第15章轴对称单元测试卷 2026-2027学年人教版数学八年级上册

2026-2027学年人教版八年级上册单元测试卷（解析版） 第15章 轴对称 【新教材人教版】 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（26-27八年级上·天津·期中）点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】坐标系中的对称 【详解】解：∵关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数， ∴点关于轴对称的点的坐标为． 2．（2026·浙江·二模）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 3．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）等腰三角形的一个外角是，则它的顶角的度数为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】分外角为顶角的外角、底角的外角两种情况讨论，结合三角形内角和舍去不成立的情况，求解顶角度数． 【详解】解：若是等腰三角形顶角的外角，则顶角的度数为． 若是等腰三角形底角的外角，则底角的度数为，两底角和为，不符合三角形内角和，舍去． 综上，顶角的度数为． 4．（25-26八年级上·山西晋城·阶段检测）如图，在中，的平分线交于点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．点一定在的垂直平分线上 D．是轴对称图形 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的定义、垂直平分线的判定及轴对称图形的概念，解题关键是利用等腰三角形的性质推导各角的度数和线段关系． 先由得；再由平分得，推导各角、线段关系，结合垂直平分线判定、轴对称图形定义分析选项即可． 【详解】解：， ， 平分， ， ， 故A选项正确； ， ， 点在的垂直平分线上， 故C选项正确； ， 是等腰三角形， 是轴对称图形， 故D选项正确； 在中 ， 又， ， 故B选项不正确． 故选B． 5 ．（25-26八年级上·辽宁大连·期中 如图，在中，，，，且．下列结论：①是等边三角形；②；③．其中正确的有（  ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、三线合一、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定，等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握以上性质． 根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，求出相关角的度数，根据有两个内角为的三角形是等边三角形，然后利用同位角相等，得出两直线平行． 【详解】解：因为，， 所以． 因为， 所以， 又因为， 所以，． 所以， 所以是等边三角形，故①③正确． 因为， 所以， 所以，故②正确． 综上，正确选项为①②③， 故选：D． 6．14．（25-26八年级下·江西抚州·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等边对等角 【分析】连接，由等边对等角得出，由三角形内角和定理得出，由线段垂直平分线的性质可得，从而可得，求出，再由直角三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：连接，如图： ， ， ， 为的垂直平分线， ， ， 在中，， ， ， ∵， ， 7．（26-27八年级上·江苏南京·单元测试）如图，在中，是的垂直平分线，且，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角度的四则运算、三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】设的度数为，根据垂直平分线性质得，则，根据三角形外角性质得，再根据得，然后根据得，最后由三角形内角和定理得，由此解出即可得出答案． 【详解】解：设的度数为， 是的垂直平分线， ， ． ． ， ． 又， ． 在中，由三角形内角和定理得：， ，解得， 的度数为． 8．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点M，这两条垂直平分线分别交于点D，E，连接，，，，，已知的周长为7，的周长为15，则的长为（     ） A．3 B．3.5 C．4 D．6 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】根据中垂线的性质，结合三角形的周长公式，推出，，即可得出结果. 【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点M，这两条垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∵的周长为7，的周长为15， ∴， ∴. 9．（25-26八年级下·辽宁丹东·期末）如图，等边，，与交于点D，于点E，若，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】根据等边三角形的性质，结合，可以证出，从而得到．利用等量代换和外角的性质，求得．根据直角三角形的性质，得到，代入的值，求出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，是的平分线，于点，连接，交于点，则图中的等腰三角形有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、找出图中的等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，掌握等角对等边的性质是解题的关键． 先计算各角的度数，利用角平分线性质、全等三角形判定，结合等角对等边逐一判定等腰三角形的个数． 【详解】解：在中，， 是的平分线， 是角平分线，，∴点到和的距离相等，即，∴是等腰三角形； 在和中，，，是等腰三角形； 在中，，是等腰三角形； 在中，且，是等边三角形，， 在中，，，是等腰三角形； 综上所述，图中的等腰三角形有△BDE、△ABE、△ACD、△BEC，共4个． 故选：C． 评卷人 得分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，中，的垂直平分线交于点，垂足为，若，，则的度数是______ ． 【答案】/度 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，进而得到，结合，即可求解． 【详解】解：的垂直平分线交于点，垂足为， ， ， ， ． 12．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，是边上的中线，以为斜边在右侧作等腰，求的度数． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、三线合一、等边三角形的判定和性质 【分析】根据等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及“三线合一”即可求得结果． 【详解】解：，， 是等边三角形， 是边上的中线， ， 是等腰直角三角形， ， ． 13．（25-26七年级下·河南洛阳·期末）如图，，点P是内的一点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，则________． 【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【详解】如图， ∵点P是内的一点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为， ∴． 14．（26-27八年级上·内蒙古·单元测试）如图，为的边上一点，且，平分，与相交于点，．若，，则的长为_________________． 【答案】1 【知识点】三线合一、根据等角对等边求边长 【分析】由等腰三角形的性质得，再由，可得，则，即可求解． 【详解】解：平分，， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴． 15．（25-26八年级上·天津西青·期中）如图，把等边沿着折叠，使点A恰好落在边上的点P处，且，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形折叠中的角度问题、等边三角形的性质、折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换-折叠问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．由折叠的性质得出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵把等边沿着折叠，使点A恰好落在边上的点P处， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 16．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在中，，，点、、分别是边、边、边上的动点，连接、、，使，若是等腰三角形，那么的度数为____________． 【答案】或或． 【分析】分三种情况：当时，再根据等边对等角得，进而求出，然后根据，可得；当时，当时，仿照上述解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 分三种情况：当时， ∴， ∴． ∵， ∴； 当时， ∴， ∴． ∵， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 所以的度数为或或． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（26-27八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，为的垂直平分线，求证：． 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边对等角 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，确定，，再利用直角三角形的性质，证明即可． 【详解】证明：如图，连接． 为的垂直平分线， ， ． 又，， ， ， ， ． 18．(24-25八上·山西阳泉多校联考·期中)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于轴对称的图形，并直接写出点的坐标． (2)请画出关于直线轴对称的图形，并直接写出点的坐标． (3)连接，，，求的面积． 【答案】(1)图形见解析，点的坐标为 (2)图形见解析，点的坐标为 (3) 【分析】本题考查了坐标与图形变化-轴对称图形，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先作出点的对称点，再顺次连接即可，可直接求出点的坐标； （2）先作出点的对称点，再顺次连接即可，可直接求出点的坐标； （3）判断出为直角三角形，求出，，即可求解面积． 【详解】（1）解：如解图，即为所求． 点的坐标为． （2）解：如上解图，即为所求． 点的坐标为． （3）解：根据解图，得，，． ． 19．（26-27八年级上·全国·单元复习）如图，在中，，点在上，点在上，射线交的延长线于点，．求证：是等腰三角形． 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】先证明，进而得到，等量代换结合等角对等边，推出，即可得证． 【详解】证明：， ， ． ， ， ， 是等腰三角形. 20．（26-27八年级上·江苏南京·单元测试）如图，在与中，，过点C作，交于E，交于点F，连结，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，求的长． 【知识点】两直线平行同位角相等、线段垂直平分线的性质、三线合一、等边三角形的判定和性质、三角形角平分线的定义 【分析】（1）先证明是等边三角形，可得，由平行线的性质可得，可得结论； （2）根据，，推出直线是线段的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质即可得证； （3）由等边三角形的性质和平行线的性质可求，即可求解． 【详解】【答案】(1)解：是等边三角形，理由如下； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； (2)证明：∵， ∴是的垂直平分线， 即， ∵， ∴平分； （3）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 21．（6分）（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明：垂直平分； (2)若面积为，求的周长． 【分析】（1）证明，可得，从而得到点和点在的垂直平分线上即可． （2）由三角形的面积可求出，根据三角形周长公式即可求解． 【详解】(1)证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， 点和点在的垂直平分线上， 垂直平分； （2）解：由（1）得， ，， ， ， 的周长为30． 22．（25-26八年级下·江西萍乡·期末）如图，在中，，，点是上一点，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于，且．求证： (1)； (2)平分． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 【解析】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ， 又∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． (2)证明： ∵，， ∴，即E为中点． ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴平分． 23．（25-26七年级下·河南南阳·期末）综合与实践 【问题提出】如图，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 【问题抽象】某学习小组在探究这一问题时抽象出数学模型：如图，直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小． 【分析问题】小亮：如图，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图，在直线上另取不同于点的任一点，连接，，． ∵点、关于直线对称，点、在直线上， __________，__________， __________． ∵在中，（三角形的任意两边之和_______________） ∴__________，即最小． 【解决问题】 (1)请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上） (2)如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，，，请直接写出周长的最小值． (3)如图，某景区内有两条相交的笔直小路，，它们相交所夹的角区域内有一处古迹，现计划在区域内修建三条步道，连通古迹，小路，，步道与小路，的连接点分别为，，那么点，的位置应建在何处，才能使所建的步道总长度最短？请在图中画出，两点与所建步道的最短路线．（不写画法，保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【知识点】两点之间线段最短、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）在直线上另取不同于点的任一点，利用轴对称等量替换，结合三角形三边关系证明最小； （2）利用对称得，把转化为，加得到周长最小值； （3）分别作点关于两条小路的对称点，连接两对称点，与小路交点即为、，连接、、即为最短路径． 【详解】(1)如图，在直线上另取不同于点的任一点，连接，，． ∵点、关于直线对称，点、在直线上， ，， ， ∵在中，（三角形的任意两边之和大于第三边） ∴，即最小． （2）解：如图，连接，直线与交于点， 点与点关于直线成轴对称， ， ， 当点运动到点，取得最小值， 的周长最小值为． （3）解：如图，作关于的对称点，作关于的对称点，连接，交于点，交于点， ，， ， 当，，，四点共线时，取得最小值， 故为所建步道的最短路线． 24 ．（25-26八年级上·四川泸州·期末）已知是等边三角形，点D是的中点，点E在射线上，点F在线段上，． (1)如图1，若点F与点B重合， ①求证：； ②当的面积为S时，用含S的代数式表示的面积． (2)如图2，若点E在线段上，当时，求的值． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】（1）①利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出相关角的度数，即可得证； ②根据等边三角形的性质得出，，，根据含30度角的直角三角形的性质得出，从而得出，即可得出答案； （2）过点D作，构造全等三角形，将和转化到同一直线上即可解答． 【详解】【答案】(1)①证明：是等边三角形，点D是的中点， ∴，， ∴， ，点F与点B重合， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：是等边三角形，点D是的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：过点D作交于点G， 是等边三角形， ， ， ，， 是等边三角形， ， 点D是的中点， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 25．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知，等边，为直线上一点，点为直线上一点，且． (1)如图1，若为的中点，，求的长． (2)如图2，若点为上任意一点，过作交于点，探究线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当运动到延长线上，为中点，交于点，，求的长． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，进而根据等边对等角结合三角形外角的性质可得，最后根据等角对等边即可求解； （2）先根据等边对等角结合平行线的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形性质推出，然后根据全等三角形性质可证，等量代换即可得证； （3）过作交延长线于点，先证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质推出，得出，进而得到的长，证明，得到，即可得解． 【详解】（1）解：为等边三角形， ，， 为的中点， ，， ， ， ， ， ， ； (2)，理由如下： ， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， ， ，即， ， ，即， 在中， ， ， ， ； （3）解：如图，过作交延长线于点， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为中点， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 能力提升 1．（25-26八年级上·湖北随州·期末）如图，和都是等边三角形，且，连接交于点，连接．下列哪个结论不一定成立．（   ） A． B． C．平分 D．平分 【答案】D 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理、等边三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质及判定、角平分线的判定、三角形的面积，关键是灵活应用知识点解题；利用等边三角形可得，进而根据全等三角形的性质依次进行判断即可． 【详解】解：如图，设与相交于点， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即：选项A、B成立，不符合题意； 过点作于，于， ∵， ∴， ∴， ∵于，于， ∴平分，即：选项C成立，不符合题意； 故选：D ． 2．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，是的角平分线，，，垂足分别为，，连接，与相交于点，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．用角平分线性质、全等三角形判定验证正确选项，用反证法论证错误选项． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴，， 在和中， ， ∴（）， ∴， 又∵平分， ∴垂直平分， ∴，故项正确． 假设，结合垂直平分，则与互相平分，即四边形是平行四边形． 但四边形是矩形（），需，而题目无此条件，与假设矛盾． 故项错误． 假设，则． ∵， ∴，则，题目无此条件，与假设矛盾．故项错误． 假设，则． ∵， ∴四边形中，题目无此条件，与假设矛盾．故项错误． 故选：． 3．（25-26七年级下·四川成都·期末）在和中，，与相交于点O． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求证：平分； (3)在第（2）问的条件下，若，，求的面积． 【知识点】角平分线的有关计算、直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】（1）由，可得，即可证明结论； （2）由，可得，，再由，即可证明结论； （3）延长交延长线于点，先证明，可得，再证明，可得，即可求解． 【详解】 (1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2)证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴平分． （3）解：延长交延长线于点， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图1，在等边中，点，分别是，上的点，，与交于点． (1)求证：； (2)如图2，以为边作等边，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，若点是的中点，连接，，判断与有什么数量关系？并说明理由． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、等边三角形的性质 【分析】（1）根据等边三角形的性质，由即可证明； （2）证明，可得结论． （3）延长到R，使得，连接．先证明，进而证明，推出，可得结论． 【详解】(1) 证明：如图1中，    ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴； (2)证明：如图2中，    ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3)解：结论：． 理由：延长到R，使得，连接．    ∵等边， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．（25-26八年级上·福建厦门·期末）在中，，点D是边上一点，连接． (1)如图1，若，，求证：是等腰三角形； (2)以为边，在下方作等边三角形，连接． ①如图2，若，探究线段，，的数量关系，并说明理由； ②如图3，若，，求线段的取值范围． 【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）由题意易证，利用三角形内角和定理即可求出，进而求出，再利用三角形外角的性质即可求出，得到，即可证明； （2）①先证明是等边三角形，易得，再证明，推出，即可得出结论；②过点作垂足分别为，证明，利用直角三角形的性质求出，进而得到，易证是的垂直平分线，得到，进而得到，由点与点重合时，有最小值，点与点重合时，有最大值，即可解答． 【详解】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形； (2)①，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过点作垂足分别为， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴点与点重合时，有最小值，点与点重合时，有最大值， ∴线段的取值范围为． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，正确作出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 6．（25-26八年级上·安徽淮南·期末）【情境建模】 (1)已知：如图1，点在的边上，若平分，且，求证：．请你帮助小蕊完成证明． 【理解内化】 (2)请尝试直接应用“情境建模”中小蕊反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在中，平分，，，求证：． 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，点为中点，与相交于点，过点作交延长线于点，设、的面积分别为，，若，则的最大值是______． 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、与三角形的高有关的计算问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（）由平分，得，再根据，，证出则可得出结论； （）延长交于点，由（）可得，，证明 ，进而可以解决问题； （3）延长，交于点G，证明，得出，，即可得出，根据为的中点，得出，求出，从而得出当的面积最大时，最大，求出的面积的最大值，即可得出答案． 【详解】(1)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； (2)证明: 如图，延长交于点， ∵平分，， 由（）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长，交于点G，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵ ， ∴当的面积最大时，最大， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴当时，的面积最大， ∴的最大面积为：， ∴的最大值为：． 7．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）已知为等边三角形，E为延长线上一点，D为边上一 ，连，，． (1)如图，若为中点，直接写出， ，间的数量关系，不需要说明理由； (2)如图，不是线段中点，先写出线段，，间的数量关系，再说明理由； (3)如图，为中点，连接，求证：． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）在上截取，过点作于点，可得是等边三角形，，根据垂直平分线的性质得出，即可得出，进而根据线段的和差关系，即可求解； （）在上截取，过点作于点，可得是等边三角形，，根据垂直平分线的性质得出，即可得出，进而根据线段的和差关系，即可求解； （）延长至，使得，连接，证明得出，同（2）可得，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】（1）解：，理由如下， 如图，在上截取，过点作于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形，， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴； (2)解：，理由如下， 如图，在上截取，过点作于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴，； (3)证明：如图，延长至，使得，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同（）可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版八年级上册单元测试卷（原卷版） 第15章 轴对称（ 本卷满分120分，考试时间90分钟） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（26-27八年级上·天津·期中）点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江·二模）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）等腰三角形的一个外角是，则它的顶角的度数为（     ） A． B．或 C． D．或 4．（25-26八年级上·山西晋城·阶段检测）如图，在中，的平分线交于点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．点一定在的垂直平分线上 D．是轴对称图形 5 ．（25-26八年级上·辽宁大连·期中 如图，在中，，，，且．下列结论：①是等边三角形；②；③．其中正确的有（  ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．14．（25-26八年级下·江西抚州·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 7．（26-27八年级上·江苏南京·单元测试）如图，在中，是的垂直平分线，且，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点M，这两条垂直平分线分别交于点D，E，连接，，，，，已知的周长为7，的周长为15，则的长为（     ） A．3 B．3.5 C．4 D．6 9．（25-26八年级下·辽宁丹东·期末）如图，等边，，与交于点D，于点E，若，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，是的平分线，于点，连接，交于点，则图中的等腰三角形有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 评卷人 得分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，中，的垂直平分线交于点，垂足为，若，，则的度数是______ ． 12．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，是边上的中线，以为斜边在右侧作等腰，则的度数为______ ． 13．（25-26七年级下·河南洛阳·期末）如图，，点P是内的一点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，则________． 14．（26-27八年级上·内蒙古·单元测试）如图，为的边上一点，且，平分，与相交于点，．若，，则的长为_________________． 15．（25-26八年级上·天津西青·期中）如图，把等边沿着折叠，使点A恰好落在边上的点P处，且，则的度数是______ . 16．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在中，，，点、、分别是边、边、边上的动点，连接、、，使，若是等腰三角形，那么的度数为____________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（26-27八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，为的垂直平分线，求证：． 18．(24-25八上·山西阳泉多校联考·期中)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．(1)请画出关于轴对称的图形，并直接写出点的坐标． (2)请画出关于直线轴对称的图形，并直接写出点的坐标． (3)连接，，，求的面积． 19．（26-27八年级上·全国·单元复习）如图，在中，，点在上，点在上，射线交的延长线于点，．求证：是等腰三角形． 20．（26-27八年级上·江苏南京·单元测试）如图，在与中，，过点C作，交于E，交于点F，连结，交于H．(1)判断的形状，并说明理由．(2)求证：平分．(3)若，求的长． 21．（6分）（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接．(1)证明：垂直平分；(2)若面积为，求的周长． 22．（25-26八年级下·江西萍乡·期末）如图，在中，，，点是上一点，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于，且．求证：(1)； (2)平分． 23．（25-26七年级下·河南南阳·期末）综合与实践【问题提出】如图，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 【问题抽象】某学习小组在探究这一问题时抽象出数学模型：如图，直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小． 【分析问题】小亮：如图，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图，在直线上另取不同于点的任一点，连接，，． ∵点、关于直线对称，点、在直线上，__________，__________， __________．∵在中，（三角形的任意两边之和_______________）∴__________，即最小． 【解决问题】(1)请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上）(2)如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，，，请直接写出周长的最小值． (3)如图，某景区内有两条相交的笔直小路，，它们相交所夹的角区域内有一处古迹，现计划在区域内修建三条步道，连通古迹，小路，，步道与小路，的连接点分别为，，那么点，的位置应建在何处，才能使所建的步道总长度最短？请在图中画出，两点与所建步道的最短路线．（不写画法，保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 24 ．（25-26八年级上·四川泸州·期末）已知是等边三角形，点D是的中点，点E在射线上，点F在线段上，．(1)如图1，若点F与点B重合，①求证：； ②当的面积为S时，用含S的代数式表示的面积．(2)如图2，若点E在线段上，当时，求的值． 25．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知，等边，为直线上一点，点为直线上一点，且．(1)如图1，若为的中点，，求的长．(2)如图2，若点为上任意一点，过作交于点，探究线段与的数量关系，并说明理由．(3)如图3，当运动到延长线上，为中点，交于点，，求的长． 能力提升 1．（25-26八年级上·湖北随州·期末）如图，和都是等边三角形，且，连接交于点，连接．下列哪个结论不一定成立．（   ） A． B． C．平分 D．平分 2．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，是的角平分线，，，垂足分别为，，连接，与相交于点，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·四川成都·期末）在和中，，与相交于点O． (1)如图1，若，求证：；(2)如图2，若，求证：平分； 4．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图1，在等边中，点，分别是，上的点，，与交于点． (1)求证：；(2)如图2，以为边作等边，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，若点是的中点，连接，，判断与有什么数量关系？并说明理由． 5．（25-26八年级上·福建厦门·期末）在中，，点D是边上一点，连接． (1)如图1，若，，求证：是等腰三角形； (2)以为边，在下方作等边三角形，连接． ①如图2，若，探究线段，，的数量关系，并说明理由； ②如图3，若，，求线段的取值范围． 6．（25-26八年级上·安徽淮南·期末）【情境建模】 (1)已知：如图1，点在的边上，若平分，且，求证：．请你帮助小蕊完成证明．【理解内化】 (2)请尝试直接应用“情境建模”中小蕊反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在中，平分，，，求证：． 【拓展应用】(3)如图3，在中，平分，点为中点，与相交于点，过点作交延长线于点，设、的面积分别为，，若，则的最大值是______． 7．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）已知为等边三角形，E为延长线上一点，D为边上一 ，连，，． (1)如图，若为中点，直接写出， ，间的数量关系，不需要说明理由； (2)如图，不是线段中点，先写出线段，，间的数量关系，再说明理由； (3)如图，为中点，连接，求证：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $