第十六讲 函数图象及其变换 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数图象及其变换高考核心考点，涵盖基本初等函数图像、平移伸缩对称变换及应用，按“基础图像—变换规律—解题方法”逻辑架构知识点。通过必掌握知识点梳理、解题方法总结、必考题型专项训练，帮助学生突破变换应用难点，构建系统复习体系。 资料以高考题型为导向，设计识图排除、变换综合、新定义应用等八大题型，融入数学思维与创新意识培养。如在对称变换教学中，通过对比原函数与变换后图象特征，引导学生用数学语言表达规律，配合分层训练与即时反馈，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供实用指导。

2027届高三数学一轮复习 第十六讲 函数图象及其变换 【学习目标】1.知道函数图象的平移、伸缩、对称变换，能够绘制变换后的函数图象； 2.能够借助函数图象解决相关问题. 【学习重点】函数图象及其平移、伸缩、对称变换的应用． 【学习难点】函数图象及其平移、伸缩、对称变换的应用． 必掌握知识点 一、掌握基本初等函数的图像 （1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数． 二、函数图像作法 1、直接画 ①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）． 2、图像的变换 （1）平移变换 ①函数的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的； ②函数的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的； ③函数的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的； ④函数的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的； （2）对称变换 ①函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于坐标原点对称； ②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有 或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）； 若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有 ③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示 ④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）． 注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到； 而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换． ⑤函数与的图像关于对称． （3）伸缩变换 ①的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到． ②的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到． 解题方法总结： （1）若恒成立，则的图像关于直线对称． （2）设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于直线对称． （3）若，对任意恒成立，则的图象关于直线对称． （4）函数与函数的图象关于直线对称． （5）函数与函数的图象关于直线对称． （6）函数与函数的图象关于点中心对称． （7）函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”． 必考题型全归纳 题型一 识图排除法 —— 由函数图象特征判断解析式 1．函数的部分图象如图所示，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 题型二 多种图象变换综合（平移 、 伸缩 、 对称）+ 奇偶复合 2．已知函数为奇函数，与图像关于对称，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 题型三 正弦型三角函数图象变换、周期、单调区间、对称中心 、对称轴 3（多选）．对于函数，下列结论正确的是（   ） A．若恒成立，则的最小值为 B．当时，是单调增区间 C．当时，的图象关于对称 D．当时，的图象可由的图象向右移个单位得到 4（多选）．已知函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍，得到曲线，若函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（   ） A． B．函数的图象与y轴的交点坐标为 C．函数的图象关于对称 D．函数在单调递减 5（多选）．已知向量，，函数，则（    ） A．若f(x)的最小正周期为π，则f(x)的图象关于点对称 B．若f(x)的图象关于直线称，则ω可能为 C．若f(x)在上单调递增，则 D．若f(x)的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数的图象，则ω的最小值为 6（多选）．下列叙述中正确的有（    ） A．函数与是同一函数 B．函数与函数的图象关于直线对称 C．函数的零点在区间内 D．若函数的值域是，则实数的取值范围是 题型四 原函数与导函数图象匹配 7（多选）．设是函数的导函数，下列将和的图象放在同一个直角坐标系中，其中可能正确的是（   ） A．  B．  C．  D．   题型五 指数、对数函数图象辨析 8．（多选）已知，且，则函数与的图象可能为（    ） A．B．C．D． 题型六 绝对值函数图象绘制、零点转化为图象交点 9．（一）在函数图象的学习中常常用到化归转化的思想，往往通过对一些已经学习过的函数图象的研究，进一步迁移到其它函数，例如函数与正弦函数就有密切的联系，因为.只需将在轴下方的图象翻折到上方，就得到的图象. （二）在研究函数零点问题时，往往会将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题.例如研究函数的零点就可以转化为函数与函数的图象交点来进行处理，通过作图不仅知道函数有且仅有一个零点，还可以确定零点.这体现了化归转化与数形结合的思想在函数研究中的应用. 结合阅读材料回答下面两个问题： 作出函数的图象； 利用作图的方法验证函数有且仅有两个零点.若记两个零点分别为，，证明：.（注：在同一坐标中作图） 题型七 凸函数、拐点、二阶导数、中心对称新定义 10． 阅读材料一：设函数在区间上有定义，若对任意和任意，都有，则称是区间上的下凸函数；反之，如果都有，则称是区间上的上凸函数. 阅读材料二：若函数在区间上可导，即存在，且导函数在区间上也可导，则称在区间上存在二阶导函数，即.设函数在区间上存在二阶导函数，则在区间上是下凸（上凸）函数的充要条件是对任意都有（）且在区间的任意子区间内不恒为0. 阅读材料三：设函数在区间上连续，（其中为无限接近于0的正数），在上存在二阶导函数，若在和上的符号相反，则点为曲线的拐点.请根据以上阅读材料，回答下列问题： (1)证明：对任意，，不等式恒成立； (2)设函数，若点是曲线的拐点，求实数，的值，并证明的图象关于拐点中心对称： (3)设函数，若点是曲线的一个拐点，且，其中，试证明：. 题型八 函数图象对称中心推广（一般点对称充要条件） 11．我们知道，函数图象关于原点对称的充要条件是，结合函数图象平移等知识，该结论可以推广为：函数图象关于点对称的充要条件是. 阅读以上材料，解答下列问题： (1)直接写出函数图象的对称中心： (2)若函数， （i）求证：函数的图象是中心对称图形并求出对称中心点的坐标； （ii）已知函数的图象关于点对称，且当时，，若对，使得，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第十六讲 函数图象及其变换 【学习目标】1.知道函数图象的平移、伸缩、对称变换，能够绘制变换后的函数图象； 2.能够借助函数图象解决相关问题. 【学习重点】函数图象及其平移、伸缩、对称变换的应用． 【学习难点】函数图象及其平移、伸缩、对称变换的应用． 必掌握知识点 一、掌握基本初等函数的图像 （1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数． 二、函数图像作法 1、直接画 ①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）． 2、图像的变换 （1）平移变换 ①函数的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的； ②函数的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的； ③函数的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的； ④函数的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的； （2）对称变换 ①函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于坐标原点对称； ②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有 或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）； 若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有 ③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示 ④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）． 注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到； 而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换． ⑤函数与的图像关于对称． （3）伸缩变换 ①的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到． ②的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到． 解题方法总结： （1）若恒成立，则的图像关于直线对称． （2）设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于直线对称． （3）若，对任意恒成立，则的图象关于直线对称． （4）函数与函数的图象关于直线对称． （5）函数与函数的图象关于直线对称． （6）函数与函数的图象关于点中心对称． （7）函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”． 必考题型全归纳 题型一 识图排除法 —— 由函数图象特征判断解析式 1．函数的部分图象如图所示，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用排除法，根据图象过和逐项分析判断. 【详解】因为图象过， 对于选项A：，故A错误； 对于选项C：，故C错误； 又因为图象过，但的定义域为，故B错误；故选：D. 题型二 多种图象变换综合（平移 、 伸缩 、 对称）+ 奇偶复合 2．已知函数为奇函数，与图像关于对称，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据奇函数的对称关系结合图象可知的对称性，进而得到图象的对称性，再由可知点的对称，由此得出结论. 解法一：函数为奇函数，故的图象关于原点对称， 而函数的图象可由向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍， 故函数的图象关于对称，与图像关于对称， 故函数图象关于对称，所以， 而. 解法二：（特例法）设，令，∴， ，∴.∵与关于对称 ， ，，∵，所以.故选：A 【点睛】本题考查利用换元法求函数的解析式及图象的对称性问题，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 题型三 正弦型三角函数图象变换、周期、单调区间、对称中心 、对称轴 3（多选）．对于函数，下列结论正确的是（   ） A．若恒成立，则的最小值为 B．当时，是单调增区间 C．当时，的图象关于对称 D．当时，的图象可由的图象向右移个单位得到 【答案】BCD 【分析】对于A，分析可得，求出正数的最小值，可判断A的正误；利用正弦型函数的单调性可判断B的正误；利用正弦型函数的对称性可判断C的正误；利用诱导公式以及三角函数图象变换可判断D的正误. 【详解】对于A选项，由题意可知，，所以，，可得，因为，当时，取最小值，A错； 对于B选项，当时，由得， 此时，函数的单调递增区间为，B对； 对于C选项，当时，，， 此时，的图象关于对称，C对； 对于D选项，当时，， 此时，的图象可由的图象向右移个单位得到，D对.故选：BCD. 4（多选）．已知函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍，得到曲线，若函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（   ） A． B．函数的图象与y轴的交点坐标为 C．函数的图象关于对称 D．函数在单调递减 【答案】AD 【分析】利用图象变换的有关知识，可得，利用最小正周期可求得解析式，进而结合每个选项的条件逐项计算判断即可. 【详解】对A，函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍得函数的图象，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得函数的图象，所以，由函数的最小正周期为，所以，解得，故A正确； 对B，所以，令，可得， 所以函数的图象与y轴的交点坐标为，故B错误； 对C，由， 故不是函数的图象的对称中心，故C错误； 对D，因为，所以，由在上单调递减， 所以函数在单调递减，故D正确.故选：AD. 5（多选）．已知向量，，函数，则（    ） A．若f(x)的最小正周期为π，则f(x)的图象关于点对称 B．若f(x)的图象关于直线称，则ω可能为 C．若f(x)在上单调递增，则 D．若f(x)的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数的图象，则ω的最小值为 【答案】BC 【分析】首先化简函数，再根据三角函数的周期，对称，单调性，以及图象平移，即可判断选项. 【详解】 , A.若函数的最小正周期为，则，即 ，当时，，此时，所以函数关于对称，故A错误； B.若函数的图象关于直线对称，则，，得，，所以的可能为，故B正确； C. 当时，，则，解得：，故C正确； D.函数的图象向左平移个单位长度后得到， 函数是偶函数，则当时，，得，，且，所以的最小值是，故D错误.故选：BC 6（多选）．下列叙述中正确的有（    ） A．函数与是同一函数 B．函数与函数的图象关于直线对称 C．函数的零点在区间内 D．若函数的值域是，则实数的取值范围是 【答案】BD 【分析】A.根据同一函数的定义，即可判断；B.根据指对函数的对称性，即可判断；C.根据函数的单调性，即可判断；D.根据条件转化为函数的值域包含，结合函数的图象和性质，即可判断. 【详解】A.函数的定义域需满足，即， 函数的定义域需满足，即或，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误； B. 函数与函数的图象关于直线对称，故B正确； C. 函数是增函数，，，所以零点不在区间内，故C错误； D. 若函数的值域是，即函数的值域包含， 当时，，不成立 当时，，得，故D正确.故选：BD 题型四 原函数与导函数图象匹配 7（多选）．设是函数的导函数，下列将和的图象放在同一个直角坐标系中，其中可能正确的是（   ） A．  B．  C．  D．   【答案】ABC 【分析】结合原函数与导函数的关系依次判断即可． 【详解】对于A，有可能二次函数为原函数，直线为导函数，原函数先增后减，导函数先正后负，符合要求，故A正确； 对于B，有可能轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正，符合要求，故B正确； 对于C，有可能轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正，符合要求，故C正确； 对于D，无论谁作导函数，谁作原函数，都无法同步，故D错误.故选：ABC. 题型五 指数、对数函数图象辨析 8．（多选）已知，且，则函数与的图象可能为（    ） A．B．C．D． 【答案】ABD 【分析】对讨论与1的关系，即可结合对数函数的图象性质求解. 【详解】当时，和的图象如A项所示，A正确； 当时，和的图象如B项所示，B正确； 当时，和的图象如D项所示，C错误，D正确．故选：ABD 题型六 绝对值函数图象绘制、零点转化为图象交点 9．（一）在函数图象的学习中常常用到化归转化的思想，往往通过对一些已经学习过的函数图象的研究，进一步迁移到其它函数，例如函数与正弦函数就有密切的联系，因为.只需将在轴下方的图象翻折到上方，就得到的图象. （二）在研究函数零点问题时，往往会将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题.例如研究函数的零点就可以转化为函数与函数的图象交点来进行处理，通过作图不仅知道函数有且仅有一个零点，还可以确定零点.这体现了化归转化与数形结合的思想在函数研究中的应用. 结合阅读材料回答下面两个问题： 作出函数的图象； 利用作图的方法验证函数有且仅有两个零点.若记两个零点分别为，，证明：.（注：在同一坐标中作图） 【答案】图象见解析；证明见解析. 【分析】函数的图象，只需将在轴下方的图象翻折到上方，即可得到图象； 函数的零点就可以转化为函数与函数的图象交点来进行处理，进而求证即可. 解：函数的图象，只需将在轴下方的图象翻折到上方，即图象如下图： 函数的零点就可以转化为函数与函数的图象交点来进行处理，作图如下：根据图象可知，函数与函数的图象有两个交点.即函数有且仅有两个零点. 证明：零点，，，， 则，即， 整理得，.则. 【点睛】本题考查函数的零点问题，考查数形结合的方法和转化的思想，属于中档题. 题型七 凸函数、拐点、二阶导数、中心对称新定义 10．阅读材料一：设函数在区间上有定义，若对任意和任意，都有，则称是区间上的下凸函数；反之，如果都有，则称是区间上的上凸函数.阅读材料二：若函数在区间上可导，即存在，且导函数在区间上也可导，则称在区间上存在二阶导函数，即.设函数在区间上存在二阶导函数，则在区间上是下凸（上凸）函数的充要条件是对任意都有（）且在区间的任意子区间内不恒为0.阅读材料三：设函数在区间上连续，（其中为无限接近于0的正数），在上存在二阶导函数，若在和上的符号相反，则点为曲线的拐点.请根据以上阅读材料，回答下列问题： (1)证明：对任意，，不等式恒成立； (2)设函数，若点是曲线的拐点，求实数，的值，并证明的图象关于拐点中心对称： (3)设函数，若点是曲线的一个拐点，且，其中，试证明：. 【分析】（1）构造函数，证明是上凸函数即可推理得证. （2）利用“拐点”的意义可得，结合求出；再利用中心对称的定义计算推理即可. （3）利用“拐点”的定义求出“拐点”，构造函数，利用导数探讨单调性可得，再结合给定条件及函数的单调性推理即得. 【详解】（1）当或时，不等式成立，令函数， ，，因此函数是上凸函数， 则对任意，，即， 所以对任意，，不等式恒成立. （2）函数，则，， 由点是曲线的拐点，得当时值与当时值符号相反， 因此，又，解得； ， ，所以的图象关于拐点中心对称. （3）函数的定义域为，则，， 当时，，当时，，依题意，，， 当时，，即， 令 ，， 求导得， 即函数在上单调递增，，即， 而，则，即，因此， 当时，，当且仅当时取等号， 于是函数在上单调递增，又，因此，即， 所以. 【点睛】函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 题型八 函数图象对称中心推广（一般点对称充要条件） 11．我们知道，函数图象关于原点对称的充要条件是，结合函数图象平移等知识，该结论可以推广为：函数图象关于点对称的充要条件是. 阅读以上材料，解答下列问题： (1)直接写出函数图象的对称中心： (2)若函数， （i）求证：函数的图象是中心对称图形并求出对称中心点的坐标； （ii）已知函数的图象关于点对称，且当时，，若对，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析，点的坐标为；（ii）. 【分析】（1）利用给定的充要条件求出对称中心; （2）（i）利用给定的充要条件，结合对数运算计算得证，并求出点坐标；（ii）由对称性求出函数在上的解析式，求出函数在上的值域，再由函数在上的值域包含函数在上的值域求出范围. 【详解】（1）函数定义域为R，令， 则 ，因此函数的图象关于点对称， 所以数图象的对称中心是. （2）（i）函数中，，即，解得， 因此函数的定义域为， ， 所以函数的图象是中心对称图形，其对称中心点的坐标为. （ii），函数在上单调递减， 函数在上单调递增，因此函数在上单调递减， 当时，，而， 则函数在上的值域为， 由函数的图象关于点对称，得，即， 当时，，则当时，， ， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，则函数在上单调递增，， 由对，使得，得函数在上的值域包含于，，当，即时，， ，解得，因此； 当，即时，，， ，函数在上的值域包含于，因此； 当，即时，，， ，函数在上的值域包含于，因此； 当时，，， 解得，因此， 所以实数的取值范围是. 【点睛】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， ①若，，总有成立，故； ②若，，有成立，故； ③若，，有成立，故； ④若，，有，则的值域是值域的子集 ． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $