精品解析：内蒙古自治区通辽市科尔沁区第八中学2026-2027学年度上学期学科素养专项数据采集九年级数学试题

科区八中2026-2027学年度上学期学科素养专项数据采集九年级数学试题 注意事项： 1.满分100分，考试时间：90分钟． 2.根据网上阅卷需要，本试卷中的所有试题均按要求在答题卡上作答，答在本试卷上的答案无效． 一、选择题（每题3分）． 1. 方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，利用平方根的定义将原方程转化为两个一元一次方程，进而求解． 【详解】 由平方根的意义，得 所以 ， 故选：C 2. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（ ） A. 2 B. 1或 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题意得：，且， 解得：． 3. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将已知根代入方程求出的可能取值，再结合一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，舍去不符合条件的解，得到的正确值． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴把代入方程得， 解得或， 又∵该方程是一元二次方程， ∴二次项系数满足，即， ∴． 4. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；由题意可得且，求解即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故选：D． 5. 对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目给出的新定义，将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 6. 长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 7. 若m是方程的根，则的值为（ ） A. 28 B. 27 C. 26 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查代数式的值，熟练掌握代数式的值是解题的关键；由题意易得，然后整体代入求解即可． 【详解】解：由题意得：，即， ∴； 故选：B． 8. 下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般的，形如（，，是常数，且）的函数叫做二次函数． 【详解】解：①符合定义，是二次函数． ②符合定义，是二次函数． ③，符合定义，是二次函数． ④不符合定义，不是二次函数． ⑤不符合定义，不是二次函数． ⑥，因为为常数，所以，符合定义，是二次函数． ⑦，符合定义，是二次函数． 综上所述，符合条件的二次函数共个，故选C． 二、填空题（每题3分）． 9. 函数是二次函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，得到x的次数为2且二次项系数不为0，据此列方程和不等式求解． 【详解】解：∵ 函数是二次函数， ∴ 需同时满足两个条件：x的次数为，即，二次项系数不为，即， 解方程，得或， 由，得， ∴ ． 10. 二次函数的最小值是_____． 【答案】5． 【解析】 【详解】二次函数的性质． 【分析】∵，∴当时，函数有最小值5． 11. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出的小分支个数是________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是31，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），， 则这种植物每个支干长出的小分支个数是． 故答案为：． 12. 二次函数的图象如图，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点、在二次函数的图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，解含有的直角三角形，以及二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标性质得出的点B的坐标是解决本题的关键． 设点，根据，可得，再根据勾股定理与含有的直角三角形求解出a与b的关系，由此可得与的长度，再由菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接交于点D，如图， 设点，即，， ∵四边形为菱形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即，即点， ∵点B在二次函数上， ∴，解得，（舍）， 即，， ∴，， ∴菱形的面积为． 故答案为： ． 三、解答题（64分）． 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）用直接开方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ∴，． 14. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1）证明：在一元二次方程中，，，， ∴根的判别式， ∵无论取何实数，， ∴，即， ∴ 方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）计算方程的根的判别式，证明其恒大于0即可得证； （2）利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，代入已知等式求解的值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵、是方程的两根， ∴由根与系数的关系得：，， 将上述两式代入得：， 整理得：， 解得． 15. 如图，已知二次函数的图像和直线相交于、两点，且点的坐标是，点的坐标是． （1）_______． （2）求的面积． （3）在二次函数的图像上是否存在点，使得面积等于的面积，若存在，请求出所有符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，的坐标为或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出的值即可； （2）求出直线的解析式，进而求出点的坐标，分割法求出的面积即可； （3）设，根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可. 【小问1详解】 解：把代入，得； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将和代入直线的解析式得， 解得， 直线的解析式为， 联立直线与抛物线得， 解得，， 交点C坐标为， ； 【小问3详解】 解：存在，设， ∵面积等于的面积， ∴， 解得：，， 当时，， 点的坐标为或． 16. 综合与探究：剪纸艺术中的数学问题 剪纸是我国传统民间艺术，某同学有一张长为、宽为的长方形卡纸． 操作过程： 为制作花边图案，该同学在长方形卡纸的四个角各截去一个相同大小的小正方形，剩余中间的长方形剪纸图案区域（阴影部分）面积为． 探究问题： （1）设剪去的小正方形的边长为，请用含x的代数式表示剩余图案阴影区域的长和宽；长为_______________，宽为_______________． （2）求出剪去的小正方形的边长； （3）若剩余图案阴影区域需要再裁剪出边长为的小正方形贴纸，直接写出最多可以裁剪多少个． 【答案】（1）， （2） （3）个 【解析】 【分析】（1）剩余图案阴影区域的长和宽为长方形卡纸的长和宽减去个小正方形的边长，据此列代数式； （2）根据长方形面积建立一元二次方程求解即可； （3）先求出剩余图案阴影区域的长和宽，再求解长和宽上可裁剪的个数即可． 【小问1详解】 解：设剪去的小正方形的边长为，则长为，宽为； 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得 解得， 当时，长和宽均小于0，不符合题意，舍去， ∴小正方形的边长为； 【小问3详解】 解：当小正方形的边长为时，剩余图案阴影区域的长为，宽为， ∵，取整数；， ∴ ∴最多可以裁剪个． 17. 【阅读材料】 解方程：， 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则， 于是原方程可转化为： ， 解得：，． 当时，，所以； 当时，，所以， 所以原方程有四个根：，，，， 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 （1）在解方程时，若设，则原方程可转化为______，解得原方程的根为______； （2）若 ，则______； （3）参照上面解题的思想方法解方程： ． 【答案】（1） ，， （2） （3） 【解析】 【分析】（）直接代入得关于的方程，即可得到结果； （）设，则原方程可转化为，的方程得出，即可求解； （）设，则原方程可转化为，求出，即可得出关于的方程，然后解关于的分式方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设，代入原方程直接替换，得转化后的方程：， 因式分解得， 解得； 时，，即， 因式分解得， 解得或， 时，， 判别式，无实根， ∴原方程的根为； 【小问2详解】 解：设，由平方非负性得， 原方程可化为， 展开得， ， 结合得，即； 【小问3详解】 解：设， 原方程转化为：， ， 解得， ∴， 两边乘得， 解得， 检验：时分母， ∴是原方程的解． 18. 综合与实践 背景 2026年，随着AI服务器、消费电子市场持续回暖，合肥长鑫存储的国产内存芯片订单爆发式增长，产能持续爬坡，相关出货数据不断刷新纪录，带动了本地模组厂商的销售热潮． 素材1 已知长鑫存储某款DDR5-16G内存芯片，周一的出货收入为500万元，随着下游客户备货需求激增，周三的出货收入达到720万元． 素材2 为承接国产芯片的消费热潮，合肥本地模组厂商推出“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组套装，已知该套装的物料及加工成本为200元/套；当定价为500元/套时，平均每天可售出40套．调研发现，售价每降低20元，平均每天就能多售出8套，现该厂商计划下调售价，使平均每天的销售利润达到12000元． 问题解决 （1）任务1，求从周一到周三，长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率； （2）任务2，根据素材2，为尽可能多的售空“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组库存，求下调后每套模组的售价； （3）任务3，根据素材2，该厂商平均每天能否获利16000元？若能，请求出每套模组应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】（1）长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率为 （2）为售空库存，下调后每套售价为元 （3）能获利元，每套应降价元 【解析】 【分析】（1）设日平均增长率为，由平均增长率问题列一元二次方程求解即可； （2）设每套模组降价元，由题中等量关系列一元二次方程求解即可； （3）不妨假设能获利元，由题中等量关系列一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设日平均增长率为， 根据题意列方程：， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每套模组降价元， 则单套利润：（元）， 根据利润目标列方程：， 解得（舍去），（降价元，销量最大）， 下调后售价：（元）， 则为售空库存，下调后每套售价为元； 【小问3详解】 解：不妨假设能获利元， 则列方程：， 解得，即降价（元）， 答：能获利元，每套应降价元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 科区八中2026-2027学年度上学期学科素养专项数据采集九年级数学试题 注意事项： 1.满分100分，考试时间：90分钟． 2.根据网上阅卷需要，本试卷中的所有试题均按要求在答题卡上作答，答在本试卷上的答案无效． 一、选择题（每题3分）． 1. 方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（ ） A. 2 B. 1或 C. 1 D. 3. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 5. 对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 6. 长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（    ） A. B. C. D. 7. 若m是方程的根，则的值为（ ） A. 28 B. 27 C. 26 D. 25 8. 下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 二、填空题（每题3分）． 9. 函数是二次函数，则________． 10. 二次函数的最小值是_____． 11. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出的小分支个数是________． 12. 二次函数的图象如图，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点、在二次函数的图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为_____． 三、解答题（64分）． 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 15. 如图，已知二次函数的图像和直线相交于、两点，且点的坐标是，点的坐标是． （1）_______． （2）求的面积． （3）在二次函数的图像上是否存在点，使得面积等于的面积，若存在，请求出所有符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 16. 综合与探究：剪纸艺术中的数学问题 剪纸是我国传统民间艺术，某同学有一张长为、宽为的长方形卡纸． 操作过程： 为制作花边图案，该同学在长方形卡纸的四个角各截去一个相同大小的小正方形，剩余中间的长方形剪纸图案区域（阴影部分）面积为． 探究问题： （1）设剪去的小正方形的边长为，请用含x的代数式表示剩余图案阴影区域的长和宽；长为_______________，宽为_______________． （2）求出剪去的小正方形的边长； （3）若剩余图案阴影区域需要再裁剪出边长为的小正方形贴纸，直接写出最多可以裁剪多少个． 17. 【阅读材料】 解方程：， 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则， 于是原方程可转化为： ， 解得：，． 当时，，所以； 当时，，所以， 所以原方程有四个根：，，，， 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 （1）在解方程时，若设，则原方程可转化为______，解得原方程的根为______； （2）若 ，则______； （3）参照上面解题的思想方法解方程： ． 18. 综合与实践 背景 2026年，随着AI服务器、消费电子市场持续回暖，合肥长鑫存储的国产内存芯片订单爆发式增长，产能持续爬坡，相关出货数据不断刷新纪录，带动了本地模组厂商的销售热潮． 素材1 已知长鑫存储某款DDR5-16G内存芯片，周一的出货收入为500万元，随着下游客户备货需求激增，周三的出货收入达到720万元． 素材2 为承接国产芯片的消费热潮，合肥本地模组厂商推出“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组套装，已知该套装的物料及加工成本为200元/套；当定价为500元/套时，平均每天可售出40套．调研发现，售价每降低20元，平均每天就能多售出8套，现该厂商计划下调售价，使平均每天的销售利润达到12000元． 问题解决 （1）任务1，求从周一到周三，长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率； （2）任务2，根据素材2，为尽可能多的售空“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组库存，求下调后每套模组的售价； （3）任务3，根据素材2，该厂商平均每天能否获利16000元？若能，请求出每套模组应降价多少元；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $