专题01 有理数（知识点&考点&公式&8高频考点&3易错点&5重难&6模型，期中知识清单）2026-2027学年湘教版数学七年级上册

专题01 有理数 （知识点&考点&公式&8高频点&3易错点&5重难点&6模型，期中知识清单） 湘教版（2024版）七年级数学上册 第1章 第一部分　知识清单 知识点01　认识负数与有理数的分类 1、正数和负数：像3、1.5、这样大于0的数叫做正数；在正数前面加上“－”（负号）的数叫做负数，如-3、-1.5、．0既不是正数，也不是负数． 2、具有相反意义的量：像“收入”与“支出”“上升”与“下降”“向东”与“向西”这样的一对量叫做具有相反意义的量． 3、用正负数表示相反意义的量时，先规定其中一个方向的量为正，则与之相反方向的量就记为负． 4、有理数的分类： ①按定义分：有理数包括整数和分数．整数分为正整数、0、负整数；分数分为正分数、负分数． ②按符号分：有理数分为正有理数、0、负有理数．其中正有理数又分为正整数和正分数，负有理数又分为负整数和负分数． ③注意：有限小数（如0.25）和无限循环小数（如-0.1444…）都可以写成分数的形式，所以它们都是有理数；π＝3.14159…不是有理数． 5、有理数集合中的常用概念：非负数集合包括正数和0；非负整数集合包括正整数和0；非正数集合包括负数和0． 知识点02　数轴 1、规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可． 2、画数轴的步骤：①画一条直线，在直线上取一点作为原点；②一般取向右的方向为正方向（画上箭头）；③选取适当的长度为单位长度，从原点向右、向左每隔一个单位长度取一个点． 3、任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示． 4、数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大． 5、数轴上两点之间的距离等于表示这两个数的点之间的单位长度个数． 知识点03　相反数 1、只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0． 2、几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，并且与原点的距离相等． 3、求法：在一个数的前面添上“－”号，就得到这个数的相反数；数的相反数是． 4、注意：不一定是负数．当是正数时，是负数；当是负数时，是正数；当是0时，还是0． 5、多重符号的化简：一个数的前面有奇数个“－”号时，化简结果的符号为负；有偶数个“－”号时，化简结果的符号为正． 知识点04　绝对值 1、定义（几何意义）：数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作． 2、求法（代数意义）：当时，；当时，；当时，． 3、重要性质：（绝对值的非负性），即绝对值不可能为负数． 4、互为相反数的两个数的绝对值相等，即． 知识点05　有理数的大小比较 1、数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大． 2、法则比较法：①正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数；②两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 3、作差法：若，则；若，则；若，则． 知识点06　有理数的加法与减法 1、加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）互为相反数的两个数相加得0； （4）一个数同0相加，仍得这个数． 2、加法运算律：加法交换律——两个数相加，交换加数的位置，和不变；加法结合律——三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． 3、减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．如：，． 4、加减混合运算：可以统一成加法运算，写成省略加号的和的形式，再运用加法运算律简化计算． 知识点07　有理数的乘法与除法 1、乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0． 2、多个有理数相乘：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定——负因数有奇数个时，积为负；负因数有偶数个时，积为正．只要有一个因数是0，积就是0． 3、倒数：乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数．0没有倒数． 4、除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．如：． 5、乘法运算律：交换律、结合律、分配律（一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加）．合理使用运算律可以简化计算． 知识点08　有理数的乘方与科学记数法 1、乘方：求几个相同因数的积的运算叫做乘方，记作，其中叫做底数，叫做指数，乘方的结果叫做幂． 2、符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． 3、注意区分：的底数是-2，结果是16；-的底数是2，结果是-16．两者意义不同． 4、科学记数法：把一个大于10的数写成的形式（其中1≤<10，为正整数），这种记数方法叫做科学记数法．指数等于原数的整数位数减1． 5、近似数：与实际值接近的数叫做近似数．用“四舍五入法”取近似数时，要看清精确到哪一位；精确度常用数位（如精确到百位）表示． 知识点09　有理数的混合运算 1、运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行． 2、同级运算，按照从左到右的顺序进行． 3、合理使用运算律（交换律、结合律、分配律）可以简化计算；注意除法没有分配律，如不能写成． 第二部分　考点透视 考点01　正负数与具有相反意义的量 考点内容：正数、负数的意义；用正负数表示一对具有相反意义的量；相反意义量的判断． 常见考法： ①由已知的记法写出相反意义量的记法（如上升记为“＋”，则下降记为“－”）； ②判断给出的两组量是否具有相反意义； ③以某个量为标准，用正负数记录数据，再求总量或求差值． 考点02　有理数的分类 考点内容：有理数的定义；整数与分数的分类；正有理数、0、负有理数的分类；按集合要求填数． 常见考法： ①判断一个数属于哪一类（注意0既不是正数也不是负数，π不是有理数）； ②按要求把一串数填入正数集合、非负整数集合、负分数集合、有理数集合等； ③辨析有关有理数分类的说法是否正确． 考点03　数轴与数轴上的点 考点内容：数轴的三要素；在数轴上表示有理数；数轴上两点间的距离． 常见考法： ①由数轴上已知点表示的数确定原点，并写出其他点表示的数； ②由两点间的距离求另一点表示的数（注意有两种情况）； ③数轴上点的平移问题（向右移动记为正，向左移动记为负）． 考点04　相反数与倒数 考点内容：相反数的定义与求法；多重符号的化简；倒数的定义与求法． 常见考法： ①求一个数的相反数或倒数（注意带分数要先化为假分数，小数可化为分数）； ②化简含多重符号的数，如； ③利用“互为相反数的两数和为0”“互为倒数的两数积为1”进行求值． 考点05　绝对值 考点内容：绝对值的几何意义与代数意义；绝对值的非负性；已知绝对值求原数． 常见考法： ①求一个数的绝对值，或化简含绝对值的式子； ②已知一个数的绝对值，求这个数（结果有两个，0除外）； ③利用绝对值的几何意义说明数轴上的距离． 考点06　有理数的大小比较 考点内容：数轴比较法；法则比较法；含绝对值、相反数符号的数的比较． 常见考法： ①用“＜”“＞”或“＝”填空，比较两个有理数的大小； ②把一组数在数轴上表示出来，并按从小到大（或从大到小）的顺序排列； ③先化简再比较，如比较与的大小． 考点07　有理数的加法与减法 考点内容：加法法则；减法法则；加减混合运算；运算律的运用． 常见考法： ①直接进行有理数的加法或减法运算； ②加减混合运算（先把减法统一成加法，再运用运算律）； ③用正负数表示实际问题中的数据，求总和或求差值． 考点08　有理数的乘除、乘方与混合运算 考点内容：乘法法则与符号法则；除法法则；乘方的意义与符号法则；科学记数法；混合运算的顺序． 常见考法： ①有理数的乘除运算，确定积（商）的符号； ②乘方运算，注意区分与-； ③有理数的混合运算（先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号）； ④用科学记数法表示较大的数，或把科学记数法表示的数还原． 第三部分　公式速记 1、加法法则：同号相加，取相同符号，绝对值相加；异号相加，取绝对值较大数的符号，用较大绝对值减较小绝对值． 2、减法法则：（减去一个数，等于加上这个数的相反数）． 3、乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；． 4、除法法则：（）． 5、倒数的性质：（）；0没有倒数． 6、乘方的符号法则：当时，；当且为奇数时，；当且为偶数时，． 7、绝对值的代数意义：（）；（），且． 8、科学记数法：，其中1≤<10，＝原数的整数位数-1． 9、数轴上两点间的距离：表示数、的两点间的距离为． 第四部分　易错辨析（10个高频失分点） 辨析01　0既不是正数，也不是负数 0是正数与负数的分界，它既不是正数也不是负数．判断时不要因为“0带有正号”或“0没有负号”就把它当作正数；最小的正数、最大的负数也不存在． 辨析02　－a不一定是负数 字母前面的“－”只是表示取相反数，的符号由决定．例如当时，是正数，所以不能说“带负号的数就是负数”． 辨析03　无理数不是有理数，无限循环小数是有理数 π＝3.14159…是无限不循环小数，它不是有理数．而-0.1444…（循环节是4）是无限循环小数，能化成分数，属于负分数；0.1010010001…（依次增加一个0）不是循环小数，不是有理数． 辨析04　数轴的三要素缺一不可 画数轴必须同时具备原点、正方向、单位长度．只画一条带箭头的直线不算数轴；单位长度必须统一，不能忽长忽短． 辨析05　求相反数时“符号”要整体处理 求一个数的相反数，就是在这个数前面添上“－”号．如的相反数是；化简时，共有2个“－”号，结果为正数3． 辨析06　两个负数比较大小，绝对值大的反而小 比较两个负数，应先求它们的绝对值，绝对值大的数反而小．如比较与，因为，所以． 辨析07　减法要先转化为加法，再确定符号 计算时，应把减法化为加法：．常见错误是漏掉“减去负数等于加正数”这一步而算成． 辨析08　除法没有分配律 分配律只适用于“一个数乘两个数的和”，即．不能写成．但可以写成． 辨析09　（－2）的四次幂与－2的四次幂的意义不同 括号的作用是改变底数：的底数是-2，结果为16；-的底数是2，先算，再取相反数，结果为-16． 辨析10　科学记数法与近似数的精确度 科学记数法必须写成的形式，且1≤<10，不能写成．近似数1.8万中，“1.8”的最后一位“8”在千位上，所以它精确到千位，而不是十分位． 第五部分　高频考点（8大题型，先易后难） 【题型一】正负数与具有相反意义的量 【例1】（2026·湖南长沙·中考真题）如果水位升高3m时水位变化记作，那么水位下降2m时水位变化记作（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【分析】本题考查用正负数表示具有相反意义的量，明确“正”与“负”的相对性是解题的关键． 【详解】解：水位升高记为正，则水位下降记为负，所以水位下降2m记作．故选A． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南株洲·期中）下列各组量中，不具有相反意义的是（　　） A．盈利200元与亏损100元　　B．向东走5m与向西走3m C．气温上升2℃与气温下降4℃　　D．身高增加2cm与体重减少1kg 【答案】D 【分析】具有相反意义的量必须是同一类量中方向相反的两个量． 【详解】解：D中“身高增加”与“体重减少”不是同一类量，不具有相反意义．故选D． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）某超市购进8箱苹果，以每箱20kg为标准，超过标准质量的千克数记为正数，不足的记为负数，记录如下：，，，0，，，，．求这8箱苹果的总质量． 【答案】162kg 【分析】总质量＝标准质量×箱数＋各箱与标准质量差值的总和． 【详解】解：＝（kg）．答：这8箱苹果的总质量是162kg． 【题型二】有理数的分类 【例1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）在，0，，2.5，，π，中，负整数的个数是（　　） A．1　　B．2　　C．3　　D．4 【答案】B 【分析】先化简各数，再按有理数的分类找出负整数． 【详解】解：是负分数；0既不是正数也不是负数；是负整数；2.5是正分数；是负整数；π不是有理数；是正整数．所以负整数有、，共2个．故选B． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南常德·期中）下列说法正确的是（　　） A．一个有理数不是正数就是负数　　B．0是最小的有理数 C．非负有理数就是正有理数　　D．整数和分数统称为有理数 【答案】D 【分析】根据有理数的意义与分类逐项判断． 【详解】解：A中0既不是正数也不是负数，故A错误；有理数中没有最小的数，故B错误；非负有理数包括正有理数和0，故C错误；整数和分数统称为有理数，故D正确．故选D． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）把下列各数填在相应的集合内： 5，，1.4，，，0，， 正数集合：｛　　　　…｝　　　非负整数集合：｛　　　　…｝ 负分数集合：｛　　　　…｝　　有理数集合：｛　　　　…｝ 【答案】正数集合：｛5，1.4，…｝；非负整数集合：｛5，0…｝；负分数集合：｛，，…｝；有理数集合：｛5，，1.4，，，0，，…｝ 【分析】有限小数和无限循环小数都能化成分数，所以都是有理数；π不是有理数． 【详解】解：是无限循环小数，可化为分数，属于负分数；是有限小数，属于负分数；既是正数也是正分数，属于有理数．按各类的定义依次填写即可． 【题型三】数轴与有理数的表示 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点B在点A的右边，且与点A相距5个单位长度． （1）在数轴上标出原点O；（2）点B表示的数是________． 【答案】（1）见详解；（2）3 【分析】由点A表示可知，原点O在点A右边2个单位长度处． 【详解】解：（1）因为点A表示，所以从点A向右数2个单位长度的位置就是原点O（图略）． （2）点B在点A的右边且与点A相距5个单位长度，所以点B表示的数是． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南郴州·期中）数轴上与表示的点相距3个单位长度的点表示的数是（　　） A．2　　B．　　C．2或　　D．1或 【答案】C 【分析】与已知点相距一定单位长度的点有两个，分别在已知点的左右两侧． 【详解】解：在的右边3个单位长度处是；在的左边3个单位长度处是．故选C． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南永州·期末）如图，数轴上点A表示，点B表示2． （1）A、B两点间的距离是________；（2）若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，则运动3秒后点P表示的数是________． 【答案】（1）6；（2）2 【分析】数轴上两点间的距离等于两数之差的绝对值；点向右运动时，表示的数加上运动的距离． 【详解】解：（1），所以A、B两点间的距离是6．（2）点P运动的路程为（个单位长度），所以点P表示的数是． 【题型四】相反数与倒数 【例1】（2026·湖南株洲·中考真题）的相反数是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数． 【详解】解：的相反数是．故选B． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）的倒数是（　　） A．1.5　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【分析】乘积是1的两个数互为倒数；求带分数或小数的倒数时，先化成假分数或分数． 【详解】解：，它的倒数是．故选D． 【变式1-2】（2026·湖南常德·中考真题）化简下列各数： -(-5)＝________；-(+3)＝________；-[-(-2)]＝________． 【答案】5；-3；-2 【分析】多重符号的化简看“－”号的个数：奇数个“－”号时结果为负，偶数个时结果为正． 【详解】解：-(-5)＝5；-(+3)＝-3；-[-(-2)]＝-(2)＝-2． 【题型五】绝对值 【例1】（2026·湖南长沙·中考真题）的值是（　　） A．　　B．5　　C．　　D． 【答案】B 【分析】绝对值的几何意义是数轴上表示这个数的点与原点的距离． 【详解】解：数轴上表示的点与原点的距离是5，所以．故选B． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）若，则＝________；若，则＝________． 【答案】±3；±7 【分析】绝对值为正数的数有两个，它们互为相反数． 【详解】解：由得或；由得，所以或． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南益阳·期末）计算：． 【答案】4 【分析】先化简各绝对值，再进行加减运算． 【详解】解：原式＝． 【题型六】有理数的大小比较 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）在数轴上表示下列各数：，，0，2，3.5，并用“＜”把它们连接起来． 【答案】在数轴上表示如图（把各点标在对应的位置即可）， 【分析】在数轴上，右边的数总比左边的数大，所以从左到右读出各数即可完成排序． 【详解】解：把、、0、2、3.5分别用数轴上的点表示出来，按从左到右的顺序用“＜”连接，得． 【变式1-1】（2026·湖南衡阳·中考真题）下列四个数中，最小的数是（　　） A．　　B．0　　C．　　D．2 【答案】A 【分析】正数大于0，0大于负数，所以只需比较两个负数： 【详解】解：与都是负数，因为，所以，最小的数是．故选A． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【分析】先由数轴读出且，再逐项判断． 【详解】解：由数轴可知，且．因为，，所以，A错误；，B错误；异号两数相加取绝对值较大数的符号，所以，C错误；，两个负数相加，结果一定小于0，所以，D正确．故选D． 【题型七】有理数的加法与减法运算 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）计算：． 【答案】-3 【分析】先把减法统一成加法，再按加法法则计算． 【详解】解：原式＝． 【变式1-1】（2026·湖南岳阳·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【详解】解：原式＝． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南娄底·期中）某检修小组乘汽车沿东西方向的公路检修线路，约定向东为正，向西为负，某天从A地出发到收工时的行走记录（单位：km）为：，，，，，，． （1）收工时检修小组在A地的什么方向？距A地多少千米？ （2）若汽车每千米耗油0.15L，求从出发到收工共耗油多少升． 【答案】（1）在A地东边，距A地8km；（2）9L 【分析】（1）求各数据的和，和的符号表示方向，绝对值表示距离；（2）耗油量与行驶的总路程有关，与方向无关，应求各数据绝对值的和． 【详解】解：（1）（km）．因为结果是正数，所以收工时检修小组在A地东边，距A地8km． （2）总路程＝（km），共耗油（L）． 【题型八】有理数的乘除与乘方 【例1】（2026·湖南长沙·中考真题）计算的结果是（　　） A．　　B．8　　C．　　D．6 【答案】A 【分析】负数的奇次幂是负数，幂的绝对值等于底数绝对值的幂． 【详解】解：．故选A． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南株洲·期中）计算：． 【答案】9 【分析】乘除是同级运算，应按从左到右的顺序进行，不能先算后面的乘法． 【详解】解：原式＝． 【变式1-2】（2026·湖南湘潭·中考真题）计算：． 【答案】11 【分析】先算乘方，再算除法，最后算减法． 【详解】解：原式＝． 第六部分　易错警示（3大题型） 【易错题型一】符号与绝对值化简致错 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）下列化简正确的是（　　） A．-(-3)＝-3　　B．-|3|＝3　　C．+(-5)＝-5　　D．-|-5|＝5 【答案】C 【分析】化简时先看括号前的符号，再看绝对值内的数的正负． 【详解】解：A中-(-3)＝3，错误；B中-|3|＝-3，错误；C中+(-5)＝-5，正确；D中-|-5|＝-5，错误．故选C． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南常德·期中）下列各式中，结果为负数的是（　　） A．-(-2)　　B．|-2|　　C．　　D．- 【答案】D 【分析】注意区分与-：前者的底数是-2，后者的底数是2． 【详解】解：-(-2)＝2；|-2|＝2；；-．结果为负数的是D．故选D． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）计算：． 【答案】-2 【分析】先分别化简绝对值与多重符号，再加减． 【详解】解：原式＝． 【易错题型二】运算顺序与运算律致错 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】除法没有分配律；减法要先化为加法；乘方要先算，注意符号． 【详解】解：A中除法不能分别相除，错误；B中，错误；C中，正确；D中，错误．故选C． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）计算：． 【答案】2 【分析】一个数乘几个数的和，可用分配律简化计算． 【详解】解：原式＝＝． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南郴州·期末）小明在计算时，写成．他的做法对吗？若不对，请写出正确结果． 【答案】不对；正确结果是1 【分析】除法没有分配律，应先算括号内的减法，再做除法． 【详解】解：不对．因为，所以．小明的做法错在把除法当成了分配律． 【易错题型三】科学记数法与近似数致错 【例1】（2026·湖南长沙·中考真题）2026年湖南省高考报名人数约为732000人，将732000用科学记数法表示为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【分析】科学记数法的形式是，其中1≤<10，等于原数的整数位数减1． 【详解】解：732000是6位数，所以，即．故选B． 【变式1-1】（2026·湖南株洲·中考真题）用科学记数法表示的数，其原数是（　　） A．3050　　B．30500　　C．305000　　D．0.000305 【答案】B 【分析】把中的小数点向右移动位即可还原． 【详解】解：．故选B． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）按要求取近似数： （1）3.14159精确到0.01是________；（2）2.995精确到十分位是________；（3）近似数1.8万精确到________位． 【答案】（1）3.14；（2）3.0；（3）千 【分析】精确到0.01即精确到百分位；精确到十分位时末尾的0不能省略；1.8万中“8”在千位上． 【详解】解：（1）3.14159的千分位是1，舍去，得3.14；（2）2.995的百分位是9，四舍五入后为3.0（要注意写成3.0而不是3）；（3）1.8万＝18000，其中“8”在千位上，所以精确到千位． 第七部分　重难点突破（5大题型） 【重难题型一】数轴上的距离与动点问题 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）如图，数轴上点A表示，点B表示2． （1）A、B两点间的距离是________； （2）若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒． ①当时，点P表示的数是________，点Q表示的数是________； ②运动几秒后，点P与点Q相遇？ 【答案】（1）6；（2）①，1；②1.5秒 【分析】向右运动时，点表示的数加上运动的路程；向左运动时，点表示的数减去运动的路程．相遇时两点表示的数相同． 【详解】解：（1）． （2）①运动1秒，点P向右移动个单位长度，；点Q向左移动个单位长度，． ②点P、Q同时出发，每秒靠近个单位长度，而两点原来相距6个单位长度，所以经过（秒）相遇． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）数轴上点M表示的数是，点N与点M相距8个单位长度，则点N表示的数是________． 【答案】3或-13 【分析】与已知点相距一定距离的点在已知点的左右两侧各有一个，不要漏解． 【详解】解：当点N在点M右边时，；当点N在点M左边时，．所以点N表示的数是3或-13． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南常德·期末）已知数轴上点A表示，点B表示5，点C是线段AB的中点，则点C表示的数是________． 【答案】2 【分析】中点到线段两端点的距离相等． 【详解】解：，中点到点A的距离为，所以点C表示的数是． 【重难题型二】含绝对值的大小比较与化简 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）比较大小：________（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】＜ 【分析】两个数中含有绝对值符号或相反数符号时，应先化简再比较． 【详解】解：，，因为，所以填“＜”． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南株洲·期中）把，，，0，按从小到大的顺序排列． 【答案】-|-2|＜-(+1)＜0＜|-3|＜-(-4) 【分析】先化简各数，再按负数小于0、0小于正数以及两个负数比较大小的法则排序． 【详解】解：，，，．因为，所以． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）计算：． 【答案】 【分析】先判断每个绝对值内式子的正负，再化简． 【详解】解：原式＝． 【重难题型三】有理数的简便运算 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）用简便方法计算：． 【答案】6 【分析】把分母（或小数部分）相同、相加能凑整的数分别结合，再用加法运算律计算． 【详解】解：原式＝． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）计算：． 【答案】7 【分析】括号内各分数的分母都是36的因数，用分配律可使计算简便． 【详解】解：原式＝． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）阅读并解答． 计算：． 解：原式的倒数是＝＝，所以原式＝． 请用上述“先求倒数再计算”的方法计算：． 【答案】 【分析】当除数（括号内的部分）不容易直接计算时，可先求原式的倒数，转化为乘法后再取倒数． 【详解】解：原式的倒数是＝，所以原式＝． 【重难题型四】新定义运算与规律探究 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）规定一种新运算：．例如：． （1）计算；（2）计算． 【答案】（1）-1；（2）-11 【分析】把新运算中的“※”按规定的式子展开，再把相应的数代入，注意符号． 【详解】解：（1）． （2）． 【变式1-1】（2026·湖南岳阳·中考真题）观察下列算式：，，，，，，…．根据你发现的规律，的个位数字是（　　） A．2　　B．4　　C．6　　D．8 【答案】B 【分析】幂的个位数字按2、4、8、6的顺序循环，每4个一循环． 【详解】解：，所以的个位数字与的个位数字相同，即为4．故选B． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）观察下列等式：；；；；… （1）＝________； （2）＝________． 【答案】（1）100；（2）40000 【分析】从1开始连续个奇数的和等于． 【详解】解：（1）1~19中共有10个奇数，所以和为；（2）1~399中共有200个奇数，所以和为． 【重难题型五】有理数的实际应用（温差·盈亏·误差） 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）某商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是本周每天的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：辆）： （1）本周销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售________辆； （2）本周实际销售总量是多少辆？ 【答案】（1）26；（2）732辆 【分析】（1）差值最大的一天与差值最小的一天相减即可；（2）实际总量＝计划总量＋各天差值的和． 【详解】解：（1）差值最大为，最小为，（辆）． （2）（辆）． 答：本周实际销售总量是732辆． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南常德·期中）某天长沙的最低气温为℃，最高气温为7℃，则这天的温差是________℃． 【答案】9 【分析】温差＝最高气温－最低气温． 【详解】解：（℃）． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品10袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：g）：，，0，，， 袋数：1，2，3，2，1，1 （1）这10袋样品的总质量与标准质量相比，是多了还是少了？相差多少克？ （2）若每袋的标准质量为450g，则抽样检测的这10袋食品的总质量是多少克？ 【答案】（1）一样多，相差0g；（2）4500g 【分析】先求各差值与其袋数乘积的和，再判断总质量与标准质量的关系． 【详解】解：（1）（g），所以这10袋样品的总质量与标准质量一样多，相差0g． （2）（g）．答：总质量是4500g． 第八部分　模型归纳（6大模型） 【模型一】数轴比较大小与排序模型 模型特征：给出几个有理数，要求用数轴上的点表示出来并按大小排序．解题要诀是“先画数轴、再标点、后比较”． 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）在数轴上表示下列各数，并把它们按从大到小的顺序排列：，，0，1.5，3． 【答案】 【分析】先在数轴上标出各数对应的点，再按“右边的数大于左边的数”从右到左读出各数． 【详解】解：把、、0、1.5、3分别用数轴上的点表示出来，从右到左依次是3、1.5、0、、，所以． 【变式1-1】（2026·湖南株洲·中考真题）有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【分析】由图可知，位于的左边，再逐项判断． 【详解】解：由图可知．，A错误；，B正确；，C错误；，D错误．故选B． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南益阳·期中）比较大小（用“＞”“＜”或“＝”填空）： （1）________；（2）________． 【答案】（1）＞；（2）＞ 【分析】（1）两个负数比较大小，绝对值大的反而小；（2）先化简再比较． 【详解】解：（1）因为，，所以，故．（2），，因为，所以填“＞”． 【模型二】绝对值与多重符号化简模型 模型特征：算式中含绝对值符号和多个括号嵌套的符号．解题要诀是“由内到外、逐一化简”，先算绝对值，再去括号看符号． 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）计算：． 【答案】-4 【分析】先分别化简每一项，再按加减法则计算． 【详解】解：原式＝． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）若，，且，则＝________，＝________． 【答案】-5；-3 【分析】先由绝对值求出所有可能值，再用筛选． 【详解】解：由得或；由得或．因为，所以，． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南郴州·期末）计算：． 【答案】0 【分析】绝对值内部的乘方要先算，再算绝对值外面的乘法． 【详解】解：原式＝． 【模型三】有理数混合运算的顺序模型 模型特征：算式中同时含有乘方、乘除、加减和括号．解题要诀是“先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的”，同级运算从左到右． 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）计算：． 【答案】 【分析】注意-表示的相反数，结果为；先算括号内的减法与乘方，再算乘法，最后算减法． 【详解】解：原式＝． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南常德·期中）计算：． 【答案】-3 【分析】先算乘方，再算乘除，最后算加减． 【详解】解：原式＝． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南益阳·期中）计算：． 【答案】-1 【分析】-1的偶次幂是1，奇次幂是-1． 【详解】解：原式＝． 【模型四】乘方与科学记数法模型 模型特征：考查乘方的符号法则或科学记数法的表示与还原．解题要诀是“看清底数、数清位数”． 【例1】（2026·湖南长沙·中考真题）计算的结果是（　　） A．　　B．2026　　C．　　D．1 【答案】D 【分析】-1的偶数次幂等于1，奇数次幂等于-1． 【详解】解：2026是偶数，所以．故选D． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南株洲·期中）“五一”假期，湖南省共接待游客约32600000人次，将32600000用科学记数法表示为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【分析】32600000是8位数，所以，且1≤<10． 【详解】解：．故选A． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）按要求解答： （1）下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？；． （2）比较大小：________． 【答案】（1）4020；-750000；（2）＜ 【分析】（1）把小数点向右移动相应位数；（2）先还原成原数，再按两个负数比较大小的法则比较． 【详解】解：（1），．（2）因为，所以，填“＜”． 【模型五】简便运算模型（凑整·分配律·倒数法） 模型特征：算式中的数据有明显的凑整特征或共同因数．解题要诀是“观察数字特点，选用合适的运算律”． 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）用简便方法计算：． 【答案】7 【分析】各项有公因数-7，逆用分配律可以先算括号内的和． 【详解】解：原式＝． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）计算：． 【答案】0 【分析】把分母相同的数分别结合相加，凑成整数． 【详解】解：原式＝． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）计算：． 【答案】3 【分析】先用分配律计算乘法，再算乘方与除法，最后算减法． 【详解】解：原式＝． 【模型六】有理数的实际应用模型 模型特征：以正负数表示升降、盈亏、误差等实际量．解题要诀是“先弄清每个正负数的实际意义，再求代数和或绝对值的和”． 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）某登山队5名队员以大本营为基准，向上海拔升高记为正，降低记为负，某天他们的高度变化（单位：m）为：，，，，． （1）这天结束时，登山队在大本营的上方还是下方？距离大本营多少米？ （2）若登山队每攀爬1m（不论上升还是下降）平均消耗氧气0.8L，则这天他们共消耗氧气多少升？ 【答案】（1）在大本营上方，320m；（2）432L 【分析】（1）求各数据的和，符号表示方向，绝对值表示距离；（2）消耗的氧气与攀爬的总路程有关，应求各数据绝对值的和． 【详解】解：（1）（m）．因为结果是正数，所以这天结束时登山队在大本营上方，距离大本营320m． （2）总路程＝（m），共消耗氧气（L）． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）某冷冻厂一个冷库的室温是℃，现有一批食品需要在℃下冷藏．如果冷库每小时降温6℃，那么降温________小时后能达到所需温度． 【答案】4 【分析】先求需要降低的温度，再除以每小时的降温量． 【详解】解：需要降低的温度为（℃），（小时）． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南常德·期末）某工厂生产的零件，规定长度标准为(50±0.5)mm．现抽查5个零件，测量结果（单位：mm）如下：50.2，49.6，50.5，49.3，50.0． （1）这5个零件中，哪些是合格品？ （2）合格的零件中，与标准长度相差最小的是第几个？ 【答案】（1）第1、2、3、5个；（2）第5个 【分析】由(50±0.5)mm可知合格长度在49.5mm~50.5mm之间；与标准长度相差的大小用差值的绝对值衡量． 【详解】解：（1）合格范围是49.5mm~50.5mm．50.2在范围内，合格；49.6在范围内，合格；50.5在范围内，合格；49.3小于49.5，不合格；50.0在范围内，合格．所以第1、2、3、5个零件合格． （2）各合格零件与标准长度50mm的差分别为，，，0，绝对值依次为0.2、0.4、0.5、0，所以第5个零件与标准长度相差最小． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数 （知识点&考点&公式&8高频点&3易错点&5重难点&6模型，期中知识清单） 湘教版（2024版）七年级数学上册 第1章 第一部分　知识清单 知识点01　认识负数与有理数的分类 1、正数和负数：像3、1.5、这样大于0的数叫做正数；在正数前面加上“－”（负号）的数叫做负数，如-3、-1.5、．0既不是正数，也不是负数． 2、具有相反意义的量：像“收入”与“支出”“上升”与“下降”“向东”与“向西”这样的一对量叫做具有相反意义的量． 3、用正负数表示相反意义的量时，先规定其中一个方向的量为正，则与之相反方向的量就记为负． 4、有理数的分类： ①按定义分：有理数包括整数和分数．整数分为正整数、0、负整数；分数分为正分数、负分数． ②按符号分：有理数分为正有理数、0、负有理数．其中正有理数又分为正整数和正分数，负有理数又分为负整数和负分数． ③注意：有限小数（如0.25）和无限循环小数（如-0.1444…）都可以写成分数的形式，所以它们都是有理数；π＝3.14159…不是有理数． 5、有理数集合中的常用概念：非负数集合包括正数和0；非负整数集合包括正整数和0；非正数集合包括负数和0． 知识点02　数轴 1、规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可． 2、画数轴的步骤：①画一条直线，在直线上取一点作为原点；②一般取向右的方向为正方向（画上箭头）；③选取适当的长度为单位长度，从原点向右、向左每隔一个单位长度取一个点． 3、任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示． 4、数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大． 5、数轴上两点之间的距离等于表示这两个数的点之间的单位长度个数． 知识点03　相反数 1、只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0． 2、几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，并且与原点的距离相等． 3、求法：在一个数的前面添上“－”号，就得到这个数的相反数；数的相反数是． 4、注意：不一定是负数．当是正数时，是负数；当是负数时，是正数；当是0时，还是0． 5、多重符号的化简：一个数的前面有奇数个“－”号时，化简结果的符号为负；有偶数个“－”号时，化简结果的符号为正． 知识点04　绝对值 1、定义（几何意义）：数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作． 2、求法（代数意义）：当时，；当时，；当时，． 3、重要性质：（绝对值的非负性），即绝对值不可能为负数． 4、互为相反数的两个数的绝对值相等，即． 知识点05　有理数的大小比较 1、数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大． 2、法则比较法：①正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数；②两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 3、作差法：若，则；若，则；若，则． 知识点06　有理数的加法与减法 1、加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）互为相反数的两个数相加得0； （4）一个数同0相加，仍得这个数． 2、加法运算律：加法交换律——两个数相加，交换加数的位置，和不变；加法结合律——三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． 3、减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．如：，． 4、加减混合运算：可以统一成加法运算，写成省略加号的和的形式，再运用加法运算律简化计算． 知识点07　有理数的乘法与除法 1、乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0． 2、多个有理数相乘：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定——负因数有奇数个时，积为负；负因数有偶数个时，积为正．只要有一个因数是0，积就是0． 3、倒数：乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数．0没有倒数． 4、除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．如：． 5、乘法运算律：交换律、结合律、分配律（一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加）．合理使用运算律可以简化计算． 知识点08　有理数的乘方与科学记数法 1、乘方：求几个相同因数的积的运算叫做乘方，记作，其中叫做底数，叫做指数，乘方的结果叫做幂． 2、符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． 3、注意区分：的底数是-2，结果是16；-的底数是2，结果是-16．两者意义不同． 4、科学记数法：把一个大于10的数写成的形式（其中1≤<10，为正整数），这种记数方法叫做科学记数法．指数等于原数的整数位数减1． 5、近似数：与实际值接近的数叫做近似数．用“四舍五入法”取近似数时，要看清精确到哪一位；精确度常用数位（如精确到百位）表示． 知识点09　有理数的混合运算 1、运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行． 2、同级运算，按照从左到右的顺序进行． 3、合理使用运算律（交换律、结合律、分配律）可以简化计算；注意除法没有分配律，如不能写成． 第二部分　考点透视 考点01　正负数与具有相反意义的量 考点内容：正数、负数的意义；用正负数表示一对具有相反意义的量；相反意义量的判断． 常见考法： ①由已知的记法写出相反意义量的记法（如上升记为“＋”，则下降记为“－”）； ②判断给出的两组量是否具有相反意义； ③以某个量为标准，用正负数记录数据，再求总量或求差值． 考点02　有理数的分类 考点内容：有理数的定义；整数与分数的分类；正有理数、0、负有理数的分类；按集合要求填数． 常见考法： ①判断一个数属于哪一类（注意0既不是正数也不是负数，π不是有理数）； ②按要求把一串数填入正数集合、非负整数集合、负分数集合、有理数集合等； ③辨析有关有理数分类的说法是否正确． 考点03　数轴与数轴上的点 考点内容：数轴的三要素；在数轴上表示有理数；数轴上两点间的距离． 常见考法： ①由数轴上已知点表示的数确定原点，并写出其他点表示的数； ②由两点间的距离求另一点表示的数（注意有两种情况）； ③数轴上点的平移问题（向右移动记为正，向左移动记为负）． 考点04　相反数与倒数 考点内容：相反数的定义与求法；多重符号的化简；倒数的定义与求法． 常见考法： ①求一个数的相反数或倒数（注意带分数要先化为假分数，小数可化为分数）； ②化简含多重符号的数，如； ③利用“互为相反数的两数和为0”“互为倒数的两数积为1”进行求值． 考点05　绝对值 考点内容：绝对值的几何意义与代数意义；绝对值的非负性；已知绝对值求原数． 常见考法： ①求一个数的绝对值，或化简含绝对值的式子； ②已知一个数的绝对值，求这个数（结果有两个，0除外）； ③利用绝对值的几何意义说明数轴上的距离． 考点06　有理数的大小比较 考点内容：数轴比较法；法则比较法；含绝对值、相反数符号的数的比较． 常见考法： ①用“＜”“＞”或“＝”填空，比较两个有理数的大小； ②把一组数在数轴上表示出来，并按从小到大（或从大到小）的顺序排列； ③先化简再比较，如比较与的大小． 考点07　有理数的加法与减法 考点内容：加法法则；减法法则；加减混合运算；运算律的运用． 常见考法： ①直接进行有理数的加法或减法运算； ②加减混合运算（先把减法统一成加法，再运用运算律）； ③用正负数表示实际问题中的数据，求总和或求差值． 考点08　有理数的乘除、乘方与混合运算 考点内容：乘法法则与符号法则；除法法则；乘方的意义与符号法则；科学记数法；混合运算的顺序． 常见考法： ①有理数的乘除运算，确定积（商）的符号； ②乘方运算，注意区分与-； ③有理数的混合运算（先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号）； ④用科学记数法表示较大的数，或把科学记数法表示的数还原． 第三部分　公式速记 1、加法法则：同号相加，取相同符号，绝对值相加；异号相加，取绝对值较大数的符号，用较大绝对值减较小绝对值． 2、减法法则：（减去一个数，等于加上这个数的相反数）． 3、乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；． 4、除法法则：（）． 5、倒数的性质：（）；0没有倒数． 6、乘方的符号法则：当时，；当且为奇数时，；当且为偶数时，． 7、绝对值的代数意义：（）；（），且． 8、科学记数法：，其中1≤<10，＝原数的整数位数-1． 9、数轴上两点间的距离：表示数、的两点间的距离为． 第四部分　易错辨析（10个高频失分点） 辨析01　0既不是正数，也不是负数 0是正数与负数的分界，它既不是正数也不是负数．判断时不要因为“0带有正号”或“0没有负号”就把它当作正数；最小的正数、最大的负数也不存在． 辨析02　－a不一定是负数 字母前面的“－”只是表示取相反数，的符号由决定．例如当时，是正数，所以不能说“带负号的数就是负数”． 辨析03　无理数不是有理数，无限循环小数是有理数 π＝3.14159…是无限不循环小数，它不是有理数．而-0.1444…（循环节是4）是无限循环小数，能化成分数，属于负分数；0.1010010001…（依次增加一个0）不是循环小数，不是有理数． 辨析04　数轴的三要素缺一不可 画数轴必须同时具备原点、正方向、单位长度．只画一条带箭头的直线不算数轴；单位长度必须统一，不能忽长忽短． 辨析05　求相反数时“符号”要整体处理 求一个数的相反数，就是在这个数前面添上“－”号．如的相反数是；化简时，共有2个“－”号，结果为正数3． 辨析06　两个负数比较大小，绝对值大的反而小 比较两个负数，应先求它们的绝对值，绝对值大的数反而小．如比较与，因为，所以． 辨析07　减法要先转化为加法，再确定符号 计算时，应把减法化为加法：．常见错误是漏掉“减去负数等于加正数”这一步而算成． 辨析08　除法没有分配律 分配律只适用于“一个数乘两个数的和”，即．不能写成．但可以写成． 辨析09　（－2）的四次幂与－2的四次幂的意义不同 括号的作用是改变底数：的底数是-2，结果为16；-的底数是2，先算，再取相反数，结果为-16． 辨析10　科学记数法与近似数的精确度 科学记数法必须写成的形式，且1≤<10，不能写成．近似数1.8万中，“1.8”的最后一位“8”在千位上，所以它精确到千位，而不是十分位． 第五部分　高频考点（8大题型，先易后难） 【题型一】正负数与具有相反意义的量 【例1】（2026·湖南长沙·中考真题）如果水位升高3m时水位变化记作，那么水位下降2m时水位变化记作（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南株洲·期中）下列各组量中，不具有相反意义的是（　　） A．盈利200元与亏损100元　　B．向东走5m与向西走3m C．气温上升2℃与气温下降4℃　　D．身高增加2cm与体重减少1kg 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）某超市购进8箱苹果，以每箱20kg为标准，超过标准质量的千克数记为正数，不足的记为负数，记录如下：，，，0，，，，．求这8箱苹果的总质量． 【题型二】有理数的分类 【例1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）在，0，，2.5，，π，中，负整数的个数是（　　） A．1　　B．2　　C．3　　D．4 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南常德·期中）下列说法正确的是（　　） A．一个有理数不是正数就是负数　　B．0是最小的有理数 C．非负有理数就是正有理数　　D．整数和分数统称为有理数 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）把下列各数填在相应的集合内： 5，，1.4，，，0，， 正数集合：｛　　　　…｝　　　非负整数集合：｛　　　　…｝ 负分数集合：｛　　　　…｝　　有理数集合：｛　　　　…｝ 【题型三】数轴与有理数的表示 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点B在点A的右边，且与点A相距5个单位长度． （1）在数轴上标出原点O；（2）点B表示的数是________． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南郴州·期中）数轴上与表示的点相距3个单位长度的点表示的数是（　　） A．2　　B．　　C．2或　　D．1或 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南永州·期末）如图，数轴上点A表示，点B表示2． （1）A、B两点间的距离是________；（2）若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，则运动3秒后点P表示的数是________． 【题型四】相反数与倒数 【例1】（2026·湖南株洲·中考真题）的相反数是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）的倒数是（　　） A．1.5　　B．　　C．　　D． 【变式1-2】（2026·湖南常德·中考真题）化简下列各数： -(-5)＝________；-(+3)＝________；-[-(-2)]＝________． 【题型五】绝对值 【例1】（2026·湖南长沙·中考真题）的值是（　　） A．　　B．5　　C．　　D． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）若，则＝________；若，则＝________． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南益阳·期末）计算：． 【题型六】有理数的大小比较 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）在数轴上表示下列各数：，，0，2，3.5，并用“＜”把它们连接起来． 【变式1-1】（2026·湖南衡阳·中考真题）下列四个数中，最小的数是（　　） A．　　B．0　　C．　　D．2 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【题型七】有理数的加法与减法运算 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）计算：． 【变式1-1】（2026·湖南岳阳·中考真题）计算：． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南娄底·期中）某检修小组乘汽车沿东西方向的公路检修线路，约定向东为正，向西为负，某天从A地出发到收工时的行走记录（单位：km）为：，，，，，，． （1）收工时检修小组在A地的什么方向？距A地多少千米？ （2）若汽车每千米耗油0.15L，求从出发到收工共耗油多少升． 【题型八】有理数的乘除与乘方 【例1】（2026·湖南长沙·中考真题）计算的结果是（　　） A．　　B．8　　C．　　D．6 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南株洲·期中）计算：． 【变式1-2】（2026·湖南湘潭·中考真题）计算：． 第六部分　易错警示（3大题型） 【易错题型一】符号与绝对值化简致错 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）下列化简正确的是（　　） A．-(-3)＝-3　　B．-|3|＝3　　C．+(-5)＝-5　　D．-|-5|＝5 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南常德·期中）下列各式中，结果为负数的是（　　） A．-(-2)　　B．|-2|　　C．　　D．- 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）计算：． 【易错题型二】运算顺序与运算律致错 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）计算：． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南郴州·期末）小明在计算时，写成．他的做法对吗？若不对，请写出正确结果． 【易错题型三】科学记数法与近似数致错 【例1】（2026·湖南长沙·中考真题）2026年湖南省高考报名人数约为732000人，将732000用科学记数法表示为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【变式1-1】（2026·湖南株洲·中考真题）用科学记数法表示的数，其原数是（　　） A．3050　　B．30500　　C．305000　　D．0.000305 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）按要求取近似数： （1）3.14159精确到0.01是________；（2）2.995精确到十分位是________；（3）近似数1.8万精确到________位． 第七部分　重难点突破（5大题型） 【重难题型一】数轴上的距离与动点问题 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）如图，数轴上点A表示，点B表示2． （1）A、B两点间的距离是________； （2）若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒． ①当时，点P表示的数是________，点Q表示的数是________； ②运动几秒后，点P与点Q相遇？ 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）数轴上点M表示的数是，点N与点M相距8个单位长度，则点N表示的数是________． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南常德·期末）已知数轴上点A表示，点B表示5，点C是线段AB的中点，则点C表示的数是________． 【重难题型二】含绝对值的大小比较与化简 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）比较大小：________（填“＞”“＜”或“＝”）． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南株洲·期中）把，，，0，按从小到大的顺序排列． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）计算：． 【重难题型三】有理数的简便运算 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）用简便方法计算：． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）计算：． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）阅读并解答． 计算：． 解：原式的倒数是＝＝，所以原式＝． 请用上述“先求倒数再计算”的方法计算：． 【重难题型四】新定义运算与规律探究 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）规定一种新运算：．例如：． （1）计算；（2）计算． 【变式1-1】（2026·湖南岳阳·中考真题）观察下列算式：，，，，，，…．根据你发现的规律，的个位数字是（　　） A．2　　B．4　　C．6　　D．8 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）观察下列等式：；；；；… （1）＝________； （2）＝________． 【重难题型五】有理数的实际应用（温差·盈亏·误差） 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）某商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是本周每天的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：辆）： （1）本周销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售________辆； （2）本周实际销售总量是多少辆？ 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南常德·期中）某天长沙的最低气温为℃，最高气温为7℃，则这天的温差是________℃． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品10袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：g）：，，0，，， 袋数：1，2，3，2，1，1 （1）这10袋样品的总质量与标准质量相比，是多了还是少了？相差多少克？ （2）若每袋的标准质量为450g，则抽样检测的这10袋食品的总质量是多少克？ 第八部分　模型归纳（6大模型） 【模型一】数轴比较大小与排序模型 模型特征：给出几个有理数，要求用数轴上的点表示出来并按大小排序．解题要诀是“先画数轴、再标点、后比较”． 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）在数轴上表示下列各数，并把它们按从大到小的顺序排列：，，0，1.5，3． 【变式1-1】（2026·湖南株洲·中考真题）有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南益阳·期中）比较大小（用“＞”“＜”或“＝”填空）： （1）________；（2）________． 【模型二】绝对值与多重符号化简模型 模型特征：算式中含绝对值符号和多个括号嵌套的符号．解题要诀是“由内到外、逐一化简”，先算绝对值，再去括号看符号． 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）计算：． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）若，，且，则＝________，＝________． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南郴州·期末）计算：． 【模型三】有理数混合运算的顺序模型 模型特征：算式中同时含有乘方、乘除、加减和括号．解题要诀是“先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的”，同级运算从左到右． 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）计算：． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南常德·期中）计算：． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南益阳·期中）计算：． 【模型四】乘方与科学记数法模型 模型特征：考查乘方的符号法则或科学记数法的表示与还原．解题要诀是“看清底数、数清位数”． 【例1】（2026·湖南长沙·中考真题）计算的结果是（　　） A．　　B．2026　　C．　　D．1 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南株洲·期中）“五一”假期，湖南省共接待游客约32600000人次，将32600000用科学记数法表示为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）按要求解答： （1）下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？；． （2）比较大小：________． 【模型五】简便运算模型（凑整·分配律·倒数法） 模型特征：算式中的数据有明显的凑整特征或共同因数．解题要诀是“观察数字特点，选用合适的运算律”． 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）用简便方法计算：． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）计算：． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）计算：． 【模型六】有理数的实际应用模型 模型特征：以正负数表示升降、盈亏、误差等实际量．解题要诀是“先弄清每个正负数的实际意义，再求代数和或绝对值的和”． 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）某登山队5名队员以大本营为基准，向上海拔升高记为正，降低记为负，某天他们的高度变化（单位：m）为：，，，，． （1）这天结束时，登山队在大本营的上方还是下方？距离大本营多少米？ （2）若登山队每攀爬1m（不论上升还是下降）平均消耗氧气0.8L，则这天他们共消耗氧气多少升？ 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）某冷冻厂一个冷库的室温是℃，现有一批食品需要在℃下冷藏．如果冷库每小时降温6℃，那么降温________小时后能达到所需温度． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南常德·期末）某工厂生产的零件，规定长度标准为(50±0.5)mm．现抽查5个零件，测量结果（单位：mm）如下：50.2，49.6，50.5，49.3，50.0． （1）这5个零件中，哪些是合格品？ （2）合格的零件中，与标准长度相差最小的是第几个？ 学科网（北京）股份有限公司 $