重难点专训03 利用导数研究恒成立与能成立问题（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以导数工具为核心，构建恒成立与能成立问题的“转化-构造-求导-最值”系统方法体系，通过分层训练培养逻辑推理与数学表达能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|1|分离参数、分类讨论、端点效应、必要性探路四大策略，含定义域优先等5类易错提醒|从问题转化到导数应用，形成“命题→函数→最值→参数”逻辑链条| |题型1（恒成立）|3典例+3变式|恒成立转最值，端点效应验证充分性，隐零点处理超越函数|导数研究单调性→确定最值→参数范围求解的递进关系| |题型2（能成立）|1典例+2变式|能成立转存在，最值方向与恒成立相反，特值代入与零点存在定理应用|与恒成立形成逻辑对比，强化“任意”与“存在”的数学语言表达| |分层过关练|10题（巩固5+提升5）|综合应用四大策略，覆盖单变量、双变量及创新题型|从基础应用到综合创新，实现知识迁移与能力提升|

重难点专训03 利用导数研究恒成立与能成立问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 利用导数解决函数恒成立问题 2 题型2 利用导数解决函数能成立（有解）问题 4 重难专题分层过关练 5 巩固过关 5 创新提升 6 解题方法及技巧提炼 1、利用导数研究恒成立与能成立问题的基本思路是： （1）将命题转化为函数最值之间的不等关系，明确是“恒成立”还是“能成立”； （2）构造函数，求导确定其单调性及最值； （3）将条件转化为最值满足的不等式，通过解不等式求得参数范围； （4）当直接求最值困难时，通过分离参数、端点效应、放缩或多次求导等策略间接求解。 2、恒成立与能成立问题的逻辑转化： （1） 恒成立 ； （2） 恒成立 ； （3） 能成立（有解） ； （4） 能成立（有解） ； （5） 恒成立 ； （6）两个变量问题： 恒成立 ； 能成立 。 3、核心求解策略： （1）分离参数法：当参数易于分离时，将参数分离到不等式一侧，转化为不含参函数的最值问题。分离后需注意参数系数的正负对不等号方向的影响； （2）分类讨论法：参数无法分离或分离后函数复杂时，按参数取值范围分类讨论，在各子区间内分别研究函数单调性，结合区间端点值及极值确定满足条件的参数区间； （3）端点效应法：当不等式在区间端点处恰好取等时，利用端点处的导数条件给出参数的必要范围，再证明该范围内充分性成立，多用于含参不等式在闭区间上的恒成立问题； （4）必要性探路法：先利用特殊值（如端点或区间内特定值）代入得到参数的必要范围，缩小讨论范围，再在缩小的范围内证明充分性，可大幅减少分类讨论的类别。 4、实用技巧与易错提醒： （1）定义域优先：所有构造函数和求最值必须在定义域内进行，端点处若不在定义域内需用极限处理； （2）最值存在性：若函数在开区间上单调，最值可能在端点处取极限，需注意是否能取到该值，对应不等式是否带等号； （3）分离参数时注意符号：若除以含参表达式，需讨论其正负对不等号方向的影响； （4）两个变量的“任意”与“存在”组合：分别求出两个函数的最值，再根据逻辑词确定最值之间的比较方式，避免混淆方向； （5）能成立问题与恒成立问题的否定关系：“ 能成立”的否定是“ 恒成立”，可用于反证或验证。 题型通法及变式提升 题型1 利用导数解决函数恒成立问题 【典例1-1】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数，， (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)证明：在区间恒成立； (3)若在区间内恒成立，求的取值范围． 核心口诀：恒成立，转最值；参分离，构函数；端点效应先检验，分类讨论步步清。 高分技巧： 分离参数法（首选）：若不等式 （或 ）在给定区间上恒成立，且参数 可分离，则转化为 恒成立，等价于 ；或 恒成立，等价于 。核心操作是求 在区间上的最值，注意端点处是否可取； 分离参数失效时直接构函数：若参数无法完全分离，或分离后函数形式复杂，可直接构造 （含参），转化为证明 恒成立。此时需对参数分类讨论，结合 的符号分析 的最小值； 端点效应优先验证：若恒成立不等式在区间端点处取等号（如 ），则可利用端点处的导数值缩小参数范围，再验证充分性。具体：由 且 得 （若 为区间左端点）或 （若 为区间右端点），据此先求参数的必要条件，再证明充分性； 导数为零点的隐零点处理：若 无法显式求解，设隐零点 ，利用 将 中的超越项用代数式替换，判断符号；同时需证明 存在且唯一（通常借助 的单调性）； 洛必达法则的慎用：分离参数后若 在端点处无定义但极限存在（如 ），可先求极限值，再补充定义讨论。高考中一般不要求使用洛必达，可改用放缩或构造函数回避； 含参恒成立的最值分析法：若 在区间上单调，则最小值在端点处取得，可直接代入端点值解参数；若 先减后增（或先增后减），则最小值在极值点处，需讨论极值点是否落在区间内； “恒成立”与“存在”问题的转换：有时可将恒成立问题转化为存在性问题进行反证——如证明 恒成立，等价于不存在 使 。 易错警示：分离参数时需注意不等号方向——若除以含参的表达式，需确认其正负，否则需分类讨论；分离后求 的最值时，务必注意区间端点是否可取（开区间可能取不到最值，需用极限描述）；端点效应得出的参数范围是必要条件，必须验证充分性，否则可能扩大范围；隐零点问题中，替换后的符号判断要严谨，不可直接估测。 【典例1-2】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数 . (1)若在取极小值，且，求的值; (2)当 时，恒成立，求最大值； (3)是否可以与轴相切? 若可以，求间关系式； 若不可以，说明理由. 【典例1-3】（2026·北京延庆·一模）已知函数，，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)是否存在a，使得不等式恒成立，若存在，求出a的所有值；不存在，请说明理由． 【变式1-1】（25-26高三上·北京昌平·期末）设函数（）. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的极值点的个数，并说明理由； (3)若，成立，求a的取值范围. 【变式1-2】（2026·北京平谷·一模）已知函数． (1)当，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求函数极值点的个数； (3)若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围． 【变式1-3】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)设，若对恒成立，求的取值范围． 题型2 利用导数解决函数能成立（有解）问题 【典例2-1】（2026·北京丰台·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，证明：当时，； (3)若存在，使成立，求实数的取值范围． 核心口诀：能成立，转存在；最值方向反着来，分离参数同套路，必要充分细思量。 高分技巧： 分离参数法（同样首选）：若存在 使 成立，等价于 （即参数小于等于函数最大值）；若存在 使 成立，等价于 （即参数大于等于函数最小值）。注意与恒成立的最值方向相反； 直接构函数法：若参数不可分离，构造 （含参），能成立问题转化为“存在 使 ”，等价于 （若要求 ）或 （若要求 ）。核心是求 在区间上的最值； 能成立与恒成立的逻辑关系：恒成立是“所有都满足”，能成立是“至少有一个满足”。两者互为否命题—— 等价于 。利用此关系，可通过否定恒成立来构造能成立问题，或反之； 存在性问题中的特值代入：选填题中，若存在性问题只需判断选项是否符合，可取特殊值代入检验——只要找到一个满足条件的 即可判定“能成立”成立，若所有特殊值均不满足则大概率排除； 区间端点与极值的取舍：能成立问题求最值时，若函数在区间内取最大值，则极大值点需考虑；若最大值在端点取得，则端点值需考虑。注意开区间内若最值不存在（仅趋近于某个数），则需用极限描述，此时“能成立”可能退化为严格不等式； 转化为方程有解问题：若能成立的不等式为 型，直接转化为方程在给定区间内是否有解。利用导数判断 的值域，若 落在值域内则有解； 两函数图象交点问题：能成立问题常等价于两个函数图象有交点。如证明存在 使 ，即两图象有公共点。此时可转化为 的零点存在性问题，利用零点存在定理（端点值异号）或极值符号判定。 易错警示：能成立问题求最值时方向必须正确—— 有解需 ，而非最小值，这是最常见的错误；若区间为开区间，最大值或最小值可能取不到，此时需用极限值代替，且需注意等号是否可取（如 有解，只需 ）；含参能成立问题若需分类讨论，需确保各类不重不漏；零点存在定理需保证函数连续，且区间端点值异号。 【变式2-1】（2026·北京石景山·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数是上的单调递增函数，求的值； (3)若存在，使得成立，求的取值范围. 【变式2-2】（25-26高三上·北京通州·期末）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使，求的取值范围； (3)若，求证：对任意，，当时，不等式恒成立. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·河南·模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 2．（2026·山西·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围； (3)若，且存在，，使得，证明：． 3．（2026·山东日照·三模）设． (1)设点P在曲线上，点Q在直线上，求的最小值； (2)若正实数a，b满足：对于，都有，求的最大值． 4．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数，，为的导函数. (1)当时，求的极值； (2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数b的取值范围. 5．（2026·山东滨州·二模）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使，求的取值范围. 创新提升 6．（2026·海南三亚·一模）已知函数（），． (1)讨论函数的单调性； (2)若的图像在处的切线与的图像相切，求实数的值； (3)当时，证明：对任意的，恒成立． 7．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，，． (1)讨论函数在区间上的单调性； (2)若，求在上的最大值； (3)求实数的最小值，使得对任意，都有． 8．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程. (2)当时，设为函数的导函数. （i）讨论函数的单调性； （ii）令，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 9．（2026·广西南宁·模拟预测）已知函数. (1)求在区间上的值域； (2)证明：； (3)已知，若存在，使得，求的取值范围. 10．（2026·山西临汾·二模）已知函数的一个极值点是． (1)讨论的单调性； (2)设，，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训03 利用导数研究恒成立与能成立问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 利用导数解决函数恒成立问题 2 题型2 利用导数解决函数能成立（有解）问题 12 重难专题分层过关练 18 巩固过关 18 创新提升 23 解题方法及技巧提炼 1、利用导数研究恒成立与能成立问题的基本思路是： （1）将命题转化为函数最值之间的不等关系，明确是“恒成立”还是“能成立”； （2）构造函数，求导确定其单调性及最值； （3）将条件转化为最值满足的不等式，通过解不等式求得参数范围； （4）当直接求最值困难时，通过分离参数、端点效应、放缩或多次求导等策略间接求解。 2、恒成立与能成立问题的逻辑转化： （1） 恒成立 ； （2） 恒成立 ； （3） 能成立（有解） ； （4） 能成立（有解） ； （5） 恒成立 ； （6）两个变量问题： 恒成立 ； 能成立 。 3、核心求解策略： （1）分离参数法：当参数易于分离时，将参数分离到不等式一侧，转化为不含参函数的最值问题。分离后需注意参数系数的正负对不等号方向的影响； （2）分类讨论法：参数无法分离或分离后函数复杂时，按参数取值范围分类讨论，在各子区间内分别研究函数单调性，结合区间端点值及极值确定满足条件的参数区间； （3）端点效应法：当不等式在区间端点处恰好取等时，利用端点处的导数条件给出参数的必要范围，再证明该范围内充分性成立，多用于含参不等式在闭区间上的恒成立问题； （4）必要性探路法：先利用特殊值（如端点或区间内特定值）代入得到参数的必要范围，缩小讨论范围，再在缩小的范围内证明充分性，可大幅减少分类讨论的类别。 4、实用技巧与易错提醒： （1）定义域优先：所有构造函数和求最值必须在定义域内进行，端点处若不在定义域内需用极限处理； （2）最值存在性：若函数在开区间上单调，最值可能在端点处取极限，需注意是否能取到该值，对应不等式是否带等号； （3）分离参数时注意符号：若除以含参表达式，需讨论其正负对不等号方向的影响； （4）两个变量的“任意”与“存在”组合：分别求出两个函数的最值，再根据逻辑词确定最值之间的比较方式，避免混淆方向； （5）能成立问题与恒成立问题的否定关系：“ 能成立”的否定是“ 恒成立”，可用于反证或验证。 题型通法及变式提升 题型1 利用导数解决函数恒成立问题 【典例1-1】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数，， (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)证明：在区间恒成立； (3)若在区间内恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先求导，利用几何意义得出斜率即可求出； （2）构造函数，研究其单调性，判断其正负性即可； （3）令，进而求证，再分类讨论，若，可求证当时，，若，则通过以及的单调性推出矛盾，若，则通过放缩得出即可求证. 【详解】（1）当时，， 则，，则， 故函数在处的切线方程为； （2）令，则， 则在上单调递减，则，即， 则在区间恒成立； （3）令，则， 则在上单调递增，则，即， 则， 又当时，在上恒成立， 则在上单调递减，则， 则当，时，， 又，则存在使得， 故存在使得，不符合题意； 令， 则， 当时， ， 若在上恒成立，则在上单调递减， 则，不符合题意； 若存在使得， 则由零点存在性定理可知，存在使得， 且使得在恒成立， 则在上单调递减，则，不符合题意； 当时， ， 则在上单调递增，则，符合题意， 综上可知，的取值范围为. 核心口诀：恒成立，转最值；参分离，构函数；端点效应先检验，分类讨论步步清。 高分技巧： 分离参数法（首选）：若不等式 （或 ）在给定区间上恒成立，且参数 可分离，则转化为 恒成立，等价于 ；或 恒成立，等价于 。核心操作是求 在区间上的最值，注意端点处是否可取； 分离参数失效时直接构函数：若参数无法完全分离，或分离后函数形式复杂，可直接构造 （含参），转化为证明 恒成立。此时需对参数分类讨论，结合 的符号分析 的最小值； 端点效应优先验证：若恒成立不等式在区间端点处取等号（如 ），则可利用端点处的导数值缩小参数范围，再验证充分性。具体：由 且 得 （若 为区间左端点）或 （若 为区间右端点），据此先求参数的必要条件，再证明充分性； 导数为零点的隐零点处理：若 无法显式求解，设隐零点 ，利用 将 中的超越项用代数式替换，判断符号；同时需证明 存在且唯一（通常借助 的单调性）； 洛必达法则的慎用：分离参数后若 在端点处无定义但极限存在（如 ），可先求极限值，再补充定义讨论。高考中一般不要求使用洛必达，可改用放缩或构造函数回避； 含参恒成立的最值分析法：若 在区间上单调，则最小值在端点处取得，可直接代入端点值解参数；若 先减后增（或先增后减），则最小值在极值点处，需讨论极值点是否落在区间内； “恒成立”与“存在”问题的转换：有时可将恒成立问题转化为存在性问题进行反证——如证明 恒成立，等价于不存在 使 。 易错警示：分离参数时需注意不等号方向——若除以含参的表达式，需确认其正负，否则需分类讨论；分离后求 的最值时，务必注意区间端点是否可取（开区间可能取不到最值，需用极限描述）；端点效应得出的参数范围是必要条件，必须验证充分性，否则可能扩大范围；隐零点问题中，替换后的符号判断要严谨，不可直接估测。 【典例1-2】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数 . (1)若在取极小值，且，求的值; (2)当 时，恒成立，求最大值； (3)是否可以与轴相切? 若可以，求间关系式； 若不可以，说明理由. 【答案】(1)， (2)1 (3)（） 【分析】（1）求出导函数，由题意且，列式求解，最后再验证即可； （2）求导函数，利用导数研究的单调性，结合，利用函数的最值思想求解即可； （3）设切点为，利用导数的几何意义及切点在x轴上，得，然后利用函数法求得方程的根为，进而求得. 【详解】（1）由得， 因为在 取极小值，所以， ① 又，代入得，解得 ， 把代入①，得，所以； 验证：当，时，，当时，，当时，，所以为的极小值点，符合题意，故，； （2）当 时，恒成立，即恒成立， 令，则，符合，， 令，则， 因为，，所以，即在上单调递增， 所以， 若，（即），则，在上单调递增， 故，符合条件； 若，（即），则存在，使得， 当时，，单调递减，此时，不符合条件； 所以，即，当时，等号成立，故最大值为1； （3）若与轴相切，设切点为，则需满足，且， 即，由第二个方程得， 代入第一个方程得， 整理得，即， 令，则， 因为，，令，得或， 所以当或时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的极大值（也是最大值）， 当x无限趋向于正无穷大时，无限趋向于负无穷大，无限趋向于正无穷大， 所以无限趋向于负无穷大，当x无限趋向于负无穷大时， 无限趋向于0， 所以无限趋向于0且，所以时，， 即方程的解为，所以， 所以可以与轴相切，此时满足（）. 【典例1-3】（2026·北京延庆·一模）已知函数，，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)是否存在a，使得不等式恒成立，若存在，求出a的所有值；不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，函数在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减. (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求曲线在点处的切线方程. （2）利用导数，分情况讨论，求函数的单调性. （3）设，问题转化为在其定义域上恒成立，求的值. 【详解】（1）当时，. 因为， ，所以， 所以曲线在点处的切线方程为：即. （2），. 当时，由，此时，函数在上单调递减； 当时，由， 此时由，由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上可知，当时，函数在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）设，问题转化为在其定义域上恒成立，求的值. 因为. 若，则函数的定义域为，此时，即， 所以在上单调递增. 因为. 设，. 则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 所以恒成立，所以在不可能恒成立. 若，则函数的定义域为，此时， 由，由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 要想在上恒成立，需要. 设，. 则. 由，由. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 即当时，. 所以为所求. 【变式1-1】（25-26高三上·北京昌平·期末）设函数（）. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的极值点的个数，并说明理由； (3)若，成立，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）对求导，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解； （2）根据已知条件，对进行分类讨论，利用导数法求函数极值的步骤及函数极值的定义即可求解； （3）问题转化为在上恒成立，利用导数求右侧的取值范围，即可得参数范围. 【详解】（1）由题设，，则，所以切点为， 由，则， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 所以切线方程为，即； （2）由题意知的定义域为，， 令， 当时，，在单调递增，无极值点， 当时，， 时，，在单调递增，无极值点； 时，，设方程的两根为， 所以，此时， ， ， ， 时，，函数单调递增； 时，，函数单调递减. 函数有两个极值点； 当时，，设方程的两根为， 所以，此时，而， 时，，函数单调递增； 时，，函数单调递减. 函数有一个极值点； 综上： 当时，函数有一个极值点； 当时，函数无极值点； 当时，函数有两个极值点. （3）由成立等价于在上恒成立. 令且，则， 令且，则， 所以在上单调递增，则，故， 所以在上单调递增，时，时， 所以，则. 【变式1-2】（2026·北京平谷·一模）已知函数． (1)当，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求函数极值点的个数； (3)若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)2个 (3) 【分析】（1）切线斜率等于函数在该点的导数值，结合点斜式直线方程即可求解； （2）多次求导得函数的单调性，进而求出函数的极值点即可判断； （3）分离参数得在上恒成立，令，多次求导得其单调性，然后求解最值即可． 【详解】（1）当时，，所以． 所以． 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）由，得， 令，则． 当时，，当时，， 所以在区间上是减函数，在区间上是增函数． 所以的最小值为． ， 又在单调递减，在单调递增， 故存在，使得， 所以，在区间上，在区间上． 所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故是函数的极大值点． 同理：存在，使得， 所以，在区间上，在区间上． 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故是函数的极小值点． 综上：函数极值点有2个． （3）对任意的实数恒成立， 等价于在上恒成立，得， 令，则． 令，则．因为，所以， 所以在上是增函数，所以，所以， 所以在上是增函数，所以的最小值为．所以， 即实数的取值范围． 【变式1-3】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)设，若对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)要证，即证． 又，即证． 设，， 所以在上单调递增． 所以．所以 (3)． 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）通过构造函数，利用导数求出在时的最小值即可； （3）由函数在上是增函数，可得，构造，利用导数求出的单调性即可. 【详解】（1）因为，则， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）略. （3）因为，所以当时，且，即，所以在上是增函数， 因为，， 若对恒成立，则， 设，， ①时，显然，所以在单调递增， 当时，，所以对任意有，即，所以符合题意． ②当时，显然，． ↘ 极小值 ↗ 由上表知，． 依题意，所以． 综上可知的取值范围为． 题型2 利用导数解决函数能成立（有解）问题 【典例2-1】（2026·北京丰台·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，证明：当时，； (3)若存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 令，则． 因为，所以当变化时，的变化情况如下表： 0 增 极大值 减 所以． 由，可知在 上单调递减， 所以. (3). 【分析】（1）利用导数的几何意义可求切线方程； （2）求出，令，利用导数可证，从而可得的单调性，故可证； （3）原不等式有解即为存在，使成立，，就、结合导数分类讨论可求参数的取值范围. 【详解】（1）时，，所以，故 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）略 （3）由题意，存在，使成立， 即存在，使成立， 即成立． 令， 则． ①当时，在 上 ，故在 单调递增， 所以 ，不合题意． ②当时，令． 因为，所以在 单调递增， 又因为， 所以存在，使． 所以当变化时，的变化情况如下表： 0 0 减 极小值 增 ，取，故 在上有解， 综上，的范围是. 核心口诀：能成立，转存在；最值方向反着来，分离参数同套路，必要充分细思量。 高分技巧： 分离参数法（同样首选）：若存在 使 成立，等价于 （即参数小于等于函数最大值）；若存在 使 成立，等价于 （即参数大于等于函数最小值）。注意与恒成立的最值方向相反； 直接构函数法：若参数不可分离，构造 （含参），能成立问题转化为“存在 使 ”，等价于 （若要求 ）或 （若要求 ）。核心是求 在区间上的最值； 能成立与恒成立的逻辑关系：恒成立是“所有都满足”，能成立是“至少有一个满足”。两者互为否命题—— 等价于 。利用此关系，可通过否定恒成立来构造能成立问题，或反之； 存在性问题中的特值代入：选填题中，若存在性问题只需判断选项是否符合，可取特殊值代入检验——只要找到一个满足条件的 即可判定“能成立”成立，若所有特殊值均不满足则大概率排除； 区间端点与极值的取舍：能成立问题求最值时，若函数在区间内取最大值，则极大值点需考虑；若最大值在端点取得，则端点值需考虑。注意开区间内若最值不存在（仅趋近于某个数），则需用极限描述，此时“能成立”可能退化为严格不等式； 转化为方程有解问题：若能成立的不等式为 型，直接转化为方程在给定区间内是否有解。利用导数判断 的值域，若 落在值域内则有解； 两函数图象交点问题：能成立问题常等价于两个函数图象有交点。如证明存在 使 ，即两图象有公共点。此时可转化为 的零点存在性问题，利用零点存在定理（端点值异号）或极值符号判定。 易错警示：能成立问题求最值时方向必须正确—— 有解需 ，而非最小值，这是最常见的错误；若区间为开区间，最大值或最小值可能取不到，此时需用极限值代替，且需注意等号是否可取（如 有解，只需 ）；含参能成立问题若需分类讨论，需确保各类不重不漏；零点存在定理需保证函数连续，且区间端点值异号。 【变式2-1】（2026·北京石景山·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数是上的单调递增函数，求的值； (3)若存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对函数求导，求出切点处的导数值和函数值，进而求得切线方程. （2）若函数单调递增，则其导函数大于等于0恒成立，通过构造新函数，求新函数的最值来确定的值. （3）将转化为关于的不等式，通过构造新函数，求新函数的最值来确定的取值范围. 【详解】（1）对函数求导得，所以. 因为，所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）对函数求导得，因为函数是上的单调递增函数， 所以在上恒成立. 令，则. 当时，，所以，在上单调递增. 又因为，当时，，不满足在上恒成立，所以. 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以在处取得最小值. 因为在上恒成立，所以，即. 令，对求导，可得. 令，即，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在处取得最大值. 因为，且，所以，此时. （3）令，所以原问题变为存在，使得成立， 对求导得，，令. 求导得，当时，， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以，即. 此时不存在，使得成立，不符合题意； 当时，令，则. 当时，；当时，； 当，即时，在上单调递增，所以. 所以在上单调递增，所以，即. 此时不存在，使得成立，不符合题意； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 因为 ，所以在区间上， 因此在上单调递减， 又，故存在，使得，即成立， 综上，所以. 【变式2-2】（25-26高三上·北京通州·期末）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使，求的取值范围； (3)若，求证：对任意，，当时，不等式恒成立. 【答案】(1) (2) (3) 由（2）知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，则，所以在区间上单调递增， 要证对任意，，当时，不等式恒成立， 即证明对任意，，当时，不等式恒成立， 即证明对任意，，当时，不等式恒成立， 令， 则，当时，， 又，则，所以当时，， 则在区间上恒成立，所以在区间上单调递增， 当时，，即， 故命题得证. 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出曲线在点处的斜率，再由直线的点斜率式，即可求解； （2）先求出的单调区间，进而求出的最小值为，再结合条件可得，再求解不等式，即可求解； （3）利用（2）中的结果，将问题转化成证明对任意，，当时，不等式恒成立，构造函数，利用导数，求出其在区间上的单调性，即可求解. 【详解】（1）当时，，则， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）易知的定义域为，且， 因为，令，得到，当时，， 当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以， 又由题知，存在，使，则，即， 令，则， 当时，，当时，， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，所以当时，， 故的取值范围为. （3）略 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·河南·模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用函数在点处的导数值即曲线的斜率及点在曲线上求得的值； （2）当时，恒成立，等价于 ，构造函数，求最小值，即可求实数的取值范围； 【详解】（1）已知函数，求导得 ， 由题意，得且 ， 所以，． （2）由（1）可知，， 由，得 ， 又，所以 ， 设，， 又，，由，解得， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，所以，即实数的取值范围为． 2．（2026·山西·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围； (3)若，且存在，，使得，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）由题意在上恒成立，参变分离后，构造函数求导后计算最小值即可得； （3）利用导数求出单调性后，设，结合正负性可得、范围，再利用比值换元法，可得，，即可将证明转化为证明在上恒成立，构造相应函数并借助导数研究其单调性即可得. 【详解】（1）若，则，， ，又， 故曲线在点处的切线方程为； （2）由时，，即，整理得， 令，，则， 故在上单调递减，则，即； （3）若，则，， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又时，，时，， 则，不妨设，则， 由，则， 两边同取对数，可得， 故，令，则， 即，，故， 要证，只需证，即只需证， 令， 则， 故在上单调递增，则， 即有恒成立，即得证. 3．（2026·山东日照·三模）设． (1)设点P在曲线上，点Q在直线上，求的最小值； (2)若正实数a，b满足：对于，都有，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数求出平行于直线的直线与曲线相切的切点坐标，再结合几何性质求出最小值. （2）等价变形给定不等式并构造函数，利用导数求出函数的最小值，由此最小值不小于0得，进而得的关系式，再构造函数并求出最大值即可. 【详解】（1）依题意，将直线往靠近曲线的方向平移， 当平移到直线与曲线相切时，切点P与直线间的距离最近， 设切线方程为，切线与曲线的切点为，而， 则，即，解得，，点到直线的距离， 因此，当且仅当点坐标为，且垂直于直线时取等号， 所以的最小值为. （2）对于任意，不等式恒成立，， 令，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，即，由，得， 解得，则，令函数， 求导得，当时，； 当时，，函数在上单调递增，在上单调递减， 则，因此，所以的最大值为． 4．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数，，为的导函数. (1)当时，求的极值； (2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数b的取值范围. 【答案】(1)的极小值为，无极大值； (2). 【分析】（1）求导分析函数单调区间，再根据单调性求解极值； （2）利用分离参数法可得，构造函数，结合导数求解最值，即可得到的取值范围. 【详解】（1）当时，，定义域为，求导得：， 令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此仅有极小值，无极大值，极小值为： . （2）由，代入和的表达式得： 整理得：， 由于，即，不等式变形为： 要使不等式恒成立，只需，其中， 令，则，因为 ， 所以的单调性与相反，的最大值对应的最小值， ，令，得： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此在处取得最小值： 进而可得的最大值： 因此，即实数的取值范围是. 5．（2026·山东滨州·二模）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，根据导数求得函数，结合题意可得成立，令，求导，根据导数计算即可求解. 【详解】（1）若，则，， 则，， 所以过点的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， ， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，函数有最小值，即， 若存在，使，则成立， 即，即， 令， ， 令，则， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数有最小值，即， 所以在区间恒成立， 所以函数在区间上单调递增， 因为， 所以当 时， 成立，故的取值范围为. 创新提升 6．（2026·海南三亚·一模）已知函数（），． (1)讨论函数的单调性； (2)若的图像在处的切线与的图像相切，求实数的值； (3)当时，证明：对任意的，恒成立． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减； (2)； (3)证明：当时，， 要证明对任意的，恒成立， 即证明，即， 令，则， 令，得， 所以当时，单调递减；当时，单调递增； 所以， 所以，即， 令， 则有， 又因为， 所以， 所以对任意的，恒成立． 【分析】（1）求导后分和两种情况讨论求解即可； （2）首先求得切线的方程为，设直线与函数相切于点，由题意可得且，求解即可； （3）要证明原不等式在上恒成立，即证明恒成立，先证明，从而可得，再令，借助于放缩法即可得证明. 【详解】（1）因为， 所以， 当时，，在上单调递增； 当时，令，得， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增；在上单调递减； （2）因为， 所以，， 所以， 所以切线的方程为， 设直线：与函数相切于点， 因为， 所以且， 解得， 所以； （3）略. 7．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，，． (1)讨论函数在区间上的单调性； (2)若，求在上的最大值； (3)求实数的最小值，使得对任意，都有． 【答案】(1)当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减． (2) (3) 【分析】（1）分和两种情况进行讨论； （2）根据（1）的结论直接求解即可； （3）分，，三种情况进行讨论，其中，分别根据（1），（2）的结论进行说明，直接判断即可. 【详解】（1）由得． 若，则对任意，， 所以．因此在上单调递减． 若，令，解得． 当时，；当时，． 因此在上单调递增，在上单调递减． （2）当时，由（1）知，在处取得最大值． 因此． 故在上的最大值为． （3）要使对任意，都有， 等价于对任意恒成立． 记． 若，由（1）可知，在上单调递减． 又，所以对任意，． 因此时，不等式恒成立． 若，由（2）可知，的最大值为． 设，． 则，所以在上单调递减， 又，所以当时，． 因此此时存在，使得，不等式不能恒成立． 若，由于（），而， 不等式显然不可能对任意成立． 综上，满足条件的的最小值为． 8．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程. (2)当时，设为函数的导函数. （i）讨论函数的单调性； （ii）令，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （ii） 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）（i）求导，分、、三种情况讨论函数的单调性即可； （ii）转化问题为对任意恒成立，设，，先证明，当且仅当时等号成立，进而得到，进而求解即可. 【详解】（1）当时，，则. 即，而， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）（i）当时，， 令， 则. 令，得或. ①当，即时， 若，则或；若，则. 所以在和上单调递增，在上单调递减. ②当，即时，恒成立，在上单调递增. ③当，即时， 若，则或；若，则. 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （ii）由，得， 即对任意恒成立， 设，， 令，，设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，当且仅当时等号成立， 由于在上单调递增， 且时，，时，， 则存在唯一，使得， 所以，当且仅当时等号成立， 则，又，则实数的取值范围为. 9．（2026·广西南宁·模拟预测）已知函数. (1)求在区间上的值域； (2)证明：； (3)已知，若存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明：由（1）可知当时有，所以， 又因为，所以 ，证毕. (3) 【分析】（1）根据导数判断单调性即可得到值域； （2）利用（1）得到的以及对不等式左边进行放缩，裂项相消求和即可证明不等式； （3）构造函数，求导数，并对参数分类讨论即可. 【详解】（1）由题得，所以在上单调递增， 于是有，且当时，， 故在区间上的值域为. （2）略 （3）令，则， 当时， 令，则， 令，则， 令，则， ①当时，，所以在上单调递增， 所以，则在上单调递增， 所以，则在上单调递增，， 即， ②当时，，， 所以， 综上①②，当时，对任意，都有成立，不符合题意． 当时，， 则必存在，使得当时，， 所以在上单调递减，，即，符合题意， 所以的取值范围为． 10．（2026·山西临汾·二模）已知函数的一个极值点是． (1)讨论的单调性； (2)设，，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)当，函数在上单调递增，在和上单调递减；当，函数在上单调递增，在和上单调递减． (2) 【分析】（1）求导，结合已知极值点得出关系，再利用导数分类讨论，分析函数单调性； （2）结合（1）的结论利用单调性分析函数在区间内的最值，分析的单调性和最值，结合已知不等式构造不等式组求解． 【详解】（1）（）， ， 函数的一个极值点是， ，即，则有， 则（）， 当时，，函数在上单调递减， 此时函数没有极值点，不符合题意，所以， （，）， ①当时，令得或，列表如下： 2 － 0 ＋ 0 － 减 增 减 满足是函数的极值点； ②当时，令得或，列表如下： 2 － 0 ＋ 0 － 减 增 减 满足是函数的极值点； 综上：当，函数在上单调递增， 在和上单调递减； 当，函数在上单调递增， 在和上单调递减． （2）由（1）知，，且， 在单调递增，在单调递减， 又，， 在上的最大值为， 最小值为， 又时函数在单调递增， 在上的最大值为，最小值为， 存在，使得成立， 即存在，使得成立， 则， 又，解得， 实数的取值范围为． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $