专项训练：实际问题与二次函数应用题 分类训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专项训练：实际问题与二次函数应用题分类训练 目录概览 题型1 图形问题 题型2 销售问题 题型3 拱桥问题 题型4 投球问题 题型5 喷水问题 题型6跨学科问题 题型7 图形运动问题 题型演练 题型1 图形问题 1．小明设计的风筝如图所示，其中风筝的两根龙骨和互相垂直，交点为点E，且，若他计划用长为的毛竹制作龙骨（不计损耗），设，四边形的面积为． (1)求出S与x之间的函数解析式； (2)当x取何值时，四边形的面积最大，此时最大面积是多少？ 2．潮阳某农户要利用一面足够长的墙，用篱笆围成一个矩形菜园，菜园靠墙的一边不用篱笆，其余三面用篱笆，篱笆总长米． (1)设垂直于墙的一边长为米，求菜园面积（平方米）关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (2)当为何值时，菜园面积最大？最大面积是多少？ 3．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为，墙的厚度忽略不计），其他的边用总长的不锈钢栅栏（栅栏占地面积忽略不计）围成，左右两侧各开一个的出口（出口不用栅栏）后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽为，矩形车棚的面积为． (1)求与之间的函数关系式； (2)当车棚的宽为时，求矩形车棚的面积． 题型2 销售问题 4．某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售100件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少5件．设每件涨价元． (1)当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售量为_________件；当每件的销售价涨元时，该纪念品每天的销售量为_________件． (2)当每件的销售价涨多少元时，销售该纪念品每天获得的利润最大？并求出最大利润． 5．为了落实国务院的指示精神，安庆地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克元．市场调查发现，该产品每天的销售量（千克）与销售价（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为元． (1)求与之间的函数关系式． (2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 6．某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个． (1)求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 题型3 拱桥问题 7．如图，练江上一座抛物线形拱桥，桥洞水面宽6米，拱顶高出水面3米．以水面所在直线为x轴、拱顶对称轴为y轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式． (2)一艘货船宽2米，船舱顶部离水面高2米，若它从桥洞正中间（居中）通过，能否安全通过？请通过计算说明． 8．某景区有一座石门，底部为矩形，其中长是，宽为．顶部为抛物线形，拱高．以的中点为原点，所在的直线为轴，竖直方向为轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式． (2)若增加夜间照明效果，需在石门顶部装盏射灯，每相邻两盏射灯之间的水平距离相等，最外侧两盏与石门左右两侧边缘的水平距离均为，请用坐标表示这四盏射灯的位置． 9．如图所示，桥梁上两条钢缆的形状可以近似看成两条相同的抛物线，而且左、右两条抛物线关于y轴对称．按照图中的平面直角坐标系，y轴左侧的一条抛物线可以用表示． (1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ (2)两条钢缆最低点之间的距离是多少？ 题型4 投球问题 10．把一个足球垂直于地面向上踢，足球的高度h米与足球运动时间t秒满足关系式，已知当足球踢出后4秒回到地面． (1)求a的值； (2)经过多少秒时球的高度为15米？ 11．小明和小陈两人周末去打羽毛球，羽毛球的飞行路线可视为抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，小明在点正上方的处发球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足抛物线表达式，已知点与球网的水平距离为，球网的高度为，当羽毛球飞行达到最高点离地面时，此时与点的水平距离为． (1)求抛物线表达式； (2)通过计算判断此球能否过网． 12．小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)假设小强在练习实心球时，他的正前方距离原点米的点处放置有一个米高的警示牌（与轴垂直），问实心球是否会砸到警示牌，请说明理由． 题型5 喷水问题 13．某村响应国家高效节水灌溉的号召，引入了现代化喷灌设备．喷灌机从喷水口点向四周旋转喷洒，喷出的水流轨迹可近似看作形状相同的抛物线．如图，以地面为轴，喷灌机所在的竖直直线为轴，建立平面直角坐标系．已知喷水口距离地面的高度为，水流在离喷灌机的水平距离处达到最高点，此时喷洒高度为． (1)求这条水流所在抛物线的函数表达式； (2)若在距离喷灌机水平距离处，有一棵高的果树为了让水流能喷洒到果树右侧的土地，需要将喷水口沿竖直方向向上平移．已知平移后水流的速度、压力不变（抛物线的形状、大小保持不变），求喷水口至少需要向上平移多少米． 14．【背景介绍】某公园准备在一个圆形水池内建一个“音乐喷泉”，圆形水池中心点设为点，其正上方米处安装一个音乐喷泉的喷头（如图）．在忽略空气阻力的情况下，假设喷头喷出的水流运动轨迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内． 【数学建模】以水池中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系（轴在水面水平方向，轴竖直向上），其中为喷泉的喷头位置．在某一固定音乐节奏下，测得喷出的水流到达最高点时的坐标为，随后水流落回水面上的点． (1)【建立模型】求该抛物线的函数表达式； (2)【数据计算】求音乐喷泉水洒落的半径的长（结果保留根号）； (3)【优化设计】公园设计师认为，当水流落点距离中心恰好为5米时，视觉效果最好．在不改变抛物线形状和对称轴情况下，为达到设计师的要求，要把喷泉喷头升高多少米？ 15．消防事关千万家，我国水罐消防车是指车上除了装备消防水泵、器材，还设有较大容量的贮水罐及水枪、水炮等，可将水和消防人员输送到火场独立进行扑救火灾．一次消防车演练时，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是：，水从距离地面的管道口点喷出，点正下方为车与地面接触点，水流形状如图所示． (1)已知该消防车在距车水平方向处水流达到最高，最高点离地面，求该二次函数的解析式及的长． (2)若消防车停在与建筑有宽的绿化带旁时，此时水流恰能扑灭多高楼层的火势？ 题型6跨学科问题 16．2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．小明所在的航模社团设计制作的火箭，它的升空高度（单位：）与飞行时间（单位：）满足函数表达式． (1)如果火箭在点火升空后到达最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多长时间降落伞将打开？ (2)火箭上升过程中，是否存在飞行时，高度恰好为的情形？请说明理由． 17．小顾是化学爱好者，为了研究某种化学试剂的挥发情况，分别在不同场景做对比实验，并收集了该化学试剂挥发过程中剩余质量克随时间分钟变化的数据，绘制在平面直角坐标系中，如图： (1)从二次函数、一次函数、反比例中，选择适当的函数模型模拟两种场景下随着变化的函数关系，并求出相应的函数表达式； (2)已知该化学试剂发挥作用的最低质量为2克．在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？ 18．某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化关系的图象如图所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分．结合图象信息，解答下列问题． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值； (3)当______A时，取得最大值为______W． 题型7 图形运动问题 19．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边是够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设． (1)若花园的面积为，求的值； (2)若在处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值． 20．如图，在中，．动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，求： (1) ； ． (2)当运动多少秒时，恰好是等腰直角三角形？ (3)当运动多少秒时，的面积最大？ 21．如图，矩形的两边长，，点、分别从A、B同时出发，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动．当到达点时，、停止运动．设运动时间为秒，的面积为． (1)填空： ， （用含的代数式表示）； (2)求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当为何值时，的面积的最大，最大值是多少？ 第12页（共13页） 第13页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 《专项训练：实际问题与二次函数应用题分类训练》参考答案 1．(1) (2)当时，四边形的面积最大，最大面积是 【分析】（1）根据毛竹总长得到，根据题意列不等式组求出的取值范围，根据求出S与x之间的函数解析式即可； （2）根据二次函数的开口方向作答即可． 【详解】（1）解：∵毛竹总长为， ． 且， ， 解得：， ， 即S与x之间的函数解析式为． （2）解：， ∴当时，四边形的面积随x的增大而增大， ∴当时，四边形的面积最大，最大面积是． 2．(1)，自变量取值范围 (2)当时，最大，最大面积为平方米 【分析】（1）根据计算菜园的面积得到（平方米）关于的函数解析式，根据边长大于得到的取值范围. （2）将二次函数转化为顶点式，根据二次函数的图象和性质，得到时，取得最大值. 【详解】（1）解：， ∵，，解得：， ∴自变量取值范围为； （2）解：， ∵，时，取得最大值，即，且在的取值范围内， ∴当时，最大，最大面积为平方米． 3．(1) (2)矩形车棚的面积为 【分析】（1）根据矩形的面积公式求解； （2）把代入（1）中关系式可得结论． 【详解】（1）解：由题意可知，车棚的宽，则垂直于墙的三条边总长为， 因为栅栏总长为，且左右两侧各有一个的出口， 所以平行于墙的边的长度为：， 根据矩形面积公式，得y与x的函数关系式为, 因为墙长最多， 所以 解得， 所以，与之间的函数关系式为 （2）解：把代入解析式： ． 所以，矩形车棚的面积为． 4．(1)， (2)当每件的销售价涨元时，销售该纪念品每天获得的利润最大，最大利润为元． 【分析】（1）根据每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少5件进行解答即可； （2）根据题意列出二次函数解析式，再由二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：∵当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售100件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少5件． ∴当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售量为（件）；当每件的销售价涨元时，该纪念品每天的销售量为件； （2）解：由题意可得， ∵，， ∴当时，有最大值， 即当每件的销售价涨元时，销售该纪念品每天获得的利润最大，最大利润为元． 5．(1) (2)当定价为每千克元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【分析】（1）根据销售利润的计算公式列出函数关系式． （2）通过二次函数的性质求出利润的最大值． 【详解】（1）解：由题意可知，则，解得， ∵成本价为每千克元， ∴， ∴， ∴． （2）解：， ∵，且， ∴当时，有最大值为， 即该产品销售价定为每千克元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 6．(1)该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为． (2)该品牌头盔的实际售价应定为每个410元时，月销售利润最大． 【分析】（1）设平均月增长率为未知数，根据4月销量与6月销量的数量关系列一元二次方程求解． （2）以售价为自变量，月销售利润为因变量，结合销量与售价的变化关系构建二次函数，利用二次函数的性质求最大值对应的售价． 【详解】（1）解：设该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，根据题意， 得， 整理得， 解得，， ∵月增长率为正数， ∴不符合题意，舍去． 答：该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价为每个元，月销售利润为元．单个头盔的利润为元． ∵售价每上涨2元，月销售量减少1个，当售价为400元时月销量为60个， ∴月销售量为个， ， 解不等式组得， 根据题意，得． ∵， ∴抛物线开口向下，当时，取得最大值．将，代入，得， ∵， ∴该售价符合实际销售的取值范围． 答：该品牌头盔的实际售价应定为每个410元时，月销售利润最大． 7．(1) (2)能安全通过． ∵货船宽，从桥洞正中通过， ∴船边缘对应横坐标， 将代入解析式： ，说明船身位置桥拱高度大于船舱高度， 货船可以安全通过． 【分析】（1）根据拱桥最高点坐标确定抛物线顶点，结合水面宽度得出函数图象经过的点，利用抛物线顶点式设解析式，代入点的坐标求出系数，即可求出抛物线解析式． （2）根据货船宽度确定船体边缘对应的横坐标，代入抛物线解析式求出此处桥拱高度，与船高对比，判断货船能否通过． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线顶点坐标为，设抛物线的解析式为． 已知水面宽为， 则抛物线经过点， 将，代入解析式得： 解得：， ∴抛物线解析式为：． （2）能安全通过；说明：略． 8．(1) (2) 【分析】（1）根据待定系数法得到抛物线的解析式． （2）根据射灯的放置方式得到射灯的横坐标，进而得到射灯的坐标． 【详解】（1）解：由图可知抛物线的顶点坐标为，即， ∴设抛物线的解析式为， ∴将代入，得：， ∴解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵最外侧两盏与石门左右两侧边缘的水平距离均为，每相邻两盏射灯之间的水平距离相等， ∴射灯之间的距离为，最外侧射灯的横坐标到轴的距离为， ∴盏射灯的横坐标分别为， 当和时，， 当和时，， ∴四盏射灯的位置坐标分别为． 9．(1)钢缆的最低点到桥面的距离是； (2)两条钢缆最低点之间的距离是． 【分析】（1）把左侧抛物线化成顶点式，求得抛物线顶点（最低点）坐标即可求解； （2）求得右面的一条抛物线的顶点坐标为，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为， ∴钢缆的最低点到桥面的距离是； （2）解：∵左面的一条抛物线可以用表示， ∴左面的一条抛物线的顶点坐标为， ∵左、右两条抛物线关于轴对称， ∴右面的一条抛物线的顶点坐标为， ， ∴两条钢缆最低点之间的距离是． 10．(1) (2)经过1秒或3秒时球的高度为15米 【详解】（1）解：由题意得，当时，， ， 解得． （2）解：由（1）得， 解得或． 答：经过1秒或3秒时球的高度为15米． 11．(1) (2)解：当时， ， ， ， ， 此球能过网． 【分析】(1) 已知抛物线顶点坐标和经过的点，利用顶点式求抛物线表达式． (2) 将球网位置的水平距离代入抛物线表达式，求出对应高度，与球网高度比较． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点为，且经过点， 设抛物线表达式为， 将代入得， 即， 解得， 抛物线表达式为． （2）略 12．(1)抛物线的解析式为． (2)实心球会砸到警示牌，理由详见解析． 【分析】（1）先根据顶点的坐标设抛物线的顶点式，再代入求得抛物线解析式．（2）警示牌在距离原点米的位置，计算对应横坐标时的纵坐标，与米比较后判断实心球是否会砸到警示牌． 【详解】（1）解：已知抛物线的顶点的坐标为，设抛物线的解析式为，其中， 将代入得 ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ， 实心球会砸到警示牌． 13．(1)； (2)． 【分析】由题意可得，顶点，然后利用待定系数法即可求解； 当时，，然后计算，则可得出喷水口至少需要向上平移的距离． 【详解】（1）解：由题意可得，顶点， 设这条水流所在抛物线的函数表达式为， 将代入得，解得， ∴这条水流所在抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， 则（米）， ∴喷水口至少需要向上平移米． 14．(1) (2)米 (3)要把喷泉喷头升高2米． 【分析】（1）理解题意，先设该抛物线的函数表达式为，再运用待定系数法求出解析式，即可作答． （2）理解题意，把代入计算，再结合在轴的正半轴，故半径的长为米． （3）理解题意，设要把喷泉喷头升高米，得出升高后的抛物线的解析式为，把整理得出的代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ∵最高点时的坐标为， ∴设该抛物线的函数表达式为， 把代入，得 解得， ∴ （2）解：由（1）得， 依题意，把代入， 得 整理得 解得， ∵在轴的正半轴， ∴． ∴半径的长为米． （3）解：由（1）得， 设要把喷泉喷头升高米， 依题意，升高后的抛物线的解析式为 ∵水流落点距离中心恰好为5米， ∴ 把代入， 得 整理得 解得 ∴要把喷泉喷头升高2米． 15．(1)， (2)此时水流恰能扑灭高度为楼层的火势 【分析】（1）已知二次函数的顶点坐标为，写出该函数的顶点式为 ，再将代入解析式进行计算，得到，则，即可解答； （2）将代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解∶已知二次函数的顶点坐标为，写出该函数的顶点式为 将代入解析式，得 ， ∴， ∴． 答：二次函数的解析式为，的长为； （2）消防车与建筑间隔宽的绿化带，因此水流到达建筑位置对应的水平距离，将代入二次函数解析式： ∴此时水流恰能扑灭高度为楼层的火势． 16．(1)火箭点火后降落伞将打开． (2)解：火箭上升过程中，不存在经过恰好上升的情形；理由如下： 当时，得， 整理，得， ， 故方程的两个不相等的实数根为：， 根据题意，火箭上升阶段的时间范围为：， ， 不在范围内，舍去； ， 在时间范围内， ， 故火箭上升过程中，不存在经过恰好上升的情形． 【分析】（1）将解析式配方，得，根据函数的性质，确定函数取得最大值条件即可； （2）令函数值等于75，建立一元二次方程，求得方程的两个根，根据方程的根，判断是否有一个根是5，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ， ， 当时，函数取得最大值， 故火箭点火后降落伞将打开． （2）解：略． 17．(1)场景为，场景为 (2)化学试剂在场景下发挥作用的时间更长 【分析】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数，二次函数的性质． （1）观察两种场景可知，场景A为，场景B为，用待定系数法求出解析式即可； （2）分别求出当时x的值，即可得出答案． 【详解】（1）观察两种场景可知，场景为，场景为， 把，代入得 解得， ∴场景为； 把，代入得 解得 ∴场景为； （2）当时，由图可知， 场景中，，   场景中，， 解得， 答：化学试剂在场景下发挥作用的时间更长． 18．(1) (2) (3)2，220 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意可设与之间的函数关系式为，然后把点、代入解析式进行求解即可； （2）把代入（1）中解析式进行求解即可； （3）根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：图象是经过原点的一条抛物线， 设与之间的函数关系式为． 将点、代入，得， 解得， 与之间的函数关系式为． （2）解：当时，； 当时，的值为． （3）解：由（1）可知：与之间的函数关系式为， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 故答案为2，220． 19．(1)的值为12或16 (2)花园面积S的最大值为192平方米 【分析】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出与的函数关系式是解题关键． （1）根据题意得出长×宽，进而得出答案； （2）由题意可得出：，再利用二次函数增减性求得最值． 【详解】（1）解：∵，则， ∴， 解得：，， 答：的值为12或16； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵在处有一株树与墙，的距离分别是和， ∵， ∴， ∴当时，S取到最大值为：， 答：花园面积S的最大值为192平方米． 20．(1)， (2)当运动时间是2秒时恰好是等腰直角三角形 (3)3秒 【分析】本题主要考查的是二次函数的应用、等腰三角形的性质，数形结合和熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据动点P和动点Q的运动速度和路径进行解答即可； （2）当时，恰好是等腰直角三角形，则，解方程即可得到答案； （3）设同时出发后经过，的面积为，则，，进而得出的表达式，将其化为顶点式，再结合的取值范围即可得出答案 【详解】（1）解：∵动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动． ∴；； 故答案为：， （2）根据题意可知，当时，恰好是等腰直角三角形， 此时，； 解得， 即当运动时间是2秒时恰好是等腰直角三角形； （3）解：设同时出发后经过，的面积为， 则，， 则， ，点的运动速度为，点的运动速度为， ， ， 时，S有最大值9，即的最大面积为． 即当运动3秒时，的面积最大 21．(1)， (2)； (3)的最大面积是． 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的最值问题，根据题意表示出、的长度是解题的关键． （1）根据题意表示出、的长即可； （2）根据三角形的面积公式列式整理即可得解； （3）把函数关系式整理成顶点式解析式，然后根据二次函数的最值问题解答． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：，； （2）解：∵，，， ∴， 即； （3）解：由（2）知，， ∴， ∵，当时，随的增大而增大， 而， ∴当时，， 即的最大面积是． 答案第2页（共15页） 答案第15页（共17页） 学科网（北京）股份有限公司 $