 时取得。 余弦型同理。若 ，则最大值和最小值互换位置。 2.给定区间上的最值：若 限定在区间 内，则先求 的取值范围，再在 的取值范围内，利用单位圆或正弦曲线确定 （或 ）的最大值和最小值，最后代回原式。注意 的范围可能不包含使 的点，此时最值在区间端点处取得。 3.含绝对值的三角函数最值： 的最值可通过图象法求解，最大值为 （在 时取得），最小值为 （在 时取得）。更复杂的绝对值函数需分段讨论或画图。 4.复合型三角函数的最值：对于含 和 的式子，利用换元法 ，将原式转化为关于 的二次函数求最值。注意 的取值范围为 。 5.数形结合：对于较复杂的三角函数最值问题，画出函数在给定区间上的图象，直观判断最高点和最低点对应的 值及 值。 【变式训练4-1】（2026·北京海淀·三模）已知函数，则的最大值为______，将函数图象向右平移个单位得到函数，若对任意，都有成立，则常数的最小值为______． 【答案】 / 【分析】先利用三角恒等变换化简函数为余弦型函数标准形式，根据余弦函数的值域求解最大值；再根据三角函数图象平移规则得到的解析式，结合奇函数的性质推导参数的取值，最终确定最小正值. 【详解】∵ ， 由平方差公式及余弦二倍角公式可得： ， ∵ ， ∴ 的最大值为. 将函数的图象向右平移个单位，可得： ， ∵ 对任意，都有，即， ∴ 是定义在上的奇函数， ∴ ， 即， 又∵ ， ∴ 当时，取得最小值. 【变式训练4-2】（2026·北京延庆·一模）已知函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在． (1)求的值； (2)设，求在区间上的最大值和最小值． 条件①：是偶函数； 条件②：的图象上所有点向右平移个单位长度，所得函数是奇函数； 条件③：在区间上单调递增． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)选择①，不符合条件，选择②或选择③，； (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）选择条件①，得即可求解； 选择条件②，得即可求解； 选择条件③，由正弦函数单调性得即可求解； （2）将(1)中求得的值代入，化简的表达式后，结合的取值范围与正弦函数的性质求解最值. 【详解】（1）选择条件①： 由函数 ，是偶函数， 则，因为， 则此时不存在，即函数不存在； 选择条件②：右移个单位后为奇函数。 平移后函数为， 因为为奇函数， 所以，解得：， 因为，所以，此时 选择条件③：在 上单调递增， 正弦函数的单调递增区间为，， 因为在 上单调递增， 所以，，解得： 因为，所以，此时， 后续最值与条件②一致， （2）当时，即 ， 当时，， 当，即时，， 当，即时， 【变式训练4-3】（25-26高三上·北京朝阳·期末）已知函数. (1)当时，求的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数唯一确定，求的解析式及在区间上的最大值与最小值. 条件①：在处取得最大值，且在处取得最小值； 条件②：的图象关于直线对称，且的最小正周期大于； 条件③：在区间上单调递增，且. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)选条件②或③，；取得最小值，取得最大值 【分析】（1）根据三角函数的辅助角公式将函数化简，然后代入即可求解； （2）条件①：根据题设可知，然后结合正弦型函数的周期公式即可判断函数不唯一确定； 条件②：根据的图象关于直线对称可得，结合的最小正周期大于可得，并得到的解析式，最后根据给定的区间即可求出的最值； 条件③：根据在区间上单调递增可得，结合得，并得到的解析式，最后根据给定的区间即可求出的最值； 【详解】（1）依题意，； 所以当时，， 所以. （2）选条件①：在处取得最大值，且在处取得最小值； 设的周期为，则， 所以，又， 所以，解得，不符合函数唯一确定的条件； 选条件②：的图象关于直线对称，且的最小正周期大于； 由，得，解得，的最小正周期，解得； 又，，所以当时，，此时唯一确定，符合题意； 当时，，所以，所以； 综上，的解析式为；当时，取得最小值，当时，取得最大值； 选条件③：在区间上单调递增，且； 由，由，得，解得； 当时，，因为在区间上单调递增，所以，解得，又，所以； 所以当时，，此时唯一确定，符合题意； 当时，，所以，所以； 综上，的解析式为；当时，取得最小值，当时，取得最大值. 【变式训练4-4】（25-26高三上·北京昌平·期末）已知函数（）的最大值为2. (1)求m的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数存在且唯一，并求在上的最大值和最小值. 条件①：； 条件②：相邻两条对称轴之间的距离为； 条件③：的最小正周期，且. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)选择条件②：当时，取得最大值为2，当时，取得最小值为； 选择条件③：当时，函数取得最大值为2，当时，函数取得最小值为1. 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简，再利用函数最大值为2求出的值. （2）选择条件①：先将代入函数，再将代入化简后的函数，求出的值，最后确定在的最值；选择条件②：根据相邻两条对称轴之间的距离为求出周期，进一步求出的值，最后确定确定在的最值；选择条件③：根据周期范围确定的范围，再将代入函数求出的值，最后确定确定在的最值. 【详解】（1）因为函数，， 所以由三角函数恒等式化简得：， ， 又因为的最大值为1， 所以函数的最大值为： ， 又因为函数的最大值为2， 所以，得出. （2）选择条件①，将代入函数， 则函数， 将代入可得：，即， 则，解得，导致函数不唯一， 不符合题意，所以选择该条件得0分. 选择条件②：因为相邻两条对称轴之间的距离为，所以函数的周期为， 根据周期公式，可得，所以， 当时，， 当，即时，取得最大值为1，则函数取得最大值为2， 当，即时，，则函数取得最小值为. 选择条件③：因为的最小正周期，根据周期公式，得， 将代入可得：，即， 所以或， 当时，得出， 又因为，所以，（舍去）， 当时，解得， 又因为，所以，，即， 当时，， 所以当，即时，则函数取得最大值为2， 当，即时，则函数取得最小值为1. 题型5 性质综合 例5-1（2026·北京丰台·模拟预测）已知函数，则下列结论不正确的是（　　） A．的周期为 B．的图象关于对称 C．的最大值为 D．在区间上单调递增 【答案】B 【分析】利用周期的定义可判断A，利用特例可判断B，利用导数可求单调性和最值，进而判断C,D. 【详解】对于A，因为，所以的周期为，A正确； 对于B，因为，，所以的图象不关于对称，B错误； 对于C，， 令，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以当时，取到最大值，此时（负值舍去），，所以的最大值为，C正确； 对于D，由C可知，时，，此时，所以函数在上单调递增，D正确. 例5-2已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（    ） A． B．将函数图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于y轴对称 C．关于点对称 D．在区间上的最大值为 【答案】B 【分析】先利用辅助角公式化简函数解析式，结合周期公式求出的值，再逐一验证各选项的正误． 【详解】对于A，，由的最小正周期为得， 则，故A错误； 对于B，由，将函数图象向左平移个单位长度， 得到，为偶函数，关于y轴对称，故B正确； 对于C，， 则不关于点对称，故C错误； 对于D，当时，，则，即， 故的最大值为，故D错误． 例5-3（25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数，是函数的对称轴，且在区间上单调. (1)从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得的解析式存在，并求出其解析式； 条件①：函数的图象经过点； 条件②：是的对称中心； 条件③：是的对称中心. (2)根据（1）中确定，若函数在上有唯一零点，求的取值范围. 【答案】(1)选①或③都可得，不能选②； (2) 【分析】（1）根据题意得到和，再根据选择的条件得到第三个方程，分析方程组即可求解； （2）根据求得的取值范围，结合三角函数零点个数列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）因为在区间上单调，所以， 因为，且，解得； 又因为是函数的对称轴，所以； 选条件①：因为函数的图象经过点，所以， 因为，所以， 所以，，即， 当时，，满足题意，故. 选条件②：因为是的对称中心，所以， 所以，，此方程无解，故条件②无法解出满足题意的函数解析式. 选条件③：因为是的对称中心，所以， 所以，，解得，所以. （2）由（1）知， 由，得， 要使函数在上有唯一零点， 则，， 所以的取值范围是. 方法技巧 1.研究函数性质的标准流程：遇到三角函数的综合问题，按以下顺序逐一分析—— 定义域：确保函数有意义（如分母不为 、偶次根号下非负等）； 值域（最值） ：将函数化为 后求解； 周期：由 或 求出； 对称性：令 得对称中心横坐标；令 得对称轴（正弦型）； 单调性：利用整体换元法求解； 奇偶性：将 与 比较，或利用图象对称性判断。 2.已知部分性质求解析式中的参数：利用上述性质建立方程（组），联立求解参数。注意各性质之间的相互约束关系。 3.多性质综合求值：若题目给出多个条件（如“最大值为 ，周期为 ，图象过点 ”等），逐一转化为方程，联立求解所有未知参数。 【变式训练5-1】已知函数，则下列结论正确的个数是（   ） ①的图象关于点对称； ②在区间内有2个极大值点； ③； ④将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于直线对称． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先用辅助角公式把函数化成的形式，再结合函数的图象和性质进行判断. 【详解】. 对于①，因为，所以是的一条对称轴，故①错误； 对于②，由，得，，所以，， 所以可能为：，等等，在内只有两个极大值点和，故②正确； 对于③，因为， ， 又在上单调递减，所以，即，故③正确； 对于④，把的图象向左平移个单位，可得， 当时，为函数最小值，是所得函数的一条对称轴，故④正确. 综上，结论正确的个数是3. 【变式训练5-2】已知函数的图象是由函数的图象向左移动个单位长度得到，则下列命题正确的是（     ） A． B．是的一条对称轴 C．在单调递增 D．是奇函数 【答案】D 【分析】A选项，利用“左加右减”进行计算； B选项，利用余弦函数的对称轴进行求解； C选项，将区间代入函数，看是否满足递增区间的需求； D选项，先判断定义域是否关于原点对称，再利用，验证奇偶性. 【详解】函数的图象向左移动个单位长度， 得到新的函数为：. A选项，，所以A选项错误； B选项，，令，得：，其中， 所以不是的一条对称轴，所以B选项错误； C选项， ，则， 在该区间上不单调，所以C选项错误； D选项，， 对函数而言，， 且， 所以是奇函数，所以D选项正确. 【变式训练5-3】已知函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，且的最大值为，，则（    ） A． B．在区间上单调递增 C．在区间上只有一个极值点 D．在区间上的图象与直线所有交点的横坐标之和为 【答案】D 【详解】因为图象的两条相邻对称轴间的距离为，所以最小正周期，则，故A错误； 由为最大值，得，所以. 因为，所以. 所以，则， 若取，则，此时. 当时，， 此时不单调递增，故B错误； 当时，，此时有两个极值点，故C错误； 令，得，则，又， 所以在区间上的图象与直线所有交点的横坐标之和为，故D正确. 【变式训练5-4】（25-26高三下·北京·开学考试）设函数 ，且 ． (1)求的值； (2)若在区间 上有且只有一个零点，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的最大值． 条件①：恒成立； 条件②：恒成立； 条件③：为对称中心． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1），因为已知，所以将代入函数表达式，结合的条件，可求出的值. （2），先将（1）中求得的代入，得到确定形式的函数.先根据在上有且只有一个零点，分析在该区间的取值范围，得到关于的初步范围.若选条件①：因为恒成立，可推出函数的周期，进而得到的表达式，结合之前的范围求最大值；若选条件②：因为恒成立，可知是函数的周期的整数倍，进而得到的表达式，结合之前的范围求最大值；若选条件③：因为是的对称中心，利用正切函数对称中心的性质得到的表达式，结合之前的范围求最大值. 【详解】（1） . （2）由（1）知，则当时，， 若在上有且只有一个零点，则由三角函数的图象性质可得， 解得. 选条件①：恒成立. 代入得：， 由诱导公式得，即（）. 又，则，解得， 因为，所以可取1,2， 时，取最大值，. 故条件①下的最大值为10. 选条件②：恒成立.说明是的周期， 因此，，得. 最小的，不满足只有一个零点的要求， 因此不存在符合条件的. 选条件③：为对称中心， 正切函数对称中心满足：，，化简得（为非负整数）. 在范围内，最大的取值为时，，满足要求. 故条件③下的最大值为10. 题型6 由图象确定解析式 例6-1函数的部分图象如图所示，则（   ） A．的单调递增区间是 B．函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象 C．图象的对称中心是 D．图象的一条对称轴方程是 【答案】D 【分析】根据函数图像易得，从而可得出，再将点代入求得，从而得到函数的解析式，再根据正弦函数的性质逐一判断即可得出答案. 【详解】由图像可得，，， ，将点代入可得， 又，，所以函数， 令，解得，， 故函数的增区间为，，故A错误； 由，所以是函数的一条对称轴，故D正确； 令，解得，所以函数的对称中心为，，故C错误； 将函数的图像向左平移个单位，得到，该函数为偶函数，故B错误. 例6-2（2025·北京海淀·一模）已知函数的部分图象如图所示.若四点在同一个圆上，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称性可知为圆心，根据即可求解. 【详解】连接交轴于, 由于，，，四点在同一个圆上，且和均关于点对称， 故为圆心，故， ,, 故，解得， 故选：D 方法技巧 1.确定 （振幅）：。若图象有上下平移，则 ，此时函数可写为 。 2.确定 （角频率）：由图读出周期 （图象上相邻两对称轴、两对称中心或两个最高点之间的距离即为周期或半周期），然后利用 （正弦、余弦型）或 （正切型）求解。若读取的是相邻两零点距离 ，则 （正弦、余弦型）；若读取的是相邻最高点到最低点水平距离 ，则 。 3.确定 （初相）：利用图象上的特殊点（通常选最高点、最低点或与 轴的交点），代入 或 中，建立方程求解 。优先选择离 轴最近的已知点，以避免多解。注意 的取值范围通常限制在 或 内。 4.五点法的逆向应用：已知图象的五个关键点（三个零点、一个最高点、一个最低点），可分别确定 、、、 的值。注意判断用正弦型还是余弦型更方便（通常看 处的函数值及附近趋势）。 5.验证：将求得的解析式代回图象中若干点验证，确保所有已知点均满足解析式。 【变式训练6-1】函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ① ②在区间上单调递减 ③在区间上有且仅有个零点 ④把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到一个奇函数的图象 其中所有正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象，求出解析式，然后逐项分析函数性质即可. 【详解】由图象可知，最大值为，因此，周期，因此， 代入最大值点，有，解得， 结合，则， 因此，函数表达式为， 对于①，由图象可知，故①正确； 对于②，当时，有，在上不单调， 因此在区间上不单调，故②错误； 对于③，解方程，解得，在区间内满足条件的， 对应零点，共个，故③正确； 对于④，函数的图象上所有点向右平移个单位长度， 得到， 是偶函数，故④错误； 综上所述，正确的有①③，共个. 【变式训练6-2】已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为，图象在轴上的截距为．则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的最大值为 C．在区间上单调递增 D．为偶函数 【答案】C 【分析】先由最高点与最低点横坐标求出周期，得；再由最高点位置求，结合轴截距求出振幅，确定函数；最后据此逐一验证选项：A周期为错误，B最大值为错误，C的区间符合单调递增区间正确，D化简后不是偶函数错误． 【详解】对于A，由图知，解得，A错误； 对于B，由，得，则， 由时，函数取最大值，得， 化简得，结合，得， 由函数在轴上的截距为，即，解得， 所以，最大值为，B错误； 对于C，由， 得， 当时，递增区间为，C正确； 对于D，， 该函数不是偶函数，D错误． 【变式训练6-3】已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（   ） A． B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．将的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 【答案】B 【详解】由图象可知：，，所以， 由得. 由，得，又可得. 所以，故A正确； 因为，所以不是函数的对称中心，故B错误； 当时，， 因为函数在上单调递减， 所以在区间上单调递减，故C正确； 将的图象向右平移个单位长度可得，故D正确. 【变式训练6-4】（2026·北京大兴·三模）已知函数（），如图所示，直线与曲线交于，两点，若，在区间上单调递减，则_____；的一个取值为_____． 【答案】 （答案不唯一，满足即可） 【分析】根据和，可构造方程求得，并确定为半个周期，根据正弦函数单调性可构造方程组求得. 【详解】设，， 由得：，， 又，，解得. 此时最的小正周期， ，在区间上单调递减， 和分别为单调递减区间的起点和终点， 当时，， ，， 取，得. 综上所述：，的一个取值为. 题型7 求参数的值或最值 例7-1（2026·北京海淀·二模）若函数的值域为，则可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换先化简，进而求解. 【详解】由 ，其中， 又因为的值域为，所以，解得， 所以或， 当时，或，得到A符合题意. 37．（2026·北京顺义·三模）已知函数，若两个不等的实数满足且，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】首先根据辅助角公式，确定函数的最值，再结合条件确定函数的最小正周期，即可求解. 【详解】，函数的最大值为，最小值为， 若，则都为最大值点，或都为最小值点， 所以是函数的最小正周期，所以，得. 例7-2（2026·北京通州·一模）已知函数（），若存在，使得，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数关系及二倍角正弦公式进行化简，得到，进而求得，结合已知条件得到关于的不等式，求解验证即可. 【详解】 . 则，整理得， 即，解得. 因为，，所以. 而方程的解为或，， 若存在满足条件，则需中包含至少一个解， 又最小的正解为，则需使，所以. 若，，此时，，满足，所以的最小值为. 例7-3（2026·北京门头沟·一模）设函数，若点为函数图象的一个对称中心，且在上的最大值为2，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．7 D．10 【答案】C 【分析】先化简函数，根据点为函数图象的一个对称中心求出，再根据在上的最大值为2结合三角函数最值求出，两者结合即可推出的最小值. 【详解】， 点是的对称中心，因此，代入得 ， 即，整理得； 当时，， 而根据解析式可知最大值为， 说明区间必须包含，因此 ， 解得； 结合且， 时，，不满足； 时，，满足条件. 因此的最小值为. 例7-4（25-26高三上·北京昌平·期末）设函数（）.若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解． 【详解】函数， 设函数的最小正周期为T，由，可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即， 的最小值为． 故选：B． 方法技巧 1.由图象上的点求参数：将已知点的坐标代入解析式，建立方程（组）求解参数。若方程含三角函数，需结合点所在的位置（上升段、下降段、最高点、最低点等）确定解的取舍。 2.由图象的几何特征求参数： 由图象上相邻两对称轴的距离（）或相邻两零点的距离（）求 ； 由图象的最高点纵坐标求 ，由最低点纵坐标求 ，联立求 和 ； 由图象过特定点（如 ）求 。 3.由图象的交点情况求参数范围：若两个三角函数图象在给定区间上有特定交点个数，先画出不含参函数的图象，再分析参数变化时另一函数图象的平移或伸缩，利用临界状态（相切、过端点等）确定参数范围。 4.最值的讨论：若参数影响振幅 、角频率 或初相 ，求参数的最值时，需将目标函数表示为参数的函数，结合参数的取值范围和三角函数的界性求解。 【变式训练7-1】（2026·北京丰台·二模）已知函数，，若的最大值为，则（    ） A．，有2个零点 B．，有3个零点 C．，有2个零点 D．，有3个零点 【答案】C 【分析】整理可得，换元令，结合二次函数性质可得，令求得，进而分析得零点. 【详解】因为，， 令，可得的图象开口向下，对称轴， 当，即时，则的最大值为，解得； 当，即时，则的最大值为，解得（舍去）； 综上所述：，则， 令，解得或（舍去）， 又因为在有2个解， 所以有2个零点. 【变式训练7-2】（2025·北京平谷·一模）已知函数，若在区间上没有最值，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由，得，进而结合题意可得，进而求解即可. 【详解】由，， 则， 因为在区间上没有最值， 所以， 则，解得， 所以的最大值为. 故选：A. 【变式训练7-3】（2026·北京·模拟预测）设函数，若恒成立，且在上存在零点，写出一个满足题意的的值为___________. 【答案】4(答案不唯一) 【分析】先由周期推出为正偶数，再由区间零点条件得到，即只要取大于等于的偶数就可以. 【详解】由恒成立可知，是函数的一个周期， 因为，函数的最小正周期为，因此是的整数倍， 即，可得，即为正偶数； 因为当时，， 又因为在上存在零点，所以，得， 综上，是大于等于的偶数. 题型8 三角函数的伸缩偏移变换 例8-1（2026·北京昌平·一模）将函数图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移个单位，得到函数的图象．则下列说法正确的是（   ） A．是函数的图象的一条对称轴 B．是函数的图象的一个对称中心 C．在上是增函数 D．在上是减函数 【答案】D 【详解】原函数，纵坐标不变，横坐标变为原来的​，得； 再向右平移​个单位，得： 代入，得， 所以不是函数的图象的一条对称轴，故A错误； 代入，得， 所以不是函数的图象的一个对称中心，故B错误； 当时，， 因为在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上先减后增再减，即不是单调增函数，故C错误； 当时，， 因为在上单调递减，所以在上单调递减，故D正确. 例8-2（25-26高三上·北京顺义·期末）将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，记函数，若，则的最小值为________；若的最大值为，则的一个取值为____________． 【答案】 （答案不唯一）. 【分析】由三角函数的图像变换，求得，得到，根据，得到，求得，进而得到的最小值；再由的最大值为，得到，求得，得到答案. 【详解】将函数的图像向左平移个单位长度， 得到， 则， 因为，可得，所以， 解得，因为，所以的最小值为， 若的最大值为，即，即，所以， 所以的一个取值可以为. 故答案为：；（答案不唯一）. 例8-3（2026·北京丰台·三模）已知，函数，从①②③中任选两个条件作为已知条件．使得唯一确定． ①在处取得最大值； ②是偶函数； ③相邻两个零点之间的距离为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间上恰有3个零点，求t的取值范围． 【答案】(1)选①③，； 选②③，； (2)选①③，； 选②③，． 【分析】先对解析式利用降幂公式，两角和与差公式，进行化简，利用所给条件求出参数的值，得到的解析式，利用图象的变换得到的解析式，利用整体代换的思想，根据正弦函数的图象零点分布情况，计算参数t的取值范围． 【详解】（1） ； 选①② 因为在处取得最大值，故； 又因为为偶函数，则关于对称， 则， 式与式相加即可得， 因为，则，解得； 则，解得，因为， 故，故的值不唯一，故不选①②. 选①③ 因为在处取得最大值，故； 因为相邻两个零点之间的距离为，则，解得； 代入可得：，解得， 因为，故，； 故的解析式为； 选②③ 因为相邻两个零点之间的距离为，则，解得； 又因为为偶函数，则关于对称， 则，即， 因为，故，； 故的解析式为； （2）选①③， 由的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 可得， 当时，； 因为在区间上恰有3个零点， 故，解得； 故t的取值范围为； 选②③ 由的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 可得， 当时，； 因为在区间上恰有3个零点， 故，解得； 故t的取值范围为． 方法技巧 1.函数图象变换的两种路径： 先平移后伸缩：； 先伸缩后平移：。 两种路径结果相同，但平移量不同（先伸缩后平移的平移量为 ）。 2.振幅变换：（）的图象由 的图象纵坐标伸长为原来的 倍（）或缩短为原来的 倍（）。横坐标不变。 3.周期变换（伸缩变换） ：（）的图象由 的图象横坐标缩短为原来的 （）或伸长为原来的 倍（）。纵坐标不变。注意是“横坐标变为原来的 倍”，而不是“伸长 倍”。 4.平移变换： 左右平移： 由 向左（）或向右（）平移 个单位； 上下平移： 由 向上（）或向下（）平移 个单位。 5.由变换前后函数求变换量： 已知变换前的函数和变换后的函数，求平移量或伸缩量时，先将两函数化为同名的标准形式，再比较 、、、 的差异，确定变换方式及量值。 注意区分“函数 的图象向左平移 个单位”与“将函数 变为 ”之间的对应关系。 6.逆向变换：若已知变换后的函数和变换过程，求变换前的函数，则进行逆变换（反向操作）。例如，若 是由 先伸缩后平移得到的，则逆变换为先向右平移 个单位，再将横坐标伸长为原来的 倍，回到 。 【变式训练8-1】将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角函数图象平移规则得到平移后的函数解析式，再结合图象关于轴对称的相位特征列方程，求解的最小值． 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 所得函数解析式为， 因为的图象关于轴对称，即为偶函数， 所以，解得， 因为，所以当时，取得最小值． 【变式训练8-2】（25-26高三下·北京·开学考试）把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再把所得图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为，则的解析式为______，若在区间上单调递增，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据函数图象的伸缩变换以及平移变换得函数解析式为，由函数在区间上单调递增，列不等式即可求解. 【详解】把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）， 得到函数的图象，再把的图象向右平移个单位长度， 得到的图象，即．由于在上单调递增， 所以时，， 因此， 即且，则且， 可得，由于，故当时，取到最小值． 故答案为：，. 【变式训练8-3】已知函数下面三个条件中选择两个作为已知，使得的解析式唯一确定，并解出以下问题： ①为奇函数;②图象的相邻两对称轴间的距离为；③ (1)求的解析式. (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象，当时，求函数的值域. 【答案】(1)选择①②或②③， (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换公式，化简函数f(x)的解析式，利用正弦函数的周期、奇偶性求得参数值，从而得到函数解析式. （2）利用三角函数的图象变换规律，求得函数g(x)的解析式，使用整体代入法即可求得函数的值域. 【详解】（1）选择①② 由题意，函数 ， 因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得， 又由函数为奇函数，可得，所以， 因为，所以，所以函数. （选择②③证明过程和①②一致；因为①的推论为，与③一致，故不可选择①③） （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，， 当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为， 故函数的值域. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·北京·高考真题）（），将向轴正方向平移个单位，得到的函数图像与图像关于轴对称，则的取值个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】平移后函数为，与关于轴对称可知函数值互为相反数，利用正弦相等得方程，排除不恒成立情形，得到的取值个数. 【详解】将向右平移个单位得 . 由题意，与的图像关于轴对称，即恒成立， 即. 分两种情形讨论： ①，对任意不恒成立，舍去； ②，化简得 ，即. 由得， 对应，因此的取值个数为3. 2．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解. 【详解】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4. 故选：C. 3．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解. 【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即， 且，所以. 故选：B. 4．（2026·北京·高考真题）已知函数，，．最小正周期为，且，． (1)求、的值； (2)求的单调递减区间． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用两角和正弦公式化简可得，结合正弦型函数周期公式列方程求，再由列式求； （2）根据正弦型函数单调区间求法求结论. 【详解】（1）因为， 所以， 又的最小正周期为，， 所以，所以， 因为， 所以，， 所以，， 所以， 所以， （2）令，，可得，， 函数的单调递减区间为. 5．（2023·北京·高考真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1). (2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，. 【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值； （2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同． 【详解】（1）因为 所以， 因为，所以. （2）因为， 所以，所以的最大值为，最小值为. 若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在； 若选条件②：因为在上单调递增，且， 所以,所以,, 所以， 又因为，所以， 所以， 所以，因为，所以. 所以，； 若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，即. 以下与条件②相同． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1. 求函数的最小正周期． 【答案】 【分析】化简函数，结合三角函数的性质，以及对称性，即可求解. 因为函数的最小正周期为， 根据图象的对称性，可得函数的最小值正周期为. 【详解】由函数， 因为函数的最小正周期为， 根据图象的对称性，可得函数的最小值正周期为.    2. 求函数的单调递增区间． 【答案】， 【分析】利用辅助角公式、余弦函数的图象与性质运算即可得解. 【详解】解： ， 由， 可解得：， 所以，函数的单调递增区间为，. 3. 请画出函数的图象，你能从图中发现此函数具备哪些性质？（可以借助信息技术画图） 【答案】见解析 【分析】分与两种情况去绝对值，作图后根据图象分析函数的定义域、值域、奇偶性、周期、单调区间与最值即可. 【详解】由题意，当时；当时，故可作图：    由图象可得，函数具有如下性质： ①定义域；②值域；③偶函数；④最小值正周期为； ⑤在上单调递增，上单调递减；在上； ⑥当时函数取最大值0，当时函数取最小值. 4. 已知函数的图象经过点和． (1)求实数a和b的值； (2)当x为何值时，取得最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用函数图象经过的点代入运算即可得解； （2）利用辅助角公式可得，再由正弦型函数的性质即可得解. 【详解】（1）由题意， 所以； （2）由（1）可得， 若要使取得最大值，则需， 所以. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦函数，余弦函数的图象和性质，结合函数图象的变化规律即可判断． 【详解】A．，是以为最小正周期，且在区间上单调递增，在区间上单调递减，故错误； B．是以为最小正周期，且在区间上单调递减，故错误； C．是以为最小正周期，且在区间上单调递增，故正确； D．是以为最小正周期，在处没有意义，故错误； 故选：C． 2．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数的周期性以及单调性，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，最小正周期为，由，得，则单调递减，故A错误； 对于B，最小正周期为，由，得，则单调递减，故B错误； 对于C，最小正周期为，当时，单调递减，故C错误； 对于D，最小正周期为，当时，单调递增，故D正确； 故选：D 3．已知函数，则函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二倍角公式化简函数，再根据余弦函数的周期性求解即可． 【详解】，则函数的最小正周期为. 故选：C 4．下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数的单调性可判断AC；对求导可判断B；由正弦函数的性质可判断D. 【详解】对于A，因为，在上单调递增，故A正确； 对于B，， 当时，， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，的定义域为， ，所以为偶函数， 因为，所以由幂函数的性质知在上单调递增， 由偶函数的性质可得：在上单调递减，故C错误； 对于D，当时，, 由的单调性知，在不具备严格的单调性， 所以在上不具备严格的单调性，故D错误. 故选：A. 5．先将函数的图象上所有点的横坐标扩大为原来3倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的对称中心为（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据函数图像的平移和伸缩变换得，即可利用整体法，结合正切函数的性质求解. 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标扩大为原来3倍，得到， 再将所得函数的图象向左平移个单位长度得到函数， 由，解得， 所以对称中心为，， 故选：A． 6．已知函数，则（   ） A．在定义域内是增函数 B．是奇函数 C．的最小正周期为 D．图象的一个对称中心是 【答案】D 【分析】代入计算特殊值即可排除AB，根据周期的计算公式即可求解C，代入验证即可求解D. 【详解】对于A， 由于故A错误， 对于B， 由于在处有定义，但，故B错误， 对于C， 的最小正周期为，故C错误， 对于D， ，故是的一个对称中心，故D正确， 故选：D 7．已知函数（），，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式化简函数，由正弦函数的图像的性质及已知条件得到函数对称轴，即可求得的最小值. 【详解】， ∵，要求的最小值，则函数周期，即. ∴函数关于对称，，即， ∴的最小值为， 故选：B. 8．已知函数的最大值为2，则的值可以是（　　） A．-1 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】先利用辅助角公式将函数化简，再利用三角函数的最值求出的值. 【详解】由题意，函数， 因为正弦函数的值域是， 所以的最大值为， 已知的最大值为，即， 整理得， 解得. 故答案为： 9．已知函数，则函数（    ） A．最小正周期为 B．是奇函数 C．在区间上单调递增 D．一条对称轴是 【答案】D 【分析】A选项，利用三角恒等变换得到，从而求出最小正周期；B选项，，，是非奇非偶函数；C选项，整体法求出在上单调递减，在上单调递增，C错误；D选项，整体法求出函数对称轴为，，D正确. 【详解】A选项，，最小正周期，故A错误； B选项，因为，，所以是非奇非偶函数，故B错误； C选项，令，，解得，， 令得，，故在上单调递增， 同理可得在上单调递减，故C错误； D选项，令，，即，， 当时，，所以是的对称轴，故D正确. 故选：D. 10．若函数关于对称，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据正弦函数的对称性可得，再将代入求解即可. 【详解】函数关于对称，则其对称轴满足，为整数， 将代入，得，解得，又因为，所以当时，取得最小值为3， 因此，的最小值为3，所以B正确. 故选：B. 11．已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用辅助角公式，再结合三角函数的对称性和周期性来进行各选项判断即可. 【详解】由函数， 可知，故A正确； 由，可得，故B正确； 由，所以的对称中心是， 而的对称中心是，故C错误； 由，所以的对称轴是， 而的对称轴是，故D正确； 故选：C 12．已知函数，则下列命题中错误的是（   ） A．若在上单调递增，则的取值范围是 B．若在上恰有3个零点，则的取值范围是 C．若在上的值域为，则的取值范围是 D．若在上有最大值，没有最小值，则的取值范围是 【答案】B 【分析】把的范围求出来，看成一个整体，再利用正弦曲线的性质，即可得到不等式，四个选项一一进行求解，求出的范围. 【详解】对于A，当时，，又在上单调递增， 所以，又，解得，故A正确； 对于B，当时，，若在上恰有3个零点， 则，解得，故B错误； 对于C，时，， 由题意得，解得，故C正确； 对于D，时，， 由题意得，解得，故D正确． 故选：B． 13．函数的定义域是__________. 【答案】 【分析】定义域是两个函数定义域的交集. 【详解】因为函数的定义域为，的定义域为， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 14．设函数，则______；若满足对于定义域内的每一个都有，，则的最小值是______. 【答案】 【分析】根据诱导公式直接计算，根据最小正周期的概念求解即可； 【详解】函数，则， 若满足对于定义域内的每一个都有， ，则为函数的一个正周期， 又函数的最小正周期为，所以的最小值是. 故答案为：； 15．已知函数的图象关于直线对称，则常数的一个取值为______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题意，求出的一个值后代入验证即可求解. 【详解】的图象关于直线对称， ，即，. 令，得， ， 符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 16．设函数，则使得函数在区间上存在最大值的一个值为______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】首先求出的解析式，再根据正弦函数的性质求出的范围，即可得解. 【详解】因为，则， 令，所以， 因为在区间上存在最大值， 所以， 则， 又，即，所以或， 所以符合题意的一个值为（答案不唯一）. 故答案为：（答案不唯一） 17．已知直线为函数图象的一条对称轴，则满足条件的一个的取值为_____；若在区间上有零点，则的最小值为_______． 【答案】 （答案不唯一） 4 【分析】根据余弦函数的对称性求出的取值集合，即可完成第一空，由余弦函数的对称中心求出的最小值. 【详解】因为直线为函数图象的一条对称轴， 所以，解得， 又，所以取（答案不唯一）； 若在区间上有零点，令，解得， 由，故且, 又且要求的最小值，故，所以的最小值为； 故答案为：（答案不唯一）； 18．函数的最小正周期___________，函数的长度为的一个单调递减区间为___________．（只需写出一个） 【答案】 （答案不唯一，满足即可） 【分析】先利用二倍角公式化简，进而结合余弦函数的周期公式、余弦函数的单调性求解即可. 【详解】由，则； 令，，则，， 则函数的长度为的一个单调递减区间为. 故答案为：（答案不唯一，满足即可）. 19．已知函数． (1)求函数的周期和其图像的对称轴方程； (2)当时，求的值域． 【答案】(1)最小正周期为，对称轴为 (2) 【分析】(1)由辅助角公式可得，根据得周期，正弦函数的对称轴为，整体代入可求对称轴方程. (2)代入的取值得到，整体代入可得函数值域. 【详解】（1）， 所以； 令，解得． （2）因为，所以 从而可知， 因此，故所求值域为． 20．已知函数，其中．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题． (1)求的值； (2)当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围． 条件①：； 条件②：是的一个零点； 条件③：． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) 任选条件②③，．   (2) 【分析】（1）根据选择的条件代入计算，结合角的范围即可利用特殊角的三角函数值求解； （2）由和差角公式以及辅助角公式化简，由整体法即可代入求解. 【详解】（1）选条件①：无意义， 所以选条件①时不存在，故不能选①， 选条件②， 由题设，所以．                                     因为， 所以，所以．                                         所以．   选条件③，由题设．整理得．                                 以下同选条件②． （2）由（1）， 因为， 所以．                      于是，当且仅当，即时，取得最大值；     当且仅当，即时，取得最小值．         又，即时，． 且当 时， 单调递增， 所以曲线与直线恰有一个公共点，则或， 的取值范围是． 重难·创新演练 21．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】A 【分析】先应用平移规则得出的解析式，再结合余弦函数的单调性判断各个选项即可. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数， 当，则在区间上单调递减，A选项正确；B选项错误； 当， 则在区间上单调递增，在区间上单调递减，C选项错误；D选项错误； 故选：A. 22．已知函数，函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数的图像，则下列说法正确的是（　　） A．函数图像关于对称 B．函数在上单调递增 C．函数图像在内有3个极值点 D．函数图像关于中心对称 【答案】B 【分析】化简的解析式，利用图象的平移变换求得的解析式，利用余弦函数的性质逐项计算可判断其正误. 【详解】 ， 函数的图像向左平移个单位得函数的图象， 再向上平移1个单位长度得到函数的图象， 对于A，， 所以函数图像不关于对称，故A错误； 对于B，，，由在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故B正确； 对于C，当时，， 由或，可得或是函数的极值点， 故函数图像在内有2个极值点， ， 所以函数图像关于中心对称，故D错误. 故选：B. 23．已知函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一，根据函数图象平移的性质求出函数的解析式，再判断的周期，结合的单调性画出函数的图象，利用数形结合思想进行判断求解即可. 方法二，先判断的周期性，再结合辅助角公式化简，求出函数的对称轴，运用对称轴平移法进行判断即可. 【详解】方法一，依题意得 因为， 所以为函数的一个周期． 当时，， 此时， 据此作出函数的图象，如图所示，根据函数的周期可得， 函数图象的对称轴方程为． 故选：C 方法二，易知是函数的一个周期，且当时，， 所以图象的对称轴方程为的图象向左平移个单位长度后得到的图象， 所以图象的对称轴向左平移个单位长度可得图象的对称轴，即直线． 故选：C． 24．设函数的图象在区间内恰有三条对称轴、两个对称中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到，求解即可. 【详解】因为，所以. 的部分图象如图所示，    要使函数的图象在区间内恰有三条对称轴、两个对称中心， 则，解得，即. 故选：C. 25．若函数满足如下条件， ①任意， ②存在唯一， ③存在． 则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由①得函数周期，结合②可得函数最小正周期，从而可求，再结合函数在给定范围上的单调性、对称性和二倍角的正弦公式可求的值. 【详解】因为， 故， 其中，且， 由①得，故的周期为， 若的最小正周期为，因为，故在的递增区间中， 故在上先增后减再增且， 故此时在上有两个不同的零点，这与②矛盾； 而周期为最小正周期的非零整数倍，故的最小正周期为，故， 故， 令，则图像的对称轴， 故图像在轴右侧的第一条对称轴为直线， 当时，， 又在上单调递增， 而，故在上单调递减， 故在上单调递增，在上单调递减， 因为，故， 故， 故选：C. 26．已知函数，则“”是“为偶函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合三角函数的奇偶性判定，从充分性、必要性两个方面分析即得结论. 【详解】若，则，函数的定义域为，关于原点对称， 因，则是偶函数，即充分性成立； 若函数为偶函数，， 则，，即必要性不成立. 所以“”是“函数为偶函数”的充分不必要条件. 故选：A． 27．设函数在上有零点且有唯一极大值点，同时存在，使得且，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】首先将函数化为标准正弦函数形式，然后根据题目条件确定的值. 【详解】由题意得， 当时，， 因为在上有零点且有唯一极大值点， 所以且，解得． 因为存在，使得且， 所以，，即，，解得，， 结合，取，可得符合题意． 故选：C． 28．已知函数，,，如图A，B是直线与曲线的交点，若，，则（    ）．    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由图可知，，可求出，再由，可求出. 【详解】由题意，令， 则由图可知，. 所以，解得. 又，结合图象可知，则， 又，解得. 故选：C. 29．已知函数在上递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可求出的取值范围，根据正弦型函数的单调性可得出关于的不等式组，即可求得的最大值. 【详解】因为，当时，， 因为函数在上递增，则， 故，解得，故的最大值为. 故选：D. 30．已知函数（），若恒成立，且在内至少有3个零点，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先化简得，由及进行求解． 【详解】 ， 若恒成立，则函数的一个周期为， 则，得 由，得， 而在内至少有3个零点， 则， 得，由， 得的最小值是， 故选：B 31．已知函数在 处取到最小值，且在区间上存在极大值，的最小整数解是（  ） A．2 B．8 C．10 D．14 【答案】B 【分析】由题意可得且，利用在区间上存在极大值，可得，进而求解即可. 【详解】因为在处取到最小值，所以， 所以，所以， 又，所以. 当，所以， 又因为在区间上存在极大值，所以, 所以，所以，即，解得， 所以且， 当时，，所以的最小整数解是8. 故选：B. 32．已知函数从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定． (1)求的解析式； (2)设，求函数在上的单调递增区间． 条件①：的最大值为1； 条件②：为偶函数； 条件③：； 条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为． 【答案】(1)选择①④或③④， (2)和 【分析】（1）首先利用二倍角的正弦公式化简函数，即可得到②与题设冲突，再分别选择①③，①④，③④三种情况讨论，分别根据正弦函数的性质求出，即可求出函数的解析式； （2）由（1）可得，再利用二倍角及辅助角公式化简，最后根据正弦函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，显然当时为奇函数，故②不能选， 若选择①③，即最大值为，所以，解得， 所以，又， 所以，即，， 解得，，故不能唯一确定，故舍去； 若选择③④，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为， 则函数周期， 可得，解得，得到， 又，所以， 解得，则； 若选择①④，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为， 则，解得，得到， 又的最大值为，所以，解得，故. （2）由（1）可得 ， 令，， 解得，， 则函数的单调递增区间为，， 又，所以在上的单调递增区间为和. 33．已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求： (1)的单调递增区间； (2)在区间的取值范围. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 【答案】(1) 选①： ， 则其单调递增区间为； 选②：， 令，解得， 故单调递增区间为； 选③： ， 令，解得， 故单调递增区间为. (2) 选①：，当时，， 故的值域为； 选②：，当时，， 则， 故的值域为； 选③：， 当时，，在上单调递增， 由于 ， ， 则， 故的值域为. 【分析】（1）利用三角恒等变换化简的表达式，结合正弦函数或余弦函数的单调性，即可求得答案； （2）根据的解析式，以及，利用正余弦函数的单调性，即可求得函数值域. 【详解】（1）略 （2）略 34．已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)若，且是函数的一个零点，直线是曲线的一条对称轴，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用辅助角公式与二倍角公式化简原函数，再结合整体代入法求解单调区间即可. （2）利用正弦函数的性质求出和，最后求出即可. 【详解】（1）因为， 所以， 令，则， 所以函数的单调递增区间为； （2）因为是函数的一个零点， 所以令，而，则， 可得，解得， 因为直线是曲线的一条对称轴， 所以，解得， 因为，所以令，得到， 故. 35．已知函数 (1)若，求的值 (2)若将的图像向右平移个单位得到的图像，再从下面三个条件中选出两个条件，使得存在且唯一，求出此时的解析式.若在上仅有两个零点，求出此时的取值范围. 条件①：相邻的两个零点之间的距离为； 条件②的对称中心为 条件③：． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据三角恒等变换化简，再由求解即可； （2）平移后得出，分别选择组合求出存在唯一，再由函数零点个数列出不等式组求解即可. 【详解】（1） ， 又，所以， 由可知，. （2）由题意，， 若选择①②，由①可知，即，解得， 由②可知，，即，由可得， 此时存在且唯一，, 令，可得，即 因为在上仅有两个零点， 所以，解得， 故的取值范围为. 若选①③，由①可得，由③可知，由可得， 此时存在且唯一，, 令，可得，即 因为在上仅有两个零点， 所以，解得， 故的取值范围为. 若选②③，由③可得，再由②可得，即， 由，可得，不唯一，不合题意； 36．设函数，且． (1)求的值； (2)已知在区间上单调递减，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求在区间上的取值范围． 条件①：； 条件②：是的一个极值点； 条件③：的图象关于点对称； 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分，如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 条件②：的取值范围为. 条件③：的取值范围为. 【分析】（1）利用的值求得. （2）条件①：通过正弦函数值域判定方程无解，函数不存在. 条件②：利用极值点求出，结合单调区间长度确定，进而求取值范围. 条件③：利用对称中心求出，结合单调区间长度确定，进而求取值范围. 【详解】（1）由，得，又，故. （2）条件①：由，得，即. 因正弦函数的值域为，而，故此条件下函数不存在. 条件②：由是极值点，得（），解得. 又在上单调递减，区间长度为，故，即. 结合，得，则. 当时，，， 故的取值范围为. 条件③：由图象关于点对称，得（），解得. 又在上单调递减，区间长度为，故，即. 结合，得时，，则. 当时，，， 故的取值范围为. 37．已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若在区间上的最大值为，求的值. 【答案】(1)最小正周期，单调递增区间是（）． (2). 【分析】（1）利用三角恒等变换得，再根据正弦型函数性质即可得到答案； （2）利用整体法再结合三角函数图象与性质得到，解出即可. 【详解】（1）， 所以最小正周期．由， 得，，故函数的单调递增区间是（）． （2），则， 因为，在区间上的最大值为， 则函数在上单调递减，则， 再结合正弦函数性质知，则，解得. 38．已知，是函数的两个相邻极值点.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使的解析式能唯一确定. (1)求的解析式； (2)若在区间上有且仅有2个零点，求的取值范围. 条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) 选择条件①②：； 选择条件①③：； 不能选择条件②与条件③； (2) 【分析】（1）可选择条件①与条件②，先借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再借助条件①可得函数最小正周期，即可得，再借助条件②，由极值点定义计算可得；或条件①与条件③，先借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再借助条件①可得函数最小正周期，即可得，再借助条件③计算可得；不能选择条件②与条件③，结合对称轴的定义计算可得，但使用条件③时会导致多解； （2）结合正弦型函数性质计算即可得. 【详解】（1） ； 若：选择条件①：与条件②：： 由，则的最小正周期，则，即； 由为对称轴，可得， 所以的极值为或， 根据条件②，可得或， 解得（与矛盾，舍去）或， 故，； 若：选择条件①：与条件③：： 由，则的最小正周期，则，即； 又，则，即， 故； 不能选择条件②与条件③，理由如下： 若：选择条件②：与条件③：： 由为对称轴，可得， 所以的极值为或， 根据条件②，可得或， 解得（与矛盾，舍去）或， 由，则，有， 故或，， 则或，，则有无数种取值可能，的解析式不唯一； （2）当时，， 由在区间上有且仅有2个零点， 则，解得. 39．已知函数，且在上单调.从以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在. ①的最大值为2；②；③的图象关于直线对称； (1)求函数的单调增区间； (2)已知，且，求的最小值. 注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，若选①，计算并检验可得，即，根据正弦函数性质列式计算即可求解；若选②，计算可得，解法同①；若选③，计算可得，解法同①； （2）由（1）可得，由题意可知令，解得或，计算即可求解. 【详解】（1）因为 ， 若选①，的最大值为2， 因为（其中） 所以，解得或； 当时，， 当时，， 因为在上不单调，不符合题意； 当时，， 当时，， 因为在上单调递增，符合题意， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为； 若选②，则， 所以， 当时，， 因为在上单调递增，符合题意， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为； 若选③的图象关于直线对称， 则，解得， 所以， 当时，， 因为在上单调递增，符合题意， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为； （2）由（1）可得， 则，令， 即，即， 即或， 当，则或， 解得或； 当，则或， 解得或； 因为且， 所以. 40．已知函数. (1)若，求的值； (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值. 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 选条件②：； 选条件③：. 【分析】（1）根据辅助角公式化简函数解析式，利用代入法进行求解即可； （2）若选条件①：根据函数的单调性进行判断即可；若选条件②：根据函数的单调性，结合正弦型函数的最小正周期公式进行求解即可；若选条件③：根据函数的单调性判断函数的最小值，结合条件②的结论进行求解即可. 【详解】（1）， 若， 所以， 因为，所以令，即； （2）若选条件①： 已知条件为在区间上单调递增，，. 因为， 在区间上单调递增， 所以，显然，不能同时成立， 故不存在函数，不能选择该条件； 若选条件②：已知条件为在区间上单调递增，，. 因为， 在区间上单调递增， 所以有，显然，同时能成立， 由可知该函数的最小值为， 于是有，即， 又因为， 所以， 因为，所以令，即， 所以可以选择本条件，此时； 若选条件③：已知条件为在区间上单调递增，，在区间上单调递减. 因为在区间上单调递增，上单调递减. 所以函数，此时， 所以由条件②可知可以选择本条件，此时. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $