24.2.3 列举所有机会均等的结果 课件 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 第24章　24.2　随机事件的概率 24.2.3　列举所有机会均等的结果 学习目标 1.能够用树状图法、列表法等方法列举出所有机会均等的结果.(重点) 2.通过比较概率大小做出合理决策.(难点) 课堂引入 1.概率：概率是对随机事件发生可能性大小的度量，一般用P(A)表示事件A发生的概率. 2.如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝. 3.树状图：如图，从上至下每条路径就是一个可能的结果，我们把它称为树状图. 4.思考：在抛硬币试验中，如何确定“正面朝上”的概率？在抽奖时，如何知道中奖的可能性大小？ 一、 树状图法列举所有机会均等的结果 知识梳理 树状图的画法： 1.定：确定该试验的几个步骤、顺序、每一步可能产生的结果. 2.画：列举每一环节可能产生的结果，得到树状图. 3.数：数出全部均等的结果数m和该事件出现的结果数n. 4.算：代入公式P. 例1　(课本P167例4)抛掷一枚普通硬币3次.有人说“连续掷出三个正面”和“先掷出两个正面，再掷出一个反面”的概率是一样的.你同意吗？ 解　对于第1次抛掷，可能出现的结果是正面或反面；对于第2，3次抛掷来说也是这样.而且每次硬币出现正面或反面的概率都相等.由此，我们可以画出树状图，如图所示. 在图中，从上至下每一条路径都是一种可能的结果，而且每种结果发生的概率相等. 抛掷一枚普通硬币3次，共有以下8种机会均等的结果， 正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反. P(正正正)＝P(正正反)＝. 所以说法正确. 反思感悟 树状图从上到下，列举了所有机会均等的结果，可以帮助我们分析问题，而且可以避免重复和遗漏，既直观又条理分明. 跟踪训练1　假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同.如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么3只雏鸟中恰有2只雌鸟的概率是 A. B. C. D. √ 解析　假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同.如果3枚鸟卵全部成功孵化，根据题意画树状图如图， 共8种情况，3只雏鸟中恰有2只雌鸟的情况有3种，所以概率为. 二、 对错误概率认知的辨析 问题　有的同学认为：抛掷三枚普通硬币，硬币落地后只可能出现4种结果：全是正面；两正一反；两反一正；全是反面.因此这四个事件出现的概率相等.你同意这种说法吗？为什么？ 提示　三枚硬币落地后出现8种可能结果，其中全是正面出现1种，两正一反出现3种，两反一正出现3种，全是反面出现1种. 所以P(正正正)＝，P(两正一反)＝，P(两反一正)＝，P(反反反)＝. 因此这四个事件出现的概率不全相等，所以不同意. 知识梳理 判断事件发生的概率是否相等，不能仅看事件的种类，更要关注每种事件所包含的等可能结果的数量，只有当数量相同时，概率才相等. 例2　(课本P168问题5)口袋中装有除颜色以外没有任何区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出1个球做好记录，放回搅匀，再摸出第2个球做好记录，两次摸球可能出现3种结果：(1)都是红球；(2)都是白球；(3)一红一白. 这三个事件发生的概率相等吗？ 解　把两个白球分别记作白1和白2.如图所示画树状图. 从中可以看出，一共有9种等可能的结果. 在“摸出两红”“摸出两白”“摸出一红一白”这三个事件中，“摸出两红”的概率最小，等于，“摸出两白”和“摸出一红一白”的概率相等，都是. 反思感悟 树状图法能很好地展示出所有可能的结果.同时，当试验结果较多时，要仔细分析每种事件包含的结果数量，避免出错. 跟踪训练2　箱子内有仅颜色不同的两个红球和一个白球，从中随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球. (1)用列表或画树状图的方法，表示两次摸出的所有可能出现的结果； 解　画树状图， 共有6种等可能的结果，即(红，红)，(红，白)，(红，红)，(红，白)，(白，红)，(白，红). 跟踪训练2　箱子内有仅颜色不同的两个红球和一个白球，从中随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球. (2)比较事件A“一个红球一个白球”与事件B“两个红球”的概率大小. 解　由(1)可知，共有6种等可能的结果，其中“一个红球一个白球”的结果有4种，“两个红球”的结果有2种， ∴事件A“一个红球一个白球”的概率＝，事件B“两个红球”的概率＝， ∵>，∴事件A“一个红球一个白球”的概率>事件B“两个红球”的概率. 三、 列表法在掷骰子问题中的应用 例3　(课本P169问题6)投掷两枚普通的正方体骰子，掷得的点数之积有多少种可能？点数之积为多少的概率最大，其概率是多少？ 解　用表格来列举所有可能得到的点数之积. 表中每个单元格里的乘积出现的概率相等，从中可以看出积为6和12的概率最大，其概率等于. 第2枚的点数 第1枚的点数 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 8 10 12 3 3 6 9 12 15 18 4 4 8 12 16 20 24 5 5 10 15 20 25 30 6 6 12 18 24 30 36 反思感悟 对于两步试验且结果是两个数的组合(如两枚骰子的点数组合)，列表法是一种非常有效的列举所有等可能结果的方法，能清晰地展示出所有可能的乘积结果，便于统计和计算概率. 跟踪训练3　2026年是马年，生肖马在中国文化中被视为刚健进取、忠诚奉献、自由奔放、活力热情、成功成就的象征.如图，现有三张正面印有不同马图案的不透明卡片A，B，C，卡片除正面图案不同外其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，小明从中随机抽取1张卡片，记下图案并放回，重新洗匀后再从中随机抽取1张.请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽出的卡片图案相同的概率. 解　列表. 列表可知，共有9种等可能的结果， 其中事件E“两次抽出的卡片图案相同”包含3种结果， 所以P(E)＝. 即小明两次抽出的卡片图案相同的概率为. 第一次 第二次 A B C A (A，A) (A，B) (A，C) B (B，A) (B，B) (B，C) C (C，A) (C，B) (C，C) 四、 列表法与树状图法的灵活应用 例4　(课本P170问题7)“石头、剪刀、布”是一个广为流传的游戏.游戏时，甲、乙双方每次做“石头”“剪刀”“布”三种手势中的一种，规定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负. 假定甲、乙两人每次都是等可能地做这三种手势，那么一次比赛时两人做同种手势(即不分胜负)的概率是多少？ 解　如图，画出树状图. 所有机会均等的结果有9种，其中的3种——(石头，石头)、(剪刀，剪刀)、(布，布)是我们关注的结果，所以P(同种手势)＝. 跟踪训练4　经过某十字路口的汽车，可能继续直行，也可能向左或向右转，如果这三种可能性的大小相同，三辆汽车经过这个十字路口时，求下列事件的概率： (1)三辆汽车继续直行； 解　画树状图如图， 由树状图可知，一共有27种等可能的结果. ∵三辆汽车继续直行的结果有1种， ∴三辆汽车继续直行的概率为. 跟踪训练4　经过某十字路口的汽车，可能继续直行，也可能向左或向右转，如果这三种可能性的大小相同，三辆汽车经过这个十字路口时，求下列事件的概率： (2)两辆车向右转，一辆车向左转； 解　∵两辆车向右转，一辆车向左转的结果有3种， ∴两辆车向右转，一辆车向左转的概率为. 跟踪训练4　经过某十字路口的汽车，可能继续直行，也可能向左或向右转，如果这三种可能性的大小相同，三辆汽车经过这个十字路口时，求下列事件的概率： (3)至少有两辆车向左转. 解　∵至少有两辆车向左转的结果有7种， ∴至少有两辆车向左转的概率为. 课堂小结 1.为了让学生深入了解某地的特色文化，某校组织研学活动，提供三个景点(A，B，C)供九年级(1)班和(2)班各自随机选择一个景点参加研学，则两个班级恰好选择同一个景点的概率是 A. B. C. D. 随堂演练 √ 随堂演练 解析　画树状图如图， 共有9种等可能的结果，其中两个班级恰好选择同一个景点的结果有3种， ∴两个班级恰好选择同一个景点的概率是. 2.中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分.如图是正面印有“四书”字样的书签，书签除正面的字样外，其余完全相同，将这4张书签背面向上，洗匀放好，则从中随机抽取2张，抽到“中庸”“大学”书签的概率是 A. B. C. D. 随堂演练 √ 随堂演练 解析　《论语》《孟子》《大学》和《中庸》分别用A，B，C，D表示， 列表得， 共有12种等可能结果，其中恰好是“中庸”和“大学”的结果有2种， ∴从中随机抽取2张，抽到“中庸”“大学”书签的概率是. 第1张 第2张 A B C D A   (A，B) (A，C) (A，D) B (B，A)   (B，C) (B，D) C (C，A) (C，B)   (C，D) D (D，A) (D，B) (D，C)   3.一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为2，3，4.随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则两次取出的小球标号的和等于6的概率是　　　　.  随堂演练 解析　树状图如图所示， 由图可得，一共有9种等可能性， 其中两次取出的小球标号的和等于6的 可能性有3种， ∴两次取出的小球标号的和等于6的概率为. 4.现有五张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，其中标有数字1，2的卡片在甲手中，标有数字3，4，5的卡片在乙手中.两人各随机抽出一张卡片，请用画树状图或列表格的方法，求出两张卡片上的数字乘积为偶数的概率. 随堂演练 解　列表得， 共有6种等可能的结果，其中两张卡片上的数字乘积为偶数的结果有(1，4)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，共4种， ∴两张卡片上的数字乘积为偶数的概率为. 甲 乙 3 4 5 1 (1，3) (1，4) (1，5) 2 (2，3) (2，4) (2，5) 5.在一个不透明的口袋里装有分别标有数字－3，－1，0，2的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀. (1)从中任取一球，求抽取球上的数字为正数的概率； 随堂演练 解　从中任取一球，抽取数字为正数的概率为. 5.在一个不透明的口袋里装有分别标有数字－3，－1，0，2的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀. (2)从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标，记为x(不放回)；再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为y，试用画树状图(或列表)法表示出点(x，y)所有可能出现的结果，并求点(x，y)落在第二象限内的概率. 随堂演练 解　由题意列表得， 共有12种等可能的结果，其中点(x，y)落在第二象限内的结果有2种，所以概率为. y x －3 －1 0 2 －3   (－1，－3) (0，－3) (2，－3) －1 (－3，－1)   (0，－1) (2，－1) 0 (－3，0) (－1，0)   (2，0) 2 (－3，2) (－1，2) (0，2)   谢谢观看 $