精品解析：重庆市大学城第一中学校2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题

重庆市大一中初2027届初三上第一次定时作业 数学试题 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，任意数的相反数为． 【详解】的相反数是． 2. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 抛出的篮球会下落 B. 明天会下雨 C. 任意三角形，其内角和是 D. 太阳从东方升起 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，具有不确定性． 根据随机事件的定义作答即可． 【详解】解：A选项抛出的篮球会下落是必然事件； B选项明天会下雨是随机事件； C选项任意三角形内角和是是不可能事件； D选项太阳从东方升起是必然事件； 故选：B． 3. 如图，直线，直线，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直角三角形两锐角互余和两直线平行同位角相等求解即可． 【详解】解：，， ， ， ． 4. 估算的值（ ） A. 在5和6之间 B. 在6和7之间 C. 在7和8之间 D. 在8和9之间 【答案】D 【解析】 【分析】先把转化为，再运用无理数估算方法即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴，即， ∴的值在8和9之间． 5. 将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移规律，熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移法则是解题关键． 根据平移法则对原抛物线进行平移即可得到新解析式． 【详解】解：抛物线解析式为， 向左平移1个单位长度后，解析式变为， 再向下平移4个单位长度后，解析式变为． 故选：A． 6. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的面积比等于相似比平方求出和的面积之比为． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴和的面积之比为， 故选：D． 7. 用五角星按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有1个五角星，第②个图案有4个五角星，第③个图案有7个五角星，第④个图案有10个五角星…按此规律，第n个图形中有22个五角星，则n的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给图形，依次求出图形中五角星的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第①个图案中五角星的个数为：； 第②个图案中五角星的个数为：； 第③个图案中五角星的个数为：； …， 所以第n个图案中五角星的个数为个． 由得，． 8. 在中，，是斜边上的高，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角函数的应用，同角的余角相等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，然后在中，求得，然后． 【详解】解：在中，，是斜边上的高， ， ， 在中，，，， ， ． 故选：D． 9. 如图，在正方形中，点与点分别为和上一点，连接，，．将沿翻折到正方形所在的平面内，得，且点恰好落在边上，连接交于点，则长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过点作交于，先用正切的定义求出正方形的边长，再用勾股定理求出的长，再利用两次平行线分线段成比例定理求得的长． 【详解】解：如图，过点作交于， 四边形是正方形， ，，， 设，则， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 将沿翻折得， ，， 在中，由勾股定理得： ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ， ， 解得：． 10. 已知整式：，其中为正整数，，，，为整数，，且满足（为常数）．下列说法正确的个数有（ ） ①若，则不存在满足条件的整式； ②若，则满足条件的所有整式中有且仅有2个单项式； ③若，，则当取任意实数时，其值一定为负数的整式有且仅有5个． A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目给定条件，逐个判断三个说法，结合绝对值性质、整数性质和二次函数恒负的条件逐一验证，统计正确说法的个数即可． 【详解】解：已知为正整数，，为整数，且， ①若，则， ∴，与矛盾，故不存在满足条件的整式，①正确，符合题意； ②若，∵，， ∴，且， ∵，即， ∴，，即或，此时为或，共2个单项式，②正确，符合题意； ③若，，则，为二次多项式，对任意实数值恒为负，需满足且， 当时，，即，此时，时值为0，不满足恒负，舍去； 当时，，仅当，时，，满足条件； 当时，，当，时，，满足条件；当，时，，满足条件；其余组合均不满足条件； 综上，满足条件的整式共有4个，③错误，不符合题意， 故说法正确的个数有2个． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 一个不透明盒子中装有1个红球、2个白球和3个黑球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则摸到白球的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式，用摸到白球的等可能结果数除以所有等可能结果总数，计算即可． 【详解】解：∵盒子中所有球除颜色外都相同，每个球被摸到的可能性相等，总球数为个，其中白球有个， ∴摸到白球的概率为． 12. 若是关于的一元二次方程的根，则代数式的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将根代入原方程得到与的关系式，再利用整体代入法计算代数式的值． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的根， ∴ ， ∴ ． 13. 如图，按顺时针方向旋转一个角后成为，已知，，则旋转角等于______． 【答案】39 【解析】 【分析】根据旋转性质得，旋转角为，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵按顺时针方向旋转一个角后成为，， ∴，旋转角为， ∵， ∴， 故旋转角等于． 14. 如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴的垂线，垂足为点，点为线段的中点，点为轴上任意一点，且的面积为6，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用面积求反比例函数的k的值，掌握知识点是解题的关键． 连接，，推导出，则，求出，即可解答． 【详解】解：连接，，如图 ∵点C为线段的中点．轴， 轴， ∴， ∵， ∴或（舍去）， 故答案为：6． 15. 一个四位自然数，各数位上的数字均不为0，若满足，则称数为“六合数”．按照这个规定，最小的“六合数”是__________；将“六合数”的千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置得到一个新的四位数，记．若（为整数），则满足条件的的值之和是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求最小“六合数”时，根据四位数大小比较规则，高位数字越小则数越小，结合各数位非零得到最小数；用，表示，根据整数立方的性质得到的取值，列举所有符合条件的，计算求和即可． 【详解】解：∵求最小的“六合数”，各数位不为，且， ∴高位数字， ∴， ∵最小为， ∴． ∴最小的“六合数”是； 由题意得，，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵（为整数）， ∴， ∴， ∵，，为正整数， ∴， ∴， ∴， ∵该范围内的整数立方只有和，其中只有是的倍数， ∴， ∴， ∴当时，则， ∴； 当时，则， ∴； 当时，则， ∴， 综上所述，满足条件的的值之和为：． 16. 如图，矩形，连接，，，将绕点顺时针旋转得到，当点落在对角线上，且、、三点共线时，则__________（用含的式子表示），__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，由旋转的性质得到，再根据三角形内角和定理即可求出；连接交于点，作于点，取的中点连接，得到，，继而得到，由旋转得到，证明是的中位线，求出，证明得出，求出． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 绕点顺时针旋转得到， ，， ， ． 如图，连接交于点，作于点，取的中点，连接， 则，， ， ， ， ， 由旋转的性质得，， ， ， 是的中位线， ， ， ， ，， ， ， ，即， ． 三、解答题（本大题9个小题，17题、18题各8分，其余题各10分，共86分） 17. 按要求完成以下问题 （1）解不等式组：，并在数轴上表示出解集； （2）解方程：． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为：． 解集在数轴上表示略； 【小问2详解】 解：， ，，， ， ∴， ∴，． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先按分式混合运算法则化简原式，再计算的值，最后代入计算结果． 【详解】解： ， 由题意得， ， 将代入得，原式． 19. 为落实“双减”政策，了解学生课后体育锻炼的情况，大一中从七、八年级各随机抽取20名学生，调查了他们某周平均每天的课后锻炼时间（单位：分钟，时间均为整数）．随后进行数据整理、描述和分析（时间用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的锻炼时间在C组中的数据是：42，43，44，45，45，46，48． 八年级20名学生的锻炼时间数据是：30，32，35，35，38，40，40，45，45，45，47，48，52，55，55，58，60，62，65，70． 七、八年级所抽取学生锻炼时间统计表 年级 七年级 八年级 平均数 47 48.5 中位数 a 46.5 众数 45 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为七、八年级中，哪个年级学生课后锻炼时间的整体情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）大一中七年级有1280人，八年级有1200人，请估计这两个年级课后锻炼时间不低于50分钟的学生总人数． 【答案】（1）47，45，15 （2）七年级学生课后锻炼时间的整体情况更好．理由如下：七年级学生课后锻炼时间的中位数47大于八年级学生课后锻炼时间的中位数46.5； 八年级学生课后锻炼时间的整体情况更好．理由如下：八年级学生课后锻炼时间的平均数48.5大于七年级学生课后锻炼时间的平均数47．（写一条即可） （3）1056 【解析】 【分析】（1）先通过C组数据的数量算出其在样本中的占比，再结合扇形图给出的百分比算出B组占比，从而确定A，B两组的总人数，进而定位到中位数所在的C组，计算出七年级的中位数a；同时通过统计八年级数据中出现次数最多的数，得到众数b； （2）分别从中位数和平均数两个统计量的角度进：行对比七年级的中位数更高，说明七年级有一半学生的锻炼时间更长；而八年级的平均数更高，说明八年级整体的锻炼时长更久，从而可以得出两个不同的结论； （3）先分别计算出两个年级样本中锻炼时间不低于50分钟的人数占比，再用该占比去估算两个年级各自的总人数，最后将两个年级的估算人数相加，得到两个年级课后锻炼时间不低于50分钟的总人数． 【小问1详解】 解：七年级20名学生的中位数是第10，11个数据的平均数 已知C组数据为：42，43，44，45，45，46，48 (共7个)， ， B所占百分比为：， 即． ∵A，B组共有个数据， ∴第10，11个数据都在C组，第10个是46，第11个是48， ∴中位数， ∵八年级20名学生的锻炼时间数据中，45出现的次数最多， ∴众数． 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：（人） 答：这两个年级课后锻炼时间不低于50分钟的学生总人数为1056人． 20. 如图，在矩形中，连接，点在边上，且满足平分，． （1）用尺规完成基本作图：过点作的垂线，交于点，交于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）如图： （2）证明：∵四边形是矩形 ∴，，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据过一点作已知直线的垂线的尺规作图方法作图即可； （2）通过证明，得，又因为，所以可证四边形是平行四边形，再证明，所以可证四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动．在此过程中： （1）小球滚动到第3秒时速度是多少？ （2）小球滚动15米用了多少秒？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】（1）小球滚动到第3秒时速度为 （2）小球滚动15米用了 【解析】 【分析】（1）根据均匀减速的特点，先求每秒速度减少量，再计算第3秒的速度． （2）先求出平均速度，再根据求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知初速度，8秒后速度为0， ∴每秒速度减小， 则t秒时的速度公式：， 当时，则． 【小问2详解】 解：平均速度， ∵， ∴当时，则， 整理得：， 解得：，（舍去） 答：小球滚动15米用了． 22. 如图，中，，，于，．动点从出发，以每秒2个单位的速度向运动；动点从运动到，速度为每秒1个单位；，同时运动，当运动到时，，同时停止． 若记，，运动的时间为秒： （1）直接写出，与之间的函数关系式并注明的取值范围，并画出，的函数图象； （2）写出的一条函数性质： （3）请根据图象直接写出时的取值范围（保留一位小数，误差不超过0.2）． 【答案】（1），． ，的函数图象如下： （2）当时，随增大而减小；当时，随增大而增大． （3） 【解析】 【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质算出，再根据P的位置分段写出，代入表达式得到，的解析式，最后描点画图． （2）是分段一次函数，可以描述其增减性或者最小值． （3）分区间解方程找到交点，结合图象可得时满足． 【小问1详解】 在中，，，于，． 所以是等腰直角三角形， 所以， 则． 因为动点从出发，以每秒2个单位的速度向运动；动点从运动到，速度为每秒1个单位， 所以从到的总时间为（秒）， 则，， 所以 ，（时分母为0无意义） ， 当时，， 此时， 当时，， 此时， 综上： ，． 【小问2详解】 当时， ， 因为， 所以当时，随增大而减小； 当时，， 因为， 所以当时，随增大而增大． 【小问3详解】 由（1）知，，． 当时，令， 整理得， 其中，无实数根； 当时，令， 整理得， 解得（舍去）． 结合图象可知， 时的取值范围． 23. “渝超”足球联赛赛季正如火如荼进行中．如图，A，B，C，D在同一平面内．在某次进攻回合中，球员乙在处发任意球，球员甲、丙、丁分别位于处、处、处接球．已知位于的北偏东方向，且位于的北偏东方向40米处，位于的北偏西方向上，位于的正东方向，且位于的南偏东方向上．（参考数据：） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）当丙在处接到乙传球后立即沿方向跑动，同时甲从处沿方向朝球员丁跑动．在甲与丁相遇前某时刻，丙将球传给了甲，此时甲与丙刚好相距30米，若甲速度为丙速度的3倍，请问此时球员丙离开处多少米（结果保留小数点后一位）？ 【答案】（1）米 （2）球员丙离开处米 【解析】 【分析】（1）根据题意，，，，米，过点作于点，则，再根据含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质即可求解； （2）根据题意是等边三角形，点分别表示丙，甲，设秒时甲与丙刚好相距30米，设丙的速度为，则甲的速度为，根据含30度角的直角三角形的性质得到，则，，，在中，由勾股定理得，代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， 根据题意，，，，米， ∴，， ∴， 在中，， 过点作于点，则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴（米），（米）， ∴（米）； 【小问2详解】 解：如图所示，，， ∴，即是等边三角形， ∴米， 根据题意，点分别表示丙，甲，设秒时甲与丙刚好相距30米，设丙的速度为，则甲的速度为， ∴，，则，， 过点作于点， ∵， ∴，则，， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，，， 当时，米，米， 当时，米，米，不符合题意，舍去； ∴球员丙离开处米． 【点睛】本题主要考查方位角，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点（在的左侧），交轴于点，连接，，其中，． （1）求抛物线的表达式； （2）点是线段上一动点，过点作交第一象限抛物线上点，作交轴于点；是线段上的动点，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）在（2）中当取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为抛物线上的一点，连接，，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为，的最小值为 （3）符合条件的点K的横坐标为 【解析】 【分析】（1）由，结合、，得三点坐标、、．设交点式，代入点解得，即可求解； （2）由为等腰直角三角形，推得、，故的最值由决定，时取最大值，得．作关于轴的对称点，根据线段最短即可求得的最小值； （3）先由转化得，构造相似三角形求出两条直线的解析式．再将抛物线沿射线平移个单位（右移1、上移2），得，联立直线与抛物线方程，解得四个符合条件的横坐标． 【小问1详解】 解：由题意得，令，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， 设抛物线交点式为， 代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：，， 是等腰直角三角形， ∴． 设点P横坐标为t，则（，第一象限）， 过P作轴于点D，交直线于点M，连接，如图： 设直线解析式为， 将、代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， 是等腰直角三角形， ∴， ∵， ， ， ， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴H点横坐标为， ∴， ∴， ， 当最大时，取最大值． ∴， ∵， ∴当时，取得最大值1，此时P点坐标为， ∵点Q在线段上， ∴设， 又∵， ∴，，， ， 为直角三角形， ∴， ∴ 解得（对应点C，舍去）或， ∴， 作Q关于x轴的对称点，连接，，如图： ∴， ∴， 当P、F、共线时，为最小值即， 由勾股定理计算： ∴ ， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 连接，过点A作，交直线于点N，如图： ∴， 又， ， ∵，， ∴ 解得， 设点N的坐标为， ∵，， ∴，，， 在中，， ∴， ∴ ， 展开方程①得， ， 将③代入得， ， 将代回①得， 解得，， ∴当时，，即；当时，，即； 设直线的解析式为，直线的解析式为， 将和代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 将和代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， 又∵原抛物线沿射线方向平移个单位，且， ∴平移规律为向右平移1个单位，向上平移2个单位． ∵原抛物线为， ∴平移后抛物线为， ①联立与， ∴ 解得或； ②联立与： ， ∴， ∴， 解得或， 综上所述，符合条件的点K的横坐标为． 25. 中，，，D为平面中一点，连接，． （1）如图1，A，D重合时，若，求的面积； （2）如图2，D在外时，E为右侧一点，，，F为中点，连接，，求证：； （3）如图3，D在内部时，连接，，若，，当取得最大值时，直接写出的长． 【答案】（1）9 （2）证明：如图，延长到点H，使得，连接，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， 设，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）过点B作交于点G，利用解含30度的直角三角形求出的高，从而利用三角形面积公式求出结果； （2）延长到点H，使得，连接，，，利用倍长中线模型证明四边形是平行四边形，再通过导角证得，最后利用等腰三角形的判定与性质和全等三角形的性质即可证得结论； （3）过点C作直线l，使得直线l与的夹角为，过点D作交直线l于点M，利用正弦的定义得出，再通过三角形内角和定理与已知条件得出点A，D，M三点共线，过点B作交于点N，证明出，当，即时，有最大值为6，此时点D与点N重合，由勾股定理列出方程求出未知数，从而求出最终结果． 【小问1详解】 解：如图，过点B作交于点G， ∵，，A，D重合，， ∴， 在中，， ∵， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点C作直线l，使得直线l与的夹角为，过点D作交直线l于点M， 在中，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴点A，D，M三点共线， ∴， 过点B作交于点N， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，点D在上， ∴当，即时，有最大值为6， 如图，此时点D与点N重合， 设，则， ∴， ∴， 解得：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市大一中初2027届初三上第一次定时作业 数学试题 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 抛出的篮球会下落 B. 明天会下雨 C. 任意三角形，其内角和是 D. 太阳从东方升起 3. 如图，直线，直线，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 估算的值（ ） A. 在5和6之间 B. 在6和7之间 C. 在7和8之间 D. 在8和9之间 5. 将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 用五角星按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有1个五角星，第②个图案有4个五角星，第③个图案有7个五角星，第④个图案有10个五角星…按此规律，第n个图形中有22个五角星，则n的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 在中，，是斜边上的高，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点与点分别为和上一点，连接，，．将沿翻折到正方形所在的平面内，得，且点恰好落在边上，连接交于点，则长度为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式：，其中为正整数，，，，为整数，，且满足（为常数）．下列说法正确的个数有（ ） ①若，则不存在满足条件的整式； ②若，则满足条件的所有整式中有且仅有2个单项式； ③若，，则当取任意实数时，其值一定为负数的整式有且仅有5个． A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 一个不透明盒子中装有1个红球、2个白球和3个黑球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则摸到白球的概率是___________． 12. 若是关于的一元二次方程的根，则代数式的值为__________． 13. 如图，按顺时针方向旋转一个角后成为，已知，，则旋转角等于______． 14. 如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴的垂线，垂足为点，点为线段的中点，点为轴上任意一点，且的面积为6，则___________． 15. 一个四位自然数，各数位上的数字均不为0，若满足，则称数为“六合数”．按照这个规定，最小的“六合数”是__________；将“六合数”的千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置得到一个新的四位数，记．若（为整数），则满足条件的的值之和是__________． 16. 如图，矩形，连接，，，将绕点顺时针旋转得到，当点落在对角线上，且、、三点共线时，则__________（用含的式子表示），__________． 三、解答题（本大题9个小题，17题、18题各8分，其余题各10分，共86分） 17. 按要求完成以下问题 （1）解不等式组：，并在数轴上表示出解集； （2）解方程：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 为落实“双减”政策，了解学生课后体育锻炼的情况，大一中从七、八年级各随机抽取20名学生，调查了他们某周平均每天的课后锻炼时间（单位：分钟，时间均为整数）．随后进行数据整理、描述和分析（时间用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的锻炼时间在C组中的数据是：42，43，44，45，45，46，48． 八年级20名学生的锻炼时间数据是：30，32，35，35，38，40，40，45，45，45，47，48，52，55，55，58，60，62，65，70． 七、八年级所抽取学生锻炼时间统计表 年级 七年级 八年级 平均数 47 48.5 中位数 a 46.5 众数 45 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为七、八年级中，哪个年级学生课后锻炼时间的整体情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）大一中七年级有1280人，八年级有1200人，请估计这两个年级课后锻炼时间不低于50分钟的学生总人数． 20. 如图，在矩形中，连接，点在边上，且满足平分，． （1）用尺规完成基本作图：过点作的垂线，交于点，交于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，求证：四边形是菱形． 21. 一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动．在此过程中： （1）小球滚动到第3秒时速度是多少？ （2）小球滚动15米用了多少秒？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 22. 如图，中，，，于，．动点从出发，以每秒2个单位的速度向运动；动点从运动到，速度为每秒1个单位；，同时运动，当运动到时，，同时停止． 若记，，运动的时间为秒： （1）直接写出，与之间的函数关系式并注明的取值范围，并画出，的函数图象； （2）写出的一条函数性质： （3）请根据图象直接写出时的取值范围（保留一位小数，误差不超过0.2）． 23. “渝超”足球联赛赛季正如火如荼进行中．如图，A，B，C，D在同一平面内．在某次进攻回合中，球员乙在处发任意球，球员甲、丙、丁分别位于处、处、处接球．已知位于的北偏东方向，且位于的北偏东方向40米处，位于的北偏西方向上，位于的正东方向，且位于的南偏东方向上．（参考数据：） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）当丙在处接到乙传球后立即沿方向跑动，同时甲从处沿方向朝球员丁跑动．在甲与丁相遇前某时刻，丙将球传给了甲，此时甲与丙刚好相距30米，若甲速度为丙速度的3倍，请问此时球员丙离开处多少米（结果保留小数点后一位）？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点（在的左侧），交轴于点，连接，，其中，． （1）求抛物线的表达式； （2）点是线段上一动点，过点作交第一象限抛物线上点，作交轴于点；是线段上的动点，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）在（2）中当取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为抛物线上的一点，连接，，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 25. 中，，，D为平面中一点，连接，． （1）如图1，A，D重合时，若，求的面积； （2）如图2，D在外时，E为右侧一点，，，F为中点，连接，，求证：； （3）如图3，D在内部时，连接，，若，，当取得最大值时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $