专题04 旋转（期中真题汇编，广东专用）九年级数学上学期

专题04 旋转 4大高频考点概览 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．（25-26九年级上·广东潮州·期中）定义：若以三条线段，，为边能构成一个直角三角形，则称线段，，是勾股线段组． (1)如图①，已知点，是线段上的点，线段，，是勾股线段组．若，，求的长； (2)如图②，中，，，边，的垂直平分线分别交于点，，求证：线段，，是勾股线段组； (3)如图③，在等边，为内一点，线段，，构成勾股线段组，为此线段组的最长线段，求的度数． 2．（25-26九年级上·广东潮州·期中）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点落在点处，则、两点间的距离为（    ）    A．3 B． C．5 D． 3．（25-26九年级上·广东潮州·期中）如图，△ABC中，将△ABC绕点A顺时针旋转40°后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠AC′C的度数为( ) A．50° B．60° C．70° D．80° 4．（25-26九年级上·广东潮州·期中）如图，已知正方形，点在边上，点在边的延长线上，且．以图中某一点为旋转中心，将按逆时针方向旋转一定角度后恰好与重合． (1)旋转中心是点____________，旋转角的度数为___________°． (2)判断的形状并说明理由． 5．（25-26九年级上·广东潮州·期中）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点B到x轴的距离为4，若将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标为__________． 6．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，，则的度数为（　　） A． B． C． D．71° 7．（25-26九年级上·广东东莞·期中）一个等边三角形绕其旋转中心至少旋转________度，才能与自身重合． 8．（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，，现将绕点顺时针旋转得到，连接，并且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，，，内部有一点，连接，，，求最小值________ 10．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)下列四边形一定是勾股四边形的有 ；（填序号） ①长方形；②平行四边形；③正方形 (2)如图，将绕顶点按顺时针方向旋转，得到，连接、、，，请判断四边形是否为勾股四边形，并说明理由； (3)如图，在四边形中，为等边三角形，，，，求的长． 11．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）如图，将边长为的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，与交于点，连接，那么点的坐标为（　  　） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）如图，在中，，将绕点O逆时针旋转得到，求线段的长． 13．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）如图，将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 14．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）如图，将绕点O逆时针旋转后得到，若，则的度数是______．      15．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）如图，中，，将逆时针旋转，得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（   ） A． B． C． D． 16．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点都在格点上，坐标分别为，， (1)画出△ABC关于原点O对称的； (2)将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，得到，写出点坐标 (3)在x轴上找一点P，使的和最小，求出P点坐标 17．（25-26九年级上·广东深圳龙华区·期中）如图所示，P是正方形内一点，且，，，以B为旋转中心，将按顺时针方向旋转至，边与边重合，则正方形的面积为_______． 18．（25-26九年级上·广东揭阳榕城区·期中）如图，正方形在平面直角坐标系中，其对角线，交于点B，，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 19．（25-26九年级上·广东清远英德·期中）在平面直角坐标系中，正方形如图所示，点的坐标，点的坐标是，则点的坐标是________．    20．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）如图，一个五角星图案，绕着它的中心O旋转，则旋转角至少为_________时，旋转后的五角星与自身重合． 21．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）如图，在中，，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段． (1)如图1，若，，则的度数为 ； (2)如图2，若，E为外的一点，，，判断的形状，并加以证明． (3)若将线段绕点B顺时针旋转得到线段，当C，D，E三点在同一条直线上时，求与的数量关系． 22．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)请在图中画出与关于原点中心对称的，并写出点的坐标； (2)请在图中画出与关于绕原点顺时针旋转的． 23．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，将绕点D逆时针旋转至，连接、，与交于点G，满足，若，则（    ） A． B． C． D． 24．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）如图，绕点逆时针旋转得到，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 25．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）综合与探究． 【问题情境】如图，将正方形的 边绕 点A 逆时针旋转到的位置（旋转角为，），连接，作的平分线，与射线相交于点P，与直线交下点F． 【特例分析]（1）如图1，当点 E 恰好落在正方形的对角线上时，旋转角为 ， 的度数为 °． 【深入探究】（2）如图2． ①判断的度数是否为定值，若是，求出的度数；若不是，请说明理由． ②求证：． 26．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）如图，在中，，，将它绕点沿顺时针方向旋转后得到．若点恰好落在线段上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 27．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）如图，在平面直角坐标系中，射线是第一象限的角平分线，线段，将绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束后，点B的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 28．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为___________． 29．（25-26九年级上·广东佛山南海区·期中）【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段、、之间的数量关系． 【问题初探】 （1）爱动脑筋的艾坤发现，通过证明____________，可以得到结论．请直接写出线段、、之间的数量关系_____________； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，在（2）的条件下，的两边分别与菱形的边和所在直线交于点E、F（点F与点C，D不重合），当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，请直接写出的长度． 考点02 中心对称及其性质 1．（25-26九年级上·广东潮州·期中）小明、王强两家所在的位置关于学校成中心对称，如果小明家距离学校，那么他们两家相距_________． 2．（25-26九年级上·广东东莞·期中）在如图所示的网格纸中，建立了平面直角坐标系，点，点，，． (1)以点P为对称中心，画出，使与关于点P对称，并写出下列点的坐标： ________， ________； (2)多边形的面积是__________． 3．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）如图，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于原点O对称的； (2)若四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标 ． 4．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知 三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出与关于原点对称的； (2)画出将绕点逆时针旋转后得到的． 考点03 中心对称图形 1．（25-26九年级上·广东潮州·期中）剪纸艺术是国家级第一批非物质文化遗产，下列图案中，是中心对称图形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（25-26九年级上·广东东莞·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）围棋是中华民族发明的博弈活动，下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）数学图形以其独特的结构、精确的线条和丰富的内涵展现出一种独特的美感．下列数学图形中，属于中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D． 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．（25-26九年级上·广东潮州·期中）已知和关于原点对称，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 2．（25-26九年级上·广东潮州·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是． (1)将以点O为旋转中心旋转，画出旋转后对应的，并写出点的坐标； (2)在轴上有一点，使得的值最小，请直接写出点的坐标． 3．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）点关于原点对称的点的坐标是__________． 4．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)画出关于原点成中心对称的； (2)画出关于原点顺时针旋转的，并写出、、的坐标． 5．（25-26九年级上·广东东莞·期中）平面直角坐标系内一点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___． 7．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）已知，，则点关于原点对称的点的坐标是（  ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________________． 9．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于原点中心对称，则的值为_______． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 旋转 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．【答案】(1)4或5 (2)证明：如图②，连结，， 边，的垂直平分线分别交于点，， ，， ，， ， ， ，，为勾股线段组， ，，为勾股线段组； (3) 【分析】（1）设，分两种情况：①若为直角边，②若为斜边，根据勾股定理列方程求解即可； （2）如图②，连结，，根据线段垂直平分线的性质得，，再根据三角形内角和定理求出，进而即可解决问题； （3）如图③，将绕点逆时针旋转得到，得是等边三角形，，证明，进而即可解决问题． 【详解】（1），， ， 设， ①若为直角边， ， ； ②若为斜边， ， ， 或5； （2）略 （3）解：如图③，将绕点逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， ，，为勾股线段组，，， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，旋转的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 2．D 3．【答案】C 【详解】解：根据旋转的性质可得：∠C′AC=40°，△AC′C为等腰三角形， 则∠AC′C=(180°－40°)÷2=70°. 故选：C． 考点：旋转图形的性质 4．【答案】(1)； (2) 是等腰直角三角形，理由如下： ∵与重合， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【分析】（1）由旋转的定义可直接求解； （2）由旋转的性质可得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵将按逆时针方向旋转一定角度后恰好与重合， 又∵四边形是正方形， ∴，， ∴旋转中心是点，旋转角的度数为． 故答案为：；． （2）略 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质．掌握旋转的性质是解题的关键． 5． 6．D 7．【答案】120 【分析】本题考查了旋转对称图形的概念，把一个图形绕着一个点旋转一个角度后，与初始图形重合，这个图形就叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，也考查了等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 【详解】解：等边三角形的三个角完全相同，旋转时，只要使下一个角对准原角，就能重合，且， 一个等边三角形绕其旋转中心至少旋转，才能与自身重合， 故答案为：120． 8．C 9．【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 将绕点C顺时针旋转得到，连接，，证明出是等边三角形，得到，得到当P，在直线上时，的值最小，然后利用勾股定理求出的长即可解决问题． 【详解】解：将绕点C顺时针旋转得到，连接，． 由旋转的性质可知：，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴当P，在直线上时，的值最小， ∵， ∴． ∴的最小值为， 故答案为：． 10．(1)①③ (2) 由旋转得：， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， 即四边形是勾股四边形； (3) 11．A 12．【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理和旋转的性质．根据勾股定理和旋转的性质即可得到结论． 【详解】解：在中，， ∴， ∵将绕点O逆时针旋转得到， ∴． 13．【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，即可求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转一定的角度得到， ， ， 故选：B． 14．#(度 15．【答案】A 【分析】本题考查了几何—旋转问题，掌握旋转的性质是关键． 根据旋转可得，再结合旋转角即可求解． 【详解】解：由旋转性质可得：，， ∵， ∴，， ∴， 故选：A． 16．(1) 如图，即为所求； (2) 如图，即为所求，． (3) 17．【答案】5 【分析】根据旋转的性质得到，，然后根据勾股定理的逆定理可求，根据等腰直角三角形的性质可求，从而求出，再求得点共线，作于点，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵将按顺时针方向绕旋转得到，， ∴，， ∴； ∵将按顺时针方向绕旋转得到，， ∴，， 又，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点共线， 作于点， ∵，，， ∴，， ∴， ∴正方形的面积为， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理等知识，掌握旋转的性质是解题的关键． 18．D 19．【答案】 【分析】由全等三角形的判定得到，再利用全等三角形的性质得到即可解答． 【详解】解：作轴，轴于点，与交于点， ∵点的坐标，点的坐标是， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点， 故答案为．    【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，正确添加辅助线是解题的关键． 20．【答案】#H度 【分析】根据五角星图案被分成相同的五份，用圆心角除以5即可得到最小旋转度数，即可得到答案； 【详解】解：由图形可得， 五角星图案被分成相同的五份， ∴， ∴只要是旋转的整数倍都可以与原图形重合， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 21．【答案】(1) (2) 为等边三角形，证明如下： 连接，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形． (3)或 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上性质并分类讨论点C与点D的位置是解决本题的关键． （1）由，，可得，再结合，即即可求解的度数； （2）先由边角边的方法证明与全等，再可得，再结合，可证明为等边三角形． （3）分两种情况，当点C在之间时，当点D在之间时，由全等三角形的性质及等边三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）解：或，理由如下： 当点C在之间时，如图： ∵将线段也绕点B顺时针旋转得到线段，将线段绕点逆时针旋转得到线段. ∴，，， ∴， 且， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在之间时，如图， 同理可得：， 且同理可得， ∴， ∴. 综上所述：或． 22．(1) 解： 如图，即为所求，． (2)解： 如图，即为所求． 23．【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质，连接，由正方形的性质可得，，垂直平分，证明出，由旋转的性质可得，，证明为等边三角形，得出，，再由三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， ∵四边形是正方形， ∴，，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 24．A 25．【答案】（1），； （2）的度数为定值， 证明：连接，， 由得，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴； 【分析】（）由四边形是正方形，得，，由旋转性质可知，，故有，然后根据外角性质即可求解； （）同（）理，通过三角形的外角性质即可求解； 连接，，证明，则有，，最后通过勾股定理得出，，然后代入即可求证； 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵当点 E 恰好落在正方形的对角线上时 ∴由旋转性质可知：，， ∴在中，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）的度数为定值，，过程如下： ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转性质可知：，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 略 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，等边对等角等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 26．【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由旋转的性质可知，，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可知：， ∴， ∴， ∴旋转角的度数是， 故选：D． 27．B 28．4 29．（1），，； （2），理由如下； 如图2，取的中点T，连接， ∵四边形为的菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ， ， ， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）或 考点02 中心对称及其性质 1．【答案】##米 【分析】本题考查了中线对称的性质，掌握中线对称的性质是解题的关键． 根据中心对称得到小强家距离学校也是，由两点之间的距离的计算即可求解． 【详解】解：∵小明、王强两家所在的位置关于学校成中心对称，小明家距离学校， ∴小强家距离学校也是， ∴他们两家相距， 故答案为： ． 2．(1), (2)28 3．【答案】(1) 如图，即为所求． (2) 【分析】本题考查了画中心对称图形，平行四边形的判定，写出平面直角坐标系中点的坐标； （1）根据中心对称的性质找到的对应点，顺次连接，即可求解． （2）结合平行四边形的判定方法画出图形，再写出点D的坐标即可． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴四边形是平行四边形， ∴点D的坐标为． 故答案为：． 4．(1) 如图，即为所求； (2) 如图，即为所求． 考点03 中心对称图形 1．【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】 解：不是中心对称图形；是中心对称图形； 是中心对称图形；不是中心对称图形； 是中心对称图形的有2个， 故选：B ． 2．B 3．【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 4．【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的概念；根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 5．【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是中心对称图形，故C不符合题意； D．是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 6．【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，解决本题的关键是熟练掌握中心对称图形的概念． 根据中心对称图形的概念，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，将图形绕着某个点旋转，旋转后的图形不能与原来的图形重合，不是中心对称图形； B选项，将图形绕着某个点旋转，旋转后的图形不能与原来的图形重合，不是中心对称图形； C选项，将图形绕着某个点旋转，旋转后的图形能与原来的图形重合，是中心对称图形； D选项，将图形绕着某个点旋转，旋转后的图形不能与原来的图形重合，不是中心对称图形． 故选：C ． 7．A 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．A 2．【答案】(1) 如图所示，即为所求： 点的坐标为： (2) 【分析】本题考查了中心对称以及两点之间线段最短等知识点，熟记相关结论即可． （1）关于原点对称的两点，其横、纵坐标均互为相反数，据此即可完成作图； （2）作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示：作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点， 由图可知：点的坐标为： 3． 4．(1) 解：如图所示，为所求 (2) 解：如图所示，为所求 ，， 5．A 6．【答案】 【详解】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，掌握关于原点对称的点的坐标横、纵坐标互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标互为相反数即可求解． 解：点关于原点对称的点的坐标是(， 故答案为：． 7．【答案】B 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．利用非负数的性质求出和的值，再根据关于原点对称的点的坐标特征求解． 【详解】解：∵， 且，， ∴且， ∴，， ∴点的坐标为． 点关于原点对称的点的坐标为． 故选：B． 8．【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标．根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 9．【答案】 【分析】本题考查了坐标平面内的中心对称，关于原点中心对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数． 根据关于原点成中心对称的特点求出，，代入计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 旋转 4大高频考点概览 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．（25-26九年级上·广东潮州·期中）定义：若以三条线段，，为边能构成一个直角三角形，则称线段，，是勾股线段组． (1)如图①，已知点，是线段上的点，线段，，是勾股线段组．若，，求的长； (2)如图②，中，，，边，的垂直平分线分别交于点，，求证：线段，，是勾股线段组； (3)如图③，在等边，为内一点，线段，，构成勾股线段组，为此线段组的最长线段，求的度数． 【答案】(1)4或5 (2)证明：如图②，连结，， 边，的垂直平分线分别交于点，， ，， ，， ， ， ，，为勾股线段组， ，，为勾股线段组； (3) 【分析】（1）设，分两种情况：①若为直角边，②若为斜边，根据勾股定理列方程求解即可； （2）如图②，连结，，根据线段垂直平分线的性质得，，再根据三角形内角和定理求出，进而即可解决问题； （3）如图③，将绕点逆时针旋转得到，得是等边三角形，，证明，进而即可解决问题． 【详解】（1），， ， 设， ①若为直角边， ， ； ②若为斜边， ， ， 或5； （2）略 （3）解：如图③，将绕点逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， ，，为勾股线段组，，， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，旋转的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 2．（25-26九年级上·广东潮州·期中）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点落在点处，则、两点间的距离为（    ）    A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】通过勾股定理计算出长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用勾股定理求出B、D两点间的距离． 【详解】解：连接．    ∵在中，， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转，使点C落在线段上的点E处，点B落在点D处， ∴， ∴， 在中， ． 故选：D． 【点睛】题目考查勾股定理和旋转的基本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性质． 3．（25-26九年级上·广东潮州·期中）如图，△ABC中，将△ABC绕点A顺时针旋转40°后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠AC′C的度数为( ) A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】C 【详解】解：根据旋转的性质可得：∠C′AC=40°，△AC′C为等腰三角形， 则∠AC′C=(180°－40°)÷2=70°. 故选：C． 考点：旋转图形的性质 4．（25-26九年级上·广东潮州·期中）如图，已知正方形，点在边上，点在边的延长线上，且．以图中某一点为旋转中心，将按逆时针方向旋转一定角度后恰好与重合． (1)旋转中心是点____________，旋转角的度数为___________°． (2)判断的形状并说明理由． 【答案】(1)； (2) 是等腰直角三角形，理由如下： ∵与重合， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【分析】（1）由旋转的定义可直接求解； （2）由旋转的性质可得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵将按逆时针方向旋转一定角度后恰好与重合， 又∵四边形是正方形， ∴，， ∴旋转中心是点，旋转角的度数为． 故答案为：；． （2）略 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质．掌握旋转的性质是解题的关键． 5．（25-26九年级上·广东潮州·期中）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点B到x轴的距离为4，若将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】过B作于，过作轴于，构建，即可得出答案． 【详解】过B作于，过作轴于， ∴， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质以及如何构造全等三角形求得线段的长度，准确构造全等三角形求得线段长度是解题的关键． 6．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，，则的度数为（　　） A． B． C． D．71° 【答案】D 【分析】根据旋转的性质可得，可以判断出是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的外角定理可求出，再根据旋转的性质可得． 【详解】∵绕直角顶点顺时针旋转，得到， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， 由旋转性质可得， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和的性质，铭记各性质并准确识图是解题关键． 7．（25-26九年级上·广东东莞·期中）一个等边三角形绕其旋转中心至少旋转________度，才能与自身重合． 【答案】120 【分析】本题考查了旋转对称图形的概念，把一个图形绕着一个点旋转一个角度后，与初始图形重合，这个图形就叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，也考查了等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 【详解】解：等边三角形的三个角完全相同，旋转时，只要使下一个角对准原角，就能重合，且， 一个等边三角形绕其旋转中心至少旋转，才能与自身重合， 故答案为：120． 8．（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，，现将绕点顺时针旋转得到，连接，并且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理的逆定理及其应用问题；连接．首先证明，然后证明，得到，进而得到，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接．由题意得： ，，， ∴，； ∵，， ∴， ∴，， 故选：C． 9．（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，，，内部有一点，连接，，，求最小值________ 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 将绕点C顺时针旋转得到，连接，，证明出是等边三角形，得到，得到当P，在直线上时，的值最小，然后利用勾股定理求出的长即可解决问题． 【详解】解：将绕点C顺时针旋转得到，连接，． 由旋转的性质可知：，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴当P，在直线上时，的值最小， ∵， ∴． ∴的最小值为， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)下列四边形一定是勾股四边形的有 ；（填序号） ①长方形；②平行四边形；③正方形 (2)如图，将绕顶点按顺时针方向旋转，得到，连接、、，，请判断四边形是否为勾股四边形，并说明理由； (3)如图，在四边形中，为等边三角形，，，，求的长． 【答案】(1)①③ (2) 由旋转得：， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， 即四边形是勾股四边形； (3) 【分析】本题主要考查了勾股四边形的定义、旋转的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理及其逆定理，解题的关键是能理解勾股四边形的定义． （1）直接利用勾股四边形的定义得出答案； （2）证明是等边三角形，是直角，进而可证明四边形是勾股四边形； （3）将绕顶点按逆时针方向旋转，使点与点重合，得到，证明为直角三角形，得出，即，代入和的长度即可解答． 【详解】（1）解：长方形和正方形的四个角都是直角，相邻两边的平方和等于对角线的平方， 长方形和正方形是勾股四边形； 故答案为：①③； （2）略 （3）如图3，将绕顶点按逆时针方向旋转，使点与点重合，得到， ，，， 是等边三角形， ， 为直角三角形， ， 即， ， 即． 11．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）如图，将边长为的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，与交于点，连接，那么点的坐标为（　  　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的性质，由旋转的性质找准旋转角，熟练掌握全等三角形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 由正方形和旋转的性质得，，然后证明，得，再利用含角的直角三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是边长为2的正方形，正方形绕点顺时针旋转得到正方形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵将边长为的正方形绕点顺时针旋转， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：A． 12．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）如图，在中，，将绕点O逆时针旋转得到，求线段的长． 【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理和旋转的性质．根据勾股定理和旋转的性质即可得到结论． 【详解】解：在中，， ∴， ∵将绕点O逆时针旋转得到， ∴． 13．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）如图，将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，即可求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转一定的角度得到， ， ， 故选：B． 14．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）如图，将绕点O逆时针旋转后得到，若，则的度数是______．      【答案】##40度 【分析】本题主要考查了旋转的性质．根据将绕点O按逆时针方向旋转后得到，可得，进一步计算即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点O按逆时针方向旋转后得到， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）如图，中，，将逆时针旋转，得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何—旋转问题，掌握旋转的性质是关键． 根据旋转可得，再结合旋转角即可求解． 【详解】解：由旋转性质可得：，， ∵， ∴，， ∴， 故选：A． 16．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点都在格点上，坐标分别为，， (1)画出△ABC关于原点O对称的； (2)将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，得到，写出点坐标 (3)在x轴上找一点P，使的和最小，求出P点坐标 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，即为所求，． (3) 【分析】本题主要考查中心对称作图，旋转变换作图，轴对称作图，求一次函数解析式． （1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案； （3）作点B关于轴的对称点，再连接与轴的交点即为所求点P．再利用一次函数解析式求点坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）作点B关于轴的对称点，再连接与轴的交点即为所求点P， 由题意可得，， 设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为， 令得， ∴． 17．（25-26九年级上·广东深圳龙华区·期中）如图所示，P是正方形内一点，且，，，以B为旋转中心，将按顺时针方向旋转至，边与边重合，则正方形的面积为_______． 【答案】5 【分析】根据旋转的性质得到，，然后根据勾股定理的逆定理可求，根据等腰直角三角形的性质可求，从而求出，再求得点共线，作于点，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵将按顺时针方向绕旋转得到，， ∴，， ∴； ∵将按顺时针方向绕旋转得到，， ∴，， 又，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点共线， 作于点， ∵，，， ∴，， ∴， ∴正方形的面积为， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理等知识，掌握旋转的性质是解题的关键． 18．（25-26九年级上·广东揭阳榕城区·期中）如图，正方形在平面直角坐标系中，其对角线，交于点B，，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，坐标与图形，根据正方形的性质可得，，根据勾股定理即可求得的长，从而得出点C的坐标． 【详解】解：四边形是正方形， 对角线，互相垂直平分， ，， ， 点C的坐标为， 故选：D． 19．（25-26九年级上·广东清远英德·期中）在平面直角坐标系中，正方形如图所示，点的坐标，点的坐标是，则点的坐标是________．    【答案】 【分析】由全等三角形的判定得到，再利用全等三角形的性质得到即可解答． 【详解】解：作轴，轴于点，与交于点， ∵点的坐标，点的坐标是， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点， 故答案为．    【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，正确添加辅助线是解题的关键． 20．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）如图，一个五角星图案，绕着它的中心O旋转，则旋转角至少为_________时，旋转后的五角星与自身重合． 【答案】##72度 【分析】根据五角星图案被分成相同的五份，用圆心角除以5即可得到最小旋转度数，即可得到答案； 【详解】解：由图形可得， 五角星图案被分成相同的五份， ∴， ∴只要是旋转的整数倍都可以与原图形重合， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 21．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）如图，在中，，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段． (1)如图1，若，，则的度数为 ； (2)如图2，若，E为外的一点，，，判断的形状，并加以证明． (3)若将线段绕点B顺时针旋转得到线段，当C，D，E三点在同一条直线上时，求与的数量关系． 【答案】(1) (2) 为等边三角形，证明如下： 连接，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形． (3)或 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上性质并分类讨论点C与点D的位置是解决本题的关键． （1）由，，可得，再结合，即即可求解的度数； （2）先由边角边的方法证明与全等，再可得，再结合，可证明为等边三角形． （3）分两种情况，当点C在之间时，当点D在之间时，由全等三角形的性质及等边三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）解：或，理由如下： 当点C在之间时，如图： ∵将线段也绕点B顺时针旋转得到线段，将线段绕点逆时针旋转得到线段. ∴，，， ∴， 且， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在之间时，如图， 同理可得：， 且同理可得， ∴， ∴. 综上所述：或． 22．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)请在图中画出与关于原点中心对称的，并写出点的坐标； (2)请在图中画出与关于绕原点顺时针旋转的． 【答案】(1) 解： 如图，即为所求，． (2)解： 如图，即为所求． 【分析】本题考查作图-旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 23．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，将绕点D逆时针旋转至，连接、，与交于点G，满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质，连接，由正方形的性质可得，，垂直平分，证明出，由旋转的性质可得，，证明为等边三角形，得出，，再由三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， ∵四边形是正方形， ∴，，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 24．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）如图，绕点逆时针旋转得到，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形的旋转问题．根据旋转的性质可得，，再由三角形内角和定理可得的度数，即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∴． 故选：A 25．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）综合与探究． 【问题情境】如图，将正方形的 边绕 点A 逆时针旋转到的位置（旋转角为，），连接，作的平分线，与射线相交于点P，与直线交下点F． 【特例分析]（1）如图1，当点 E 恰好落在正方形的对角线上时，旋转角为 ， 的度数为 °． 【深入探究】（2）如图2． ①判断的度数是否为定值，若是，求出的度数；若不是，请说明理由． ②求证：． 【答案】（1），； （2）的度数为定值， 证明：连接，， 由得，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴； 【分析】（）由四边形是正方形，得，，由旋转性质可知，，故有，然后根据外角性质即可求解； （）同（）理，通过三角形的外角性质即可求解； 连接，，证明，则有，，最后通过勾股定理得出，，然后代入即可求证； 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵当点 E 恰好落在正方形的对角线上时 ∴由旋转性质可知：，， ∴在中，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）的度数为定值，，过程如下： ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转性质可知：，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 略 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，等边对等角等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 26．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）如图，在中，，，将它绕点沿顺时针方向旋转后得到．若点恰好落在线段上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由旋转的性质可知，，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可知：， ∴， ∴， ∴旋转角的度数是， 故选：D． 27．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）如图，在平面直角坐标系中，射线是第一象限的角平分线，线段，将绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束后，点B的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转及探索图形规律．根据题意和角平分线的性质，即可得到B点的坐标，根据旋转的规律即可得到旋转后B的坐标，找到规律，即可求解．找到旋转的规律是解题的关键． 【详解】∵射线是第一象限的角平分线，， ∴设点，则， ∴，（不合题意舍去） ∴， 由题意得：第一次旋转后点对应点的坐标为， 第二次旋转后点对应点的坐标为， 第三次旋转后点对应点的坐标为， 第四次旋转后点对应点的坐标为， 第五次旋转后点对应点的坐标为， 第六次旋转后点对应点的坐标为， 第七次旋转后点对应点的坐标为， 第八次旋转后点对应点的坐标为， ∴第八次旋转后与原来点B重合， ∴每8次一个循环， ， ∴第次旋转结束后，点对应点的坐标与第一次的坐标相同为． 故选：B． 28．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为___________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，过点作于H，由旋转的性质可得，则可求出，再根据图形面积之间的关系可证明，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于H， 由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 29．（25-26九年级上·广东佛山南海区·期中）【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段、、之间的数量关系． 【问题初探】 （1）爱动脑筋的艾坤发现，通过证明____________，可以得到结论．请直接写出线段、、之间的数量关系_____________； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，在（2）的条件下，的两边分别与菱形的边和所在直线交于点E、F（点F与点C，D不重合），当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，请直接写出的长度． 【答案】（1），，； （2），理由如下； 如图2，取的中点T，连接， ∵四边形为的菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ， ， ， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）或 【分析】（1）由正方形，可得，，证明，则，进而可得； （2）如图2，取的中点T，连接，由四边形为的菱形，可得，，证明是等边三角形，是等边三角形，证明，则，； （3）由题意知，分靠近点B，靠近点D，两种情况求解；①当点P靠近点B时，过点A作于H，连接，作交于G．由（2）可知，是等边三角形，证明是等边 三角形，，由勾股定理得，，由勾股定理得，，则，由（2）可知，，则，根据，求解作答；②当点P靠近点D时，同理①，求解作答即可． 【详解】（1）解：，， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）略 （3）解：由题意知，分靠近点B，靠近点D，两种情况求解； ①当点P靠近点B，与线段交于点F时，如图，过点A作于H，连接，作交于G． 由（2）可知，是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形，则， ∴，即， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 由勾股定理得，， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∴； 当点P靠近点B，与延长线交于点F时， 同理：； ②当点P靠近点D时，与线段交于点F时，如图， 同理①，可得，， ∵， ∴； 当点P靠近点D，与延长线交于点F时， 同理：； 综上所述，满足条件的的长度为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 考点02 中心对称及其性质 1．（25-26九年级上·广东潮州·期中）小明、王强两家所在的位置关于学校成中心对称，如果小明家距离学校，那么他们两家相距_________． 【答案】##米 【分析】本题考查了中线对称的性质，掌握中线对称的性质是解题的关键． 根据中心对称得到小强家距离学校也是，由两点之间的距离的计算即可求解． 【详解】解：∵小明、王强两家所在的位置关于学校成中心对称，小明家距离学校， ∴小强家距离学校也是， ∴他们两家相距， 故答案为： ． 2．（25-26九年级上·广东东莞·期中）在如图所示的网格纸中，建立了平面直角坐标系，点，点，，． (1)以点P为对称中心，画出，使与关于点P对称，并写出下列点的坐标： ________， ________； (2)多边形的面积是__________． 【答案】(1), (2)28 【分析】（1）分别作出各点关于点P的对称点，再顺次连接即可； （2）利用即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求 ，； （2）如图， ∴′ ． 故答案为，，28． 【点睛】本题考查中心对称，勾股定理等知识，根据中心对称的定义正确作图是解题的关键． 3．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）如图，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于原点O对称的； (2)若四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标 ． 【答案】(1) 如图，即为所求． (2) 【分析】本题考查了画中心对称图形，平行四边形的判定，写出平面直角坐标系中点的坐标； （1）根据中心对称的性质找到的对应点，顺次连接，即可求解． （2）结合平行四边形的判定方法画出图形，再写出点D的坐标即可． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴四边形是平行四边形， ∴点D的坐标为． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知 三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出与关于原点对称的； (2)画出将绕点逆时针旋转后得到的． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，即为所求． 【分析】本题考查了旋转作图和中心对称作图，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先画出三角形各顶点关于原点的对称点，然后顺次连接即可； （2）先画出，绕点逆时针旋转后的对应点，然后顺次连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 考点03 中心对称图形 1．（25-26九年级上·广东潮州·期中）剪纸艺术是国家级第一批非物质文化遗产，下列图案中，是中心对称图形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】 解：不是中心对称图形；是中心对称图形； 是中心对称图形；不是中心对称图形； 是中心对称图形的有2个， 故选：B ． 2．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解是解决问题的关键． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 3．（25-26九年级上·广东东莞·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 4．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）围棋是中华民族发明的博弈活动，下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的概念；根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 5．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是中心对称图形，故C不符合题意； D．是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 6．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）数学图形以其独特的结构、精确的线条和丰富的内涵展现出一种独特的美感．下列数学图形中，属于中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，解决本题的关键是熟练掌握中心对称图形的概念． 根据中心对称图形的概念，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，将图形绕着某个点旋转，旋转后的图形不能与原来的图形重合，不是中心对称图形； B选项，将图形绕着某个点旋转，旋转后的图形不能与原来的图形重合，不是中心对称图形； C选项，将图形绕着某个点旋转，旋转后的图形能与原来的图形重合，是中心对称图形； D选项，将图形绕着某个点旋转，旋转后的图形不能与原来的图形重合，不是中心对称图形． 故选：C ． 7．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D． 【答案】A 【分析】根据中心对称图形的概念：一个图形如果绕某个点旋转180度后能与原图形完全重合的图形；由此问题可求解． 【详解】解：选项中符合中心对称图形的只有A选项； 故选A． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．（25-26九年级上·广东潮州·期中）已知和关于原点对称，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了关于原点对称的两个点的坐标特点和代数式的求值问题．首先根据关于原点对称的两个点的坐标特点求出a和b的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵和关于原点对称， ∴， ∴． 故选：A． 2．（25-26九年级上·广东潮州·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是． (1)将以点O为旋转中心旋转，画出旋转后对应的，并写出点的坐标； (2)在轴上有一点，使得的值最小，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) 如图所示，即为所求： 点的坐标为： (2) 【分析】本题考查了中心对称以及两点之间线段最短等知识点，熟记相关结论即可． （1）关于原点对称的两点，其横、纵坐标均互为相反数，据此即可完成作图； （2）作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示：作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点， 由图可知：点的坐标为： 3．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）点关于原点对称的点的坐标是__________． 【答案】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，掌握关于原点对称点坐标的性质是解题关键．根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数． 【详解】点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)画出关于原点成中心对称的； (2)画出关于原点顺时针旋转的，并写出、、的坐标． 【答案】(1) 解：如图所示，为所求 (2) 解：如图所示，为所求 ，， 【分析】本题考查中心对称作图和旋转作图等知识，正确作图是解题的关键． （1）根据关于原点对称的点的特征先找出原三角形三个顶点的对称点，再连线即可； （2）先找出原三角形三个顶点绕原点顺时针旋转的对应点，再连线即可． 【详解】（1）略 （2）略 5．（25-26九年级上·广东东莞·期中）平面直角坐标系内一点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．根据关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数． 【详解】解：点关于坐标原点对称点的坐标是． 故选：A． 6．（25-26九年级上·广东广州花都区·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___． 【答案】 【详解】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，掌握关于原点对称的点的坐标横、纵坐标互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标互为相反数即可求解． 解：点关于原点对称的点的坐标是(， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）已知，，则点关于原点对称的点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．利用非负数的性质求出和的值，再根据关于原点对称的点的坐标特征求解． 【详解】解：∵， 且，， ∴且， ∴，， ∴点的坐标为． 点关于原点对称的点的坐标为． 故选：B． 8．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________________． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标．根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·广东云浮罗定·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于原点中心对称，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标平面内的中心对称，关于原点中心对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数． 根据关于原点成中心对称的特点求出，，代入计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $