第二十六章二次函数练习卷2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十六章 二次函数 练习卷 一、单选题 1．下列函数中，是二次函数的是（      ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图像经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．对于二次函数，下列说法错误的是（    ） A．它的图象的开口向下 B．它的图象的对称轴是直线 C．当时，y取最大值 D．当时，y随x的增大而减小 4．某二次函数图象如图所示，下面各式判断正确的是（　　） A． B． C．方程无解 D． 5．已知，两点都在抛物线（）上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．已知二次函数，点在其第一象限的图象上，点在其第二象限的图象上，则关于的一元二次方程的两根，判断正确的是（　　） A． B． C． D．与的符号都不确定 7．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，图象与轴相交于点，则方程的根为（　　） A． B． C． D． 8．关于二次函数，下列结论中正确的是（    ） A．其图象的对称轴是直线 B．当时，y随x的增大而减小 C．若点是抛物线上的点，则点也是抛物线上的点 D．把该函数的图象先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，图象经过点 9．如图，已知点，O为坐标原点，P是线段上任意一点（不含端点O、A），过P、O两点的二次函数和过P、A两点的二次函数的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线与相交于点D．当时，这两个二次函数的最大值之和等于（　　）    A．5 B． C．8 D．12 10．已知整式，其中，，为互不相等的正整数且不大于，下列说法： ①存在唯一的一组，，的值，使得为整式； ②若，则满足条件的所有式子中，当取任意实数时，其值为非负数的整式的和为； ③若，则满足条件的共有个． 其中正确的个数是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 11．已知函数 是关于x 的二次函数，则m=_______． 12．若点和点在抛物线上，且，则的取值范围是______________． 13．已知二次函数，当时，二次函数的最大值为6，则的值为____________． 14．已知抛物线与轴交于点和点，点为抛物线上的一动点，当为直角三角形时，则点的坐标为______． 15．在平面直角坐标系中，已知抛物线与y轴正半轴有交点，当时，；当时，，则m的值等于______． 三、解答题 16．已知：二次函数y＝x2﹣mx+m﹣2 （1）求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点； （2）若图象经过原点，求二次函数的解析式． 17．若，且与成正比例，与成正比例，当时，；当时，； (1)求y与x的函数关系式； (2)时，函数的值为多少？ 18．已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为、，且与y轴的交点为，求这个函数解析式和抛物线的顶点坐标． 19．线y＝a(x＋1)2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝OA． (1)求抛物线的解析式； (2)若点C(－3，m)在该抛物线上，求△ABC的面积．    20．如图，二次函数的图象与x轴交于两点（点在点的左边），点是该函数图象的顶点． (1)求点的坐标； (2)在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第二十六章 二次函数 练习卷》参考答案 1．C 【分析】本题考查二次函数的识别．根据二次函数的定义：“形如，这样的函数叫做二次函数”，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是二次函数，不符合题意； B、，整理，得：，是一次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，不是二次函数，不符合题意； 故选C． 2．A 【分析】本题考查了二次函数的性质． 将代入解析式即可求出a的值． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 即， ∴． 故选：A． 3．B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、∵， ∴它的图象的开口向下，故该选项正确，不符合题意； B、它的图象的对称轴是直线，故该选项错误，符合题意； C、当时，y取最大值，故该选项正确，不符合题意； D、当时，y随x的增大而减小，故当时，y随x的增大而减小，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，解题关键是根据二次函数的图象和性质分别判断即可． 【详解】解：A、图象与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， 图象与轴的另一个交点在和之间， 当时，，即，故选项A不符合题意； B、抛物线的对称轴为直线， ， 由图象可知，当时，， ，故选项B符合题意； C、由图象可知顶点坐标为， ， 方程的解为，选项C不符合题意； D、时函数值为最大值， ，即，选项D不符合题意． 故选：B． 5．A 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是先求出抛物线对称轴，再根据点到对称轴的距离以及二次函数的增减性判断函数值大小． 先将抛物线解析式化为顶点式求出对称轴，再分别计算两点到对称轴的距离，最后根据二次函数性质时开口向上，对称轴右侧随增大而增大）比较函数值大小． 【详解】因为， 所以抛物线对称轴为直线， 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为， 因为，所以抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，所以， 故选：A． 6．A 【分析】本题考查了函数图象上点的坐标特征以及根与系数的关系，点在其第一象限的图象上，则，在其第二象限的图象上，则，即，则，进而求解． 【详解】解：点在二次函数第一象限的图象上 在二次函数第二象限的图象上 异号，， 设，即， 即，则， 故， ，则， 由得，， 故选：A． 7．A 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，根据函数图象与x轴的一个交点坐标和二次函数图象具有对称性，可以写出该函数图象与x轴的另一个交点坐标，从而可以写出方程的根． 【详解】解：该函数图象与x轴的一个交点为， 该函数图象的对称轴为， 该函数图象与x轴的另一个交点坐标为， 方程的根为，． 故选：A． 8．C 【分析】本题考查了二次函数的性质等知识．求出抛物线的对称轴为即可得到A选项错误；根据抛物线的增减性即可得到B选项错误；根据点是抛物线上的点得到，把代入得到，即可得到C选项正确；把抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后得到，即可得到点不在图象上，得到D选项错误，问题得解． 【详解】解：由二次函数得对称轴为，故A选项错误，不合题意； ∵， ∴抛物线开口向上， ∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∴当时，y随x的增大而增大，故B选项错误，不合题意； ∵点是抛物线上的点， ∴， 当时，， ∴点也在抛物线上，故C选项正确，符合题意； 二次函数先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后得， 当时， ∴点不在图象上，故D选项错误，不合题意． 故选：C 9．D 【分析】分别过点B、D、C作于点F，于点E，于点M，首先利用勾股定理得到，然后利用抛物线的对称性及相似三角形的判定和性质得到和，两个式子相加得出结果． 本题考查等腰三角形的性质、抛物线的对称性以及相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质得到比例式是解决问题的关键． 【详解】 解：分别过点B、D、C作于点F，于点E，于点M，    ∵， ∴， ∴， 设，根据抛物线的对称性，得， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 即①， 同理②， ①+②得：， ∴， 即这两个二次函数的最大值之和等于12， 故选：D． 10．B 【分析】本题主要考查因式分解的应用、抛物线与x轴的交点问题等，能够理解题意是解题的关键． （1）根据为整式和，设，求出，再根据，，为互不相等的正整数，进行判断即可求解； （2）先将代入整式，再根据当取任意实数时，整式的值为非负数，推出，即，求出，在分类计数即可求解； （3）根据结合，，为互不相等的正整数且不大于6，推出，再分类计数即可求解． 【详解】解：关于①， ∵为整式，， ∴设，整理得：， ∴，， ∴，整理得：， ∵，，为互不相等的正整数且不大于， ∴ ∴矛盾， ∴①不正确，不符合题意； 关于②， 若，则， ∵，，为互不相等的正整数且不大于6， ∴，， ∵当取任意实数时，整式的值为非负数， ∴，则， ∴，则， 当，解得：，∴符合条件的值为：， ∴或或或， 当，解得：，∴符合条件的值为：， ∴或或， 当，解得：，∴符合条件的值为：， ∴或， 当，解得：，∴没有符合条件的值， 当，解得：，∴没有符合条件的值， ∴将所有满足条件的相加： 的系数：； 的系数：； 常数项：； ∴值为非负数的整式的和为， ∵， ∴②不正确，不符合题意 关于③， ∵，，，为互不相等的正整数且不大于6， ∴， ∴当，可取，对应的选法分别为种，满足条件的共有种， ∴当，可取，对应的选法分别为种，满足条件的共有种， ∴当，可取，对应的选法分别为种，满足条件的共有种， ∴当，可取，对应的选法分别为种，满足条件的共有种， ∴综上，满足条件的共有种， ∴③是正确的，符合题意； ∴符合题意的只有③，个数为． 故选：B． 11． 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义：形如（，，为常数且）可得：且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 解得：或， 又∵， ∴， 综上所述：， 故答案为：． 12．或 【分析】对于抛物线，可先将其化为顶点式来确定对称轴，根据二次函数的单调性，结合来确定的取值范围． 【详解】解：∵ ， ∴该抛物线的对称轴直线为，且二次项系数， ∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大， 设点关于对称轴直线的对称点为， ∴根据对称轴公式2，解得， ∵，抛物线开口向上： ∴当在对称轴右侧时，满足， ∴当在对称轴左侧时，满足， ∴m的取值范围是或． 13．的值为8或 【分析】本题考查了二次函数的最值，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标，当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．先求得抛物线的对称轴，再分情况讨论：①当时，②当时，当时，根据二次函数的性质，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ①当时，即时， ，在对称轴右侧，随的增大而减小， 当时，有最大值为6， ， 解得：； ②当时，即时， 当时，有最大值为6， ， 解得：， ， （不合题意，舍去）， ③当时，即时， ，在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，有最大值为6， ， 解得：， 综上所述，的值为8或． 14．或 【分析】由题意易得，设，然后根据两点间距离公式可得，，，进而根据勾股定理进行分类讨论求解即可． 【详解】解：令时，则有，解得， 不妨令点在点的左侧， ∴， 设， ∴， ， ， 当为直角三角形，且时，根据勾股定理得：， ∴， 解得，此时点T与点重合，故不符合题意； 当时，同理可得：， 解得：，此时点T与点重合，故不符合题意； 当时，同理可得：， 解得， ∵不符合题意， ∴或， ∴当时，则； 当时，则； 综上所述：当为直角三角形时，点的坐标为或． 15．4 【分析】本题考查了求抛物线与x轴的交点坐标，的图象与性质，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先求出抛物线的对称轴，再利用增减性求解即可． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴， ∵时，， ∴当时，， 又当时，， ∴当时，， 即， 解得：， 故答案为：． 16． （1）证明：△＝（﹣m）2﹣4（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4＞0 ∴无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点； （2）y＝x2﹣2x． 【分析】（1）根据二次函数与一元二次方程的关系，利用根的判别式大于零即可证明二次函数的图像与x轴都有两个交点； （2）因为函数图象经过原点，将（0，0）代入函数解析式求得m的值即可. 【详解】（1）略 （2）解：把（0，0）代入y＝x2﹣mx+m﹣2得m﹣2＝0，解得m＝2， 所以抛物线解析式为y＝x2﹣2x． 【点睛】本题主要考查了根据根的判别式判断二次函数的图像与轴的交点的个数以及待定系数法求函数解析式. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据正比例的定义设，，得到关于的含参数的解析式，再利用已知的两组,的值列方程组求出参数，用待定系数法得到函数关系式； （2）代入计算得到对应的函数值． 【详解】（1）解：∵与成正比例，与成正比例， ∴设，， ∵， ∴， 将和分别代入上式， 得， 解得， ∴与的函数关系式为； （2）将代入，得． 18．抛物线解析式为，抛物线得顶点坐标为 【分析】待定系数法求出抛物线的解析式，再化为顶点式，写出顶点坐标即可． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得：， 所以抛物线解析式为， 而， 所以抛物线的顶点坐标为． 19．(1) y＝－(x＋1)2；(2)3． 【详解】分析：（1）由抛物线解析式确定出顶点A坐标，根据OA=OB确定出B坐标，将B坐标代入解析式求出a的值，即可确定出解析式；（2）将C坐标代入抛物线解析式求出b的值，确定出C坐标，过C作CD垂直于x轴，三角形ABC面积=梯形OBCD面积-三角形ACD面积-三角形AOB面积，求出即可． 本题解析： (1)依题意可知A(－1，0)．由OB＝OA，得B(0，－1)． 将点B(0，－1)代入y＝a(x＋1)2，得－1＝a(0＋1)2，解得a＝－1. 所以y＝－(x＋1)2. （2）过C作CD⊥x轴，    则S△ABC=S梯形OBCD-S△ACD-S△AOB=12×3×(4+1)-12×4×2-12×1×1=3． (2)将C(－3，m)代入y＝－(x＋1)2，得m＝－(－3＋1)2，即m＝－4.所以C(－3，－4)． 所以S△ABC＝＝×1×4＋×1×3－×1×1＝3. 点睛：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 20．(1)，点坐标为 (2)点坐标为或 【分析】（1）将点代入二次函数解析式中，解得二次函数解析式，令求出点的坐标，将二次函数转化为顶点式，得到顶点的坐标； （2）将点的坐标设出来，根据求出的面积，从而解出点的坐标． 【详解】（1）解：把代入得，解得， ∴抛物线解析式为； 当时，，解得，则， ∵， ∴点坐标为． （2）解：存在．理由如下： 设， ∵， ∴， 得， 当，解得， 此时P点坐标为或， 当时，方程没有实数解． 综上所述，P点坐标为或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $