第十五章轴对称单元测试2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 人教版八年级数学上册轴对称单元卷，以生活情境与动态几何为载体，覆盖轴对称性质、等腰三角形等核心知识，梯度设计适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12/36|镜面对称、逆命题、垂直平分线性质、格点等腰三角形|结合生活情境（如电子钟镜面对称），基础与能力题结合| |填空题|8/24|对称轴条数、等腰三角形判定、最短路径问题|融入动手操作（如三角板拼图），考查空间观念| |解答题|5/40|动点问题、对称变换规律、坐标与图形变化|设计动态几何（如长方形动点对称），综合应用知识解决问题|

第十五章 轴对称 单元测试2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．平面镜中看到电子钟示数为“”，实际时间是（    ） A． B． C． D． 2．命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题为（    ） A．两个三角形的对应边相等 B．两组对应边相等的两个三角形全等 C．对应边相等的两个三角形全等 D．对应边相等的两个三角形不全等 3．三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到A，B，C三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ）． A．三条高的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 4．从镜子里看到位于镜子对面电子钟的像如图所示，则实际时间是（   ） A． B． C． D． 5．如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 6．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且为等腰三角形，所有符合条件的点C有（    ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 7．如图：已知与关于直线成轴对称，，则（     ） A． B． C． D． 8．如图1，矩形纸带中，，沿虚线将纸带折起压平成图2，则（     ） A． B． C． D． 9．如图，将线段沿着射线折叠得到，延长到E，连接，点F是射线上的一个动点，连接，，若，，的周长的最小值为22，则长为（    ） A．18 B．16 C．14 D．12 10．如图，中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点和点；②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，长为半径作弧，与前面的弧交于点；④作射线交于点、若，则的长为（   ） A． B． C． D． 11．在平面直角坐标系中，点在第二象限，点在坐标轴上．若以，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 12．如图，中，，，顶点为，顶点为，顶点为，将关于轴轴对称变换得到，再将关于直线（即过垂直于轴的直线）轴对称变换得到，再将关于直线轴对称变换得到，再将关于直线轴对称变换得到，……，按此规律继续变换下去，则点的坐标为（） A． B． C． D． 二、填空题 13．正方形、圆、正三角形3种图形的对称轴的条数从多到少排列顺序为_________________________________． 14．如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接） 15．角的对称轴是_________，线段的对称轴是_________． 16．在中，已知，再添加一个条件________，就能使是等边三角形．（只要写出一个符合题意的条件即可） 17．如图，小萱将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点与轴上表示的点重合，点坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为________； 18．如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，，与交于点G，若，则的长为________． 19．如图，在学习了轴对称后，小华在课外研究三角板时发现“两块完全相同的含有角的三角板可以拼成一个等边三角形”，请你帮他解决以下问题：在直角中，，点E，P分别在斜边和直角边上，则的最小值是________． 20．如图，在直角中，，与的角平分线相交于点，连接，则______；若的面积为12，的面积记为，的面积记为，用含的代数式表示______． 三、解答题 21．已知命题“对于任意实数，都有”． (1)写出这个命题的逆命题． (2)判断原命题的真假，并说明理由． 22．如图，在中，于点是上一点，． (1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形． (2)找出图中所有的直角三角形和等腰三角形． 23．如图1，已知长方形中，，连结，动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，连结．设P点运动的时间为t（秒）    (1)当时，_____ ；当时，______ ． (2)在点P的运动过程中，当平分或的面积时，求t的值． (3)如图2，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ①当最短时，直接写出此时四边形的面积； ②当四边形的面积是长方形的面积时，直接写出t的值． 24．已知，是等边三角形，是中线，延长至，使． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作的垂线交于点，请直接写出图中所有与线段相等的线段（不包括本身）． 25．在平面直角坐标系中，直线m为经过且垂直于y轴的直线，直线n为经过且垂直于x轴的直线．图形G关于直线m的对称图形称为图形G的一次对称图形；记作图形，图形关于直线n的对称图形称为图形G的二次对称图形，记作图形． 根据定义，回答下列问题： (1)点的一次对称点的坐标与二次对称点的坐标分别为_______，________． (2)点在第三象限，，分别是点B的一次对称点与二次对称点，为等腰直角三角形． ①求y与x之间满足的数量关系； ②已知，，写出的最小值为_______； (3)已知点，，若以为边的正方形（P、Q在线段的上方）的二次对称图形与过且垂直于y轴的直线有公共点，写出a的取值范围． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C D C C B B B C D C B 1．【答案】D 【知识点】钟表的镜面对称 【分析】本题考查了镜面对称的性质．根据镜面对称的性质，像与物左右颠倒，将镜中示数“”整体左右翻转即可得到实际时间“”． 【详解】解：∵镜中示数为“”， ∴ 实际数字为每个数字的镜像： 第一个数字， 第二个数字， 第三个数字， 第四个数字， ∴ 实际时间为， 故选：D． 2．【答案】C 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题主要考查了逆命题，原命题是条件语句“如果两个三角形全等，那么对应边相等”，其逆命题需交换条件和结论，即“如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等”. 【详解】解：原命题可表述为“若两个三角形全等，则对应边相等”， 逆命题为“若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等”． 故选：C． 3．【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”即可解答． 【详解】解：要使集贸市场到A，B，C三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三边垂直平分线的交点处． 4．【答案】C 【知识点】钟表的镜面对称 【分析】本题考查了镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反，注意2的对称数字为5，5的对称数字是2． 关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字． 【详解】解：是从镜子中看， 对称轴为竖直方向的直线， 、0的对称数字为1、0，2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， 这时的时刻应是． 故选：C． 5．【答案】C 【知识点】找出图中的等腰三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，结合三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形，， ∴ ， ∴，， ∴、是等腰三角形， ∵，， ∴，， ∴、是等腰三角形， 故图中共有5个等腰三角形， 故选：C． 6．【答案】B 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题考查了作图与应用，解题的关键是掌握等腰三角形的定义，学会运用数形结合的思想解决问题． 根据等腰三角形的定义和网格的特点即可求解． 【详解】解：如图所示： ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， 则一共有5个等腰三角形， 故选：B． 7．【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形的概念、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】根据轴对称的性质得出，，利用三角形内角和求出的度数，再根据三角形外角的性质求解． 【详解】解：与关于直线成轴对称， ∴, ，， 在中，， ， 是的外角， ． 8．【答案】B 【知识点】折叠问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】先推导出，，再根据平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：如图 由图及题意，可得 ，， 即， ∴． 9．【答案】C 【知识点】折叠问题、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查的是轴对称的性质，线段沿着射线折叠得到，可得，求解，当共线时，，此时周长最短；再进一步解答即可； 【详解】解：如图， ∵线段沿着射线折叠得到， ∴， ∵， ∴， 当共线时， ，此时周长最短； ∴， ∴； 故选C 10．【答案】D 【知识点】尺规作一个角等于已知角、三角形内角和定理的应用、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形内角和定理，作一个角等于已知角．先证，进而根据三角形内角和为180度得出，根据等角对等边，可得，由作图方式得出，进而得出，，再次应用三角形内角和定理，得出，推出，可得． 【详解】解： 中，， ， ， ， 由作图知，， ，， ， ， ， ， 故选：D． 11．【答案】C 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【分析】本题考查了等腰三角形的判定．分别以点O、A为圆心，以的长度为半径画弧，与坐标轴的交点以及的垂直平分线与坐标轴的交点即为所求的点P的位置． 【详解】解：如图，以点O、A为圆心，以的长度为半径画弧与坐标轴有6个交点，的垂直平分线与坐标轴的交点有2个， 综上所述，满足条件的点P有8个． 故选：C． 12．【答案】B 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、点坐标规律探索、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查三角形轴对称找规律．熟练掌握等腰直角三角形的性质，轴对称性质，归纳点坐标性质规律，是解题的关键． 是等腰直角三角形，顶点为，根据等腰直角三角形的性质和轴对称性质，可得点A经过n次轴对称的点横坐标规律，纵坐标为2.5． 【详解】解：∵中，，，顶点为， 将关于y轴轴对称变换得到， ∴； 将关于直线轴对称变换得到， ∴； 将关于直线轴对称变换得到， ∴； 将关于直线轴对称变换得到， ∴； …， 按此规律继续变换下去， 再将关于直线轴对称变换得到， ∴（n偶数）或（n奇数）． ∴当时，点的坐标为． 故选：B. 13．【答案】 圆 正方形 正三角形 【知识点】求对称轴条数 【分析】本题主要考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 根据对称轴的定义结合各图形的特点可得出每个图形的对称轴的数量，然后比较即可解答． 【详解】解：正方形有4条对称轴，圆有无数条对称轴，正三角形有3条对称轴， 故对称轴的条数从多到少的排列顺序为：圆正方形正三角形． 故答案为：圆正方形正三角形． 14．【答案】 【知识点】大（小）边对大（小）角定理 【分析】本题考查三角形边角关系定理，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形边角关系定理，大边对大角，小边对小角，由已知边的大小关系推导对应角的大小关系，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 15．【答案】 角平分线所在的直线 垂直平分线 【知识点】画对称轴 【分析】分别利用各图形，结合对称轴的定义得出答案． 【详解】解：角的对称轴是角平分线所在的直线，线段的对称轴是垂直平分线， 故答案为：角平分线所在的直线，垂直平分线． 【点睛】本题考查了轴对称图形，得出其对称轴位置是解题的关键． 16．【答案】（答案不唯一） 【知识点】等边三角形的判定 【分析】此题考查等边三角形的判定，解题的关键是熟知等边三角形的判定方法． 根据等边三角形的判定方法即可求解． 【详解】解：添加（答案不唯一）． ∵， ∴是等边三角形． 故答案为：（答案不唯一）． 17．【答案】 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，图形与坐标，关于y轴对称点的性质，过点A，点B分别作，垂直于x轴，先证明 ，得点A的坐标，再根据关于y轴对称点的坐标特点为纵坐标不变，横坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：如图，过点A，点B分别作，垂直于x轴， ， 点与轴上表示的点重合，点坐标为， ，，， ， 由题意知是等腰直角三角形， ，， ， 又 ， ， 在和中， ， ，， ， 点A的坐标为， 点关于轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 18．【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质、等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是利用角之间的关系找到边之间的关系．首先根据，，可证是等边三角形，连接交于点G，可证是线段的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证，根据平行线的性质可证，从而可得，根据平行线的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知，进而求出，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，（两直线平行，同位角相等）， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 19．【答案】6 【知识点】最短路径问题、垂线段最短、等边三角形的性质 【分析】本题考查最短路径问题及等边三角形的性质，利用轴对称将的最小值转化为线段长是解题的关键．作点B关于的对称点，过作交于点P，则的最小值为求出即可． 【详解】解：如图：作点B关于的对称点，过作交于点P， 连接， 由题意可得两块完全相同的含有的三角板可以拼成一个等边三角形， ∴， ，当点、P、E共线，且时取等号， 的最小值为， ，， ， ∴的最小值为6， 故答案为：6． 20．【答案】 45 / 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、面积问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定义以及外角的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．根据三角性外角的性质和角平分线的定义，可求出的度数；作点关于的对称点，点关于的对称点，由轴对称的性质可知，，，，，，过点作于点，过点作，证明，得到，进而得出，推出，即可得到答案． 【详解】解：， ， 与的角平分线相交于点， ，， 是的外角， ； 如图，作点关于的对称点，点关于的对称点， ，， 点、在上， ， 由轴对称的性质可知，，，，，， ， ， 过点作于点，过点作， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：， 21．【答案】(1)若，则为实数 (2) 假命题．理由： 当时，，不满足，因此原命题为假命题； 【知识点】写出命题的逆命题、判断命题真假、举反例 【分析】本题考查了命题的逆命题构造以及真假命题的判断，关键是理解原命题的条件与结论，以及特殊值法在判断命题真假中的应用． （1）先拆分原命题的结构：原命题“对于任意实数，都有”中，条件是“是实数”，结论是“”．再将条件与结论互换，即可得到逆命题． （2）原命题是全称命题，要证明它为假，只需找到一个满足条件(实数)但不满足结论()的例子．如取，此时，不满足，由此可判定原命题为假． 【详解】（1）解：原命题“对于任意实数，都有”的条件为“是实数”，结论为“”，将条件与结论互换可得逆命题为“若，则为任意实数”； （2）略 22．【答案】(1)图中有6个三角形，分别是和 (2)直角三角形有和；等腰三角形有 【知识点】三角形的分类、找出图中的等腰三角形、三角形的个数问题 【分析】本题考查三角形的个数，三角形的分类，熟练掌握三角形的基本概念，分类是解题的关键： （1）写出图中三角形，即可得出结果； （2）根据等腰三角形和直角三角形的定义，进行判断即可． 【详解】（1）解：图中有6个三角形，分别是和； （2）∵， ∴， ∴直角三角形有和， ∵， ∴是等腰三角形． 23．【答案】(1)2 (2)或 (3)①；②或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、面积问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查了一元一次方程与几何应用，轴对称的性质，三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据运动速度和时间列式得出，再结合，进行线段的和差运算，即可作答． （2）先算出长方形的面积为，则或的面积为，结合平分或的面积，列式进行计算可作答． （3）①结合垂线段最短，找出最短，即点与点重合，根据轴对称的性质，得出，结合边形的面积是长方形的面积，即可作答． ②由得出，然后进行分类讨论，即当点P在上时和点P在上时，再根据三角形的面积等于底与高的乘积的一半，即可作答． 【详解】（1）解：∵动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动， ∴当时，则 ∵ ∴ ∴当时，则 ∴ 故答案为：2 （2）解：∵长方形中， ∴等于的面积， 即， ∵平分的面积，    ∴， 即， 解得． ∵平分的面积，    ∴， 即， 解得． ∴或 （3）解：①∵当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ∴最短时，即最短 此时（垂线段最短），即点与点重合 ∴ ②∵边形的面积是长方形的面积 ∴ ∵ ∴ 当点P在上时    ∴ 解出； 当点P在上时    ∴ 解出； 综上：或． 24．【答案】(1)见解析 (2)与线段相等的线段有：，， 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，根据等边对等角得出，根据三角形的外角性质求出，根据等腰三角形三线合一的性质得出，结合等角对等边即可证明； （2）根据等边三角形的性质得出，，根据等腰三角形三线合一的性质得出，根据直角三角形的性质得出，根据等边三角形的判定和性质得出，即可得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 又∵，是中线， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵，是中线， ∴， 在中，， 故， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故， 即， 故与线段相等的线段有：，，． 25．【答案】(1)； (2)①；② (3) 【知识点】最短路径问题、等腰三角形的性质和判定、求不等式组的解集、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）根据轴对称的性质即可求解； （2）①根据一次对称和二次对称的定义得到，，推出，再根据为等腰直角三角形得到，整理即可得出答案；②过点作垂直于轴的直线，过点作于点，易证是等腰直角三角形，则有，得出，再计算出当三点共线时的长度，即可得出答案； （3）求出正方形的二次对称图形的各顶点坐标，再根据二次对称图形与过且垂直于y轴的直线有公共点，列出关于的不等式，即可求出a的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得，直线m为直线，直线n为直线， 点关于直线m对称的点为，点关于直线n对称的点为， ∴点的一次对称点的坐标为，二次对称点的坐标为； 故答案为：；； （2）解：①∵点在第三象限， ∴，， ∵点关于直线m对称的点为，点关于直线n对称的点为， ∴点的一次对称点的坐标为，二次对称点的坐标为， ∴，， ∴， 又∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 整理得：， ∴y与x之间满足的数量关系为； ②如图，过点作垂直于轴的直线，过点作于点， 则直线为直线， 由①得，点的坐标为， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为， 此时为点到直线的距离， 又∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：； （3）解：∵点，，正方形（P、Q在线段的上方）， ∴，， ∴正方形的二次对称图形的各顶点为，，，， ∵二次对称图形与过且垂直于y轴的直线有公共点， ∴， 解得， ∴a的取值范围为． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，等腰直角三角形的性质与判定，最短路径问题，求不等式的解集，理解一次对称图形与二次对称图形的新定义是解题的关键．本题属于坐标与图形综合题，需要较强的几何推理和数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $