1.2.1 菱形的性质 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

# 北师大版九年级上册 1.2.1 菱形的性质 专项练习 （适配第一章特殊平行四边形，含知识点\(AC、BD\)习题\(AC、BD\)解析） ## 知识点梳理 **菱形定义**：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形属于特殊平行四边形，具备平行四边形全部性质，同时拥有自身特有性质。 1. **边**：四条边都相等，对边平行。 2. **角**：对角相等，邻角互补（没有四个角是直角）。 3. **对角线（重难点）**：对角线互相垂直平分，**每一条对角线平分一组对角**；对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，可结合勾股定理计算边长\(AC、BD\)线段长。 4. **对称性**：既是中心对称图形（对角线交点为对称中心），又是轴对称图形，有2条对称轴，为两条对角线所在直线。 5. **面积公式** ① 平行四边形通用：$\(S=\)$底$\times$高 ② 菱形专用：$\boldsymbol{\(S=\)\dfrac12\times AC\times BD}$（对角线乘积的一半） ## 一\(AC、BD\)选择题（每题4分，共20分） 1. 菱形具有而一般平行四边形不一定具备的性质是（） A. 对边平行 B. 对角相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 2. 在菱形$ABCD$中，对角线$AC\(AC、BD\)BD$交于点$O$，下列结论错误的是（） A. $\(AB=AD\)$ B. $AC\perp BD$ C. $\(AC=BD\)$ D. $\(AO=OC\)$ 3. 菱形两条对角线长分别为6和8，则菱形面积是（） A.14 B.24 C.48 D.10 4. 菱形周长为20，则它的边长为（） A.4 B.5 C.10 D.20 5. 菱形是轴对称图形，对称轴数量为（） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 ## 二\(AC、BD\)填空题（每题4分，共20分） 1. 菱形的对角线互相垂直且________，每条对角线平分一组对角。 2. 菱形$ABCD$中，若$\angle ABC=120^\circ$，则$\angle BAD=$________$^\circ$。 3. 菱形对角线长为10和4，面积等于________。 4. 菱形边长为5，一条对角线长为6，则另一条对角线长为________。 5. 菱形的面积为24，一条对角线长8，则另一条对角线长为________。 ## 三\(AC、BD\)解答题（共60分） 1.（18分）已知菱形$ABCD$，对角线$AC\(AC、BD\)BD$相交于点$O$，$\(AC\(=8\)\)$，$\(BD=6\)$。 （1）求菱形边长$AB$；（2）求菱形周长；（3）求菱形面积。 2.（20分）如图，在菱形$ABCD$中，$\(AB=5\)$，$\angle BAD=60^\circ$。 求证：$\triangle ABD$是等边三角形，并求对角线$BD$的长。 3.（22分）菱形$ABCD$中，对角线交于$O$，过点$D$作$DH\perp AB$于$H$。已知$\(AC\(=8\)\)$，$\(BD=6\)$，求菱形的高$DH$。 ## 参考答案与解析 ### 选择题 1. C 解析：对角线互相垂直是菱形独有性质，普通平行四边形对角线只平分不垂直。 2. C 解析：菱形对角线互相垂直，但长度不一定相等；矩形对角线才相等。 3. B 解析：$\(S=\)\dfrac12\times6\times8=24$。 4. B 解析：菱形四边相等，边长$=20\div4=5$。 5. B 解析：两条对角线所在直线为对称轴。 ### 填空题 1. 平分；2.$60$；3.$20$；4.$8$；5.$6$ > 第4题解析：对角线互相垂直平分，半对角线为3，由勾股，半长$=\sqrt{5^2-3^2}=4$，整条对角线$\(=8\)$。 ### 解答题 1. 解：∵菱形对角线互相垂直平分，$\(AC\(=8\)\),\(BD=6\)$，∴$\(AO=4\)$，$\(BO=3\)$，$\angle AOB=90^\circ$。 （1）$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$； （2）周长$=4\times5=20$； （3）面积$=\dfrac12\times8\times6=24$。 2. 证明：∵四边形$ABCD$是菱形，∴$\(AB=AD\)$。 ∵$\angle BAD=60^\circ$，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，∴$\triangle ABD$为等边三角形。∴$BD=\(AB=5\)$。 3. 解：菱形面积$\(S=\)\dfrac12\times8\times6=24$，边长$\(AB=5\)$。 由$\(S=\)AB\times DH$，$24=5\cdot DH$，得$DH=\dfrac{24}{5}=4.8$。 ## 易错点总结 1. 区分：菱形对角线**垂直但不一定相等**；矩形对角线**相等但不一定垂直**。 2. 菱形面积两种算法灵活选用；已知对角线直接用乘积一半；已知边长与高用底乘高。 3. 菱形对角线分割得到四个全等直角三角形，勾股定理是菱形计算题核心工具。 如果你需要，我可以把这份练习**调整到指定字数（比如1400字左右）**，或者单独生成无答案空白试卷版。 北师大版（新教材）数学九年级上册 1.2.1菱形的性质 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/5 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第一章 特殊平行四边形 素养目标 1.经历菱形的性质定理的探索过程，能够用综合法证明菱形的性质定理;(重点) 2.能用菱形的性质定理来进行有关论证和计算.(难点) 素养目标 1.特殊平行四边形的定义： 有一组 的平行四边形叫作菱形． 有一个角是 的平行四边形叫作矩形. 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作 . 2.矩形、菱形、正方形都是 ，且是 . 3.菱形、矩形、正方形矩形、菱形、正方形既是 图形，也是 图形.菱形、矩形都有两条对称轴，正方形有 条对称轴。 邻边相等 直角 正方形 平行四边形 特殊的平行四边形 中心对称 轴对称 四 情境导入 03 新知探究 “看这个图案(展示伊斯兰艺术中的菱形密铺)，它是装饰艺术的杰作，展现了菱形完美的对称性和无缝隙填充空间的特性。” 03 新知探究 我们知道菱形具有平行四边形的所有性质。 对称性:中心对称图形。 边:两组对边分别平行且相等。 角:两组对角分别相等。 对角线:对角线相互平分。 思考：菱形还有哪些特殊性质呢? A C B D O 03 新知探究 请你尝试证明这些猜想. 猜想：菱形的四条边相等，对角线互相垂直。 菱形的定义 一组邻边相等 菱形的性质 两组对边相等 A C B D O 四条边相等 菱形的定义 一组邻边相等 菱形的性质 对角线互相平分 对角线互相垂直 三线合一 03 新知讲解 求证：(1) AB = BC = CD = AD； (2) AC⊥BD。 证明：(1) ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB = CD，AD = BC (菱形的对边相等). 又∵ AB = AD， ∴ AB = BC = CD = AD。 A B C O D 已知：如图，在菱形 ABCD 中，AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O. 03 新知讲解 (2) ∵ AB = AD， ∴△ABD 是等腰三角形. 又∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ OB = OD（菱形的对角线互相平分）. 在等腰三角形 ABD 中， ∵OB = OD， ∴ AO⊥BD，即 AC⊥BD. A B C O D 03 新知讲解 思考·交流 你是如何发现菱形的特殊性质的？与同伴交流你的经验。 可以通过折纸的方法发现。 将一张菱形纸片沿2条对角线所在的直线折叠2次，能让菱形完全重合。 可以发现，菱形的四条边相等，对角线互相垂直。 03 新知讲解 提炼概念 定理1：菱形的四条边相等。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD。 定理2：菱形的对角线互相垂直。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD。 A C B D O 新课探究 例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝60°，BD＝6.(1)求AB和AC的长； A B C D O 解　∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD(菱形的四条边相等)，AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)， OB＝OD＝BD＝×6＝3(菱形的对角线互相平分)。 在等腰三角形ABD中，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形.∴AB＝BD＝6.在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2＋OB2＝AB2， ∴OA＝＝3. ∴AC＝2OA＝6(菱形的对角线互相平分)。 03 新知讲解 (2)求菱形ABCD的面积. 解　菱形ABCD的面积 ＝△ABD的面积＋△CBD的面积 ＝2×△ABD的面积 ＝2×BD·OA ＝2××6×3 ＝18 A B C D O 思考：你能总结菱形的面积公式吗？ 03 新知讲解 菱形的面积： 方法一：菱形的面积 = 底×高。 S菱形ABCD= BC·AE。 方法二：菱形的面积= 对角线乘积的一半。 S菱形ABCD= AC·BD。 A B C D E O 03 新知讲解 菱形的其他特殊性质： (1)菱形的每条对角线都平分一组对角。 (2)菱形被对角线所分成的四个直角三角形全等。 A B C D O 知识点1 菱形边的性质 1.已知菱形的边长为7，则它的周长为( ) C A.14 B.21 C.28 D.49 返回 举一反三 15 （第2题） 2.[榆林期中] 如图，是菱形 的对角线， 点在边上，过点作交于点 ， 若 ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 16 3.如图，在菱形中，是的中点，是的中点，连接 。若 ，则 的长为___。 8 （第3题） 返回 举一反三 17 4.[泸州中考] 如图，在菱形中，,分别是边, 上的点，且 。 求证： 。 举一反三 18 证明：四边形 是菱形， 。 ， ，即 。 在和 中， 。 。 返回 举一反三 19 知识点2 菱形对角线的性质 5.如图，在菱形中，对角线, 相交于 点 ，下列结论中错误的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 20 6. 中国结寓意团圆、 美满，以独特的东方神韵体现中国 人民的智慧和深厚的文化底蕴。如 图，小陶家有一个中国结装饰，可 B A. B. C. D. 以近似看成菱形，测得， ，则此菱形的 周长为( ) 返回 举一反三 21 7.［教材P6“例1（1）”变式］ 如图，四边形 是菱形， ， 。 （1）____ ,_____ ； 60 120 举一反三 22 （2）求和 的长。 解：四边形是菱形,,, , 。在中， ， , , , 。 返回 举一反三 23 知识点3 菱形面积的计算 8.[云南中考] 如图，四边形是菱形，对角线,相交于点 。 若，，则菱形 的面积是____。 15 （第8题） 返回 举一反三 24 9.如图，在菱形中，，对角线，则菱形 的 面积是( ) B （第9题） A.100 B.120 C.140 D.160 返回 举一反三 25 （第10题） 10.如图，菱形的对角线， 相交 于点，,，将 沿由点 到点的方向平移，得到，当点 与点重合时，点与点 间的距离为( ) C A.6 B.8 C.10 D.12 返回 举一反三 26 11.如图，在菱形中，点在轴上，点的坐标为，点 的坐 标为，则菱形 的面积为____。 16 （第11题） 返回 举一反三 27 12. 如图，数学实践活动课上小 明用两根木条钉成一个角形框架 ，且 ， ，将一根橡皮 筋两端固定在点，处，拉展成线段 ，在平 面内， 拉动橡皮筋上的一点，当四边形 是菱形时，橡皮筋再次被拉长 了_____________。 返回 举一反三 28 菱形的性质与判定第1课时 菱形具有一般平行四边形的所有性质. 菱形的性质 性质定理1：菱形的四条边相等； 性质定理2：菱形的对角线互相垂直. 补充性质：菱形的每一条对角线平分一组对角. 菱形的面积=底×高 菱形的面积 菱形的面积=两条对角线长乘积的一半. 课堂小结 谢谢观看 THANKS $