15.3 等腰三角形 课后巩固卷 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以等腰三角形性质与判定为核心，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从单一知识点到实际问题解决的进阶，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|等腰三角形基本性质与判定|如第1题直接应用等边对等角，第16题基础证明，强化概念理解| |能力提升|性质应用及简单综合|如第6题格点图分类讨论等腰三角形，第14题折叠问题结合等边三角形性质| |综合应用|跨知识综合与实际问题|如第20题轴对称解决最短路径，第18题航海问题应用含30°角直角三角形性质|

15.3 等腰三角形 课后巩固卷2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．如果等腰三角形一个底角是，那么顶角是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，D是的中点，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．三角形两个角的度数如图所示，则该三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 4．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，点D的对应点为点与交于点E，若长方形的周长为16，则的周长为（    ） A．8 B．16 C．32 D．4 5．如图，垂直于地面的一棵树在距离地面处折断，树尖恰好碰到地面，经测量，则树高为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．下列说法错误的是（   ） A．等腰三角形顶角的角平分线是它的对称轴 B．关于某直线对称的两个图形一定能够重合 C．轴对称图形的对称轴不一定只有一条 D．两个全等三角形组成的图形不一定是轴对称图形 8．如图，，点在的延长线上，且平分，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，的平分线相交于点D，过点D作直线，交于E，交于F，图中等腰三角形的个数共有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 10．在平面直角坐标系中，点在第二象限，点在坐标轴上．若以，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 二、填空题 11．将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式摆放，若，则是________三角形． 12．在中，已知，，则的取值范围是_____． 13．如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，是上的一个动点，连接、，当的值最小时，则的度数为________． 14．如图，在等边中，M是边的中点，N是边上的任意一点（不与点A，B重合），将沿折叠使点B的对应点恰好落在等边的边上，已知，则的长为______． 15．如图为某工厂厂区示意图，办公大楼在工厂主干道上，车间，与办公大楼的距离皆为，且，．在主干道上选址仓库，从仓库到车间，修建厂区支路，，使得支路总长最短，测得仓库与办公大楼距离为．已修建的支路长为 ，还需修建的支路的长度用代数式可以表示为__________． 三、解答题 16．已知：如图，，、相交于点O，求证：． 17．如图，在中，，点在上，且，求： (1)图中有哪些等腰三角形？ (2)各角的度数． 18．如图，一轮船由西向东以海里/时的速度航行，在处测得小岛在北偏东方向，航行小时后，轮船在处测得小岛在北偏东方向，已知小岛周围海里范围内有暗礁，若轮船继续向前航行，有没有触礁的危险？为什么？ 19．如图，和都是等边三角形，且B，C，D在同一直线上，连接，分别交，于点G，F，连接． (1)求证：； (2)若，求的周长． 20．如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？ 小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接 点B与点关于直线l对称 ________，_________； 当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． (1)解决问题：补全证明过程； (2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C A A D A A C C 1．【答案】C 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和为即可计算出顶角度数． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等，一个底角为， ∴另一个底角也为， ∵三角形内角和为， ∴顶角． 2．【答案】C 【知识点】等边对等角、三线合一 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 由知是等腰三角形，根据等腰三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵D为边的中点， ∴，平分， 故选项A、B、D正确， 不一定成立， 故选：C． 3．【答案】C 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、三角形内角和定理的应用、三角形的分类 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的判定，牢记“三角形内角和是”是解题的关键． 利用三角形内角和定理，可求出第三个内角的度数，结合，可得出该三角形是钝角三角形，且是等腰三角形，再对照四个选项，即可得出结论． 【详解】解：第三个内角的度数为， ， ∴该三角形是钝角三角形，且是等腰三角形． 故选：C． 4．【答案】A 【知识点】根据等角对等边证明边相等、折叠问题 【分析】根据折叠的性质可得，根据平行线的性质可得，进而可得，根据等边等角可得，进而可得的周长为即可求解． 【详解】解：∵把一张长方形纸片沿对角线折叠，点D的对应点为点 ∴ ∵四边形是长方形 ∴ 长方形的周长为16 的周长为 故选A 【点睛】本题考查了折叠的性质，等角对等边，平行线的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． 5．【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】先根据含角的直角三角形的性质，求出的长度，再求出树高． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， ∴树高为． 6．【答案】D 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据题意、画出符合实际条件的图形以及掌握数形结合的思想是解答本题的关键． 根据题意并结合图形，分为等腰底边和为等腰的腰两种情况分别解答即可． 【详解】解：如图：分情况讨论： ①为等腰底边时，符合条件的C点有0个； ②为等腰的腰时，符合条件的C点有8个； 故共有8个点． 故选：D． 7．【答案】A 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查轴对称图形的性质及等腰三角形的特性．根据以上知识逐一判断各选项的正确性，注意对称轴是直线，而三角形的角平分线是线段即可． 【详解】解：∵ 等腰三角形的对称轴是顶角的角平分线所在的直线，而三角形的角平分线是线段，不是直线，∴ A选项错误．符合题意． ∵ 关于某直线对称的两个图形可以沿着该直线翻折即可重合，∴ B选项正确．不符合题意． ∵ 轴对称图形的对称轴可能有多条，如圆有无数条对称轴，∴ C选项正确．不符合题意． ∵ 两个全等三角形组成的图形可能不对称，∴ D选项正确．不符合题意． 故选：A． 8．【答案】A 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，由角平分线的定义及平行线的性质可得，进而由等腰三角形的判定即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9．【答案】C 【知识点】三角形角平分线的定义、找出图中的等腰三角形、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质进行推导是解决问题的关键．根据，可得是等腰三角形，根据角平分线的定义可得，得到是等腰三角形，再利用平行线的性质可得，得到是等腰三角形，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵的平分线相交于点D， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴是等腰三角形． ∴共有5个等腰三角形：． 故选：C． 10．【答案】C 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【分析】本题考查了等腰三角形的判定．分别以点O、A为圆心，以的长度为半径画弧，与坐标轴的交点以及的垂直平分线与坐标轴的交点即为所求的点P的位置． 【详解】解：如图，以点O、A为圆心，以的长度为半径画弧与坐标轴有6个交点，的垂直平分线与坐标轴的交点有2个， 综上所述，满足条件的点P有8个． 故选：C． 11．【答案】等边 【知识点】等边三角形的判定、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的判定，关键是由平行线的性质得到 ．由平行线的性质得到，又，由三角形内角和定理求出，得到，即可证明是等边三角形． 【详解】解：∵直尺的对边平行 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 12．【答案】 【知识点】求不等式组的解集、三角形内角和定理的应用、大（小）边对大（小）角定理 【分析】本题考查了三角形的内角和、三角形的边角关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据三角形边角关系，大边对大角，结合内角和定理列不等式组求解． 【详解】解：∵， ∴， 由三角形内角和定理，， 代入得， 即， 故， ∵， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的性质、两点之间线段最短 【分析】作点关于的对称点，然后连接，交于点，连接，由轴对称的性质及两点之间线段最短可得即为的最小值，进而由等边三角形的性质可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，然后连接，交于点，连接， 是等边三角形， ，， ， 平分，， 点是的中点，垂直平分， 点是的中点， ，平分， ， 当点与点重合时，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得此时为最小值，即为的长， ， 垂直平分， ， ， 即． 14．【答案】或3 【知识点】含30度角的直角三角形、折叠问题、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，菱形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 当点B关于直线的对称点恰好落在等边三角形的边上时，于是得到，，根据等边三角形的性质得到，，根据线段中点的定义和直角三角形的性质得到，当点B关于直线的对称点恰好落在等边三角形的边上时，则，四边形是菱形，根据线段中点的定义即可得到结论． 【详解】解：如图1，当点B关于直线的对称点恰好落在等边三角形的边上时， 则，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵点M为边的中点， ∴， ∵在直角三角形中，， ∴； 如图2，当点B关于直线的对称点恰好落在等边三角形的边上时， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴三角形是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∵，点M为边的中点， ∴， 故答案为：或3． 15．【答案】 【知识点】最短路径问题、线段问题(轴对称综合题)、列代数式 【分析】本题考查轴对称的性质与最短路径问题，解题关键是利用轴对称将线段和转化为两点之间线段，结合等边三角形判定求总长，再作差得长度． 作点关于的对称点，连接，则（最短路径），由角度计算得，结合，判定为等边三角形，得．由，得． 【详解】解：作点C关于直线的对称点连接，交于点D， 此时，，根据两点之间线段最短，即为所求的仓库位置． 由对称性，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵，且， ∴， 故答案为：． 16．【答案】 证明：在和中， ∴， ∴， ∴． 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、根据等角对等边证明边相等 【分析】找到隐含的公共边这一条件，通过先证明，从而得到，最后利用等角对等边即可证明结论． 【详解】略 17．【答案】(1) (2) 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、找出图中的等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟记相关结论是解题关键． （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形，据此即可求解； （2）设，根据可得，进一步由可得，再由得，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴是等腰三角形 （2）解：设． ， ； ， ； ， ， ， ， ． 18．【答案】若轮船继续向前航行，没有触礁的危险，理由见解析． 【知识点】含30度角的直角三角形、根据等角对等边求边长 【分析】本题主要考查了含30度角直角三角形的性质，等角对等边，关键找出题中的等腰三角形，然后再根据直角三角形性质求解．作，利用直角三角形性质求出长，再和海里比较即可看出船不改变航向是否会触礁． 【详解】解：作于， ∵在处测得小岛在北偏东方向， ∴， ∵在处测得小岛在北偏东方向， ∴， ∴， ∴， ∵海里， ∴海里， ∴海里， ∵， ∴若轮船继续向前航行，没有触礁的危险． 19．【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，，从而，即可证明，根据全等三角形的性质得证结论； （2）先求得，证明，得到，证明是等边三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 20．【答案】(1)， (2)见解析 【知识点】最短路径问题、根据成轴对称图形的特征进行求解、画轴对称图形 【分析】本题是几何变换综合题，考查轴对称的最短路径问题中的应用，两点之间，线段最短，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意补全即可； （2）根据轴对称的最短路径问题，作图即可． 【详解】（1）解：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，， ，， ， 当，，三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置， 故答案为：，，； （2）解：如图，作点A关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求的水厂位置，使铺设管道的长度最短． 学科网（北京）股份有限公司 $