5.2 解一元一次方程 预习讲义-2026-2027学年新版人教版七年级数学上册

本讲义聚焦解一元一次方程核心知识点，系统梳理移项依据（等式性质1）、系数化为1依据（等式性质2）及一般步骤（去分母、去括号等），通过7个考点（解求参、相同解、整数解等）构建从基础到综合应用的学习支架，帮助学生逐步深化理解。 该资料亮点在于分层设计与考点全覆盖，通过新定义问题（如“永久友好方程”）培养抽象能力与创新意识，整数解问题锻炼推理能力，课中辅助教师系统教学，课后作业助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第五章 一元一次方程 02讲 解一元一次方程目录 【知识点1. 解一元一次方程 1】 【考点1. 解一元一次方程 3】 【考点2. 一元一次方程的解求参问题 4】 【考点3. 一元一次方程相同解问题 5】 【考点4. 一元一次方程整数解问题 5】 【考点5. 一元一次方程解的其他关系问题 6】 【考点6. 一元一次方程新定义问题 8】 【考点7. 绝对值与一元一次方程 10】 【课后作业 12】 知识清单：解一元一次方程 1、解一元一次方程 1）移项：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项． 移项的依据：移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质1； 系数化为1的依据：系数化为1实际上就是对方程两边同时乘除，根据是等式的性质2． 注意：移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号． 2）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1； 这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化． 解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． 解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 巩固基础 1．解方程： ； 2．解方程：． 3．计算： 4．解方程： (1)； (2)． 5．解下列方程： (1)； (2)． 6．某同学在对方程去分母时，方程右边的没有乘3，这时方程的解为，试求a的值，并求出原方程正确的解． 直击考点 【考点1：解一元一次方程】 例1．解方程：． 例2. 解下列方程： (1) (2) 变式1. 解方程： 变式2. 解方程：． 变式3. 解下列方程： (1)； (2)． 【考点2：一元一次方程的解求参问题】 例1．已知是关于的方程的解，那么的值是（   ） A． B． C． D． 例2. 若关于的方程的解是，则的值为_________． 变式1. 若是的解，则的值为（    ） A． B．2 C．1 D．3 变式2. 已知是关于的一元一次方程的解，则的值为______． 变式3. 已知关于的方程的解是，则的值为_______． 【考点3：一元一次方程相同解问题】 例1．已知关于的方程与的解相同，则的值为( ) A．13 B．-3 C．-7 D．-4 例2. 当k取何值时，方程和方程的解相同？ 变式1. 关于x的一元一次方程与的解相同，则a的值为（    ） A． B．1 C．7 D． 变式2. 若与的解相同，则的值为_____． 变式3. 如果方程和方程的解相同，那么a的值为_______． 变式4. 已知方程的解与关于x的方程的解相同，求k的值． 【考点4：一元一次方程整数解问题】 例1．若关于的方程的解为大于4的整数 ，则整数的值为（　　） A．3或5 B．3或7 C．5或7 D．以上答案都不对 例2.关于x的方程的解是整数，则整数k的可能值有____个． 例3. 已知关于x的方程，当整数a为何值时，方程的解为正整数？ 变式1. 若关于的方程的解是整数，且关于的多项式是二次三项式，则所有满足条件的整数的值之和是（   ） A． B．0 C．1 D．2 变式2. 已知关于的方程有正整数解，则负整数的所有可能的取值的积为（    ） A． B． C． D． 变式3. 若整数，关于的一元一次方程有非正整数解，那么符合条件的所有整数之和为_______． 变式4. 关于的一元一次方程，其中是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求的值． 【考点5：一元一次方程解的其他关系问题】 例1．小明在做家庭作业时发现练习册上的一道解方程的题目中的一个数被墨水污染了：，“”表示被污染的数，正确答案是，那么被污染的数是（   ） A． B． C． D． 例2. 若关于x的方程（其中a，b为常数，且）的解是，则关于x的方程的解是______． 例3. 小林在解方程去分母时，方程右边的忘记乘8，因而得到方程的错解．你能由此判断出的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 变式1. 已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 变式2. 阅读：关于x的方程在不同的条件下解的情况如下：（1）当时，有唯一解；（2）当，时有无数个解；（3）当，时无解．请你根据以上知识作答：已知关于的方程无解，则的值是（   ） A． B． C． D． 变式3. 若关于的方程的解是方程的解的2倍，则_____________． 变式4. 若是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程与关于x的方程的解互为倒数，求k的值． 变式5. 已知关于的方程与方程的解互为相反数，求的值 变式6. 已知关于x的方程的解比方程的解大5，求a的值． 【考点6：一元一次方程新定义问题】 例1．在学习一元一次方程后，我们给一个定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的一元一次方程的解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“永久友好方程”．例如：一元一次方程的解是，一元一次方程的解是，，所以为一元一次方程的“永久友好方程”．若关于的一元一次方程是关于的一元一次方程的“永久友好方程”，则________； 例2. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； 变式1. 方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，则______； (3)若关于的方程的解也是关于的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数和正整数的值． 变式2. 定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程 “和谐方程”（填“是”或“否”）； (2)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 变式3. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程和为“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否为“成双方程”； (2)若关于的方程与方程互为“成双方程”，求的值． 变式4. 我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“有趣方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“有趣方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，则______． (2)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，且它的解为，求、的值． 【考点7：绝对值与一元一次方程】 例1．方程的解为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 例2. 解绝对值方程：． 变式1. 若，则______． 变式2. 已知，，且，求的值． 变式3. 阅读下列信息，方程的解法如下： （I）当时，，解得：． （II）当时，，解得：． 请你解决下列问题： (1)，则______； (2)求方程的解． 变式4. 先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，它的解是．当时，原方程可化，它的解是． ∴原方程的解为或． (1)依例题的解法，方程的解是______； (2)解方程：． 课后作业 1．（25-26七年级下·四川宜宾·期中）下列解方程过程中，变形正确的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 2．（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）下列方程的变形中，属于移项的是（    ） A．由1，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 3．（25-26七年级下·福建泉州·期中）已知关于x的方程的解是，则a的值为（    ） A．5 B． C．1 D． 4．（25-26七年级下·四川宜宾·期中）若关于x的一元一次方程的解为，则关于t的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26六年级下·山东威海·期中）若是关于的一元一次方程，且方程中含的项为同类项，则该方程的解为（      ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·江西吉安·期中）方程的解是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）方程实数根的情况为（   ） A．没有实数根 B．有1个实数根 C．有2个实数根 D．有无数个实数根 8．（25-26九年级下·重庆江津·月考）已知整式，其中，，，…，，为正整数，且，且，下列说法正确的个数是（    ） ①若多项式可以为二次三项式，则的最小值为6； ②若，满足条件的整式的个数为6； ③当且时，记满足条件的整式分别为，，…，，则关于的方程的解为或或． A．3 B．2 C．1 D．0 9．（25-26七年级下·山东泰安·期中）若与的解相同，则的值为__________． 10．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）若关于的一元一次方程的解是正整数，则正整数的值为__________． 11．（25-26七年级下·福建泉州·期中）定义符号“”的运算规则为，则方程的解为______． 12．（2026·四川南充·一模）关于x的一元一次方程的解为____． 13．（25-26七年级下·河南周口·期中）在如图所示的运算流程中，若输出的数，则输入的数____． 14．（2026·安徽合肥·一模）若一列数、、、…、（为正整数），除、外，其余每个数都等于与它相邻的两个数之和，则称这列数为“层数列”，如：1、5、4、，满足，，所以1、5、4、为“4层数列”． （1）若3、、为“3层数列”，则的值为______； （2）若一个“60层数列”中，，，则的值为______． 15．（25-26七年级下·福建泉州·期中）解方程：． 16．（25-26七年级下·四川宜宾·期中）解方程： (1) (2) 17．（25-26七年级下·山东泰安·期中）解方程： (1)； (2)； (3)． 18．（2026·福建三明·二模）解方程：． 19．（25-26七年级下·吉林长春·期中）解方程：． 20．（25-26七年级下·河南周口·期中）解下列一元一次方程 (1) (2) 21．（25-26七年级下·四川眉山·期中）解方程： (1)； (2)； 22．（25-26六年级下·山东淄博·期中）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 23．（25-26七年级下·吉林长春·期中）解方程： (1)； (2)． 24．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：方程和为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，则______；若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为，则______． (2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值． (3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，请直接写出关于y的一元一次方程的解． 25．（25-26七年级下·四川眉山·期中）已知关于的方程①：的解比方程②： 的解大2，求的值以及方程②的解． 26．（25-26七年级下·河南周口·期中）【阅读理解】 在解一元一次方程时，有时根据方程的特点，巧妙利用“整体思想”，可以达到简化计算的目的．例如：在解方程时，可把看作一个整体，令，原方程变为，解得，即，解得． 【尝试运用】 (1)请用材料中介绍的方法解方程：． (2)已知关于x的方程的解为，则关于x的方程的解为________． (3)【拓展创新】已知关于x的一元一次方程的解为，直接写出关于y的一元一次方程的解． 27．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）阅读下列材料并解答问题： 我们知道的几何意义是在数轴上的数对应的点与原点的距离，即．也就是说，表示在数轴上的数与数0对应的点之间的距离，这个结论可以推广为表示在数轴上的数与数对应的点之间的距离． 例1：解方程，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即该方程的解为． 例2：解不等式，如图1，在数轴上找出的解，即到数1对应的点的距离为2的点对应的数为、3，则的解集为或． 例3：解方程．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与数1和数对应的点的距离之和为5的点对应的的值．在数轴上，1和的距离为3，满足方程的对应的点在1的右边或的左边，若对应的点在1的右边，由图2可以看出．同理，若对应的点在的左边，可得，故原方程的解是或． 回答问题： (1)解方程：； (2)解不等式：； (3)若对任意的都成立，求的取值范围． 28．（25-26七年级上·江苏·期末）点P，点A和点B均是数轴上的点，点P到点A的距离为，点P到点B的距离为，规定：若，其中表示与中较大的值，表示与中较小的值，则称点P为线段的“倍关联点”，例如：若点P表示的数为0，点A表示的数为，点B表示的数为1，此时，满足，则P是线段的 “3倍关联点”． (1)如图1，点A所表示的数为， ①若点B所表示的数为4，点P表示的数为，则k的值为　　　 ， ②若点P代表的数为0，P为线段的“3倍关联点”，求点B所表示的数； (2)已知点P为线段的“倍关联点”，若点P从数轴上表示的点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，点A从数轴上表示的点出发,以每秒2个单位长度的速度向右运动，点B从数轴上表示20的点出发,以每秒2个单位长度的速度向左运动，三个点同时运动，设运动的时间为t秒，求当t取何值时k的值最小，请直接写出t的取值． 1 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程 02讲 解一元一次方程目录 【知识点1. 解一元一次方程 1】 【考点1. 解一元一次方程 5】 【考点2. 一元一次方程的解求参问题 7】 【考点3. 一元一次方程相同解问题 9】 【考点4. 一元一次方程整数解问题 11】 【考点5. 一元一次方程解的其他关系问题 15】 【考点6. 一元一次方程新定义问题 20】 【考点7. 绝对值与一元一次方程 26】 【课后作业 29】 知识清单：解一元一次方程 1、解一元一次方程 1）移项：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项． 移项的依据：移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质1； 系数化为1的依据：系数化为1实际上就是对方程两边同时乘除，根据是等式的性质2． 注意：移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号． 2）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1； 这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化． 解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． 解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 巩固基础 1．解方程： ； 【答案】当 时，；当 时，方程无解． 【详解】解： 当 时，； 当 时，方程无解． 2．解方程：． 【答案】 【分析】先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为即可得出答案． 【详解】解： ． 3．计算： 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 4．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． 5．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得． 6．某同学在对方程去分母时，方程右边的没有乘3，这时方程的解为，试求a的值，并求出原方程正确的解． 【答案】， 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，把代入方程可得，再把代入原方程，再解方程即可． 【详解】解：根据题意去分母得，， 因为是方程的解， 所以把代入得， 得． 把代入到原方程中得， 整理得，， 解得． 直击考点 【考点1：解一元一次方程】 例1．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． 按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解： 例2. 解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键； （1）先去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1即可； （2）先去分母、去括号、移项合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式1. 解方程： 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解． 【详解】去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得． 变式2. 解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤求解即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 变式3. 解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的求解： （1）移项、合并同类项、系数化为1即可； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点2：一元一次方程的解求参问题】 例1．已知是关于的方程的解，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是已知一元一次方程的解，求参数，解题关键是将解代入方程． 将代入方程，求解的值． 【详解】是关于的方程的解， ，即， ． 故选：． 例2. 若关于的方程的解是，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的解的定义把代入关于的方程中即可求出的值． 【详解】解：把代入关于的方程中，得， 解得， 故答案为：． 变式1. 若是的解，则的值为（    ） A． B．2 C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解．根据一元一次方程的解的定义把代入关于x的方程中即可求出k的值． 【详解】解：把代入关于x的方程中， 得， 解得， 故选：D． 变式2. 已知是关于的一元一次方程的解，则的值为______． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 把代入方程，即可求解的值． 【详解】解：把代入方程，得， 解得， 故答案为：2． 变式3. 已知关于的方程的解是，则的值为_______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了解一元一次方程以及一元一次方程的解，先根据解的定义得出，然后解关于m的一元一次方程即可得出答案． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：， 故答案为：3． 【考点3：一元一次方程相同解问题】 例1．已知关于的方程与的解相同，则的值为( ) A．13 B．-3 C．-7 D．-4 【答案】D 【分析】本题考查方程的解与解一元一次方程．先解第一个方程求出的值，再代入第二个方程解关于的方程． 【详解】解：解方程，得， ． 两个方程的解相同， 是方程的解， 代入得，即， ， ． 故选：D． 例2. 当k取何值时，方程和方程的解相同？ 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，理解同解方程是解答的关键．求出方程的解，把解代入中，进行求解即可． 【详解】解：解，得：； 当方程和方程的解相同时， 则：，解得：． ∴当时，方程和方程的解相同． 变式1. 关于x的一元一次方程与的解相同，则a的值为（    ） A． B．1 C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及同解方程，解题的关键是求出第一个方程的解并代入第二个方程求解． 先求解方程得到的值，再将其代入方程，进而求出的值． 【详解】解：解方程，两边同时除以2，得． 把代入中，得到，即． 两边同时减去4，得． 所以的值为， 故选：A． 变式2. 若与的解相同，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程及一元一次方程的解，熟练掌握同解方程的解题方法是解题的关键．先解方程，得，再将解代入，求解即可． 【详解】解：解一元一次方程， 得：， 将代入， 得：， 解得：， 故答案为：． 变式3. 如果方程和方程的解相同，那么a的值为_______． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程，方程的解，先求出方的解，再将解代入方程，再解关于a的方程即可． 【详解】解：解方程，得 ， ∵方程和方程的解相同， ∴将代入方程中，得 ， ， ， 解得， 故答案为：． 变式4. 已知方程的解与关于x的方程的解相同，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，能得出关于k的方程及的解是解此题的关键．先根据等式的性质求出第一个方程的解是，求出第二个方程的解是，再根据同解方程求出的解即可． 【详解】解：解方程得：， 解方程得：， 解， 得． 【考点4：一元一次方程整数解问题】 例1．若关于的方程的解为大于4的整数 ，则整数的值为（　　） A．3或5 B．3或7 C．5或7 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解法、含参数方程的变形技巧及整数解条件的综合分析，解题关键在于将方程整理为的标准形式．将方程整理为的形式，根据解且为整数，建立不等式并分析整数k的整除特性即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵都是整数， ∴为15的因数． ． 又，∴=1或3， ∴或5． 故选A． 例2.关于x的方程的解是整数，则整数k的可能值有____个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了含字母系数的一元一次方程， 先解方程得到x，再根据x为整数，讨论k为整数即可得解． 【详解】解：由， 整理，得， 当时，方程的解为x. ∵关于x的方程的解是整数，k为整数， ∴或或或， ∴或或或， ∴整数k的可能值有4个. 故答案为：4． 例3. 已知关于x的方程，当整数a为何值时，方程的解为正整数？ 【答案】或 【分析】本题考查解一元一次方程的整数解问题，先解方程，把方程的解用未知数表示出来，分析其为整数的情况，可得出答案，熟练解一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 要使方程的解为正整数，只能为， 或． 变式1. 若关于的方程的解是整数，且关于的多项式是二次三项式，则所有满足条件的整数的值之和是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次方程，多项式次数和项．先解方程得到，根据方程的解为整数推出的可能取值为、、，再根据多项式次数和项的定义得到，，，据此得到所有满足条件的整数a的值，由此可得答案． 【详解】解：由方程， 解得：， 关于x的方程的解是整数， 的可能取值为、、， 关于y的多项式是二次三项式， ，， ， 所有满足条件的整数a的值、、， 所有满足条件的整数a的值之和是， 故选：A． 变式2. 已知关于的方程有正整数解，则负整数的所有可能的取值的积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的整数解，熟练掌握求含参数的一元一次方程整数解的方法是解题的关键．先解方程，求出，再利用方程有正整数解，得出的范围，结合是负整数，即可求解． 【详解】解：， 解得：， ∴方程有正整数解， ∴，且为偶数， ∴，且为偶数， ∵为负整数， ∴ ，或， 负整数的所有可能的取值的积为， 故选：D． 变式3. 若整数，关于的一元一次方程有非正整数解，那么符合条件的所有整数之和为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的特解问题，表示出解，进行合理讨论求解是解题的关键．先解方程，用a表示x，根据解的非正整数解，讨论求解即可． 【详解】解： ， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得， 解得， 有非正整数解， ， ， 故答案为：． 变式4. 关于的一元一次方程，其中是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求的值． 【答案】(1)； (2)1或4 【分析】此题考查解一元一次方程，一元一次方程的特殊值的解法，（2）是难点，根据m的所有可能值代入计算可得到答案． （1）将m的值代入计算求解即可； （2）解方程得，根据m是正整数，得是3的倍数，根据方程有正整数解确定m的可能值． 【详解】（1）将代入方程， 得， ∴， ∴， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∵m是正整数，且是3的倍数，方程有正整数解， ∴或． 【考点5：一元一次方程解的其他关系问题】 例1．小明在做家庭作业时发现练习册上的一道解方程的题目中的一个数被墨水污染了：，“”表示被污染的数，正确答案是，那么被污染的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解一元一次方程，方程的解，设，将代入方程即可求解，正确理解方程的解及解一元一次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：设， ∴， 把代入方程得：， 整理得：， ∴， ， 解得：， ∴被污染的数是， 故选：． 例2. 若关于x的方程（其中a，b为常数，且）的解是，则关于x的方程的解是______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键；此题可把看作一个整体，然后根据同解方程可进行求解． 【详解】解：由题意可得， ∵关于的方程（其中为常数，且）的解是， ∴， ∴； 故答案为：． 例3. 小林在解方程去分母时，方程右边的忘记乘8，因而得到方程的错解．你能由此判断出的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【答案】能，，方程正确的解为 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．由题意得，小林得到的方程为，代入，求出的值，再对原方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出方程正确的解． 【详解】解：由题意得，小林得到的方程为， 代入得，， 解得：， 原方程为：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， ∴方程正确的解为． 变式1. 已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解．根据整体法得出，进而解答即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于y的一元一次方程满足， 解得：． 故选：B． 变式2. 阅读：关于x的方程在不同的条件下解的情况如下：（1）当时，有唯一解；（2）当，时有无数个解；（3）当，时无解．请你根据以上知识作答：已知关于的方程无解，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是根据题意，对进行化简，得，根据该方程无解，即可求出的值． 【详解】解：， 去分母，得， 去小括号，得， 移项，合并同类项，得， 约分，得， ∵该方程无解， ∴， ∴． 故选：A． 变式3. 若关于的方程的解是方程的解的2倍，则_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，先解方程得到该方程的解，进而得到方程的解，再把方程的解代入方程中计算求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 解得， ∵关于的方程的解是方程的解的2倍， ∴方程的解为， ∴， 解得， 故答案为：． 变式4. 若是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程与关于x的方程的解互为倒数，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义、一元一次方程的解的定义，解一元一次方程． （1）依据一元一次方程的定义可得到，且，然后求解即可； （2）由（1）可得方程为，即可求出它的解，将该解的倒数代入方程即可解答． 【详解】（1）解： 是关于x的一元一次方程 ∴， 解得：， ； （2）解：由（1）得，方程为：， 解得：， 该方程与关于x的方程的解互为倒数， 则是方程的解， ， 解得：． 变式5. 已知关于的方程与方程的解互为相反数，求的值 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，先求出两个方程的解，然后根据两个方程的解互为相反数得到，进而求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 解得：， 根据题意得， 解得：． 变式6. 已知关于x的方程的解比方程的解大5，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查方程的解、解一元一次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 根据题意，解出方程的解，再解出方程的解，根据题意，将两个解相减得5，即可解题． 【详解】解：由 由 ∵的解比方程的解大5 ∴ 解得： . 【考点6：一元一次方程新定义问题】 例1．在学习一元一次方程后，我们给一个定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的一元一次方程的解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“永久友好方程”．例如：一元一次方程的解是，一元一次方程的解是，，所以为一元一次方程的“永久友好方程”．若关于的一元一次方程是关于的一元一次方程的“永久友好方程”，则________； 【答案】1 【分析】本题是新定义题，考查了解一元一次方程等知识，首先求出，然后根据题意得到，求出，然后代入解方程即可． 【详解】解得， 根据题意得， ∴ 将代入得， 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 故答案为：1． 例2. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程以及“美好方程”的定义，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． （1）解出方程的解，根据“美好方程”的定义即可判断； （2）求出关于的方程的解，根据两个一元一次方程的解之和为1求出答案即可． 【详解】（1）解：的解为：， 的解为：， ， ∴方程与方程不是“美好方程”． （2）解：的解为， 的解为， 根据题意可得：， 解得． 变式1. 方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，则______； (3)若关于的方程的解也是关于的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数和正整数的值． 【答案】(1)1 (2)5 (3)， 【分析】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解立信方程的意义是解此题的关键． （1）根据“立信方程”的定义解答即可； （2）根据，可得，再代入，即可求解； （3）先根据方程，得出的取值，再根据方程，得出的取值，最后根据相同的解，即可确定的值． 【详解】（1）解： ， 将，代入得， ， 故答案为：1； （2）解：∵ ∴ ∴，代入得， ， ， 故答案为：5； （3）解：由，得， ∵的值为整数， ∴为整数，且取正整数， ∴或或 当时，； 当时，； 当时，； ∵ ∴ ∴， ∵的值为整数， ∴或或， 当时，； 当时，； 当时，； ∵方程的解也是关于的方程的解， ∴，． 变式2. 定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程 “和谐方程”（填“是”或“否”）； (2)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的解，求代数式的值，解题的关键是根据“和谐方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答即可． （1）分别求出方程和方程的解，再根据“和谐方程”的定义，判断即可； （2）分别求出方程和方程的解，再根据“和谐方程”的定义，列出方程，解方程求出的值即可； （3）先解出方程的解，再根据“和谐方程”的定义得出方程的解为：，代入方程，结合题意，即可得出，，求出与的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ， 解得：， ∵与互为相反数， ∴方程与方程是“和谐方程”． 故答案为：是． （2）解：， 解得：， ， 解得：， ∵与方程是“和谐方程”， ∴， 解得：． （3）解：， 解得：， ∵关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”， ∴方程的解为：， 将代入方程，得， 整理，得， ∵无论取任何有理数，上式都成立， 故，， 解得：，， ． 变式3. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程和为“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否为“成双方程”； (2)若关于的方程与方程互为“成双方程”，求的值． 【答案】(1)方程与方程不是互为成双方程 (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程和应用一元一次方程的根求参数的值，理解新定义是解题的关键． （1）根据题意，分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义验证即可求解； （2）分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义列出关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：方程与方程不是互为“成双方程”，理由如下： 解，得， 解，得， 因为， 所以方程与方程不是互为“成双方程”． （2）解，得， 解，得， 因为关于的方程与方程互为“成双方程”， 所以， 所以． 变式4. 我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“有趣方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“有趣方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，则______． (2)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，且它的解为，求、的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（）先解方程，再根据“有趣方程”的定义解答即可求解； （）先解方程，再根据“有趣方程”的定义及方程的解为列式解答即可求解； 本题考查了解一元一次方程，方程的解，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：解方程，得， ∵方程是“有趣方程”， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：解方程，得， ∵方程是“有趣方程”， ∴，， 解得，． 【考点7：绝对值与一元一次方程】 例1．方程的解为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据绝对值的定义可得或，据此解方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解方程，得， 解方程，得， ∴方程的解为或， 故选：B． 例2. 解绝对值方程：． 【答案】原方程无解 【分析】本题主要考查了绝对值方程，根据绝对值的意义分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，先化简绝对值，然后分别求出结果即可． 【详解】解：当时，原方程化为，解得：（舍去）； 当时，原方程化为，解得：（舍去）； 当时，原方程化为，解得：（舍去）； ∴原方程无解． 变式1. 若，则______． 【答案】或3 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，熟练掌握“若（），则或”是解题的关键．根据绝对值的定义，将含绝对值的方程转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，解得， 当时，解得， 故答案为：或． 变式2. 已知，，且，求的值． 【答案】6或14 【分析】本题主要考查了绝对值方程，代数式求值等知识点，熟练掌握绝对值方程的解法并运用分类讨论思想是解题的关键． 先解绝对值方程求出x、y的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，或，， 当，时，， 当，时，， 的值为6或14． 变式3. 阅读下列信息，方程的解法如下： （I）当时，，解得：． （II）当时，，解得：． 请你解决下列问题： (1)，则______； (2)求方程的解． 【答案】(1)3或 (2)或 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，利用绝对值的性质化简方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）根据绝对值的性质化简方程，解方程可得答案； （2）根据绝对值的性质化简方程，解方程可得答案． 【详解】（1）∵ ∴（I）当时，，解得：； （II）当时，，解得：． 综上所述，或； （2）∵ ∴ ∴ ∴（I）当时，，解得：； （II）当时，，解得：． 综上所述，或． 变式4. 先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，它的解是．当时，原方程可化，它的解是． ∴原方程的解为或． (1)依例题的解法，方程的解是______； (2)解方程：． 【答案】(1)或 (2)或． 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，关键是能去掉绝对值符号，用了分类讨论思想． （1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （2）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可． 【详解】（1）解：∵ ∴①当时，原方程可化为，它的解是； ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为或． 故答案为：或． （2）解：∵ ∴①当时，原方程可化为，它的解是； ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为或． 课后作业 1．（25-26七年级下·四川宜宾·期中）下列解方程过程中，变形正确的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】D 【分析】根据等式的基本性质，逐项判断变形是否正确即可． 【详解】解：A、∵ ，移项得 ，∴A变形错误； B、∵ ，系数化为1得 ，∴B变形错误； C、∵ ，两边同乘6，得 ，∴C变形错误； D、∵ ，将分子分母同乘10，得 ， 变形得 ，∴D变形正确． 2．（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）下列方程的变形中，属于移项的是（    ） A．由1，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】根据移项的定义，即把方程中某一项改变符号后从等号一侧移到另一侧的变形叫做移项，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵选项A中，由得，是等式两边同乘3，将系数化为1，不属于移项，∴A不符合题意； ∵选项B中，由得，是等式两边同除以3化简方程，不属于移项，∴B不符合题意； ∵选项C中，由得，是等式两边同除以5，将系数化为1，不属于移项，∴C不符合题意； ∵选项D中，由 得 ，将原方程右侧的改变符号后移到左侧，符合移项的定义，∴D符合题意． 3．（25-26七年级下·福建泉州·期中）已知关于x的方程的解是，则a的值为（    ） A．5 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】先求出方程的解，再根据题意可得，求出答案即可． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， 去分母，得， 移项，合并同类项，得， 解得， ∴， 解得． 4．（25-26七年级下·四川宜宾·期中）若关于x的一元一次方程的解为，则关于t的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，利用换元思想，将待求解的方程变形为与已知方程结构相同的形式，再利用已知方程的解求解． 【详解】解：整理待求解方程， 移项得， 将变形为，代入得： ， 移项整理得：， 设，则该方程与已知方程结构相同， ∵已知方程的解为， ∴， 解得． 5．（25-26六年级下·山东威海·期中）若是关于的一元一次方程，且方程中含的项为同类项，则该方程的解为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的定义确定参数a的可能取值，代入原方程求解，结合选项得到正确结果，用到一元一次方程的概念：只含一个未知数，未知数的最高次数为1，且一次项系数不为0的整式方程． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程，且方程中含的项为同类项， ∴， 解得 将代入原方程得： ， 解得：． 6．（25-26八年级下·江西吉安·期中）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先提取公因式x，再利用裂项相消法化简左边的多项式，最后解一元一次方程即可得到结果． 【详解】解： 解得：． 7．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）方程实数根的情况为（   ） A．没有实数根 B．有1个实数根 C．有2个实数根 D．有无数个实数根 【答案】A 【分析】解含多个绝对值的方程，先求绝对值的零点，分区间去绝对值转化为一元一次方程求解，检验解是否在对应区间，即可判断根的情况． 【详解】解：令，解得， 令，解得， 分三种情况讨论： 当时， ，， ∴原方程化为 ， 整理得， 解得， ，不满足，此解舍去，该区间无实根； 当时， ，， ∴原方程化为 ， 整理得， 解得， ，不满足，此解舍去，该区间无实根； 当时， ，， ∴原方程化为 ， 整理得， 解得， ，不满足，此解舍去，该区间无实根； 综上，原方程没有实数根． 8．（25-26九年级下·重庆江津·月考）已知整式，其中，，，…，，为正整数，且，且，下列说法正确的个数是（    ） ①若多项式可以为二次三项式，则的最小值为6； ②若，满足条件的整式的个数为6； ③当且时，记满足条件的整式分别为，，…，，则关于的方程的解为或或． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】对于①，最小的3个不同正整数为，且，即可判断；对于②，讨论、、三种情况讨论，找出对应的整式；对于③，得到对应，，方程为，再解绝对值方程即可． 【详解】解：验证①：若为二次三项式，则，需3个不同正整数满足， 最小的3个不同正整数为，且， 的最小值为，①正确； 验证②：，由题为正整数，按分类讨论： 当时，需两个不同正整数满足， 可得或或，共3个整式； 当时，需三个不同正整数满足， 可得或，共2个整式； 当时，最小的个不同正整数乘积为，无满足条件的整式； 总个数为， ②错误； 验证③：当，，找不同正整数满足，得 或 对应，，方程为，分段讨论： 当时，原方程化为，解得，符合条件，是解； 当时，原方程化为，解得，不满足要求，舍去； 当时，原方程化为，解得，符合条件，是解； 方程的解为或，不存在这个解，③错误， 综上，正确的说法只有1个． 9．（25-26七年级下·山东泰安·期中）若与的解相同，则的值为__________． 【答案】 【分析】先解方程得到的值，再将的值代入 ，即可求解得到的值． 【详解】解：解一元一次方程， 去分母得：， 移项合并同类项得：， 系数化为得：， 将代入， 得：， 移项合并同类项得：， 系数化为得：． 10．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）若关于的一元一次方程的解是正整数，则正整数的值为__________． 【答案】4 【详解】解： 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， ∵解是正整数， ∴或， 解得或（舍去）． 则正整数的值为． 11．（25-26七年级下·福建泉州·期中）定义符号“”的运算规则为，则方程的解为______． 【答案】 【分析】先根据新定义可得，进而得出一元一次方程，再求出解即可． 【详解】解：根据题意，得， ∴方程， 移项，合并同类项，得， 两边都除以，得． 12．（2026·四川南充·一模）关于x的一元一次方程的解为____． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义求出参数的值，再代入原方程求解未知数即可． 【详解】解：根据一元一次方程的定义，得，且， 解得， 将代入原方程，得， 整理得， 移项得， 系数化为得． 13．（25-26七年级下·河南周口·期中）在如图所示的运算流程中，若输出的数，则输入的数____． 【答案】19或20 【分析】考查了一元一次方程，有理数的运算． 根据流程图输入数 x 的奇偶性进行分类讨论，即可作答 ． 【详解】解：根据流程图，分两种情况讨论： 当 x 为偶数时，运算规则为除以4， 则 ， 解得 ， 经检验，20是偶数，符合题意； 当 x 为奇数时，运算规则为先加1再除以4， 则 ， 方程两边同时乘4，得， 解得 ， 经检验，19是奇数，符合题意. 综上所述，输入的数 x 为19或20． 14．（2026·安徽合肥·一模）若一列数、、、…、（为正整数），除、外，其余每个数都等于与它相邻的两个数之和，则称这列数为“层数列”，如：1、5、4、，满足，，所以1、5、4、为“4层数列”． （1）若3、、为“3层数列”，则的值为______； （2）若一个“60层数列”中，，，则的值为______． 【答案】 0 3 【分析】（1）根据3、、为“3层数列”，列出方程，求解即可； （2）根据定义，对任意，得递推关系：​，变形得​． 设，，依次写出数列前几项，得出数列每6项为一个周期循环，从而得出，即，，即，联立得，代入求解即可； 【详解】解：（1）∵3、、为“3层数列”， ∴， 整理得：， 解得：． （2）根据定义，对任意，得递推关系：​，变形得​． 设，， 依次写出数列前几项： ， 因此数列每6项为一个周期循环， ，余数为1，故，即， ，余数为4，故，即，得， 联立得：，整理得， ∴． 15．（25-26七年级下·福建泉州·期中）解方程：． 【答案】 【详解】解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 16．（25-26七年级下·四川宜宾·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去分母得， 去括号得， 移项合并得， 解得； （2）解：整理得， 去括号得， 移项合并得， 解得． 17．（25-26七年级下·山东泰安·期中）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）按照解一元一次方程的步骤求解； （2）按照解一元一次方程的步骤求解； （3）按照解一元一次方程的步骤求解． 【详解】（1）解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得； （2）解： 去括号得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得：； （3）解： 去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得：． 18．（2026·福建三明·二模）解方程：． 【答案】 【详解】解： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：． 19．（25-26七年级下·吉林长春·期中）解方程：． 【答案】 【分析】根据解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】解∶， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 20．（25-26七年级下·河南周口·期中）解下列一元一次方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 21．（25-26七年级下·四川眉山·期中）解方程： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（）解一元一次方程，先按去括号法则去掉括号，再通过移项、合并同类项、系数化为，求出方程的解； （）解含分母的一元一次方程，先利用等式性质去分母，再按去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤，求出方程的解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．（25-26六年级下·山东淄博·期中）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题的关键是掌握移项、去括号、去分母、系数化为1等步骤． （1）移项、合并同类项、系数化为1； （2）去括号、移项、合并同类项、系数化为1； （3）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1； （4）先化小数系数为整数系数，再去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 【详解】（1）解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 （2）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 （3）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 （4）解： 整理，得， 即， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 23．（25-26七年级下·吉林长春·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 24．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：方程和为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，则______；若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为，则______． (2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值． (3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，请直接写出关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)12，或3 (2) (3) 【分析】（1）根据“友好方程”的定义进行解答，注意分类讨论； （2）利用“友好方程”的定义求解的值即可； （3）根据方程可以改写成，利用“友好方程”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，方程， 解得， 方程的解为， 由于方程与方程是“友好方程”， 则， 解得； 若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为n，另一个解为， ①， 解得， ②， 解得， 则或， 故答案为：12；或3； （2）解：方程，解得， 方程解得， 由题意，得， 解得； （3）解：方程解得， 由于方程和方程是“友好方程”， 则方程的解为， 将方程改写为， 则，即， 因此方程的解为． 25．（25-26七年级下·四川眉山·期中）已知关于的方程①：的解比方程②： 的解大2，求的值以及方程②的解． 【答案】，方程②的解为 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．用含的式子分别表示出方程①和方程②的解，根据方程①的解比方程②的解大2列出关于的方程，求解可得的值，将的值代入方程②中即可解得的值． 【详解】解：解得：， 解得：， ∵方程①的解比方程②的解大2， ∴，解得：， 将代入方程②中得：， 解得：． 26．（25-26七年级下·河南周口·期中）【阅读理解】 在解一元一次方程时，有时根据方程的特点，巧妙利用“整体思想”，可以达到简化计算的目的．例如：在解方程时，可把看作一个整体，令，原方程变为，解得，即，解得． 【尝试运用】 (1)请用材料中介绍的方法解方程：． (2)已知关于x的方程的解为，则关于x的方程的解为________． (3)【拓展创新】已知关于x的一元一次方程的解为，直接写出关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，原方程变为，按照材料中介绍的方法求解即可； （2）令，则原方程变为，根据题意求得，据此求解即可； （3）将方程两边同除以2026可得，再根据题意可得，解得的值即可． 【详解】（1）解：令，原方程变为， 解得，即， 解得； （2）解：令，则原方程变为， ∵关于x的方程的解为， ∴， ∴， 解得； （3）解：已知关于的一元一次方程， 两边同除以2026变形得：， 关于的一元一次方程的解为， ，解得：， 关于的一元一次方程的解为． 27．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）阅读下列材料并解答问题： 我们知道的几何意义是在数轴上的数对应的点与原点的距离，即．也就是说，表示在数轴上的数与数0对应的点之间的距离，这个结论可以推广为表示在数轴上的数与数对应的点之间的距离． 例1：解方程，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即该方程的解为． 例2：解不等式，如图1，在数轴上找出的解，即到数1对应的点的距离为2的点对应的数为、3，则的解集为或． 例3：解方程．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与数1和数对应的点的距离之和为5的点对应的的值．在数轴上，1和的距离为3，满足方程的对应的点在1的右边或的左边，若对应的点在1的右边，由图2可以看出．同理，若对应的点在的左边，可得，故原方程的解是或． 回答问题： (1)解方程：； (2)解不等式：； (3)若对任意的都成立，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）在数轴上与的距离为5的点的对应数为，2，即可得到答案; （2）在数轴上找出的解，即到3的距离为4的点对应的数为，7，即可得到答案； （3）：原问题转化为：大于或等于最大值，当时，当，当时，三种情况进行讨论． 【详解】（1）解：解方程， 在数轴上与的距离为5的点的对应数为，2， 即该方程的解为或； （2）解：解不等式， 如图3，在数轴上找出的解，即到3的距离为4的点对应的数为，7， 则的解集为或； （3）解：原问题转化为：大于或等于最大值， 当时，应该恒等于， 当，随的增大而减小， 当时，， 即的最大值为9，故． 28．（25-26七年级上·江苏·期末）点P，点A和点B均是数轴上的点，点P到点A的距离为，点P到点B的距离为，规定：若，其中表示与中较大的值，表示与中较小的值，则称点P为线段的“倍关联点”，例如：若点P表示的数为0，点A表示的数为，点B表示的数为1，此时，满足，则P是线段的 “3倍关联点”． (1)如图1，点A所表示的数为， ①若点B所表示的数为4，点P表示的数为，则k的值为　　　 ， ②若点P代表的数为0，P为线段的“3倍关联点”，求点B所表示的数； (2)已知点P为线段的“倍关联点”，若点P从数轴上表示的点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，点A从数轴上表示的点出发,以每秒2个单位长度的速度向右运动，点B从数轴上表示20的点出发,以每秒2个单位长度的速度向左运动，三个点同时运动，设运动的时间为t秒，求当t取何值时k的值最小，请直接写出t的取值． 【答案】(1)①；②或或或 (2)或 【分析】（1）①先求出，即可求出，再由求解即可； ②设点表示的数为， ，，由题意得，整理得，，再分类讨论求解即可； （2）由题意得，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，，，当且仅当时，取得最小值为1，再分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，， ∴， ∴； ②设点表示的数为， ∴，， ∵P为线段的“3倍关联点” ∴ 整理得，， 当时，则，解得； 当时，则，解得 综上：点B所表示的数为或或或； （2）解：由题意得，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，， ∵ ， ∵， ∴， 当且仅当时，取得最小值为1， 或， 即或时的值最小． 1 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $