5.2解一元一次方程讲义-2026-2027学年人教版七年级数学上册

第五章：一元一次方程 5.2解一元一次方程 内容导航 思维导图 1 知识点一 解一元一次方程 1 【题型1 绝对值方程】 2 【题型2 合并同类项与移项】 3 【题型3 去括号】 4 【题型4 去分母】 5 【题型5 已知一元一次方程的解，求参数】 7 【题型6 一元一次方程解的关系】 8 能力提升 10 课后检测 18 思维导图 知识点一 解一元一次方程 1.解一元一次方程步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1 例：解方程 解：去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得：． 易错点1——去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号. 易错点2——去分母：漏乘不含分母的项 易错点3——移项忘记变符号． 【题型1 绝对值方程】 1．若，则x的值是（     ） A．3 B．1 C．1或3 D．3或 【答案】C 【分析】利用绝对值的意义去掉绝对值符号，转化为一元一次方程求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得或． 2．已知是关于的一元一次方程，则的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义，未知数的次数为且一次项系数不为，列出条件求解即可得到的值． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得， ∴的值为4． 3．若关于的方程是一元一次方程，则的值是（   ） A．4 B． C．4或 D．1 【答案】B 【分析】本题考查根据一元一次方程的定义求参数．一元一次方程要求未知数x的指数为1且系数不为0． 【详解】解：∵ 方程是一元一次方程， ∴且， 解得且， ∴， 故选：B． 【题型2 合并同类项与移项】 1．如果，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由移项，得 ． 2．下列解方程过程中，变形正确的是（     ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】C 【详解】解：A． 由，移项得，故A错误． B． 由，两边同时加1得，故B错误． C． 由，系数化为1得，故C正确． D． 由，两边同时乘6去分母得，故D错误． 3．解方程时，移项得，这一步实质上是在方程两边同时（     ） A．减去 B．减去 C．加上 D．加上 【答案】A 【分析】先明确等式的基本性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立．对比原方程和移项后的方程，分析方程两边的变化．因为原方程右边有，移项后右边没有、左边出现，所以判断方程两边同时进行的运算． 【详解】解：两边同时减去， 得， 合并同类项得． 4．解方程：（1）． （2）． （1）【答案】 【详解】解：， ， ， ． （2）【答案】 【分析】先移项、合并同类项，再系数化为，即可得出方程的解． 【详解】解： 移项、合并同类项得，， 系数化为得，． 【题型3 去括号】 1．解方程， 去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据去括号法则计算，得到正确结果即可，需注意括号前是负因数时，去括号后括号内各项要改变符号． 【详解】解：， ， 去括号后得到． 2．在解方程 中，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据去括号法则计算原方程左边的去括号结果，再匹配选项．用到的知识点为：去括号时括号外的因数要乘括号内的每一项；若括号外因数为负数，去括号后原括号内各项符号要改变． 【详解】解：∵ 原方程为 ． 去括号得，． 3．已知是关于的方程的解，则的值为（    ） A． B．3 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据方程的解的定义，将已知解代入原方程，得到关于m的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入原方程，得， 解得． 4．解方程：（1）． （2） ． (1) (2) （1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． （2）解： 去括号得 ； 移项得 ； 合并同类项得 ； 系数化为1，得 ． 【题型4 去分母】 1．解方程，以下去分母正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分母2和3的最小公倍数为6，去分母时需方程两边每一项同乘6，不可漏乘常数项． 【详解】解：方程两边同乘以6， 得． 2．下列方程变形中，正确的是（     ）． A．方程，系数化1，得； B．方程，移项，得； C．方程，去括号，得； D．方程，去分母，得 【答案】B 【详解】解：A选项，方程，系数化为1得，原变形错误； B选项，方程，移项得，原变形正确； C选项，方程，去括号得，原变形错误； D选项，方程，去分母得，原变形错误. 3．解方程时，去分母正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】去分母时需给方程每一项都乘以各分母的最小公倍数，注意不要漏乘常数项，本题分母为2和4，最小公倍数是4，计算后即可得到正确结果． 【详解】解：原方程为 ， ∵分母2和4的最小公倍数为4， ∴给方程两边每一项同时乘以4，得： ， 化简得：． 4．解方程：（1）． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】按去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为的步骤计算求解． 【详解】（1）解： ， 方程两边同乘，得 ， 去括号，得 ， 移项合并同类项，得 ， 系数化为，得 ． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 【题型5 已知一元一次方程的解，求参数】 1．已知是关于的方程的解，则的值是（     ） A．11 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】把代入方程，得到关于的方程，解方程即可解答． 【详解】解：把代入方程， 得， 解得． 2．若关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】两个方程解相同，先求解不含参数的第二个方程，再将解代入第一个方程，即可求出的值． 【详解】解：解方程得， ∵两个方程的解相同， ∴将代入方程得， 解得． 3．关于x的一元一次方程的解为1，则a的值等于（     ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】将已知解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：关于x的一元一次方程的解为1， ∴ 解得． 【题型6 一元一次方程解的关系】 1．若方程和方程的解相同，则a的值是（    ） A．7 B．5 C．3 D．0 【答案】A 【分析】先解方程得，再根据两个方程的解相同，把代入第二个方程求解即可． 【详解】解：由得， 把代入方程， 得， 解得． 2．若关于x的方程与的解相同，则m的值为（  ） A．12 B．24 C． D． 【答案】A 【分析】先解出已知一元一次方程的解，再利用同解的性质，将解代入含的方程，即可求出的值． 【详解】解：解方程，得． ∵两个方程的解相同， ∴把代入方程，得， 解得：． 3．若关于x的方程与方程的解互为相反数，则m的值为（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，以及方程解的关系． 先求出方程的解，根据两方程解互为相反数得到方程的解，再代入该方程计算出的值． 【详解】解： 移项得 合并同类项得 系数化为1得 又∵两个方程的解互为相反数 ∴方程的解为 将代入中 得 即 移项得 ∴ 故选C 能力提升 一、单选题 1．在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 【答案】B 【分析】根据定义逐个判断各代数式的类型，再对比选项得到正确结论． 【详解】①是数与字母的积，是单项式，属于整式； ②是两个单项式的差，是多项式，属于整式； ③分母含有字母a，是分式，不是单项式； ④分母含有字母，是分式，不是多项式； ⑤中分母是常数，属于单项式，因此原式是三个单项式的和，是多项式， ∴A选项中③不是单项式，错误； B选项中②⑤都是多项式，正确； C选项中④不是多项式，错误； D选项中③④是分式，不是整式，错误． 2．有一列式子，按一定规律排列成，…，则第n个式子为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别从符号、系数绝对值、字母指数三部分归纳式子的规律即可得解． 【详解】解：由题意得，奇数项符号为正，偶数项符号为负， ∴第项的符号为， ∵各项系数的绝对值依次为，即， ∴第项的系数绝对值为， ∵第1项的指数为2，第2项为5，第3项为8，第4项的指数为，第5项为， ∴相邻两项指数差为， ∴第项的指数为， 综上所述，第个式子为． 3．下列判断中正确的是（    ） A．的项是， B．不是整式 C．单项式的系数是 D．是二次三项式 【答案】C 【分析】本题考查了整式、多项式的定义，单项式、多项式的项与系数的概念，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据整式、多项式的定义，以及单项式的系数概念进行判断即可． 【详解】解：A、多项式的项应包括、和，该选项错误，不符合题意； B、的分母不含字母，属于整式，该选项错误，不符合题意； C、单项式的系数为，该选项正确，符合题意； D、的最高次项的次数为，是三次三项式，该选项错误，不符合题意． 故选C． 4．按一定规律排列的多项式：，，，，则第10个多项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别归纳多项式中a的次数，常数项的绝对值和符号规律，得到第n个多项式的一般形式，再代入即可求解． 【详解】解：观察已知多项式：第1个：，第2个：，第3个：，第4个：， 第n个多项式为：， 则第10个多项式是：． 5．若是关于x的三次多项式，则代数式的值是（    ） A． B． C．或3 D．3 【答案】D 【分析】本题考查多项式的次数概念，需满足各项次数为非负整数且最高次为3，根据题意确定n的值，再计算代数式的值即可 【详解】解：∵ 多项式是关于x的三次多项式， ∴ 各项次数为非负整数，且最高次数为3. ∴时，解得，此时多项式为不符合题意； 时，解得，此时多项式为符合题意； ∴， 故选D． 6．关于多项式，下列说法错误的是（   ） A．这个多项式是五次四项式 B．常数项是1 C．它的次数最高项是 D．按x的降幂排列为 【答案】B 【分析】本题考查多项式的相关定义，包括多项式的次数、项数、常数项及降幂排列． 根据多项式的次数、项数、常数项的定义及降幂排列方法逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵多项式各项的次数分别为3、5、4、0，且共有四项， ∴该多项式是五次四项式， ∴选项A说法正确，不符合题意； ∵常数项是不含字母的项，此多项式的常数项为， ∴选项B说法错误，符合题意； ∵次数最高的项是次数为5的， ∴选项C说法正确，不符合题意； ∵按x的降幂排列是根据x的次数从高到低排列，各项x的次数依次为3、2、1、0， ∴排列结果为， ∴选项D说法正确，不符合题意； 故选：B． 二、填空题 7．观察下列单项式的排列规律：，，照这样排列第个单项式应是______． 【答案】 【分析】分别从符号、系数绝对值、的指数三个部分分析变化规律，整合得到第个单项式． 【详解】解：将单项式拆分为符号、系数、的指数三部分分别找规律： （1）符号规律：第奇数个单项式符号为正，第偶数个单项式符号为负，因此符号可表示为； （2）系数绝对值规律：给出的系数绝对值依次为，相邻两数差为，可得第个系数的绝对值为； （3）的指数规律：给出的指数依次为，可得第个单项式中的指数为； 整合三部分可得，第个单项式为． 8．若多项式是关于x，y的三次多项式，则______． 【答案】或 【分析】本题考查多项式的次数的概念，解题关键是根据多项式次数要求，令高于三次的项系数为，再求解最高次项的次数得到参数的值． 【详解】解：多项式是关于，的三次多项式， 次数为的项的系数必须为，且最高次项的次数为， 可得， 由得， 将代入 得， 即或， 解得或， 当，时，， 当，时，． 9．任意一个个位数字不为的四位数，都可以看作由前面三位数和最后一位数组成，交换这个数的前面三位数和最后一位数的位置，将得到一个新的四位数，记，例如：，则，．则________．若（，是整数），（，是整数），若能被整除，求满足条件的的最大值是________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义问题，求代数式的值与变量整数值之间的关系，对整除概念的理解，综合性较强，理解的含义，并结合所学知识灵活应用是解题关键． 【详解】解：由题意可得：； ∵（，是整数）， ∴， ∵（，是整数）， ∴， ∴， ∵被整除，由可知，和都是的倍数， ∴无论，取何值，总能被整除； ∴该条件对，的取值没有限制， ∵要取最大值， ∴的值应最小， ∵， ∴时，有最大值，； 故答案为：①；②． 10．杨辉三角两腰上的数都是，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，它把（其中为自然数）展开式中各项的系数直观地体现了出来，其中展开式中各项的系数依次对应杨辉三角第行的每一项，如下所示： …… 根据上述材料，则的展开后，含项的系数为________． 【答案】 【分析】根据杨辉三角的规律写出第行的数，再判断结果即可． 【详解】解：根据题意，杨辉三角的第行为，，，，，， ∴， ∴含项的系数为． 三、解答题 11．【知识呈现】已知=其中表示的是的系数，表示的是的系数，以此类推． 【灵活运用】当时， = 即：． 【解决问题】 (1)取，则可知_________． (2)利用取特殊值法求的值． (3)利用取特殊值法求的值． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题考查多项式的定义和有理数的乘方运算，理解题目中的特殊值法是解题关键． （1）代入x的值，计算即可； （2）观察式子可知，每一项的系数均为1，故该式子为时的计算结果，代入计算即可； （3）观察式子可知，当的为奇数时，系数为，为偶数时，系数为1，故该式子为时的计算结果，代入计算即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：取，则； （3）解：取，则． 12．对于有理数m、n，定义一种新运算☆：．例如：． (1)求的值； (2)已知x是绝对值为1的负整数，y是单项式的次数，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了定义新运算、有理数的混合运算，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新运算法则，进行计算即可； （2）由题意可知，，根据新运算法则，先求，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）根据题意可知，，， ， ． 13．已知a是最大的负整数，b是多项式的次数，c是单项式的系数，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数． (1)求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C． (2)若动点P、Q分别从A、B同时出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？并求出点P追上点Q时，它们在数轴上表示的数； (3)在数轴上找一个点H，使点H到A、B、C三点的距离之和等于16，请直接写出所有点H对应的数． 【答案】(1)，，， 如图，在数轴上标出点、、， ； (2)运动秒后，点可以追上点；此时它们在数轴上表示的数为 (3)点对应的数为或 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、单项式的系数和多项式的次数，有理数的除法，根据题意分类讨论、数形结合是解题的关键． （1）根据单项式的系数、多项式的次数及负整数，得出、、的值，在数轴上标出点、、的位置即可； （2）根据，，动点、分别从、同时出发沿数轴正半轴运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，结合“追及时间路程差速度差”计算求解即可； （3）根据题意分“当点在点、之间时”、“当点在点左边时”、“当点在点右边”三种情况讨论列式求解即可． 【详解】（1）解：∵是最大的负整数，是多项式的次数，是单项式的系数， ∴，，， （2）解：∵，，动点、分别从、同时出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度， ∴（秒）， ∴运动秒后，点可以追上点，点追上点时，它们在数轴上表示的数为； （3）解：情况一：当点在点、之间时， 又∵，，， ∴， ∴， ∴点对应的数； 情况二：当点在点左边时， ∵，， ∴， ∴点对应的数． 情况三：当点在点右边时， ∵ ∴此情形不存在点， 综上所述，点对应的数为或． 课后检测 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．的次数是3 B．的系数是 C．0不是单项式 D．是二次三项式 【答案】D 【分析】本题考查单项式的概念，单项式的次数、系数以及多项式的次数和项数的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．根据单项式的次数、系数以及多项式的次数和项数的概念逐项判断即可． 【详解】解：A：，的指数为1，的指数为3，次数为，∴ A错误，不符合题意； B：，系数为数字部分，包括，即系数为，∴ B错误，不符合题意； C：0是单项式，∴ C错误，不符合题意； D：，最高次项的次数为2，且有三项，∴ 是二次三项式，正确，符合题意． 故选：D． 2．下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的次数是6次 C．是三次四项式 D．的常数项为1 【答案】C 【详解】解：，它的系数是，不是，故A错误； 的次数是，不是次，故 B错误； 多项式中，最高次项的次数为，该多项式共有个项，因此它是三次四项式，故C正确； 多项式的常数项是，不是，故D错误． 3．已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：A．系数是2，次数是3，故本选项符合题意； B．系数是3，次数是2，故本选项不符合题意； C．系数是2，次数是4，故本选项不符合题意； D．系数是，次数是3，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查单项式问题，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义． 4．以下是一组按规律排列的多项式：，，，……，其中第n个多项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的规律问题． 通过观察给定多项式的规律，发现x的指数与序号n相同，y的系数是且为负号，因此第n个多项式为． 【详解】解：第1个多项式为， 第2个多项式为， 第3个多项式为， 以此类推，第n个多项式为． 故选：D． 5．下列说法正确的是（   ） A．是三次三项式 B．的系数是 C．是单项式 D．的次数是4 【答案】D 【分析】根据初中数学知识，逐一判断各选项。 本题考查多项式、单项式的定义，包括次数、系数和项数，熟练掌握定义是解题的关键。 【详解】解： ∵ 多项式中，最高次项和的次数均为2，因此是二次三项式， 故A错误。 ∵ 的系数是，不是，故B错误。 ∵ 是多项式，有两个项，不是单项式，故C错误。 ∵ ，字母、、的指数之和为，因此次数是4， 故D正确。 ∴ 正确答案是：D。 6．对于多项式的说法正确的是（   ） A．是二次三项式 B．是三次二项式 C．一次项系数是1 D．常数项是2 【答案】A 【分析】多项式中单项式的个数为多项式的项数，不含字母的项为常数项，次数最高项的次数为多项式的次数． 【详解】解：多项式是二次三项式，一次项系数是，常数项为． 7．多项式是关于x、y的五次三项式，则m的值是（   ） A． B．1 C．1或 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的定义． 根据五次三项式的定义，最高次数为5且有三项，需确保各项系数非零． 【详解】解：∵多项式是五次三项式， ∴第一项次数为， 即， 解得． 当时，第二项系数，多项式为，只有两项，不符合； 当时，第二项系数，多项式为，是五次三项式； ∴． 故选：A． 8．将多项式按的升幂排列的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据升幂的定义结合题意对多项式进行排序，即可求解，本题考查了多项式的升幂排列，解题的关键是：明确是关于哪个字母，按升幂还是降幂排列． 【详解】解：由题意得将多项式按的升幂排列的结果是：， 故选：D． 9．对于下列四个式子：①；②；③；④．其中不是整式的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查整式的概念，关键是整式的分母中不含字母．根据整式的定义，分母中含有字母的式子不是整式，逐一判断即可． 【详解】整式是单项式或多项式，分母中不能含有字母， 对于①，分母π是常数，是整式，不符合题意； 对于②，分母x是字母，不是整式，符合题意； 对于③，分母5是常数，是整式，不符合题意； 对于④，分母2是常数，是整式，不符合题意； 不是整式的是②， 故选：B． 10．用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第8个图形需要的火柴棒根数为（   ） A．54 B．55 C．56 D．57 【答案】A 【分析】先根据图形可得搭第1个图形需要火柴棒12根，后边的每一个图形总比前边的图形多6根，据此规律，即可求得答案． 【详解】解：搭第1个图形需要火柴棒12根， 搭第2个图形需要火柴棒（根）， 搭第3个图形需要火柴棒（根）， 依次类推，搭第n个图形需要火柴棒（根）， 当时，搭第8个图形需要火柴棒（根）． 二、填空题 11．的系数是______； 【答案】 【分析】本题考查了单项式的系数，关键是熟练应用定义解题；根据单项式的系数是指其数字部分，包括符号在内解题即可． 【详解】解：∵单项式 中，数字部分为 ， ∴系数是 ， 故答案为 ：． 12．若关于y的单项式的次数是3，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式的次数，根据单项式的次数定义得出是解题关键． 根据单项式中所有字母的指数和是单项式的次数得出即可． 【详解】解：单项式的次数是3， ， 或， ， 不符合要求， ， 故答案为：． 13．多项式的最高次项为______． 【答案】 【分析】本题考查多项式的项，根据多项式的最高次项是次数最高的项，比较各项次数即可确定． 【详解】解：多项式的最高次项为； 故答案为：． 14．若没有二次项，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的定义． 根据多项式没有二次项的条件，二次项系数为零，列方程求解即可． 【详解】解：∵没有二次项， ∴， 解得． 故答案为：． 三、解答题 15．用代数式表示下列问题中的数量，并指出是单项式还是多项式． (1)比x的3倍小2的数是多少？ (2)列车以的速度行驶了，行驶的路程是多少？ (3)一瓶矿泉水m元，小王买了n瓶，应付多少元？ (4)某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费多少元？ 【答案】(1)，多项式 (2)，单项式 (3)，单项式 (4)，多项式 【分析】本题考查列代数式，整式的加减运算，单项式和多项式的判断，理解题意是解题关键． （1）根据题意列出代数式，并利用单项式和多项式的概念解答即可； （2）根据题意列出代数式，并利用单项式和多项式的概念解答即可； （3）根据题意列出代数式，并利用单项式和多项式的概念解答即可； （4）根据该用户用水量已经超过17立方米，所以分段表示水费，从而进行化简计算． 【详解】（1）解：根据题意可得，为多项式； （2）解：根据题意可得，为单项式； （3）解：根据题意可得，为单项式； （4）解：， 该用户应缴纳的水费为： 元， 为多项式． 16．某县是著名的“脐橙之乡”，其生产的脐橙品质优良、风味独特、营养丰富，王大伯家的果园里有一堆脐橙，把这些脐橙平均分装在若干个纸箱里，每箱装的个数和总箱数如下表∶ 每箱装的个数 60 50 40 30 总箱数 40 48 60 80 (1)这堆脐橙共有多少个？ (2)总箱数是怎样随着每箱装的个数的变化而变化的？ (3)用n表示总箱数，用m表示每箱装的个数，用式子表示n与m的关系，n与m成什么比例关系？ (4)王大伯将这堆脐橙平均每箱装32个，他需要多少个纸箱？ 【答案】(1)2400个 (2)总箱数随着每箱装的个数的变小而变大 (3)反比例关系 (4)75个纸箱 【分析】本题主要考查了列式计算、反比例函数的应用等知识点，审清题意、正确运用反比例函数成为解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据表格数据归纳即可解答； （3）先根据题意得到，然后根据反比例函数的定义即可解答； （4）令，然后代入（3）所得的关系式即可解答 【详解】（1）解∶∵， ∴它们的乘积相等，即这个积表示这堆脐橙的总个数， ∴这堆脐橙共有2400个． （2）解：由表格数据可得：总箱数随着每箱装的个数的变小而变大． （3）解：由题意可得：， ∴n与m的积一定， ∴n与m成反比例关系． （4）解：当，则，解得： 所以他需要75个纸箱． 17．已知多项式，，若A，B两个多项式的次数相同，且最高次项的系数互为相反数． (1)直接写出a，b的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据，两个多项式的次数相同，且最高次项的系数互为相反数，即可列关于a、b的方程，求解即可； （2）将题（1）求得的a、b的值代入代数式计算即可． 【详解】（1）解：∵，两个多项式的次数相同，且最高次数项的系数互为相反数， ∴当时，， ∵两个多项式最高次项的系数互为相反数， ∴这种情况不存在； 当时，，， 综上，，； （2）解：当，时， ． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章：一元一次方程 5.2解一元一次方程 内容导航 思维导图 1 知识点一 解一元一次方程 1 【题型1 绝对值方程】 2 【题型2 合并同类项与移项】 2 【题型3 去括号】 2 【题型4 去分母】 3 【题型5 已知一元一次方程的解，求参数】 4 【题型6 一元一次方程解的关系】 4 能力提升 4 课后检测 7 思维导图 知识点一 解一元一次方程 1.解一元一次方程步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1 例：解方程 解：去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得：． 易错点1——去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号. 易错点2——去分母：漏乘不含分母的项 易错点3——移项忘记变符号． 【题型1 绝对值方程】 1．若，则x的值是（     ） A．3 B．1 C．1或3 D．3或 2．已知是关于的一元一次方程，则的值为（     ） A． B． C． D．或 3．若关于的方程是一元一次方程，则的值是（   ） A．4 B． C．4或 D．1 【题型2 合并同类项与移项】 1．如果，则（     ） A． B． C． D． 2．下列解方程过程中，变形正确的是（     ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 3．解方程时，移项得，这一步实质上是在方程两边同时（     ） A．减去 B．减去 C．加上 D．加上 4．解方程：（1）． （2）． 【题型3 去括号】 1．解方程， 去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在解方程 中，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知是关于的方程的解，则的值为（    ） A． B．3 C．6 D． 4．解方程：（1）． （2） ． 【题型4 去分母】 1．解方程，以下去分母正确的是（     ）． A． B． C． D． 2．下列方程变形中，正确的是（     ）． A．方程，系数化1，得； B．方程，移项，得； C．方程，去括号，得； D．方程，去分母，得 3．解方程时，去分母正确的是（     ） A． B． C． D． 4．解方程：（1）． (2)． 【题型5 已知一元一次方程的解，求参数】 1．已知是关于的方程的解，则的值是（     ） A．11 B． C．2 D．4 2．若关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 3．关于x的一元一次方程的解为1，则a的值等于（     ） A． B．2 C．1 D．0 【题型6 一元一次方程解的关系】 1．若方程和方程的解相同，则a的值是（    ） A．7 B．5 C．3 D．0 2．若关于x的方程与的解相同，则m的值为（  ） A．12 B．24 C． D． 3．若关于x的方程与方程的解互为相反数，则m的值为（    ） A．4 B． C．3 D． 能力提升 一、单选题 1．在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 2．有一列式子，按一定规律排列成，…，则第n个式子为（     ） A． B． C． D． 3．下列判断中正确的是（    ） A．的项是， B．不是整式 C．单项式的系数是 D．是二次三项式 4．按一定规律排列的多项式：，，，，则第10个多项式是（     ） A． B． C． D． 5．若是关于x的三次多项式，则代数式的值是（    ） A． B． C．或3 D．3 6．关于多项式，下列说法错误的是（   ） A．这个多项式是五次四项式 B．常数项是1 C．它的次数最高项是 D．按x的降幂排列为 二、填空题 7．观察下列单项式的排列规律：，，照这样排列第个单项式应是______． 8．若多项式是关于x，y的三次多项式，则______． 9．任意一个个位数字不为的四位数，都可以看作由前面三位数和最后一位数组成，交换这个数的前面三位数和最后一位数的位置，将得到一个新的四位数，记，例如：，则，．则________．若（，是整数），（，是整数），若能被整除，求满足条件的的最大值是________． 10．杨辉三角两腰上的数都是，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，它把（其中为自然数）展开式中各项的系数直观地体现了出来，其中展开式中各项的系数依次对应杨辉三角第行的每一项，如下所示： …… 根据上述材料，则的展开后，含项的系数为________． 三、解答题 11．【知识呈现】已知=其中表示的是的系数，表示的是的系数，以此类推． 【灵活运用】当时， = 即：． 【解决问题】 (1)取，则可知_________． (2)利用取特殊值法求的值． (3)利用取特殊值法求的值． 12．对于有理数m、n，定义一种新运算☆：．例如：． (1)求的值； (2)已知x是绝对值为1的负整数，y是单项式的次数，求的值． 13．已知a是最大的负整数，b是多项式的次数，c是单项式的系数，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数． (1)求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C． (2)若动点P、Q分别从A、B同时出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？并求出点P追上点Q时，它们在数轴上表示的数； (3)在数轴上找一个点H，使点H到A、B、C三点的距离之和等于16，请直接写出所有点H对应的数． 课后检测 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．的次数是3 B．的系数是 C．0不是单项式 D．是二次三项式 2．下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的次数是6次 C．是三次四项式 D．的常数项为1 3．已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（   ） A． B． C． D． 4．以下是一组按规律排列的多项式：，，，……，其中第n个多项式是（　　） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（   ） A．是三次三项式 B．的系数是 C．是单项式 D．的次数是4 6．对于多项式的说法正确的是（   ） A．是二次三项式 B．是三次二项式 C．一次项系数是1 D．常数项是2 7．多项式是关于x、y的五次三项式，则m的值是（   ） A． B．1 C．1或 D．2 8．将多项式按的升幂排列的结果是（　　） A． B． C． D． 9．对于下列四个式子：①；②；③；④．其中不是整式的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 10．用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第8个图形需要的火柴棒根数为（   ） A．54 B．55 C．56 D．57 二、填空题 11．的系数是______； 12．若关于y的单项式的次数是3，则___________． 13．多项式的最高次项为______． 14．若没有二次项，则的值是______． 三、解答题 15．用代数式表示下列问题中的数量，并指出是单项式还是多项式． (1)比x的3倍小2的数是多少？ (2)列车以的速度行驶了，行驶的路程是多少？ (3)一瓶矿泉水m元，小王买了n瓶，应付多少元？ (4)某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费多少元？ 16．某县是著名的“脐橙之乡”，其生产的脐橙品质优良、风味独特、营养丰富，王大伯家的果园里有一堆脐橙，把这些脐橙平均分装在若干个纸箱里，每箱装的个数和总箱数如下表∶ 每箱装的个数 60 50 40 30 总箱数 40 48 60 80 (1)这堆脐橙共有多少个？ (2)总箱数是怎样随着每箱装的个数的变化而变化的？ (3)用n表示总箱数，用m表示每箱装的个数，用式子表示n与m的关系，n与m成什么比例关系？ (4)王大伯将这堆脐橙平均每箱装32个，他需要多少个纸箱？ 17．已知多项式，，若A，B两个多项式的次数相同，且最高次项的系数互为相反数． (1)直接写出a，b的值； (2)求的值． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $