三角函数 第7讲 三角函数的零点与方程 提高讲义-2027届高三数学一轮复习

三角函数的零点与方程 零点个数的判定与含参讨论 零点个数的判定 提高部分的零点问题，第一步常常是把函数化简到只有一个函数名。 与 同时出现时，先用降幂与辅助角合并成一个正弦；化到 之后，题目就变成「数区间里有多少个 满足它」。这一步不做，后面无从下手。 第二类结构是零点的对称性。正弦型函数的零点总是成对出现在对称轴的两侧：若两条零点关于 对称，则 。于是「求所有零点的和」不用逐个求出零点，只要数出零点个数、再找出对称中心或对称轴对应的一列 就行。遇到 这类方程时，两个根也成对关于极值点对称。 第三类是零点存在性，它走的是另一条路：不求解，只证明有一个。做法固定成三步 —— 先说函数在闭区间上连续，再证它在这个区间上单调，最后在两个端点各代一次值、发现符号相反，于是区间内恰有一个零点。单调这一步不能省：只靠两端异号，只能保证至少一个。 还有一类题把零点与数列连起来。零点按从小到大排成一列之后，相邻两项的距离往往是定值（半个周期或一个周期），于是这列零点本身就分成几个等差数列，「前 项和」用等差数列的公式算即可。遇到这种问法，先把零点的一般式写出来，再按 的奇偶分类看规律。相邻两项的距离是「半个周期」还是「一个周期」，取决于两支零点交错之后谁跟谁相邻，把点排成一排看最清楚。 例1（解答·★★★★☆） 已知函数. 若函数，讨论函数在上零点的个数. 【切入点】 的表达式里 出现两次，先把两个 各自写开再相减 —— 目标是把它化成一个只含 的方程。 【关键】把 展开：，与 相减得 。再把 用 拆开，与 提取公因式：。 【关键】于是 等价于 或 。第一个方程在 上只有 一个解。第二个方程记 ，由 得 ，所以 的取值范围是 。把 与这个区间比较： 即 ，或 即 时无解； 即 时只有 一个解； 即 时有两个解且都不等于 ； 即 时只有一个解且不等于 。再叠加上 这一个零点，就得到三种情形下的零点个数： 或 时， 只有一个零点； 时， 有三个零点； 时， 有两个零点。 【易错】第一，公因式提出来之后两个因式都要解，只解第二个方程会把 丢掉。第二， 与 是分类的分界点，它们对应第二个方程「解与 重合」，必须单独说明，不能笼统地写「有两个解」。第三， 在 上的取值范围是 ，不是 —— 区间的左端点决定了 的下界。 【答案】① 或 时， 只有一个零点；② 时， 有三个零点；③ 时， 有两个零点 变式1-1（单选·★★★☆☆） 已知函数的最小正周期为，将所有的正零点按从小到大的顺序排列得到数列，则数列的前12项的和为（ ） A. B. C. D. 【切入点】先用最小正周期把 定下来，再把零点的一般式写出来 —— 「前 项和」只有在零点的一般式看清楚之后才好算。 【关键】合并：。最小正周期为 ，所以 ，得 ，。令 ，得 ，通解为 或 ，即 或 。取 得正零点 —— 奇数项是首项 、公差 的等差数列，偶数项是首项 、公差 的等差数列。 【关键】前 项里奇数项、偶数项各 个，奇数项和是 ，偶数项和是 ，合计 。故选 A。 【易错】第一，两个通解要并起来排序，只跟着一个分支往下排会把另一支的零点漏掉。第二，公差是 而不是 —— 两个分支之间恰好隔了 ，交错之后相邻两项的距离是 。第三，「前 项和」的公式里 不是 ，把奇数项与偶数项各 个数清楚再代公式。 【答案】A 变式1-2（单选·★★★☆☆） 已知函数，在区间上单调递增，为它的一条对称轴，则方程在区间上所有不相等的实数根之和为（ ） A. B. C. D. 【切入点】方程里带着 ，先按 的正负把绝对值拆掉；而 要先用「对称轴 + 单调递增」两个条件夹出来。 【关键】先合并：。由 是对称轴得 ，即 ；又 在 上递增，这段区间落在同一个增区间内，长度 不超过半个周期，即 ，得 。所以 ，逐个把相位区间代进去检验，只有 满足递增要求。 【关键】于是 。方程 分两种情形： 时化为 ，即 ； 时左边为 ，方程无解。解 ，得 或 ，即 或 。在 内取到 、、、、、 共 个根，和为 。故选 C。 【易错】第一， 有四个候选值，必须逐个检验单调性 —— 只凭 就把四个都算进去，答案会全错。第二， 那一支不能漏：绝对值拆开后左边是 ，方程变成 ，无解，这一步要说清楚。第三，根是均匀分布的（每两个一组、组间距离 ），先数清个数再求和，比逐个求值快也准。 【答案】C 例2（解答·★★★★☆） 已知函数. 证明：在区间有且仅有一个零点. 【切入点】题目不要求求出零点，只要求证明「有且仅有一个」——「有」靠零点存在定理，「仅有一个」靠单调性，两件事分开做。 【关键】先看单调性。。当 时 而 ，所以 （只在 处取到 ）， 在 上单调递减。单调保证了「至多一个」。 【关键】再算两个端点的值：，。 在闭区间上连续、两端函数值异号，由零点存在定理，区间内至少有一个零点。「至少一个」加上「至多一个」，就是有且仅有一个。 【易错】第一，单调与异号缺一不可 —— 只靠两端异号只能说明至少一个零点，凑不够「唯一」。第二，求导后 的符号要分开判： 在本题区间上恒成立，符号完全由 决定，漏掉这一点就会犹豫不定。第三，写零点存在定理时必须交代在闭区间上连续，这是定理的前提，不能省。 【答案】证明见解析 变式2-1（解答·★★★★☆） 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且．（1）求；（2）求函数与的图象在区间内的交点横坐标． 【切入点】 由 平移得到，所以 上的点可以「退回」成 上的点 —— 先把 定出来，再解 。 【关键】，所以 的图象经过 ，意味着 的图象经过 。代入得 。由 知 ，在这个范围里余弦值为 的角只有 ，所以 ，解得 。 【关键】于是 ，。令 ，即两个余弦值相等：要么两个角相等（相差 的整数倍），要么两个角互补（和为 的整数倍）。前者对应 恒定的差 ，不可能等于 ；后者给出 ，即 。把这个式子放到区间 上检验： 得 ，在区间内； 得 、 得 ，都在区间外。所以交点只有一个，横坐标为 。 【易错】第一，平移方向要算对： 是 向左平移得到的，所以 ；反过来把 上的点往右退回去，才得到 上的对应点。第二， 有两条出路（相等或互补），只写一条会漏掉交点。第三， 的检验要在题目给定的闭区间上逐个试，区间的两个端点都是分数，先把它们通分到同一个分母上再比大小。 【答案】① ；② 交点的横坐标为 例3（单选·★★★☆☆） 记函数，的两个零点为和，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】题目把零点记成 、，但真正需要的不是它们本身，而是它们的三角函数值 —— 先用 把零点解出来。 【关键】令 ，得 ，与 联立消去 ：，整理得 ，解得 或 。再由 定位： 给出 或 ，其中 时 ，代入原式左边是 ，舍去；所以 ，而 且 ，此时 。 【关键】逐项判断：A 项：，由 得 ，所以该值为 ，A 错；B 项：，B 错；C 项：，C 错；D 项：，D 对。故选 D。 【易错】第一，解出 之后必须回代检验： 与 的 不同，只有一个满足原方程，漏掉检验就会多出一个根。第二，半角公式开方时要看半角的范围 —— 所以 ，正弦值取正，符号不能随手写。第三， 这一步用的是诱导公式，先把和化简再求值，比分别求两个角的值省事得多。 【答案】D 变式3-1（单选·★★★☆☆） 已知函数，若有两个零点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 是把两个角写成 的形式，展开相减正好把余弦的乘积项留下 —— 零点立刻可以解出来。 【关键】把 与 分别看成 与 ，用两角差的余弦公式相减：。令 ，得 或 。 【关键】由 知 ，第二个方程无解；由 得 或 ，即 、。于是 。分子分母同乘 ，连用两次二倍角公式 ：原式等于 。而 ，所以原式等于 。故选 B。 【易错】第一， 展开的方向要选对 —— 写成 ，中间的加号与减号写反就全错。第二， 上 有两个解，只取 会漏掉 。第三， 要先用诱导公式化到 ，不能凭印象判符号。 【答案】B 变式3-2（单选·★★★☆☆） 设是函数的一个零点，则函数在区间内所有极值点之和为（ ） A. B. C. D. 【切入点】题目只给了一个零点，没有给 ，所以先想清楚「零点」能把 定到什么程度；再看极值点的位置由谁决定。 【关键】 是零点，代入得 ，即 。此时 —— 极值点的位置与这个正负号无关，所以不必确定 取几。 【关键】极值点满足 ，即 。由 解出 ： 依次取 ，得四个极值点 、、、。它们是公差为 的等差数列，和为 。故选 C。 【易错】第一，把 写成 之后不要急着取一个特殊的 —— 只是整体可能变号，极值点的横坐标一样，多此一举反而容易漏情形。第二，解 的范围时两端都要试： 得 舍去， 得 也要舍去。第三，四个极值点之和用等差数列求和比逐个相加稳，首项与公差都要算对。 【答案】C 由零点个数反求参数 提高部分的第一步常常是把方程解成一个关于 的代数方程。题面给出的是「关于 的二次方程有 个根」，这时先解出 的两个可能取值 、，再分别数 与 在给定区间上有几个解，两者相加才是原方程的根的个数。分给两个值的解数怎么搭配，是这一类题唯一的难点。 第二类是参数落在区间端点上。比如「在 上有且仅有 个零点」，把零点按从小到大排成一列之后，只要让第 个落在区间内、第 个落在区间外， 的范围就被两头夹住了。端点的开闭由「第 个零点能不能恰好等于 」决定，把 取成那个临界值代回去数一遍即可。 第三类是分离参数后求值域，难点在右边那个函数的最值。常用两个换元： 时 ；遇到 这种双重绝对值，要按 所在的象限分段去掉绝对值，每段都变成一个关于 的二次函数，再把各段的值域并起来。 最后是「始终有解」型的翻译：「对任意 ，方程在 上始终有解」这类话，先是看函数是不是以 为周期 —— 若区间长度恰好等于一个周期，每个区间上函数取到的值就与起点无关，条件于是退化成「参数落在整个值域里」。把区间长度与周期对上看，这一步往往一步就到；若区间长度不是周期的整数倍，「始终有解」就要按 的取值分类讨论，那时题目会换成更具体的说法。 例4（解答·★★★★☆） 已知函数的最小正周期为．（1）求的值；（2）将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有且仅有3个零点，求的取值范围． 【切入点】 由最小正周期定；平移只改变相位，所以第二步本质上是「数零点、卡端点」—— 把 的零点按从小到大排出来即可。 【关键】先化简 ：。最小正周期为 ，即 ，得 。 【关键】由 得 。左移 、下移 得 。令 ，即 ，得 或 ，解出 或 。把 内的零点从小到大排：、、、、。要恰有 个零点，就要第 个 落在区间内、第 个 落在区间外，所以 。 【易错】第一，平移的量要加在相位上：左移 后相位多出 ，写成 就错了。第二，两个分支的解要并起来排序，只按一个分支往下数会漏掉 这样的零点。第三， 时第 个零点恰好取到，仍是 个，所以左端闭； 时第 个零点取到，变成 个，所以右端开。 【答案】① ；② 的取值范围是 变式4-1（单选·★★★☆☆） 设函数，若在内恰有3个零点，则的取值不可以为（ ） A. B. C. D. 【切入点】问的是「 的取值不可以为」，那就把四个备选值逐一代进去数零点，比先求 的范围再比对更快。 【关键】 即 ，由 得 。 的解是 与 ，两族点交错排列，相邻两个的间距是 。 【关键】逐个代入： 时 ，符合条件的 是 、、，共 个； 时 ，符合的是 、、，共 个； 时 ，符合的只有 与 （ 已经小于左端点），共 个； 时 ，符合的是 、、，共 个。只有 得到 个零点。故选 C。 【易错】第一，区间是闭区间 ， 时 对应 在区间内，要算； 时左端点的 也要算。第二，逐项代入时不要漏掉右端点附近的解 —— 与 、 都靠得很近，要逐个和右端点比大小。第三，本题是「取不可以为」，选出来的应当是不满足条件的那一个，别选反。 【答案】C 例5（填空·★★★★☆） 若对于任意的，关于x的方程在上始终有解，则m的取值范围为__________. 【切入点】区间 的长度恰好是 ，所以先看左边的函数是不是以 为周期 —— 是的话，起点 就不重要了。 【关键】记 。把 换成 ，两个绝对值里的式子同时变号，绝对值不变，所以 ，周期为 。于是不管起点 取在哪里，函数在长度为一个周期的区间上走过的值与在 上完全一样。题目那句「始终有解」于是只剩下一个要求： 能被 在某处取到，也就是 落在 的值域里。 【关键】设 ，则 ，按 所在的范围分段去绝对值：当 时 且 ，；当 时 而 ，；当 时 ，。三段并起来，值域为 ，所以 的取值范围是 。 【易错】第一，去绝对值之前必须先分段： 的符号由 决定， 的符号由 落在哪个象限决定，两者的分界点在 、、 处，要一起考虑。第二， 的取值范围在每段里是不一样的，（如第二段是 而不是 ），这一点直接决定二次函数在哪一段上取到最值。第三，「始终有解」的等价替换依赖周期恰为 ，换成别的区间长度就要重新分析。 【答案】 变式5-1（单选·★★★☆☆） 已知，若函数在区间上有且只有一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】把 整理成「一条正弦曲线 = 一个绝对值函数」，数交点就变成数两条曲线的高低关系；注意到左边是对称的正弦、右边是一条折线，先看两端谁高谁低。 【关键】方程等价于 。记左边为 、右边为 ，并设差函数 。在区间两端：，。由 、 知 ，所以 恒成立。 【关键】要让 在 上有零点，必须 ，即 ，也就是 。解这个不等式：。但这个范围里还要排除端点 —— 此时 ，折线的折点在 处落在区间内部， 先在 上单调递增、再在 上单调递减，而 、，于是除 外还会多出一个零点，共 个，不合题意。所以 的取值范围是 。故选 C。 【易错】第一， 是「恒成立」的，所以唯一要卡的是左端点 —— 这个观察能省掉大段讨论。第二，解 要分段： 在 上 ，其余部分 ，两段分别解再取并。第三， 这一端必须单独验，光看端点的符号判断不出「多一个零点」。 【答案】C 例6（单选·★★★★☆） 已知函数，若是的解，且满足，将函数的图象向左平移个单位长度后可以得到一个偶函数的图象，若函数在上恰有2个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】前半段用「两点函数值为 的最短距离 + 平移成偶函数」定出解析式，后半段就是常规的「零点排序卡端点」。 【关键】由 得 ，两族解相邻两条之差是 除以 ，最小值 说明 ，得 。再向左平移 ：新函数为 ，它是偶函数，相位必须是 ；结合 得 。所以 。 【关键】当 时 。正弦值在这个开区间上为零的点依次是 、，要恰有 个，就得让 落在区间内、 落在区间外，即 ，解得 。故选 D。 【易错】第一，左端点是 而不是 （代入 得到），相位区间开头的这个数决定第 个零点是 而不是 。第二，向右平移后为偶函数，等价于相位是 ，写成 会得到差 的错解。第三， 的右端取到等号，因为 时第三个零点 恰好落在 上、取不到，仍然是两个。 【答案】D 变式6-1（单选·★★★☆☆） 若函数 在 上恰有两个零点，则实数ω的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】降幂加辅助角化成一个正弦，再把「恰有两个零点」翻译成「相位区间里恰好含 的两个解」。 【关键】。令 ，得 。 【关键】由 得 。 的解依次是 、、、。区间左端是 ，已经把 包含在内，所以「恰有两个」就是右端点落在 之后、 之前：，解得 。故选 A。 【易错】第一，区间的左端点是 ，它比 小，所以第一个解一定在里面，「恰有两个」只需管右端点，不要多列一个左端的不等式。第二， 的两族解是 与 ，下一个可用的解是 而不是 ，别把间距记成 。第三，右端取闭是因为 那个根恰好落在 上、取不到，仍然是两个零点。 【答案】A 变式6-2（单选·★★★☆☆） 已知函数在内恰有3个最值点和3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】函数里只有 一个参数，而「三个最值点、三个零点」是两个各自独立的条件 —— 把它们分别翻译成相位区间的不等式，再取交集。 【关键】。由 得 。正弦函数的零点在 ，最值点在 ，两者交错排列，间距都是 。 【关键】先数零点：区间左端 到右端之间，、、 是前三个， 是第四个。要恰有 个零点，需 ；再数最值点：、、 是前三个， 是第四个，要恰有 个需 。两个条件取交集，右端以 更紧，得 ，解得 。故选 D。 【易错】第一，两个条件必须同时满足，取的是交集；只用一个条件会得到更大的范围。第二，左端 比第一个零点 小、比第一个最值点 也小，所以两边的「第一个」都要算在内。第三，两个不等式都带等号的一端在左端，因为 与 这两个点恰好落在区间内是符合要求的。 【答案】D 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角函数的零点与方程 零点个数的判定与含参讨论 零点个数的判定 提高部分的零点问题，第一步常常是把函数化简到只有一个函数名。 与 同时出现时，先用降幂与辅助角合并成一个正弦；化到 之后，题目就变成「数区间里有多少个 满足它」。这一步不做，后面无从下手。 第二类结构是零点的对称性。正弦型函数的零点总是成对出现在对称轴的两侧：若两条零点关于 对称，则 。于是「求所有零点的和」不用逐个求出零点，只要数出零点个数、再找出对称中心或对称轴对应的一列 就行。遇到 这类方程时，两个根也成对关于极值点对称。 第三类是零点存在性，它走的是另一条路：不求解，只证明有一个。做法固定成三步 —— 先说函数在闭区间上连续，再证它在这个区间上单调，最后在两个端点各代一次值、发现符号相反，于是区间内恰有一个零点。单调这一步不能省：只靠两端异号，只能保证至少一个。 还有一类题把零点与数列连起来。零点按从小到大排成一列之后，相邻两项的距离往往是定值（半个周期或一个周期），于是这列零点本身就分成几个等差数列，「前 项和」用等差数列的公式算即可。遇到这种问法，先把零点的一般式写出来，再按 的奇偶分类看规律。相邻两项的距离是「半个周期」还是「一个周期」，取决于两支零点交错之后谁跟谁相邻，把点排成一排看最清楚。 例1（解答·★★★★☆） 已知函数. 若函数，讨论函数在上零点的个数. 变式1-1（单选·★★★☆☆） 已知函数的最小正周期为，将所有的正零点按从小到大的顺序排列得到数列，则数列的前12项的和为（ ） A. B. C. D. 变式1-2（单选·★★★☆☆） 已知函数，在区间上单调递增，为它的一条对称轴，则方程在区间上所有不相等的实数根之和为（ ） A. B. C. D. 例2（解答·★★★★☆） 已知函数. 证明：在区间有且仅有一个零点. 变式2-1（解答·★★★★☆） 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且．（1）求；（2）求函数与的图象在区间内的交点横坐标． 例3（单选·★★★☆☆） 记函数，的两个零点为和，则（ ） A. B. C. D. 变式3-1（单选·★★★☆☆） 已知函数，若有两个零点，则的值为（ ） A. B. C. D. 变式3-2（单选·★★★☆☆） 设是函数的一个零点，则函数在区间内所有极值点之和为（ ） A. B. C. D. 由零点个数反求参数 提高部分的第一步常常是把方程解成一个关于 的代数方程。题面给出的是「关于 的二次方程有 个根」，这时先解出 的两个可能取值 、，再分别数 与 在给定区间上有几个解，两者相加才是原方程的根的个数。分给两个值的解数怎么搭配，是这一类题唯一的难点。 第二类是参数落在区间端点上。比如「在 上有且仅有 个零点」，把零点按从小到大排成一列之后，只要让第 个落在区间内、第 个落在区间外， 的范围就被两头夹住了。端点的开闭由「第 个零点能不能恰好等于 」决定，把 取成那个临界值代回去数一遍即可。 第三类是分离参数后求值域，难点在右边那个函数的最值。常用两个换元： 时 ；遇到 这种双重绝对值，要按 所在的象限分段去掉绝对值，每段都变成一个关于 的二次函数，再把各段的值域并起来。 最后是「始终有解」型的翻译：「对任意 ，方程在 上始终有解」这类话，先是看函数是不是以 为周期 —— 若区间长度恰好等于一个周期，每个区间上函数取到的值就与起点无关，条件于是退化成「参数落在整个值域里」。把区间长度与周期对上看，这一步往往一步就到；若区间长度不是周期的整数倍，「始终有解」就要按 的取值分类讨论，那时题目会换成更具体的说法。 例4（解答·★★★★☆） 已知函数的最小正周期为．（1）求的值；（2）将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有且仅有3个零点，求的取值范围． 变式4-1（单选·★★★☆☆） 设函数，若在内恰有3个零点，则的取值不可以为（ ） A. B. C. D. 例5（填空·★★★★☆） 若对于任意的，关于x的方程在上始终有解，则m的取值范围为__________. 变式5-1（单选·★★★☆☆） 已知，若函数在区间上有且只有一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 例6（单选·★★★★☆） 已知函数，若是的解，且满足，将函数的图象向左平移个单位长度后可以得到一个偶函数的图象，若函数在上恰有2个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式6-1（单选·★★★☆☆） 若函数 在 上恰有两个零点，则实数ω的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式6-2（单选·★★★☆☆） 已知函数在内恰有3个最值点和3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $