精品解析：陕西延安市实验中学2026-2027学年度第一学期第一次阶段性作业九年级数学

2026~2027学年度第一学期第一次阶段性作业 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题　共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义逐一判断即可求解． 【详解】解：、解析式右侧为二次根式，不是整式，该选项函数不是二次函数； 、解析式右侧为整式，自变量的最高次数为，符合二次函数的定义，该选项函数是二次函数； 、化简为，自变量的最高次数为，是一次函数，该选项函数不是二次函数； 、解析式右侧为分式，不是整式，该选项函数不是二次函数． 2. 抛物线的对称轴为直线（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：为抛物线的顶点式， ∴对称轴为直线． 3. 若二次函数的图象与轴只有一个交点，则实数的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴有且只有一个交点，得到，结合二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴只有一个交点， ． 解得 ． 4. 若二次函数在时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键． 先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，则当时，的值随值的增大而减小，由于时，的值随值的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， 抛物线开口向上， 当时，的值随值的增大而减小， 而时，的值随值的增大而减小， ， 故选A． 5. 在同一平面直角坐标系中，若抛物线与关于轴对称，则的值为（ ） A. 0 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于x轴对称，函数y是互为相反数即可解答． 【详解】解：∵与关于轴对称， ∴，即， ∴，解得：． ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像与几何变换，根据关于x轴对称的坐标特征把抛物线化成关于x轴对称的抛物线的解析式是解题的关键． 6. 抛物线经过点，则下列各点在抛物线上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用待定系数法求出抛物线的解析式，再逐项判断即可求解． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴， 、当时，，所以点不在抛物线上； 、当时，，所以点不在抛物线上； 、当时，，所以点不在抛物线上； 、当时，，所以点在抛物线上． 7. 如图，某隧道美化施工，横截面形状为抛物线（单位：米）的一部分，施工队计划在隧道正中搭建一个矩形脚手架，已知点、在轴上方的抛物线上，点、均在轴上，且，则脚手架高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据矩形对称性表示出点坐标，代入抛物线解析式求解． 【详解】解：∵矩形脚手架在隧道正中 ， ∴图形关于y轴对称 ， ∵， ∴设，（）， ∴ ， ∴点的坐标为． ∵点在抛物线上， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴． 8. 二次函数（、为常数，）的部分与的对应值如表： 则关于该二次函数的说法不正确的是（ ） A. 其图象开口向下 B. 其图象的对称轴为 C. 函数的最大值为7 D. 当时，的值随值的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】代入表格中两组的对应值求出与，得到二次函数解析式，再结合其图象与性质判断各选项正误． 【详解】解：将，代入，得， 将，代入，得， ， 二次函数解析式为， ，其图象开口向下，A选项说法正确，不符合题意； 由顶点式可知，其图象的对称轴为直线，B选项说法正确，不符合题意； 开口向下，顶点坐标为，函数的最大值为7，C选项说法正确，不符合题意； 开口向下，对称轴为，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，D选项说法错误，符合题意． 第二部分（非选择题　共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 将二次函数变形为的形式，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用配方法将二次函数一般式变形为的形式，即可得到的值． 【详解】解： 对比，可得． 10. 若抛物线（为常数）的开口向下，则的值可以是__________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】抛物线开口向下时，二次项系数小于0，据此求出的取值范围，在范围内任取一个值即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， 解得， 因此可取，符合要求即可． 11. 已知二次函数（、为常数，且）的图象如图所示，则点在第________象限． 【答案】 二 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向向下，判断出，根据二次函数的图象与轴的交点在轴的正半轴上，判断出，进而得出点所在象限． 【详解】解：二次函数图象的开口方向向下， ， 二次函数的图象与轴的交点在轴的正半轴上， 即当时，， 点在第二象限． 12. 把二次函数的图象沿轴翻折后，再向下平移4个单位，所得函数图象的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】沿轴翻折即关于轴对称，将原解析式中替换为得到翻折后的解析式，再根据平移规律计算即可． 【详解】解：∵二次函数图象沿轴翻折后关于轴对称，点关于轴对称的点为， ∴将原解析式沿轴翻折后为：， ∵再向下平移个单位，根据平移规律“上加下减”，给整体减，， ∴所得函数图象的解析式为． 13. 某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________． 【答案】##米 【解析】 【分析】由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点的坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度． 【详解】解：由题意可得，抛物线经过点和， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： ， 解得：， ∴函数表达式为：， ∵，故函数有最大值， ∴当时，y取得最大值，此时， 答：水流喷出的最大高度为． 14. 已知点，在抛物线，若，则1，，的大小关系是________（用“＜”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数基本性质，先计算点A和点B的纵坐标表达式，再根据b的取值范围判断和与1的大小关系，最后比较和的大小． 【详解】解：∵点，在抛物线， ∴，， ∵， ∴，， 又∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数）的对称轴为直线，求此抛物线的顶点坐标． 【答案】此抛物线的顶点坐标为． 【解析】 【分析】由抛物线对称轴为直线求出参数，再计算顶点纵坐标，即可得到顶点坐标． 【详解】解：对抛物线解析式配方，得， ∴抛物线的顶点横坐标为， ∵抛物线对称轴为直线，即顶点横坐标为， ∴， 解得， 将，代入原解析式，得， ∴抛物线的顶点坐标为． 16. 已知函数（为常数）是关于的二次函数，求的值． 【答案】 的值为或. 【解析】 【分析】根据二次函数定义令x的指数等于2，解一元二次方程得到m的值，直接取方程的解即可． 【详解】解：二次项系数， 函数是y关于x的二次函数， ， 整理得， 因式分解得， 解得，． ∴m的值为或． 17. 已知二次函数（为常数）的图象经过点，求该二次函数图象与轴的交点坐标． 【答案】 该二次函数图象与轴的交点坐标为. 【解析】 【分析】先将已知点代入二次函数解析式求出参数，再根据轴上点的横坐标为的特征，令求得对应值，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵ 二次函数的图象经过点， ∴ 将，代入解析式，得 ， 解得 ， 令， 得， ∴ 该二次函数图象与轴的交点坐标为． 18. 已知二次函数（为常数）．求证：无论取何值，该二次函数的图象与轴都有两个交点． 【答案】 证明：令，得一元二次方程， ∵该方程的二次项系数，一次项系数，常数项， ∴根的判别式 ∵无论取何值，， ∴，即， ∴无论取何值，该一元二次方程总有两个不相等的实数根，即该二次函数的图象与轴都有两个交点． 【解析】 【分析】令得到二次函数对应的一元二次方程，计算根的判别式并配方，证明其恒大于0即可得证． 【详解】略 19. 已知二次函数，若将该函数的图象向右平移3个单位长度后经过点，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】先利用二次函数图像平移规律得到平移后的解析式，再代入已知点计算的值． 【详解】解：已知二次函数解析式为， 将函数图象向右平移3个单位长度，可得平移后的函数解析式为， 因为该函数平移后的图象经过点， 则将代入平移后的解析式，得， 所以的值为． 20. 已知二次函数． … 0 … … 0 0 3 … （1）填表：__________、__________，并在图中描点画出该二次函数的图像； （2）若点和都在此函数的图像上，且，结合函数图像，写出的取值范围：__________． 【答案】（1）3，，在图中描点画出该二次函数的图像，如下图所示： （2） 【解析】 【分析】（1）分别将和代入二次函数解析式，即可求得的值，然后描点，最后连线即可； （2）根据函数图像求解即可． 【小问1详解】 解：对于二次函数， 当时，可得； 当时，可得 即， 在图中描点画出该二次函数的图像略； 【小问2详解】 如下图， 由函数图像可知，当时，． 21. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为，墙的厚度忽略不计），其他的边用总长的不锈钢栅栏（栅栏占地面积忽略不计）围成，左右两侧各开一个的出口（出口不用栅栏）后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽为，矩形车棚的面积为． （1）求与之间的函数关系式； （2）当车棚的宽为时，求矩形车棚的面积． 【答案】（1） （2）矩形车棚的面积为 【解析】 【分析】（1）根据矩形的面积公式求解； （2）把代入（1）中关系式可得结论． 【小问1详解】 解：由题意可知，车棚的宽，则垂直于墙的三条边总长为， 因为栅栏总长为，且左右两侧各有一个的出口， 所以平行于墙的边的长度为：， 根据矩形面积公式，得y与x的函数关系式为, 因为墙长最多， 所以 解得， 所以，与之间的函数关系式为 【小问2详解】 解：把代入解析式： ． 所以，矩形车棚的面积为． 22. 已知二次函数（、为常数，）的图象经过、两点． （1）求的值； （2）若该二次函数的最大值为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）、两点纵坐标相等，说明它们关于二次函数图象的对称轴对称，得到二次函数图象的对称轴为直线，根据二次函数对称轴为直线进行求解； （2）二次函数有最大值，即，将第一问得到的结果代入顶点坐标进行求解即可 ． 【小问1详解】 解：、两点纵坐标相等， 二次函数图象对称轴为直线， 又二次函数图象对称轴为直线， ， ； 【小问2详解】 ； ， 二次函数的顶点坐标为， 将代入得：， 二次函数的最大值为， ， 整理得：， 即， 解得：，， 二次函数有最大值， ， ． 23. 中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．今年中秋节期间，某商家以50元/盒的价格购进一批某品牌月饼．在销售中，商家发现售价定为80元/盒时，每天可售出100盒；每盒的售价每降低1元时，每天可多售出5盒，设该品牌月饼每盒的售价降低x元时，商家每天销售该品牌月饼的利润为y元． （1）求出y关于x的函数解析式； （2）要使每天销售该品牌月饼的利润为3120元，为了尽快减少库存，每盒月饼的售价应降低多少元？ 【答案】（1）（） （2）每盒月饼的售价应降低6元 【解析】 【小问1详解】 解：售价定为80元/盒时，每天可售出100盒；售价每降低1元时，每天可多售出5盒，则： 答：y关于x的函数解析式为，且． 【小问2详解】 将代入解析式，可得： 解得， 因为要尽快减少库存，所以x越大越好，故取． 答：每盒月饼的售价应降低6元． 24. 小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）假设小强在练习实心球时，他的正前方距离原点米的点处放置有一个米高的警示牌（与轴垂直），问实心球是否会砸到警示牌，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为． （2）实心球会砸到警示牌，理由详见解析． 【解析】 【分析】（1）先根据顶点的坐标设抛物线的顶点式，再代入求得抛物线解析式．（2）警示牌在距离原点米的位置，计算对应横坐标时的纵坐标，与米比较后判断实心球是否会砸到警示牌． 【小问1详解】 解：已知抛物线的顶点的坐标为，设抛物线的解析式为，其中， 将代入得 ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ， 实心球会砸到警示牌． 25. 如图，抛物线经过，，三点． （1）求、、的值； （2）点为轴上的动点，轴左侧的抛物线上是否存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），， （2）， 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入二次函数即可求出的值，从而确定二次函数，分别令和即可求出和的值． （2）分点在轴上方和在轴下方两种情况讨论，结合平行四边形的性质确定点的纵坐标，将其代入二次函数即可求出点坐标． 【小问1详解】 解：抛物线经过， ， ， ， 令，则， ， ，， ，， ． 令则． 【小问2详解】 解：①当点在轴下方时，四点构成平行四边形，如图所示， ，， ． 点在二次函数上， ， ，， ， ． ②当点在轴上方时，四点构成平行四边形，如图所示，过点作轴于点， 为平行四边形， ，， ， ， ， , 点在轴上方时， ， ， ，， 点在轴左侧的抛物线上， ， ， ． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在周长为18的矩形中，点、分别在、边上（均不与端点重合），，，设，梯形的面积为．求与之间的函数关系式（无需写出自变量的取值范围）； 【问题解决】 （2）如图2，某风景区的局部是一个三角形，其中，，，现计划在三角形内部修建五边形园林区域，根据设计要求，，点、均在边上，且，点、分别在、边上，设的长为，五边形园林区域的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②为让游客有更好的观赏体验，五边形园林区域的面积越大越好，请求出园林区域五边形面积的最大值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得，，根据梯形面积公式计算即可； （2）①根据解答； ②根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵矩形周长为18， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：①∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，斜边， ∴等腰直角三角形斜边上的高， ∴； 设， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴ ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ②中，， ∴开口向下，顶点横坐标为， ∴， ∴园林区域五边形面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度第一学期第一次阶段性作业 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题　共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的对称轴为直线（ ） A. B. C. D. 3. 若二次函数的图象与轴只有一个交点，则实数的值为（　　） A. B. C. D. 4. 若二次函数在时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在同一平面直角坐标系中，若抛物线与关于轴对称，则的值为（ ） A. 0 B. C. 4 D. 6. 抛物线经过点，则下列各点在抛物线上的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某隧道美化施工，横截面形状为抛物线（单位：米）的一部分，施工队计划在隧道正中搭建一个矩形脚手架，已知点、在轴上方的抛物线上，点、均在轴上，且，则脚手架高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 二次函数（、为常数，）的部分与的对应值如表： 则关于该二次函数的说法不正确的是（ ） A. 其图象开口向下 B. 其图象的对称轴为 C. 函数的最大值为7 D. 当时，的值随值的增大而减小 第二部分（非选择题　共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 将二次函数变形为的形式，则的值为________． 10. 若抛物线（为常数）的开口向下，则的值可以是__________．（写出一个即可） 11. 已知二次函数（、为常数，且）的图象如图所示，则点在第________象限． 12. 把二次函数的图象沿轴翻折后，再向下平移4个单位，所得函数图象的解析式为________． 13. 某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________． 14. 已知点，在抛物线，若，则1，，的大小关系是________（用“＜”连接）． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数）的对称轴为直线，求此抛物线的顶点坐标． 16. 已知函数（为常数）是关于的二次函数，求的值． 17. 已知二次函数（为常数）的图象经过点，求该二次函数图象与轴的交点坐标． 18. 已知二次函数（为常数）．求证：无论取何值，该二次函数的图象与轴都有两个交点． 19. 已知二次函数，若将该函数的图象向右平移3个单位长度后经过点，求的值． 20. 已知二次函数． … 0 … … 0 0 3 … （1）填表：__________、__________，并在图中描点画出该二次函数的图像； （2）若点和都在此函数的图像上，且，结合函数图像，写出的取值范围：__________． 21. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为，墙的厚度忽略不计），其他的边用总长的不锈钢栅栏（栅栏占地面积忽略不计）围成，左右两侧各开一个的出口（出口不用栅栏）后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽为，矩形车棚的面积为． （1）求与之间的函数关系式； （2）当车棚的宽为时，求矩形车棚的面积． 22. 已知二次函数（、为常数，）的图象经过、两点． （1）求的值； （2）若该二次函数的最大值为，求的值． 23. 中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．今年中秋节期间，某商家以50元/盒的价格购进一批某品牌月饼．在销售中，商家发现售价定为80元/盒时，每天可售出100盒；每盒的售价每降低1元时，每天可多售出5盒，设该品牌月饼每盒的售价降低x元时，商家每天销售该品牌月饼的利润为y元． （1）求出y关于x的函数解析式； （2）要使每天销售该品牌月饼的利润为3120元，为了尽快减少库存，每盒月饼的售价应降低多少元？ 24. 小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）假设小强在练习实心球时，他的正前方距离原点米的点处放置有一个米高的警示牌（与轴垂直），问实心球是否会砸到警示牌，请说明理由． 25. 如图，抛物线经过，，三点． （1）求、、的值； （2）点为轴上的动点，轴左侧的抛物线上是否存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在周长为18的矩形中，点、分别在、边上（均不与端点重合），，，设，梯形的面积为．求与之间的函数关系式（无需写出自变量的取值范围）； 【问题解决】 （2）如图2，某风景区的局部是一个三角形，其中，，，现计划在三角形内部修建五边形园林区域，根据设计要求，，点、均在边上，且，点、分别在、边上，设的长为，五边形园林区域的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②为让游客有更好的观赏体验，五边形园林区域的面积越大越好，请求出园林区域五边形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $