第25章《一元二次方程》单元测试题 2026--2027学年人教版九年级数学上册

人教版数学九年级上册《一元二次方程》单元测试题 满分：120分　考试时间：90分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 若关于 x 的方程 (m2−1)x2+(m+1)x−3=0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是（　　） A. m≠1 B. m≠−1 C. m≠±1 D. m为任意实数用配方法解方程 3. ，配方结果正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知 a,b 是方程 x2+x−2025=0 的两个实数根，则 a2+2a+b 的值为（　　） A. 2024 B. 2025 C. −2024 D. −2025 5. 关于 的一元二次方程 有两个实数根，则 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 已知实数 a,b 满足 a2−3a+1=0， b2−3b+1=0，且 a≠b，则 + 的值为（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 某药品经过两次降价，每盒零售价由15元降为9元。设平均每次降价的百分率为 ，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 8. 一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感。设每轮传染中平均一个人传染了 人，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程 的一个根，则这个三角形的周长是（　　） A. 9 B. 11 C. 13 D. 11或13 10. 于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11. 已知 x1,x2 是方程 x2−3x−1=0 的两个根，则 x12+x22= __________ 12. 若关于 的方程 是一元二次方程，则 __________。 13. 若关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m=0 的两个实数根互为倒数，则 m= __________ 14. 关于 的一元二次方程 没有实数根，则 的取值范围是 ______。 15. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支。若主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出的小分支数目为 __________。 16. 参加足球比赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场，则共有 __________ 个队参加比赛。 三、解答题：本题共8小题，共72分。 17. 用适当的方法解下列方程（8分） (1) (2) 18. 已知关于 x 的一元二次方程 x2−(2m+1)x+m2+m=0。（8分） (1) 求证：无论 m 取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2) 若该方程的两个根 x1,x2 满足 x12+x22=13，求 m 的值。 19. 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根。（8分） (1) 求 的取值范围； (2) 若 x1+x2=x1x2−1，求 k 的值。 20. 某学校计划利用一片空地为学生建一个矩形车棚，其中一边靠墙，墙的长度为12米，另三边用总长为28米的木板材料围成。若使得车棚的面积为80平方米，求这个矩形车棚相邻两边的长。（8分） 21. 某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果。若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每上涨1元，则月销售量就减少10千克。已知这种水果的售价不得超过70元/千克。（10分） (1) 当售价为55元/千克时，每月可以销售该种水果多少千克？ (2) 当月利润为8750元时，每千克该种水果的售价为多少元？ 22. 某市参加健身运动的人数逐年增多，从2024年的30万人增加到2026年的43.2万人。（10分） (1) 求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2) 若保持这一增长率，预计2027年该市参加健身运动的人数将达到多少万人？ 23. 已知关于 x 的一元二次方程 x2−2mx+m2−4=0。 (1) 若该方程的两个根 x1,x2 满足 |x1−x2|=4，求 m 的值； (2) 是否存在实数 m，使得该方程的两个根 x1,x2 满足 x12+x22=20？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由。（10分） 24. 冬春季是传染病高发季节。据统计，去年冬春之交有2人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感。（10分） (1) 求每轮传染中平均一个人传染了多少人； (2) 若不及时控制，第三轮传染后患流感的共有多少人？ 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A A B A A B C D 二、填空题 11.　11 12.　-1 13.　1 14.　m > 15.　9 16.　10 五、解答题 17. (1)　x₁=4，x₂=-2 (2)　 x₁= ，x₂= 18.(1) 证明：Δ=[-(2m+1)]²-4·1·(m²+m) 　　=(4m²+4m+1)-(4m²+4m) 　　=1。 因为 Δ=1>0 恒成立，所以无论 m 取何值，该方程总有两个不相等的实数根。 (2) 解：由根与系数关系得 x₁+x₂=2m+1，x₁x₂=m²+m。 x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=(2m+1)²-2(m²+m)=2m²+2m+1。 令 2m²+2m+1=13，即 m²+m-6=0，(m+3)(m-2)=0， 解得 m₁=-3，m₂=2。 由(1)知 Δ=1>0 恒成立，两根总存在，故 m=-3 或 m=2 均符合题意。 19.(1) 解：由题意 Δ=(-4)²-4·1·k=16-4k>0，解得 k<4。 (2) 解：由根与系数关系得 x₁+x₂=4，x₁x₂=k。 由 x₁+x₂=x₁x₂-1，得 4=k-1，解得 k=5。 因为方程有两个不相等的实数根需满足 k<4，而 k=5>4，不符合条件，应舍去， 所以不存在满足条件的 k 值。 20.解：设垂直于墙的一边长为 x 米，则平行于墙的一边长为 (28-2x) 米。 由题意得 x(28-2x)=80， 整理得 x²-14x+40=0，即 (x-4)(x-10)=0， 解得 x₁=4，x₂=10。 当 x=4 时，平行于墙的边长为 28-2×4=20 米，因为墙长只有12米，20>12，不合题意，舍去； 当 x=10 时，平行于墙的边长为 28-2×10=8 米，8<12，符合题意。 答：这个矩形车棚相邻两边的长分别为10米和8米。 21.(1) 解：售价每上涨1元月销售量减少10千克，上涨 55-50=5 元，减少 10×5=50 千克， 所以每月销售量为 500-50=450（千克）。 答：售价为55元/千克时，每月可销售该种水果450千克。 (2) 解：设每千克该种水果的售价为 x 元（x≤70），则月销售量为 500-10(x-50)=(1000-10x) 千克， 每千克的利润为 (x-40) 元。 由题意得 (x-40)(1000-10x)=8750， 整理得 x²-140x+4875=0，即 (x-65)(x-75)=0， 解得 x₁=65，x₂=75。 因为售价不得超过70元/千克，所以 x=75 不合题意，舍去，取 x=65。 答：当月利润为8750元时，每千克该种水果的售价为65元。 22.(1) 解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为 x。 由题意得 30(1+x)²=43.2， 即 (1+x)²=1.44，开方得 1+x=±1.2， 解得 x₁=0.2=20%，x₂=-2.2（不合实际，舍去）。 答：年均增长率为20%。 (2) 解：43.2×(1+20%)=43.2×1.2=51.84（万人）。 答：预计2027年该市参加健身运动的人数将达到51.84万人。 23.(1) 解：Δ=(-2m)²-4·1·(m²-4)=4m²-4m²+16=16>0， 所以方程总有两个不相等的实数根，用求根公式得 x= =m±2，即 x₁=m+2，x₂=m-2。 于是 |x₁-x₂|=|(m+2)-(m-2)|=4，即对任意实数 m，|x₁-x₂|=4 恒成立。 答：m 为任意实数。 (2) 解：存在。由(1)得 x₁=m+2，x₂=m-2， x₁²+x₂²=(m+2)²+(m-2)²=(m²+4m+4)+(m²-4m+4)=2m²+8。 令 2m²+8=20，得 m²=6，解得 m=± 。 因为 Δ=16>0 恒成立，所以 m= 或 m=- 均符合题意。 答：存在这样的实数 m，m= 或 m=- 。 24.(1) 解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 人。 第一轮后共有 2+2x=2(1+x) 人患流感； 第二轮中这 2(1+x) 人每人又传染 x 人，共有 2(1+x)(1+x)=2(1+x)² 人患流感。 由题意得 2(1+x)²=128，即 (1+x)²=64，开方得 1+x=±8， 解得 x₁=7，x₂=-9（不合实际，舍去）。 答：每轮传染中平均一个人传染了7人。 (2) 解：第三轮传染后患流感人数为 128×(1+7)=128×8=1024（人）。 答：第三轮传染后患流感的共有1024人。 学科网（北京）股份有限公司 $