专题02 一元二次方程压轴应用题分类训练（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建系统训练体系，聚焦一元二次方程应用题的建模方法与逻辑推理，培养数学眼光与思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|4要点|直接+间接设元、列表格、找静止等量、双检验|从设元到检验的完整解题流程| |多格围栏|典例1+变式3|加法算篱笆长度（含门与隔断）|几何图形到方程的转化| |多动点几何|典例1+变式3|设时间t表线段，几何条件列方程|动态问题静态化建模| |销售利润|典例1+变式3|设涨价/降价x元，单利×销量=总利润|经济问题数量关系抽象| |方案问题|典例1+变式3|解方程定单价，列范围找整数|实际优化问题的方程应用| |压轴挑战|12题|综合应用通法与题型技巧|高难情境下的思维迁移|

专题02 一元二次方程压轴应用题分类训练 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、多格围栏和带门围栏 题型二、多动点几何问题 题型三、销售利润 题型四、方案问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 1. 设元要“直接+间接”结合：直接设所求为 x，但若关系复杂，可先设中间变量（如进价、原价），最后再消去。 2. 列表格（避坑神器）：凡是涉及利润（单价、销量、成本）或行程（速度、时间、路程），务必在草稿纸上画表格。横排写项目，竖排写变化，等量关系一目了然。 3. 找“静止”等量：在动态变化中找不变的量，列出一元二次方程。 4. 双检验：一验判别式，二验取值范围。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、多格围栏和带门围栏 典例1 某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． (1)①__________米（用含的代数式表示） ②若饲养场面积为160平方米时，求的长； (2)饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出的长，若不能，请说明理由． 题型模版 特征：多格围栏（内部隔断） 特征：一个矩形大场地，内部用篱笆隔成几个小格（如羊圈、花圃）。图里会有多条内部隔断。带门的围栏 特征：题干明确说“某处留了一个宽为 d 米的门”（门通常不用篱笆，或是费用单独算）。 2.方法：围栏题不管怎么变，本质就是“加法”。把实际需要用篱笆包住的“边”加起来，减去“门”空出来的边，加上“隔断”多出来的边。别背公式，边看图边数“有几条边”，方程自然就出来了。 变式1-1某市是全国旅游胜地，2020年受新冠疫情的影响，外来游客在逐年下降．某景区外来游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万． (1)求2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率； (2)在该景区需要建造篱笆花圃，如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（如图）， ①设花圃垂直于墙的边长为x米，则________（用含x的代数式表示）； ②当为多少米时，所围成花圃面积为105平方米？ ③当________米时，花圃的面积达到最大，最大为________平方米． 变式1-2如图是南昌市外国语学校九龙湖初中部行政楼后自行车车库的示意图，其中一边是长为的后墙，其他的边用总长的不锈铜栅栏围成．左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏状如“山”字形．另外，在距离后墙以南，还规划有机动车停车位． (1)若设自行车车库的宽度为xm，则车库的长度为________m； (2)设自行车车库面积为，垂直于墙的车库宽度为，求S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； (3)学校调研教职工及学生的需求后，现决定对车库进行改建．在后墙不动的情况下，若扩建后车库面积刚好等于，是否有必要改动机动车停车位的位置规划？但机动车停车位向南最多移动，如有必要，请给出具体方案；如无必要，请说明理由． 变式1-3某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 题型二、多动点几何问题 典例1 综合与探究 问题情境： 如图，在中，，，，动点D从点A出发，以的速度向点C移动，同时动点E从点C出发，以的速度向点B移动，设它们的运动时间为． 猜想证明： （1）当点D，E都运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值；如果不可以，请说明理由． 拓展延伸： （2）当时，求四边形的面积． （3）直接写出当t为何值时，的面积等于四边形的面积的． 题型模版 1.特征：题干出现 “同时出发”、“速度不同”、“运动方向相反/相同”，且涉及等腰、直角、面积相等等几何条件。 2.方法：1. 设时间 t：明确零时刻位置，写出动点在 t 秒后的坐标或线段长度（注意带绝对值，或分清左右/上下）。 2. “定格”几何条件：画出运动到某一瞬间的草图，用含 t 的式子表示目标边长（通常用勾股定理或两点间距离公式）。 3. 列方程硬解：将几何关系代入，得到关于 t 的一元二次方程，解出后立即验根。 变式1-1如图所示，在四边形中，，，，动点从点出发沿AD方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)当运动秒时，线段__________（用含有t的代数式表示） (2)经过多长时间，四边形是矩形？ (3)经过多长时间，PQ的长为？ 变式1-2在矩形中，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从点A出发沿着边以的速度运动，两点同时出发，运动时间为． (1)当为何值时为等腰三角形？ (2)若的面积是矩形面积的，求的值； (3)的面积能否等于五边形面积的？若能，求出的值；若不能，说明理由； (4)当时，求证：四边形的面积是一个定值． 变式1-3如图，在矩形中，cm，cm，动点从点出发，以3cm/s的速度向点运动，同时另一动点从点出发，以2cm/s的速度向点运动，当点停止运动时，点也停止运动，设运动时间为s． (1)__________cm，__________cm；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，、两点间的距离为13cm？ (3)是否存在某一时刻，使得四边形为矩形？若存在，求出满足条件的值；若不存在，请说明理由． 题型三、销售利润 典例1 广阳岛原称广阳坝、广阳洲，位于重庆市南岸区明月山、铜锣山之间，距离市中心11公里，面积6.44平方公里，是长江上游最大的江心绿岛，市政府邀请国内一流的智库力量和设计团队，开展各项规划和城市设计，着力将广阳岛建设成“回归五百年前的生态，引领五十年后的生活”的智创生态城．2022年8月经历重新打造的广阳岛景区重新面对游客开放．游客可以选择从朝天门码头乘轮渡登岛游览或者在岛外乘坐摆渡车进入岛内游玩．据了解，9月试营业期间轮渡票价和摆渡车票价之比为，预计试营业期间一个月登岛观光人数达到18000人，摆渡车票销售总额20万元，轮渡票销售总额是摆渡车票销售总额的两倍． (1)求轮渡票价格和摆渡车票价格每张多少元？ (2)为了庆祝国庆佳节，提升市民生活品质，景区管理处决定，十月份降低轮渡票价和摆渡车票价．轮渡票价在试运行单价的基础上降低（），摆渡车票价比试运行单价降低元，这样轮渡票销售量和九月一样，摆渡车票的销售量比九月减少了，轮渡船票和摆渡车票的销售总额比预计减少了元．求a的值． 题型模版 1.特征：价格变化：“每涨价1元，销量少10件”或“每降价1元，销量多20件”。 固定成本：进价（成本价）始终不变。目标：求“定价多少时，利润达到某值”或“最大利润是多少”。 2.方法：1. 设未知数（选对“元”很关键）： · 优先设“涨价/降价 x 元”（千万别直接设售价，否则后面容易乱）。 · 若题目问“售价为多少”，最后加个尾巴（售价 = 原价 + x）即可。 2. 拆解“单件利润”： · 单件利润 = 售价 - 进价。 · 若涨价 x，则现单利 = 原单利 + x；若降价 x，则现单利 = 原单利 - x。 3. 拆解“销量”： · 现销量 = 原销量 - x（涨价）或 现销量 = 原销量 + x（降价）。k 就是“涨1元少卖几件”的那个倍数。 4. 套公式列方程： · 总利润 = 单件利润 × 销量 = 目标值。 变式1-1葡萄不仅味美可口，营养价值很高，而且用途广泛，堪称“果中珍品”，它既可鲜食又可加工成各种产品，如葡萄干、葡萄酒、葡萄汁等．当下正值食用葡萄的好时节，经过市场调研顾客最喜欢“黑珍珠”、“仙粉黛”两个品种，某商店老板看准商机，决定购进这两种葡萄销售，商店原计划在6月购进“黑珍珠”、“仙粉黛”两种葡萄共200千克，其中“仙粉黛”的质量至少是“黑珍珠”质量的3倍． （1）那么原计划今年6月至少购进“仙粉黛”多少千克？ （2）今年6月商店按照原计划购进并售完“黑珍珠”、“仙粉黛”两种葡萄，且“仙粉黛”的质量恰好是原计划的最小值．今年7月商店按照“黑珍珠”与“仙粉黛”的质量比为1∶3购进两种葡萄一共160千克，按照单价4∶3售出，共得销售额1040元．通过7月对市场的观察，商店老板决定增加两种葡萄的进货量，同时降价促销；8月商店购进“黑珍珠”、“仙粉黛”的质量在6月的基础上分别增加了，同时为了尽快全部售出，每千克售价在今年7月份的基础上分别降价（降价幅度不超过50%），最终8月的销售额比7月的销售额增加了535元．求的值． 变式1-2在建设全国文明典范城市的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司投资20万元购得某项节能产品的生产技术后，再投资85万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调查发现，该产品的销售单价定为元，在时才合理，并且该产品的年销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式为．（年获利年销售收入生产成本投资成本） (1)当销售单价定为28元时，该产品年销售量为多少万件？ (2)求该公司第一年的年获利（万元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损了？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？ (3)第二年，该公司决定给希望工程捐款万元，该项捐款由两部分组成：一部分是10万元的固定捐款；另一部分则是每销售一件产品，就抽出一元作为捐款．若除去第一年的最大获利（或是最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年底，两年的总盈利不低于73万元，请你确定此时销售单价的范围． 变式1-3柚子糖度高、酸味低，有益身体健康，深受大家喜爱．某水果店在去年8月份购进福建蜜柚和泰国青柚共900个，福建蜜柚进价为6元/个，泰国青柚进价为20元/个，两种柚子的总进价不超过12400元． （1）该水果店去年8月份购进福建蜜柚最少多少个？ （2）今年8月份，该水果店用和去年8月份相同的进价购进两种柚子，福建蜜柚购进数量为去年8月份购进数量的最小值，售价为16元/个．泰国青柚购进数量为去年8月份购进数量的最大值，售价为30元/个，两种柚子全部卖出．今年9月份，该水果店购进与上个月数量相同，进货单价相同的福建蜜柚．为了进一步占领市场份额，水果店对福建蜜柚进行了降价促销，它的售价在上个月的基础上先降价，再“买三送一”（每买3个就免费赠送1个，即4个装成一袋，一袋以3个的价格出售，但消费者只能整袋购买）．受各种因素的影响，与上个月相比，泰国青柚的进价下降40%，进货量下降，售价上涨．两种柚子卖完后，该水果店今年9月份销售两种柚子的总利润比上个月上涨，求的值． 题型四、方案问题 典例1 学校文创社设计了一款特色笔记本，作为校园文化节的纪念品．最初以每本20元的成本价生产了一批．在试销阶段，第一个月定价为每本25元，售出120本，随后两个月对价格进行了上调，两次价格上调的百分率相同，最终第三个月定价为每本36元，此时每月售出100本． (1)这款笔记本每次（每月）的价格增长率为________； (2)文创社为了在第四个月扩大影响、清空库存，决定进行促销．学生通过市场调查发现：在第三个月销量的基础上，售价每降低1元，每月可多售出10本，请问：当降价多少时，可以使第四个月的利润达到1530元． (3)文创社现有两种销售方案： 方案A 方案B 按第（2）问中求出的售价进行销售． 在售价不低于成本的前提下，采取“每卖出一本就向校园公益基金捐赠2元”的方式销售，这一方式可以使每月销量在第（2）问的促销模型基础上再增加20本． 如果你是文创社社长，你会选择哪种方案？请从利润、清仓速度、社会效益等角度比较方案A和方案B，综合说明理由． 题型模版 1.特征：题干里必出现这些关键词：“有几种购买方案？”、“如何选择更省钱？”、“方案A和方案B”。 2.方法：先解方程定单价，再列范围找整数；一次函数比大小，斜率正负定最优。 变式1-1果农李明种植的草莓计划以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．李明为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克元的单价对外批发销售． (1)求李明平均每次下调的百分率； (2)小刘准备到李明处购买3吨该草莓，因数量多，李明决定再给予两种优惠方案以供其选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小刘选择哪种方案更优惠，请说明理由． 变式1-2自月日“闽超”开赛以来，福建省各地掀起观赛热潮，相关周边产品需求持续攀升．某文创公司推出闽超吉祥物纪念品“五福天团”，并同步开展线上主题打卡活动．现要对活动方案进行升级，需要对定价和打卡人数进行调研． 素材 月份，参与“闽超线上打卡”活动的人数有人，随着“闽超”热度不断提升，月份的报名人数达到人． 素材 闽超吉祥物纪念品“五福天团”深受球迷喜爱，在销售中发现：纪念品的进价为每件元． 素材 在统计销售数据后，发现当纪念品售价为每件元时，每月销售量达到件．若纪念品售价每降价元，销售量就会增加件． 请完成下面两个任务． (1)确定增长率：求从月份到月份“闽超线上打卡”活动报名人数的平均增长率． (2)拟定价格方案：求当纪念品降价多少元时，商场可以尽量减少库存并获利元． 变式1-3某民族服饰工厂每月生产某种民族服装件，每件产品的成本为元，分配给线上旗舰店和线下直营店两个渠道销售．线上旗舰店的服装售价（元）与月销售量（件）满足关系：．线下直营店的服装按照每件元的定价出售，并进行促销活动：若月销售量不超过件，每件民族服装赠送成本为元的礼品，可全部售完；当月销售量超过件时，超过的部分因礼品已送完，则需要一次性投入成本为元的广告进行宣传． (1)①线上销售的件服装的总利润为_____元（用含的代数式表示）； ②设线下直营店的月销售量为件，求线下销售件服装的总利润（用含的代数式表示）． (2)假设工厂每月生产的件服装通过两种销售渠道全部售完，请你设计一种分配方案，使得销售总利润为元．（注：要有解答过程）． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12元，平均每天可售出80枚．市场调研发现：若每枚徽章降价1元，则平均每天可多售出10枚．为了尽快减少库存，店主决定降价促销．销售一段时间后发现，平均日盈利为910元．假设每天售出徽章的数量相同，设每件商品降价x元，依题意可列方程（） A． B． C． D． 2．某超市销售一种可拆分式驱蚊器，一套驱蚊器由一个加热器和一瓶电热蚊香液组成，电热蚊香液作为易耗品可单独购买．一套驱蚊器的售价是一瓶电热蚊香液的5倍，已知一瓶电热蚊香液的利润率为20%，一套驱蚊器的利润率为25%．超市出售1套驱蚊器和4瓶电热蚊香液，共可获利10元．经过一段时间的销售发现，每天能销售50套驱蚊器和80瓶电热蚊香液，为了促进驱蚊器的销售，超市决定对驱蚊器降价处理，其中每降价1元，可多卖出5套．若超市每天销售驱蚊器要获得275元的利润，则每套需降价（  ） A．1元 B．2元 C．3元 D．4元 3．如图，在中，，，．点从点出发向终点以的速度移动，点从点出发向终点以的速度移动，，两点同时出发，其中一点到达终点则两点同时停止运动．当的面积等于时，两点运动了（    ） A． B． C． D．或 4．某商城在元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元．市场调研表明：当每个商品的售价为20元时，平均每天能够售出40个，当每个商品的售价每降1元时，平均每天就能多售出10个．在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的售价应为___________元，最大利润是___________元． 5．如图，在中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．_______秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 6．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？ 7．小明为班级围建一个矩形蔬菜园，其中一边靠墙，墙可利用的最大长度为，篱笆长为，菜园中间用一道篱笆隔成2个小矩形． （1）当围成的菜园面积为时，的长为_____； （2）记，若围成面积比大的菜园，则的范围为_____． 8．通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的． 某小组决定使用20斤清水，对某件存留1斤污水衣服分别进行漂洗，且每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． (1)该小组设计了如下两个方案，请你完善方案内容： 方案一：采用一次漂洗的方式. 将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________； 方案二：采用两次漂洗的方式. 若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；若在第一次用斤清水，第二次用斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________（用含有x的代数式表示）； 通过计算分析，方案__________（“一”或“二”）的漂洗效果更好. (2)若采用方案二，第一次用__________斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________． 9．某读书兴趣小组计划去书店购买一批定价为50元/本的书籍，书店表示有两种优惠方案方案一：若购买数量不超过10本，每本按定价出售；若超过10本，每增加1本，所有书籍的售价可比定价降2元，但售价不低于35元/本．方案二：前5本按定价出售，超过5本以上的部分可以打折． (1)该兴趣小组按照方案一的优惠方式支付了600元，请你求出购买书籍的数量； (2)如果该兴趣小组用方案二的优惠方式购买（1）中的数量，请问书店折扣至少低于几折才能使得实付金额少于600元？ 10．商场从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同． (1)求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？ (2)商场决定用不超过14000元从厂家购进A、B两种型号的空气净化器共10台，且B型空气净化器的台数少于A型空气净化器的台数的2倍，问商场有几种进货方案？如果这10台空气净化器在进价的基础上都加价销售并售完，采用上面哪一方案利润最大． (3)为了增大B型空气净化器的销量，电器商社决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天电器商社销售B型空气净化器的利润为3200元，请问电器商社应将B型空气净化器的售价定为多少元？ 11．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 12．如图，四边形中，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接，设运动时间为t秒（）． (1)连接　　,　　,(用含t的代数式表达)，当　　时，四边形为平行四边形； (2)将沿翻折，得到．在运动过程中，是否存在某时刻t，使四边形为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)设四边形的面积为y，求y与t的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形的面积与的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程压轴应用题分类训练 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、多格围栏和带门围栏 题型二、多动点几何问题 题型三、销售利润 题型四、方案问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 1. 设元要“直接+间接”结合：直接设所求为 x，但若关系复杂，可先设中间变量（如进价、原价），最后再消去。 2. 列表格（避坑神器）：凡是涉及利润（单价、销量、成本）或行程（速度、时间、路程），务必在草稿纸上画表格。横排写项目，竖排写变化，等量关系一目了然。 3. 找“静止”等量：在动态变化中找不变的量，列出一元二次方程。 4. 双检验：一验判别式，二验取值范围。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、多格围栏和带门围栏 典例1 某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． (1)①__________米（用含的代数式表示） ②若饲养场面积为160平方米时，求的长； (2)饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出的长，若不能，请说明理由． 【答案】(1)①；②米； (2)解：不能，理由如下： 当饲养场面积为170平方米时，， 整理得， 判别式， 方程无实数根， 因此饲养场面积不能达到170平方米. 【详解】（1）解：①由题意，（米）； ②由题意，得， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故米； （2）略 题型模版 特征：多格围栏（内部隔断） 特征：一个矩形大场地，内部用篱笆隔成几个小格（如羊圈、花圃）。图里会有多条内部隔断。带门的围栏 特征：题干明确说“某处留了一个宽为 d 米的门”（门通常不用篱笆，或是费用单独算）。 2.方法：围栏题不管怎么变，本质就是“加法”。把实际需要用篱笆包住的“边”加起来，减去“门”空出来的边，加上“隔断”多出来的边。别背公式，边看图边数“有几条边”，方程自然就出来了。 变式1-1某市是全国旅游胜地，2020年受新冠疫情的影响，外来游客在逐年下降．某景区外来游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万． (1)求2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率； (2)在该景区需要建造篱笆花圃，如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（如图）， ①设花圃垂直于墙的边长为x米，则________（用含x的代数式表示）； ②当为多少米时，所围成花圃面积为105平方米？ ③当________米时，花圃的面积达到最大，最大为________平方米． 【答案】(1) (2)①米；②米；③， 【详解】（1）解：设平均每年降低的百分率为， 根据题意可知， 整理得， 即， 解得：（负值舍去）； （2）解：①垂直于墙的边共3段，总长为米，上有两个宽1米的门，门不用篱笆， ∵总篱笆长为34米， ∴， 解得：米； ②由①知米，米， ∵所围成花圃面积为105平方米， ∴， 解得，． 根据墙的最大可用长度可知：， 解得， 即； ③由题意可知， 解得：， 花圃面积平方米， ∵， ∴， ∴当时，取得最大值108平方米． 变式1-2如图是南昌市外国语学校九龙湖初中部行政楼后自行车车库的示意图，其中一边是长为的后墙，其他的边用总长的不锈铜栅栏围成．左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏状如“山”字形．另外，在距离后墙以南，还规划有机动车停车位． (1)若设自行车车库的宽度为xm，则车库的长度为________m； (2)设自行车车库面积为，垂直于墙的车库宽度为，求S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； (3)学校调研教职工及学生的需求后，现决定对车库进行改建．在后墙不动的情况下，若扩建后车库面积刚好等于，是否有必要改动机动车停车位的位置规划？但机动车停车位向南最多移动，如有必要，请给出具体方案；如无必要，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)有必要改动机动车停车位的位置规划，机动车停车位向外移动． 【详解】（1）解：∵搭建自行车车库为矩形，车库宽度为xm，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， ． 故答案为：． （2）解：由（1）可得，车库面积为：， 由题意得到，解得， ∴． （3）解：有必要，理由如下： 由（1）可得： ，解得：或（不符合题意舍去）， 当时，． ∴机动车停车位向外移动． ∴有必要改动机动车停车位的位置规划，机动车停车位向外移动． 变式1-3某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 【答案】(1)，；； (2)解：不可以，理由如下， 设长为米， 当时，， 则围成的菜地面积， ， ∴方程无实数根， ∴围成的菜地面积不可以达到平方米． 【分析】根据图形和条件确定边长表达式； 根据面积公式列出方程求解即可； 根据面积公式列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：， 由题意得，解得； ∵围成的菜地面积为平方米， ∴，整理得， 解得，（舍去）， ∴的长为米； （2）略． 题型二、多动点几何问题 典例1 综合与探究 问题情境： 如图，在中，，，，动点D从点A出发，以的速度向点C移动，同时动点E从点C出发，以的速度向点B移动，设它们的运动时间为． 猜想证明： （1）当点D，E都运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值；如果不可以，请说明理由． 拓展延伸： （2）当时，求四边形的面积． （3）直接写出当t为何值时，的面积等于四边形的面积的． 【答案】（1）解：当点D，E都运动时，的长不可以是，理由： 由题意，，，则 在中，由勾股定理得， 整理，得， ∵， ∴该方程无实数根， 故当点D，E都运动时，的长不可以是； （2）；（3）或 【详解】（1）略 （2）当时，，， ∴， ∵， ∴； （3）∵的面积等于四边形的面积的， ∴面积等于面积的， ∴， 即， 整理，得， 解得，． 答：当t为或时，的面积等于四边形的面积的． 题型模版 1.特征：题干出现 “同时出发”、“速度不同”、“运动方向相反/相同”，且涉及等腰、直角、面积相等等几何条件。 2.方法：1. 设时间 t：明确零时刻位置，写出动点在 t 秒后的坐标或线段长度（注意带绝对值，或分清左右/上下）。 2. “定格”几何条件：画出运动到某一瞬间的草图，用含 t 的式子表示目标边长（通常用勾股定理或两点间距离公式）。 3. 列方程硬解：将几何关系代入，得到关于 t 的一元二次方程，解出后立即验根。 变式1-1如图所示，在四边形中，，，，动点从点出发沿AD方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)当运动秒时，线段__________（用含有t的代数式表示） (2)经过多长时间，四边形是矩形？ (3)经过多长时间，PQ的长为？ 【答案】(1)t， (2) (3)经过5秒或9秒，的长为 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知矩形的判定和性质是解题的关键 （1）根据路程=速度乘以时间列式即可； （2）四边形为矩形，根据，列方程求解即可； （3）根据勾股定理，根据，列方程求解即可． 【详解】（1）由题意，得线段， 故答案为：t，； （2）解：∵四边形为矩形， 则，即， 解得：； （3）解：过点作于点 在中，根据勾股定理， 已知， ， 则可得方程， 即， 移项可得， 两边同时开平方得； 当时， 移项可得， 解得； 当时， 移项可得， 解得； 所以，经过秒或秒，的长为． 变式1-2在矩形中，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从点A出发沿着边以的速度运动，两点同时出发，运动时间为． (1)当为何值时为等腰三角形？ (2)若的面积是矩形面积的，求的值； (3)的面积能否等于五边形面积的？若能，求出的值；若不能，说明理由； (4)当时，求证：四边形的面积是一个定值． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 (4)见解析 【详解】（1）解：当运动时，，， ∴， ∵在矩形中， ∴当为等腰三角形时，， ∴， 解得； （2）解：∵， ， ∴当时，， 解得； （3）解：当时，， ∵，， ∴， 整理，得， ∵， ∴方程没有实数根， ∴的面积不能等于五边形面积的； （4）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵当运动时，，，，， ∴， ， ∴ ， ∴当时，四边形的面积为，是一个定值． 变式1-3如图，在矩形中，cm，cm，动点从点出发，以3cm/s的速度向点运动，同时另一动点从点出发，以2cm/s的速度向点运动，当点停止运动时，点也停止运动，设运动时间为s． (1)__________cm，__________cm；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，、两点间的距离为13cm？ (3)是否存在某一时刻，使得四边形为矩形？若存在，求出满足条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)出发秒时，间的距离是 (3)时，四边形的形状可能为矩形 【详解】（1）解：依题意得：，， ∵矩形中，， ∴，， 故答案为：；； （2）解：设出发t秒后P、Q两点间的距离是． 依题意， 如图，作于，则 四边形是矩形， ∴， 则， 在中， 即：， 解得或， ∵t的最大值是（秒）， ∴, 答：出发秒时，间的距离是； （3）当时，四边形的形状为矩形； 理由：若四边形为矩形，则， 即，解得：． 题型三、销售利润 典例1 广阳岛原称广阳坝、广阳洲，位于重庆市南岸区明月山、铜锣山之间，距离市中心11公里，面积6.44平方公里，是长江上游最大的江心绿岛，市政府邀请国内一流的智库力量和设计团队，开展各项规划和城市设计，着力将广阳岛建设成“回归五百年前的生态，引领五十年后的生活”的智创生态城．2022年8月经历重新打造的广阳岛景区重新面对游客开放．游客可以选择从朝天门码头乘轮渡登岛游览或者在岛外乘坐摆渡车进入岛内游玩．据了解，9月试营业期间轮渡票价和摆渡车票价之比为，预计试营业期间一个月登岛观光人数达到18000人，摆渡车票销售总额20万元，轮渡票销售总额是摆渡车票销售总额的两倍． (1)求轮渡票价格和摆渡车票价格每张多少元？ (2)为了庆祝国庆佳节，提升市民生活品质，景区管理处决定，十月份降低轮渡票价和摆渡车票价．轮渡票价在试运行单价的基础上降低（），摆渡车票价比试运行单价降低元，这样轮渡票销售量和九月一样，摆渡车票的销售量比九月减少了，轮渡船票和摆渡车票的销售总额比预计减少了元．求a的值． 【答案】(1)9月试营业期间轮渡票价格为50元/张，摆渡车票价格为20元/张 (2)a的值为30 【详解】（1）解：设9月试营业期间轮渡票价格为元张，摆渡车票价格为元张， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ，． 答：9月试营业期间轮渡票价格为50元张，摆渡车票价格为20元张； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），． 答：的值为30． 题型模版 1.特征：价格变化：“每涨价1元，销量少10件”或“每降价1元，销量多20件”。 固定成本：进价（成本价）始终不变。目标：求“定价多少时，利润达到某值”或“最大利润是多少”。 2.方法：1. 设未知数（选对“元”很关键）： · 优先设“涨价/降价 x 元”（千万别直接设售价，否则后面容易乱）。 · 若题目问“售价为多少”，最后加个尾巴（售价 = 原价 + x）即可。 2. 拆解“单件利润”： · 单件利润 = 售价 - 进价。 · 若涨价 x，则现单利 = 原单利 + x；若降价 x，则现单利 = 原单利 - x。 3. 拆解“销量”： · 现销量 = 原销量 - x（涨价）或 现销量 = 原销量 + x（降价）。k 就是“涨1元少卖几件”的那个倍数。 4. 套公式列方程： · 总利润 = 单件利润 × 销量 = 目标值。 变式1-1葡萄不仅味美可口，营养价值很高，而且用途广泛，堪称“果中珍品”，它既可鲜食又可加工成各种产品，如葡萄干、葡萄酒、葡萄汁等．当下正值食用葡萄的好时节，经过市场调研顾客最喜欢“黑珍珠”、“仙粉黛”两个品种，某商店老板看准商机，决定购进这两种葡萄销售，商店原计划在6月购进“黑珍珠”、“仙粉黛”两种葡萄共200千克，其中“仙粉黛”的质量至少是“黑珍珠”质量的3倍． （1）那么原计划今年6月至少购进“仙粉黛”多少千克？ （2）今年6月商店按照原计划购进并售完“黑珍珠”、“仙粉黛”两种葡萄，且“仙粉黛”的质量恰好是原计划的最小值．今年7月商店按照“黑珍珠”与“仙粉黛”的质量比为1∶3购进两种葡萄一共160千克，按照单价4∶3售出，共得销售额1040元．通过7月对市场的观察，商店老板决定增加两种葡萄的进货量，同时降价促销；8月商店购进“黑珍珠”、“仙粉黛”的质量在6月的基础上分别增加了，同时为了尽快全部售出，每千克售价在今年7月份的基础上分别降价（降价幅度不超过50%），最终8月的销售额比7月的销售额增加了535元．求的值． 【答案】（1）150千克；（2）30 【分析】（1）设原计划今年6月购进“仙粉黛”x千克，则：x≥3（200-x）． （2）由题可得：6月购进“黑珍珠”50千克，“仙粉黛”150千克；7月购进“黑珍珠”40千克，“仙粉黛”120千克．设7月“黑珍珠”单价为4m，“仙粉黛”单价为3m，则有：40×4m+120×3m=1040，易得7月“黑珍珠”单价为8元/千克，“仙粉黛”单价为6元/千克．根据题意列出方程并利用换元法解方程． 【详解】解：（1）设原计划今年6月购进“仙粉黛”x千克，则：x≥3（200-x）． 解得：x≥150， 答：原计划今年6月至少购进“仙粉黛”150千克； （2）由题可得：6月购进“黑珍珠”50千克，“仙粉黛”150千克；7月购进“黑珍珠”40千克，“仙粉黛”120千克． 设7月“黑珍珠”单价为4m，“仙粉黛”单价为3m，则有：40×4m+120×3m=1040， ∴m=2． 则7月“黑珍珠”单价为8元/千克，“仙粉黛”单价为6元/千克． 列方程为：50(1+2a%)×8(1−a%)+150(1+a%)×6(1−a%)=1040+535． 令a%=t，则：80t2-134t+33=0， ∴t1=，t2=． 又∵当t=时， a%=＞，舍去． ∴t=． ∴a=30． 答：a的值是30． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的数量关系，列出方程或不等式，再求解． 变式1-2在建设全国文明典范城市的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司投资20万元购得某项节能产品的生产技术后，再投资85万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调查发现，该产品的销售单价定为元，在时才合理，并且该产品的年销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式为．（年获利年销售收入生产成本投资成本） (1)当销售单价定为28元时，该产品年销售量为多少万件？ (2)求该公司第一年的年获利（万元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损了？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？ (3)第二年，该公司决定给希望工程捐款万元，该项捐款由两部分组成：一部分是10万元的固定捐款；另一部分则是每销售一件产品，就抽出一元作为捐款．若除去第一年的最大获利（或是最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年底，两年的总盈利不低于73万元，请你确定此时销售单价的范围． 【答案】(1)12万件 (2)，投资的第一年，该公司亏损了，最少亏损是5万元 (3) 【分析】本题考查了一次函数与二次函数在实际问题（利润计算）中的应用；解题的关键是准确理解题目中“年获利”、“投资成本”等概念，并根据不同的条件正确列出对应的函数关系式． （1）直接将销售单价代入销售量与单价的函数关系式中计算即可； （2）根据“年获利年销售收入生产成本投资成本”的公式，用和表示各项，并将 代入，得到关于的二次函数解析式，结合给定区间判断其最值，确定公司盈亏情况； （3）首先根据新的条件（增加捐款）列出第二年获利的函数关系式，然后根据“两年的总盈利不低于73万元”列出不等式，结合第一年的最小亏损（即最大亏损）进行计算，最后，结合销售单价的合理范围确定最终答案． 【详解】（1）当（元）时，（万件） 答：当销售单价定为28元时，该产品年销售量为12万件． （2）年销售收入为：万元 生产成本为：万元 投资成本为：万元 年获利 化简得： 配方得： ∵， ∴ 当时，取得最大值 答：在的范围内，公司处于亏损状态，最小亏损是5万元． （3）设第二年获利为万元． 第二年每件产品成本变为元（增加1元捐款）， 固定捐款为10万元， 投资成本在第一年已计算，故第二年不再重复扣除， ∴ 第二年获利 由题意，第一年最小亏损为5万元（即亏损5万） 要达到“两年总盈利不低于73万元”，即： ∴ 即 整理得： 不等式两边同乘以，改变不等号方向： ∴ 不等式的解为 又因为销售单价的合理范围为， ∴ 满足条件的范围为 答：此时销售单价的范围． 变式1-3柚子糖度高、酸味低，有益身体健康，深受大家喜爱．某水果店在去年8月份购进福建蜜柚和泰国青柚共900个，福建蜜柚进价为6元/个，泰国青柚进价为20元/个，两种柚子的总进价不超过12400元． （1）该水果店去年8月份购进福建蜜柚最少多少个？ （2）今年8月份，该水果店用和去年8月份相同的进价购进两种柚子，福建蜜柚购进数量为去年8月份购进数量的最小值，售价为16元/个．泰国青柚购进数量为去年8月份购进数量的最大值，售价为30元/个，两种柚子全部卖出．今年9月份，该水果店购进与上个月数量相同，进货单价相同的福建蜜柚．为了进一步占领市场份额，水果店对福建蜜柚进行了降价促销，它的售价在上个月的基础上先降价，再“买三送一”（每买3个就免费赠送1个，即4个装成一袋，一袋以3个的价格出售，但消费者只能整袋购买）．受各种因素的影响，与上个月相比，泰国青柚的进价下降40%，进货量下降，售价上涨．两种柚子卖完后，该水果店今年9月份销售两种柚子的总利润比上个月上涨，求的值． 【答案】（1）水果店去年8月份购进福建蜜柚最少400个；（2）a的值为25 【详解】(1) 设该水果店去年8月份购进福建蜜柚x个，则购进泰国青柚(900-x)个，依题意， 得:6x + 20(900- x)≤12400， 解得:x≥400. 答:水果店去年8月份购进福建蜜柚最少400个. (2)由(1) 可知:今年8月份，该水果店购进福建蜜柚400个、泰国青柚500个.依题意，得: [16(1-a%)×-6]×400+ [30(1 + 2a%)- 20× (1一40%)]× 500(1-a%)=[(16-6)×400+ (30 - 20)×500]×[ 1+)， 整理得：90a- 3.6a2=0， 解得： a1 = 25，a2 = 0(不合题意，舍去) . 答:a的值为25. 题型四、方案问题 典例1 学校文创社设计了一款特色笔记本，作为校园文化节的纪念品．最初以每本20元的成本价生产了一批．在试销阶段，第一个月定价为每本25元，售出120本，随后两个月对价格进行了上调，两次价格上调的百分率相同，最终第三个月定价为每本36元，此时每月售出100本． (1)这款笔记本每次（每月）的价格增长率为________； (2)文创社为了在第四个月扩大影响、清空库存，决定进行促销．学生通过市场调查发现：在第三个月销量的基础上，售价每降低1元，每月可多售出10本，请问：当降价多少时，可以使第四个月的利润达到1530元． (3)文创社现有两种销售方案： 方案A 方案B 按第（2）问中求出的售价进行销售． 在售价不低于成本的前提下，采取“每卖出一本就向校园公益基金捐赠2元”的方式销售，这一方式可以使每月销量在第（2）问的促销模型基础上再增加20本． 如果你是文创社社长，你会选择哪种方案？请从利润、清仓速度、社会效益等角度比较方案A和方案B，综合说明理由． 【答案】(1) (2)7 (3)B 【详解】（1）解：设每次价格增长率为r， 由题意得：， ， ， （舍去）， 答：增长率为； 故答案为：． （2）解：设降价x元，则售价为元，销量为本， 每本的利润为元， 由题意得：， 整理得：， 解得：或（舍去）， 答：应降价7元，才能使第四个月的利润达到1530元； （3）解：方案A售价（元），销量170本，利润（元）， 方案B设售价降低x元（），售价元，销量本，每本利润元，总利润， 设利润为元，则， 配方得：， 当时利润最大为1690元，此时售价35元，销量130本， 方案B最大利润1690元元，且捐赠（元）有社会效益， 方案A清仓速度较快（销量170本＞130本），但方案B利润更高且有益社会，综合选择方案B． 题型模版 1.特征：题干里必出现这些关键词：“有几种购买方案？”、“如何选择更省钱？”、“方案A和方案B”。 2.方法：先解方程定单价，再列范围找整数；一次函数比大小，斜率正负定最优。 变式1-1果农李明种植的草莓计划以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．李明为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克元的单价对外批发销售． (1)求李明平均每次下调的百分率； (2)小刘准备到李明处购买3吨该草莓，因数量多，李明决定再给予两种优惠方案以供其选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小刘选择哪种方案更优惠，请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：小刘选择方案一购买更优惠， 理由：方案一所需费用为：（元）， 方案二所需费用为：（元）， ∵， ∴小刘选择方案一购买更优惠． 【详解】（1）解：设平均每次下调的百分率为x， 由题意，得， 解这个方程，得， ∵降价的百分率不可能大于1， ∴不符合题意， 符合题目要求的是， 答：平均每次下调的百分率是． （2）略 变式1-2自月日“闽超”开赛以来，福建省各地掀起观赛热潮，相关周边产品需求持续攀升．某文创公司推出闽超吉祥物纪念品“五福天团”，并同步开展线上主题打卡活动．现要对活动方案进行升级，需要对定价和打卡人数进行调研． 素材 月份，参与“闽超线上打卡”活动的人数有人，随着“闽超”热度不断提升，月份的报名人数达到人． 素材 闽超吉祥物纪念品“五福天团”深受球迷喜爱，在销售中发现：纪念品的进价为每件元． 素材 在统计销售数据后，发现当纪念品售价为每件元时，每月销售量达到件．若纪念品售价每降价元，销售量就会增加件． 请完成下面两个任务． (1)确定增长率：求从月份到月份“闽超线上打卡”活动报名人数的平均增长率． (2)拟定价格方案：求当纪念品降价多少元时，商场可以尽量减少库存并获利元． 【答案】(1) (2)每件纪念品降价8元时，可尽量减少库存且获利10800元 【分析】（1）设月平均增长率为，4月基数人，经过两个月增长到6月人，套用平均增长率公式：初始量增长率最终量，列一元二次方程求解，舍去负根． （2）单件利润原售价进价降价；总销量原销量降价增加的销量；总利润单件利润销量．列方程求出两个降价值，减少库存应使销量尽可能大，因此选更大的降价． 【详解】（1）解：设从4月到6月报名人数的月平均增长率为． 4月人数：人，经过、两个月增长，因此列方程： ， 两边同除以： ， ， ①若，得； ②若，得，增长率不能为负，舍去． 答：月平均增长率为． （2）解：设纪念品每件降价元． 单件利润：元； 月销售量：件； 总利润为元，列方程： ， 整理标准一元二次方程：， 解得：，． 要求尽量减少库存，即销量越大越好，降价越多销量越高： 降价2元：销量（件）； 降价8元：销量（件）， ，因此取． 答：每件纪念品降价8元时，可尽量减少库存且获利10800元． 变式1-3某民族服饰工厂每月生产某种民族服装件，每件产品的成本为元，分配给线上旗舰店和线下直营店两个渠道销售．线上旗舰店的服装售价（元）与月销售量（件）满足关系：．线下直营店的服装按照每件元的定价出售，并进行促销活动：若月销售量不超过件，每件民族服装赠送成本为元的礼品，可全部售完；当月销售量超过件时，超过的部分因礼品已送完，则需要一次性投入成本为元的广告进行宣传． (1)①线上销售的件服装的总利润为_____元（用含的代数式表示）； ②设线下直营店的月销售量为件，求线下销售件服装的总利润（用含的代数式表示）． (2)假设工厂每月生产的件服装通过两种销售渠道全部售完，请你设计一种分配方案，使得销售总利润为元．（注：要有解答过程）． 【答案】(1)①；②当时，线下销售的件产品的总利润为元；当时，线下销售的件产品的总利润为元 (2)线上旗舰店销售件，线下直营店销售件 【分析】（）①根据题意列出代数式即可；②分和两种情况，根据题意列出代数式即可； （）设线上旗舰店的月销售量为件，则线下直营店的月销售量为件，分和两种情况，根据题意列出方程解答即可求解； 本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①， ∴线上销售的件服装的总利润为元， 故答案为：； ②当时，线下销售的件产品的总利润为：元； 当时，线下销售的件产品的总利润为：元； 综上，当时，线下销售的件产品的总利润为元；当时，线下销售的件产品的总利润为元； （2）解：设线上旗舰店的月销售量为件，则线下直营店的月销售量为件， 当，即时， ， 整理得，， ∵， ∴该方程没有实数根； 当，即时， ， 整理得，， 解得， ∴， ∴应分配线上旗舰店销售件，线下直营店销售件，可使得销售总利润为元． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12元，平均每天可售出80枚．市场调研发现：若每枚徽章降价1元，则平均每天可多售出10枚．为了尽快减少库存，店主决定降价促销．销售一段时间后发现，平均日盈利为910元．假设每天售出徽章的数量相同，设每件商品降价x元，依题意可列方程（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际利润问题，解题核心是利用“总盈利等于每枚徽章盈利乘以销售量”的关系，根据降价情况分别表示出降价后的每枚盈利和销售量，即可列出方程． 【详解】解：∵设每件商品降价元， ∴降价后每枚徽章的盈利为元， ∵每降价元平均每天可多售出枚， ∴降价元后，每天的销售量为枚， 又∵平均日盈利为元， ∴可列方程为． 2．某超市销售一种可拆分式驱蚊器，一套驱蚊器由一个加热器和一瓶电热蚊香液组成，电热蚊香液作为易耗品可单独购买．一套驱蚊器的售价是一瓶电热蚊香液的5倍，已知一瓶电热蚊香液的利润率为20%，一套驱蚊器的利润率为25%．超市出售1套驱蚊器和4瓶电热蚊香液，共可获利10元．经过一段时间的销售发现，每天能销售50套驱蚊器和80瓶电热蚊香液，为了促进驱蚊器的销售，超市决定对驱蚊器降价处理，其中每降价1元，可多卖出5套．若超市每天销售驱蚊器要获得275元的利润，则每套需降价（  ） A．1元 B．2元 C．3元 D．4元 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设一瓶电热蚊香液的进价为x元，则电热蚊香液的售价为元，则一套驱蚊器的售价为6x元，进价为元，列出方程解出即可； 【详解】解：设一瓶电热蚊香液的进价为x元，则电热蚊香液的售价为元，则一套驱蚊器的售价为6x元，进价为元，由题意得： ， 解得：x=5, 所以一套驱蚊器的售价为：5×6=30（元），一套驱蚊器的利润元 设每套驱蚊器降价a元，由题意得： ， 解得： , （舍去）， 故选：A. 3．如图，在中，，，．点从点出发向终点以的速度移动，点从点出发向终点以的速度移动，，两点同时出发，其中一点到达终点则两点同时停止运动．当的面积等于时，两点运动了（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设后，的面积等于，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设后，的面积等于． 由题意，得，，则． ， ， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）． 故当的面积等于时，两点运动了． 故选：A． 4．某商城在元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元．市场调研表明：当每个商品的售价为20元时，平均每天能够售出40个，当每个商品的售价每降1元时，平均每天就能多售出10个．在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的售价应为___________元，最大利润是___________元． 【答案】 19 250 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握根据利润、售价、销售量的关系构建二次函数模型，利用二次函数的性质求最值是解题的关键． 设每个商品降价元，根据售价、利润、销售量的关系得到总利润的二次函数，结合售价不低于进价的条件，求二次函数的最大值，进而得到售价和最大利润． 【详解】解：设每个商品降价元，则售价为元， 由售价不低于进价，得，解得， 每个商品的利润为元， 每天销售量为个， 总利润， 化简得， 二次项系数， 有最大值， 当时，取最大值， 此时售价为元， 元， 故答案为：19，250． 5．如图，在中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．_______秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 【答案】或 【分析】先根据动点速度设运动时间为，得出、，依据点、所在线段位置划分为、、三种情况，每种情况结合图形形状选用对应割补法列出四边形面积方程求解，求出解后验证数值是否落在对应取值范围内，舍去取值范围内不符的解，即可得出所有符合条件的时间． 【详解】解：设运动时间为，由题意得，， 当点在线段上时，； 当点在线段上时，； 故分三种情况讨论： ①当时，如图， ， ∵， ∴， 解得 或（不合题意，舍去）； ②当时，如图， ， ∵， ∴， 解得； ③当时，如图， ， ∵， ∴， 解得（，不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 综上所述， 或秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 6．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？ 【答案】1或5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， ， ， ， 解得：，． 故运动1秒或5秒后的面积为． 故答案为：1或5． 7．小明为班级围建一个矩形蔬菜园，其中一边靠墙，墙可利用的最大长度为，篱笆长为，菜园中间用一道篱笆隔成2个小矩形． （1）当围成的菜园面积为时，的长为_____； （2）记，若围成面积比大的菜园，则的范围为_____． 【答案】 6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元二次不等式的应用 （1）设，则，根据围成的菜园面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）根据围成面积比大的菜园，可列出关于a的一元二次不等式，解之可得出a的取值范围，结合墙可利用的最大长度为，即可确定a的取值范围． 【详解】解：（1）设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴当围成的菜园面积为时，的长为， 故答案为：6； （2）根据题意得：， 即， 解得：， 又∵墙可利用的最大长度为， ∴， ∴a的范围为． 故答案为：． 8．通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的． 某小组决定使用20斤清水，对某件存留1斤污水衣服分别进行漂洗，且每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． (1)该小组设计了如下两个方案，请你完善方案内容： 方案一：采用一次漂洗的方式. 将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________； 方案二：采用两次漂洗的方式. 若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；若在第一次用斤清水，第二次用斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________（用含有x的代数式表示）； 通过计算分析，方案__________（“一”或“二”）的漂洗效果更好. (2)若采用方案二，第一次用__________斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________． 【答案】(1)；；；二 (2)10； 【分析】本题考查分式的计算及应用，理解题意，列出算式，并准确计算是解题的关键． （1）数据计算：分别计算出两种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答： 实验结论：比较数据计算得出的数据，即可作出判断； （2）先利用二次函数求出最值，确定出漂洗后衣服中存有的污物与原来污物间的最小值即可解决问题． 【详解】（1）解：方案一：采用一次漂洗的方式． 将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的； 方案二：采用两次漂洗的方式． 若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的， 若在第一次用斤清水，第二次用斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的 ，方案二效果更好； 故答案为：，，；二； （2）解：， 当时有最大值，分母越大，分数值最小，漂洗效果最好， 第一次用 10斤清水，漂洗效果最好， 二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的 故答案为：二，． 9．某读书兴趣小组计划去书店购买一批定价为50元/本的书籍，书店表示有两种优惠方案方案一：若购买数量不超过10本，每本按定价出售；若超过10本，每增加1本，所有书籍的售价可比定价降2元，但售价不低于35元/本．方案二：前5本按定价出售，超过5本以上的部分可以打折． (1)该兴趣小组按照方案一的优惠方式支付了600元，请你求出购买书籍的数量； (2)如果该兴趣小组用方案二的优惠方式购买（1）中的数量，请问书店折扣至少低于几折才能使得实付金额少于600元？ 【答案】(1)该兴趣小组按照方案一的优惠方式购买书籍15本 (2)书店折扣至少低于7折才能使得实付金额少于600元 【分析】（1）设读书兴趣小组购买书籍x本，列出等量关系式，求解即可； （2）设书店折扣至少低于折才能使得实付金额少于600元，列出不等式为，解出即可． 【详解】（1）设读书兴趣小组购买书籍x本， 根据题意，当购买数量不超过10本时每本按50元出售， ∵， ∴兴趣小组购买书籍数量超过10本， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴， 答：该兴趣小组按照方案一的优惠方式购买书籍15本； （2）设书店折扣为y折才能使得实付金额少于600元， 由题意得，， ∴， 答：书店折扣至少低于7折才能使得实付金额少于600元． 【点睛】本题考查解一元二次方程以及解一元一次不等式，根据题意找出关系式是解题的关键． 10．商场从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同． (1)求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？ (2)商场决定用不超过14000元从厂家购进A、B两种型号的空气净化器共10台，且B型空气净化器的台数少于A型空气净化器的台数的2倍，问商场有几种进货方案？如果这10台空气净化器在进价的基础上都加价销售并售完，采用上面哪一方案利润最大． (3)为了增大B型空气净化器的销量，电器商社决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天电器商社销售B型空气净化器的利润为3200元，请问电器商社应将B型空气净化器的售价定为多少元？ 【答案】(1)每台B型空气净化器的进价为1200元，每台A型空气净化器的进价为1500元 (2)共有三种进货方案，当A型空气净化器购进6台，则B型空气净化器4台时，利润最大，最大利润是元 (3)电器商社应将B型空气净化器的售价定为1600元 【分析】本题考查分式方程、一元一次不等式组和一元二次方程的应用，找准等量关系列方程是解题的关键． （1）设一台B型空气净化器的进价为x元，则一台A型空气净化器的进价为元，利用用7 500元购进A型空气净化器和用6 000元购进B型空气净化器的台数相同可列方程，然后解方程检验确定x的值，再计算即可； （2）设A型空气净化器购进x台，则B型空气净化器台．根据A、B两种型号的空气净化器的总费用不超过14000元，“B型空气净化器的台数少于A型空气净化器的台数的2倍”列出不等式并解答； （3）设B型空气净化器的售价为x元，根据“利润为3200元”列出方程并解答． 【详解】（1）解：设每台B型空气净化器的进价为x元，则每台A型净化器的进价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， ． 答：每台B型空气净化器的进价为1200元，每台A型空气净化器的进价为1500元． （2）解：设A型空气净化器购进x台，则B型空气净化器台． 由和 解得x的范围， 可取4，5，6三种方案． 当时，元． （3）解：设B型空气净化器的售价为x元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：． 答：电器商社应将B型空气净化器的售价定为1600元． 11．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 12．如图，四边形中，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接，设运动时间为t秒（）． (1)连接　　,　　,(用含t的代数式表达)，当　　时，四边形为平行四边形； (2)将沿翻折，得到．在运动过程中，是否存在某时刻t，使四边形为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)设四边形的面积为y，求y与t的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形的面积与的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)存在， (3) (4)存在， 【分析】（1）由知，从而得，根据四边形为平行四边形知，据此列出方程求解可得； （2）由沿翻折得，知，据此得时有四边形为菱形，从而列出关于t的方程，解之可得； （3）由可得，利用得到y与之间的关系式； （4）将四边形和三角形的面积表示出来，使，可得，解一元二次方程求出t的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， 解得：， ∴当时，四边形为平行四边形； （2）解：存在， 理由如下：∵将沿翻折得， ∵， ∴当时有四边形为菱形， ∴， 解得， ∴，使四边形为菱形． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； （4）解：存在， 理由如下：当时， ， ∴， 解得：， 又∵时D、M重合不能形成四边形， ∴秒时有四边形与面积相等． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $