精品解析：湖北大悟县实验中学2026-2027学年九年级上学期9月数学阶段性练习（A卷）

实验中学九月份数学阶段性练习（A卷） 一、单选题（共30分） 1. 下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数进行分析． 【详解】解：A、是一次函数，故此选项错误； B、当时，是二次函数，故此选项错误； C、是二次函数，故此选项正确； D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 2. 方程的两根之和是（ ） A. 5 B. C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；直接应用一元二次方程两根之和公式计算． 【详解】解：∵方程中，，， ∴两根之和为． 故选：B． 3. 一份摄影作品【七寸照片（长7英寸，宽5英寸）】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则矩形衬纸的长为英寸，宽为英寸，然后根据矩形衬纸的面积为照片面积的2倍列出方程即可． 【详解】解：设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则矩形衬纸的长为英寸，宽为英寸， 由题意得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系式解题的关键． 4. 将抛物线先向左移动3个单位，再向下移动2个单位，所得新抛物线经过原点，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线的平移规律，掌握“左加右减”和“上加下减”的原则是解题的关键． 根据抛物线平移规律求出平移后的解析式，再代入原点求解a． 【详解】解：由题意得平移后的抛物线表达式为：。 ∵所得新抛物线经过原点(0,0)， ∴ 代入得， 解得， 故选：D． 5. 一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是下图中的（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用一次函数图象经过的象限得出a，b的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、二、三象限， ∴， ∴ ∵二次函数对称轴为直线， ∴二次函数的图象开口方向向上，图象经过原点，对称轴在y轴左侧， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数以及二次函数的图象综合判断，正确确定a，b的符号是解题关键． 6. 已知一元二次方程的两根分别是3和，则这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程和根与系数的关系进行判断即可． 【详解】解：A：方程的解是，不符合题意； B：由题意得，而方程中，不符合题意； C：方程的解是，符合题意； D：由题意得，而方程中，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程和一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的相关知识． 7. 已知实数x满足，则代数式的值为（　　） A. 7 B. C. 7或 D. 或1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，将看作一个整体，再用换元法解方程求出的值即可，解题的关键是掌握换元法解方程． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得； 当时，，即，，原方程没有实数根，故不合题意，舍去； 当时，，即，，故的值为6； ∴． 故选：A． 8. 对于实数a，b，定义一种新运算“△”，规则：，则等式中的x值为（ ） A. B. 或6 C. D. 1或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，新定义下实数的运算，由新定义运算得出，再解一元二次方程即可得解，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∴， 解得：，， ∴等式中的x值为或6， 故选：B． 9. 在平面直角坐标系中，已知，二次函数表达式为，若该函数的图象与四边形的边有交点，则的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，根据题意得出二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，根据二次函数经过时，最大，求解即可． 【详解】解：二次函数表达式为， 故二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 若该函数的图象与四边形的边有交点， 则当二次函数经过时，最大， 代入得，解得：（舍去）或， 故选：C． 10. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过二次函数的顶点，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线经过点 B. C. 当时，则 D. 与交于另一点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，一次函数与二次函数交点问题，由一次函数的图象经过二次函数的顶点得到，再据此计算各个选项即可． 【详解】解：当，，即抛物线经过点，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴的顶点， ∵一次函数的图象经过二次函数的顶点， ∴，整理得， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴当时，，但的符号不确定，无法确定，故C选项错误，符合题意； 当时，，解得，当时，，即与交于另一点，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（共15分） 11. 写出一个与抛物线开口方向相同的抛物线的表达式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次函数性质可得抛物线的开口方向是由二次项系数符号确定的，故只要二次项系数即可． 【详解】解：∵抛物线开口方向向上， ∴与抛物线开口方向相同的抛物线只要二次项系数， ∴与抛物线开口方向相同的抛物线为：，不唯一． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解题关键是熟记二次函数的性质． 12. 抛物线的对称轴是______． 【答案】直线 【解析】 【分析】对于二次函数，对称轴为直线．已知抛物线的一般式，代入二次函数对称轴公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，， 代入公式得：， ∴抛物线的对称轴是直线． 13. 已知关于的方程的两个根为，则______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系，即对于一元二次方程，两根有． 先根据一元二次方程根与系数的关系求出和的值，再代入式子计算． 【详解】解：由题意可得：， 将代入， 可得：． 故答案为：7． 14. 已知函数，当时，则函数值的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数表达式，求出函数的对称轴，根据开口方向判断函数的增减性即可解答． 【详解】解：∵， ∴函数开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为， ∴当时，函数有最小值：， 当时，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是根据函数表达式得出函数的对称轴，结合开口方向得出函数的增减性． 15. 二次函数自变量的部分取值和对应的函数值如下表所示： ... ... ... ... 下列说法正确的是__________．（填写序号） ①抛物线的对称轴为直线；②函数图像开口向上； ③当时，随的增大而增大；④当时，的取值范围是． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据二次函数的图像与性质，结合表格中的数据逐一分析即可． 【详解】解析：∵当或时，函数值相等， 抛物线的对称轴为直线 ，①正确． ②当时的函数值大于当时的函数值， 当时的函数值是该函数的最小值， 函数图象开口向上，②正确． ③由①②得：当时，随的增大而增大， ③显然正确． ④当时，的取值范围为或， ④不正确． 综上所述， 正确的是①②③． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 或， 解得. 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得. 17. 探究题：已知一元二次方程 ． （1）求证：无论 m 取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为1，求 m 的值，并求出另一个根． 【答案】（1） 证明：∵ 对于一元二次方程（），根的判别式为, 又∵ 原方程为，其中，，, ∴ , ∵ 无论取何值，, ∴ ，即. ∴ 无论取何值，方程总有两个实数根； （2），另一个根是 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式（判断方程根的个数）及一元二次方程的解（已知根求参数），解题的关键是熟练掌握判别式的计算公式及“方程的根满足方程等式”的性质． （1）计算方程的判别式，将其化简为关于的代数式，证明该代数式恒大于等于； （2）将根代入原方程，解关于的一元一次方程，再将的值代入原方程，求解另一个根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ 方程有一个根为，将代入原方程, ∴ . 即, 整理得, 解得. 将代入原方程，得, 化简为，两边同乘得, 因式分解得, 解得，. ∴ 的值为，另一个根为. 18. 如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是144，请求出最小数与最大数分别是多少． 【答案】最小数为8，最大数为18 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为， ∴， 解得（舍去）， ． 答：最小数为8，最大数为18． 19. 已知二次函数的图象与经过，，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）指出它的对称轴和最值． 【答案】（1） （2）对称轴为直线，最小值为 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及待定系数法确定函数关系式、将一般式化为顶点式得顶点坐标等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由题意，设二次函数表达式为，再将代入求即可得到答案； （2）由（1）中求得表达式化为顶点式即可得到答案． 【小问1详解】 解：二次函数图象经过点，， 设二次函数表达式为， 二次函数图象经过点， ， 解得， 二次函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知二次函数表达式为， 该抛物线的对称轴为直线， ∵，抛物线开口向上， ∴函数有最小值为． 20. 冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有2人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ （2）若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 【答案】（1）每轮传染中平均一个人传染了7人 （2）第三轮感染后，患流感的共有1024人 【解析】 【分析】题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． （1）设每轮传染中平均每人传染了人，根据经过两轮传染后共有128人患了流感，可求出； （2）用第二轮每轮传染中平均每人传染的人数，可求出第三轮过后，患流感的人数． 【小问1详解】 解：设每轮传染中平均一个人传染了人， 由题意得：， 解得：，（不合题意舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了7人； 【小问2详解】 解：第三轮感染的人数（人）， 第三轮感染后，患流感的总人数为：（人）， 答：第三轮感染后，患流感的共有1024人． 21. 已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： … 0 1 2 3 4 … … 3 0 0 3 … （1）表中的值为___________； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）结合图象直接回答：当时，则的取值范围是___________． 【答案】（1） （2） 图象如图： （3）． 【解析】 【分析】本题考查了画二次函数图象，二次函数的图象和性质等知识，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）当时，，即； （2）根据表格中的数据描点、连线即可； （3）根据函数图象可直接得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，， ∴； 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由函数图象得：当时，． 故答案为：． 22. 已知关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根分别为，． （1）求m的取值范围； （2）若方程的一个根，求m的值及方程的另一个根； （3）若满足，求m的值． 【答案】（1） 且 （2） ， （3） 【解析】 【分析】（1）结合根的判别式计算即可； （2）根据根与系数的关系解题； （3）根据根与系数的关系解题． 【小问1详解】 解：由题意知，且， ∴且； 即且， 解得且； 【小问2详解】 解：方程的一个根为， 则， 解得， ∴原方程为， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ， ∵，， ∴， 解得：或， ∵且， ∴． 23. 今年以来四川通过“国补”把家电以旧换新作为惠民生的重要举措．某商家在“双十一购物节”对一款“1级”节能洗衣机和一款“2级”节能液晶电视机实行降价促销． （1）原售价为每台元的“2级”节能液晶电视机，连续两次降价相同的百分率后售价为每台元，则该款电视机每次降价的百分率是多少？ （2）经市场调研发现，该款洗衣机原销售单价为元时，平均每月能售出台；如果售价每降价元，那么平均每月可多售出2台．已知购进这款洗衣机的单价是元，商家决定每台洗衣机降价元进行销售．根据政策，降价销售后，商家每销售一台洗衣机可获得元的补贴．若商家所获的总利润为元，尽可能让利于顾客，求m的值． 【答案】（1） （2）m的值为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款电视机每次降价的百分率是x，根据原售价为每台元的“2级”节能液晶电视机，连续两次降价相同的百分率后售价为每台元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）根据商家所获的总利润为元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该款电视机每次降价的百分率是x， 由题意得： 解得：，不符合题意，舍去， 答：该款电视机每次降价的百分率是； 【小问2详解】 解：由题意得： 整理得： 解得：，. 尽可能让利于顾客， . 答：m的值为 24. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，，，与y轴交于点C，连接、． （1）求抛物线的解析式 （2）判断的形状，并证明 （3）点P在抛物向上，且，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）为直角三角形，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】(1)把，代入即可求解． (2)由(1)求出解析式后令可得，再用勾股定理分别求出的长，可知，故可知为直角三角形． (3)过C作交抛物线于P，作G关于的对称点T，连接交于R，过R作轴于S，连接并延长交抛物线于，由，可知，故P是满足条件的点，再根据可求出，再根据可知即可求，而关于对称，故是的中点，则，设出直线的方程，再和抛物线方程联立即可求解． 【小问1详解】 ∵抛物线与x轴交于A、B两点，，， ∴解得：， ∴． 【小问2详解】 为直角三角形，理由如下： ∵抛物线与y轴交于点C， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故为直角三角形． 【小问3详解】 过C作交抛物线于P，作P关于的对称点T，连接交于R，过R作轴于S，连接并延长交抛物线于，如下图， ∵， ∴，P是满足条件的点， ∵，关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故， ∴， ∵， ∴， ∴，故， ∴， ∴， ∴， ∴是的中点，， ∴直线与抛物线交点是满足条件的点， ∵， ∴， 设直线为， 则，解得：， ∴设直线为， ∵是抛物线和直线的交点， ∴解得或(舍去)， ∴， 综上所述，当时，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、二次函数图像上点坐标的特征、相似三角形的判定及性质、对此变换等知识，灵活运用数形结合思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验中学九月份数学阶段性练习（A卷） 一、单选题（共30分） 1. 下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的两根之和是（ ） A. 5 B. C. 7 D. 3. 一份摄影作品【七寸照片（长7英寸，宽5英寸）】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线先向左移动3个单位，再向下移动2个单位，所得新抛物线经过原点，则a的值为（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是下图中的（ ）． A. B. C. D. 6. 已知一元二次方程的两根分别是3和，则这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数x满足，则代数式的值为（　　） A. 7 B. C. 7或 D. 或1 8. 对于实数a，b，定义一种新运算“△”，规则：，则等式中的x值为（ ） A. B. 或6 C. D. 1或 9. 在平面直角坐标系中，已知，二次函数表达式为，若该函数的图象与四边形的边有交点，则的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过二次函数的顶点，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线经过点 B. C. 当时，则 D. 与交于另一点 二、填空题（共15分） 11. 写出一个与抛物线开口方向相同的抛物线的表达式：______． 12. 抛物线的对称轴是______． 13. 已知关于的方程的两个根为，则______． 14. 已知函数，当时，则函数值的取值范围是_____． 15. 二次函数自变量的部分取值和对应的函数值如下表所示： ... ... ... ... 下列说法正确的是__________．（填写序号） ①抛物线的对称轴为直线；②函数图像开口向上； ③当时，随的增大而增大；④当时，的取值范围是． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 探究题：已知一元二次方程 ． （1）求证：无论 m 取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为1，求 m 的值，并求出另一个根． 18. 如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是144，请求出最小数与最大数分别是多少． 19. 已知二次函数的图象与经过，，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）指出它的对称轴和最值． 20. 冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有2人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ （2）若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 21. 已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： … 0 1 2 3 4 … … 3 0 0 3 … （1）表中的值为___________； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）结合图象直接回答：当时，则的取值范围是___________． 22. 已知关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根分别为，． （1）求m的取值范围； （2）若方程的一个根，求m的值及方程的另一个根； （3）若满足，求m的值． 23. 今年以来四川通过“国补”把家电以旧换新作为惠民生的重要举措．某商家在“双十一购物节”对一款“1级”节能洗衣机和一款“2级”节能液晶电视机实行降价促销． （1）原售价为每台元的“2级”节能液晶电视机，连续两次降价相同的百分率后售价为每台元，则该款电视机每次降价的百分率是多少？ （2）经市场调研发现，该款洗衣机原销售单价为元时，平均每月能售出台；如果售价每降价元，那么平均每月可多售出2台．已知购进这款洗衣机的单价是元，商家决定每台洗衣机降价元进行销售．根据政策，降价销售后，商家每销售一台洗衣机可获得元的补贴．若商家所获的总利润为元，尽可能让利于顾客，求m的值． 24. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，，，与y轴交于点C，连接、． （1）求抛物线的解析式 （2）判断的形状，并证明 （3）点P在抛物向上，且，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $