15.3 等腰三角形 周末学情自检2026-2027学年人教版八年级数学上册

15.3 等腰三角形 周末学情自检2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．如图，在中，，，点E、D、F分别在、、上，根据图上标注的已知条件，与不一定全等的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，将该三角形沿着折痕l折叠，使边落在边上，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，．若某个三角形与能拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的等腰三角形有（   ）    A．3种 B．5种 C．7种 D．9种 4．如图，大盈江边一棵竹子在一次强风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵竹子在折断前的高度为（　　） A．4米 B．8米 C．12米 D．15米 5．如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 6．如图，四边形沿对角线对折后重合，连接交于点，若，则图中等腰三角形的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．下列说法错误的是（   ） A．等腰三角形的两底角相等 B．有两个角相等的三角形是等腰三角形 C．等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合 D．等腰三角形是轴对称图形 8．如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知，，若点在轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（   ） A．8 B．7 C．4 D．3 10．如图，中，，，平分，平分，经过点，与，相交于点，，且，则的周长为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，是等边三角形，点D在边上，，则的度数为______． 12．如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接） 13．在中，，请你添加一个适当的条件，使是等边三角形，添加的条件可以是______．（只要写出一个符合题意的条件即可） 14．如图，在中，，，将沿方向向右平移，得到，交于M，则____________． 15．如图为某工厂厂区示意图，办公大楼在工厂主干道上，车间，与办公大楼的距离皆为，且，．在主干道上选址仓库，从仓库到车间，修建厂区支路，，使得支路总长最短，测得仓库与办公大楼距离为．已修建的支路长为 ，还需修建的支路的长度用代数式可以表示为__________． 三、解答题 16．如图，中，，将沿直线平移到的位置（使点B与点C重合，点B、C、E在一条直线上），连接，求证：． 17．如图，在中，，点在上，且，求： (1)图中有哪些等腰三角形？ (2)各角的度数． 18．如图，一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，早上8时，在处测得小岛在北偏东方向上，轮船继续向东航行，早上10点到达处，并测得小岛在北偏东方向上． (1)求此时轮船与小岛的距离； (2)已知小岛周围18海里内有暗礁，若轮船仍向东航行，有无触礁危险？请说明理由． 19．在如图的方格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在格点上，建立如图所示平面直角坐标系，点的坐标为． (1)画出与关于轴对称的； (2)（2）在轴上确定点，使得与之和最小，直接写出点的坐标为 ； (3)仅用无刻度的直尺画出的重心．（保留作图痕迹） 20．已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． (1)如图（1），如果，证明：． (2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C C C D C B C B 1．【答案】D 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、等边对等角 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定．根据等腰三角形的性质可得，再根据全等三角形的判定，逐项判断，即可． 【详解】解：∵，， ∴， A、∵， ∴，故本选项不符合题意； B、∵， ∴，故本选项不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故本选项不符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 无法得到与全等，故本选项符合题意； 故选：D 2．【答案】D 【知识点】三线合一、折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三线合一定理，根据折叠的性质可判断A、B，再由三线合一定理可判断C；根据现有条件无法得到，则可判断D． 【详解】解：由折叠的性质可得，， 又∵， ∴， 根据现有条件无法得到， 故选：D． 3．【答案】C 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，可画出种不同的拼法，即可求解，根据等腰三角形的判定画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，共有中拼法：      故选：C． 4．【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】给图形标注上字母，由含角的直角三角形的性质得，即可解决问题． 【详解】解：如图， 根据题意得：，米， ∵， ∴（米）， ∴（米）， 即这棵竹子在折断前的高度是米． 5．【答案】C 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】分三种情况：当时，当时，当时，然后进行分析即可解答． 【详解】解：如图： 分三种情况： 当时，以点为圆心，长为半径作圆，点，，即为所求； 当时，以点为圆心，长为半径作圆，点，，，，即为所求； 当时，作的垂直平分线，与正方形网格的交点不在格点上， 综上所述：满足条件的格点的个数是8， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是分三种情况进行讨论． 6．【答案】D 【知识点】找出图中的等腰三角形、两直线平行内错角相等、折叠问题 【分析】由对折后重合得相等的线段和相等的角，由平行线得相等的角，再得相等的线段，判断出等腰三角形； 【详解】解：由对折后重合得，，， ，， 和为等腰三角形， ， ， ，， ，， 和为等腰三角形， 因此共有个等腰三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，在图形中找出相应条件是解题关键． 7．【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质； 根据等腰三角形的判定和性质判断各选项的正确性即可． 【详解】解：等腰三角形的两底角相等，A正确； 有两个角相等的三角形，对边相等，是等腰三角形，B正确； 等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，C错误； 等腰三角形是轴对称图形，D正确； 故选：C． 8．【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查了角平分线，平行线的性质，等角对等边等知识，由角平分线定义可得，又，则，可得，所以，同理得， 然后通过线段和差即可求解，熟练掌握角平分线，平行线的性质，等角对等边是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴ ， 故选：． 9．【答案】C 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【分析】本题考查了坐标与图形、等腰三角形的定义．根据等腰三角形的定义，分别以为圆心，为半径画圆，以为圆心，为半径画圆，作的垂直平分线，它们分别与轴的交点即为点的位置． 【详解】解：∵，， ∴， 如图： 以为圆心，为半径画圆，交轴于，得到以为顶点的等腰， 以为圆心，为半径画圆，交坐标轴于，，得到以为顶点的等腰，， 作的垂直平分线，交坐标原点于，得到以为顶点的等腰， 综上所述，符合条件的一共有4个， 故选：C． 10．【答案】B 【知识点】根据等角对等边证明边相等、角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定定理，灵活运用平行线的性质定理是解题的关键．先根据角平分线定义和两直线平行内错角相等可证和为等腰三角形，然后求的周长时，结合等腰三角形的性质将所求三角形的周长转化为求即可． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长． 故选：． 11．【答案】95 【知识点】等边三角形的性质、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角定理，熟练掌握等边三角形性质及外角定理是解题的关键． 利用等边三角形的性质及三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 故答案为：95． 12．【答案】 【知识点】大（小）边对大（小）角定理 【分析】本题考查三角形边角关系定理，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形边角关系定理，大边对大角，小边对小角，由已知边的大小关系推导对应角的大小关系，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 13．【答案】//// 【知识点】等边三角形的判定 【分析】此题考查了等边三角形的判定，根据等边三角形的判定方法即可求解，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定方法及其应用． 【详解】∵在中，， ∴是等腰三角形， 故只需或或或或， 即可得出为等边三角形， 故答案为：或或或或． 14．【答案】3 【知识点】利用平移的性质求解、等边三角形的判定和性质 【分析】根据题意可得是等边三角形，继而利用平移性质得到，易证是等边三角形，继而得到，即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形，， ∵将沿方向向右平移，得到， ∴是等边三角形，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 15．【答案】 【知识点】最短路径问题、线段问题(轴对称综合题)、列代数式 【分析】本题考查轴对称的性质与最短路径问题，解题关键是利用轴对称将线段和转化为两点之间线段，结合等边三角形判定求总长，再作差得长度． 作点关于的对称点，连接，则（最短路径），由角度计算得，结合，判定为等边三角形，得．由，得． 【详解】解：作点C关于直线的对称点连接，交于点D， 此时，，根据两点之间线段最短，即为所求的仓库位置． 由对称性，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵，且， ∴， 故答案为：． 16．【答案】 证明：∵沿直线平移到的位置， ∴， ∵， ∴， ∴． 【知识点】利用平移的性质求解、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了平移的性质，等腰三角形的判定，掌握这两个知识点是关键；由平移的性质得；由得，进而可证明结论成立． 【详解】略 17．【答案】(1) (2) 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、找出图中的等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟记相关结论是解题关键． （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形，据此即可求解； （2）设，根据可得，进一步由可得，再由得，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴是等腰三角形 （2）解：设． ， ； ， ； ， ， ， ， ． 18．【答案】(1)40海里 (2)没有危险，理由见解析 【知识点】含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查方位角的概念，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理与外角的性质，掌握好方位角的概念和三角形中角度的关系是解题关键． （1）由题意可知，，，则，可得； （2）过点作射线的垂线，交射线于点C，根据题意可得．由含角的直角三角形的性质可得，．求出的值后，与18进行比较，并得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知，（海里），，， ∴， ∴， ∴海里； （2）解：如图，过点作射线的垂线，交射线于点C， ∵， ∴， ∵， ∴， 在直角中，，， （海里）， ， 若轮船仍向东航行，则没有触礁危险． 19．【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3)见解析 【知识点】最短路径问题、重心的概念、根据成轴对称图形的特征进行求解、画轴对称图形 【分析】本题主要考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，解答本题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）分别找出A、B、C关于y轴的对应点位置，再连接即可； （2）作出点B关于x轴的对应点，再连接A、，与x轴的交点即为所求； （3）分别求作各边上的中线，其中线交点即为所求作的点． 【详解】（1）解：如图1，△A1B1C1即为所求； （2）解：如图2，点Q即为所求，点Q的坐标为， 故答案为：． （3）解：如图3，点G即为的重心． 20．【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的判定 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得，即可得出结论； （2）证明，得，，再证明是等边三角形，得到，然后证明，得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：，是的中点， 是的垂直平分线， ， ， ； （2）证明：， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $