解答题专训22 利用导数研究恒成立问题（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以导数为工具，系统构建恒成立问题“类型-通法-变式”三层解题体系，通过分层训练培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方法技巧|恒成立/能成立2类8种类型|分离参数/构造函数/分类讨论，双变量最值比较|从单变量到双变量，从基础到综合，形成“类型解析-通法提炼-变式应用”链条| |题型通法|3题型（各1典例+2变式）|恒成立等价转化，能成立与恒成立对比，双函数最值关系|典例覆盖北京等地区期中/模拟题，突出参数范围求解核心考法| |分层过关|巩固12题+创新4题|结合二次/对数/指数函数单调性，贴合新高考“基础综合”特点|由易到难，从单一到综合，强化知识迁移与问题解决能力|

解答题专训22 利用导数研究恒成立问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 利用导数研究函数恒成立问题 2 题型2 利用导数研究函数能成立问题 5 题型3 利用导数研究双变量恒成立问题 8 重难专题分层过关练 12 巩固过关 12 创新提升 22 解题方法及技巧提炼 1.恒成立问题常见类型 自变量，范围为，为函数；为参数， （1）的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） 2.能成立（有解）问题常见类型 自变量，范围为，为函数；为参数， （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 ② ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 题型通法及变式提升 题型1 利用导数研究函数恒成立问题 1 【典例1】（25-26高三下·北京西城·期中）已知函数. (1)当时，求的极值点； (2)若不等式对恒成立，求a的取值范围. 【解】（1）由题意得， 当时，令，得或， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则函数的极小值点为，极大值点为0. （2）由，得到， 因为，所以，则， 令，则， 当时，，即在区间上单调递增， 当时，，即在区间上单调递减，所以， 得到，所以，故的取值范围为． 恒成立问题常见处理方法：①分离参数，化为 或 对定义域内所有 成立，转化为求 的最大值或最小值；②直接构造新函数 ，利用导数求其最小值，令最小值 （或 ）。若参数不可分离，则需对参数分类讨论，结合导数零点划分单调区间，最终通过最值条件求解。注意端点及定义域的限制。 【变式1】（25-26高三下·北京延庆·期中）已知函数． (1)求函数的单调增区间和减区间： (2)求函数的极值： (3)若恒成立，求实数m的取值范围． 【解】（1）， 令，解得或， 当或时，，单调递增， 当时， ，单调递减 综上：函数的单调递增区间为和，递减区间为. （2）由（1）可知，令，解得或， x 1 ＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 单调递减 单调递增 当时，取得极大值，， 当时，取得极小值，， 因此的极大值为的极小值为. （3）当时，恒成立， 只需使在上最大值小于等于m即可， 由（1）知最大值为、中的较大者. ∴在上的最大值为， ∴， 所以实数m的取值范围是. 【变式2】已知函数． (1)求曲线垂直于y轴的切线方程； (2)求的极值 (3)若对于任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围 【解】（1），设切点为， 则，即，解得， 故，所以曲线垂直于y轴的切线方程为； （2），令得， 故当时，，当时，， 故为的极小值点，的极小值为，无极大值； （3），即， ，，只需， 令，则， 令得，，解得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值，， 所以； 题型2 利用导数研究函数能成立问题 3 【典例2】（2026·北京石景山·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数是上的单调递增函数，求的值； (3)若存在，使得成立，求的取值范围. 【解】（1）对函数求导得，所以. 因为，所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）对函数求导得，因为函数是上的单调递增函数， 所以在上恒成立. 令，则. 当时，，所以，在上单调递增. 又因为，当时，，不满足在上恒成立，所以. 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以在处取得最小值. 因为在上恒成立，所以，即. 令，对求导，可得. 令，即，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在处取得最大值. 因为，且，所以，此时. （3）令，所以原问题变为存在，使得成立， 对求导得，，令. 求导得，当时，， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以，即. 此时不存在，使得成立，不符合题意； 当时，令，则. 当时，；当时，； 当，即时，在上单调递增，所以. 所以在上单调递增，所以，即. 此时不存在，使得成立，不符合题意； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 因为 ，所以在区间上， 因此在上单调递减， 又，故存在，使得，即成立， 综上，所以. “存在 使得不等式成立”等价于不等式对应函数的最值满足条件：存在 使 ⇔ ；存在 使 ⇔ 。分离参数后： 有解 ⇔ ； 有解 ⇔ 。注意与恒成立问题的最值方向恰好相反。 【变式1】（25-26高三上·北京怀柔·期中）已知函数． (1)当时，求的单调区间、最大值； (2)设函数，若存在实数，使得，求m的取值范围． 【解】（1）当时，函数为，定义域为， 求导得， 当时，，，故，函数单调递增； 当时，，，故，函数单调递减； 函数在上单调递增，在上单调递减； 函数在处取得极大值，即为最大值，． （2）已知，存在实数，使得， 即不等式 在其定义域 上有解， 令，则问题等价于， 当时，，，求导得， 其中，故，在上单调递增， ； 当时，，故，求导得， 其中，故，在上单调递减， ， 综上可得，，要存在实数，使得，只需满足， 的取值范围为． 【变式2】（2026·浙江杭州一模）已知函数（a为实常数）． (1)若，求证：在上是增函数； (2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值； (3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【解】（1）由题设，则， 则在上有，故在上是增函数，得证； （2）由题设，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以最小值为时，最大值为时； （3）由题设在上能成立，则， 对于，则在上恒成立， 故在上单调递增，且时，即在上恒成立， 所以在上能成立， 令且，则， 对于且，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 当，，即在上恒成立， 在上恒成立，则在上单调递增，故， 所以. 题型3 利用导数研究双变量恒成立问题 6 【典例3】（2026·北京顺义高三·开学考试）已知函数的一个极值点是． (1)求a与b的关系式； (2)求出的单调区间； (3)设，，若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【解】（1）因为， 所以， 因为函数的一个极值点是， 所以，即； 则有， 当时，，函数在R上单调递减，此时函数没有极值点，不符合题意. 所以. （2），由（1）可知. ①当时，令得或，列表如下： x 2          - 0    + 0    - 满足是函数的极值点； ②当时，令得或，列表如下： x      2     - 0    + 0    - 满足是函数的极值点. 所以当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和． （3）由（1）（2）知，， 且时，在单调递增，在单调递减， 又因为，， 所以在上的最大值为，最小值为 又当时，函数在单调递增， 所以在上的最大值为，最小值为． 因为存在，使得成立， 即存在，使得成立， 即，又，所以解得， 所以实数a的取值范围为． 1.双函数恒成立核心等价关系：，恒成立 ；若为，则等价于，牢记等价关系避免出错； 2.函数最值求解技巧：分别求两个函数在定义域内的最值（或最值趋势），重点关注“无最值”的情况； 3.分类讨论技巧：针对含参函数，按参数符号或取值范围分类，分别判断函数的单调性与最值，再结合等价关系求解参数； 4.新高考适配技巧：双函数恒成立常结合二次函数、对数函数、指数函数的单调性，重点考查“最值比较”，解题时优先判断函数单调性，再确定最值，无需复杂放缩，贴合新高考“基础综合”的命题特点。 【变式1】（2026·湖南·三模）已知函数，． (1)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若为函数的极值点，求a的值； (3)设函数，当时，若对于任意，总存在，使得，求实数b的取值范围． 【解】（1）的定义域为，， 令，得，故函数在上单调递增， 因为函数在上单调递增，所以，解得， 故实数a的取值范围是． （2）令，得；令，得；令，得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极小值，也是唯一的极值点，所以，解得． （3）由（1）知：当时，函数有最小值， 若，则， 又因为对任意总存在，使得， 则当时，的最小值不大于， 函数的图象开口向上，对称轴为， 当，即时，则在上单调递增， 故的最小值为， 解得，故； 当，即时，则在上单调递减， 故的最小值为，解得，故； 当时，即时，则在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为，解得或． 故或， 综上所述，实数b的取值范围是． 【变式2】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数. (1)若时，求曲线在处切线的斜率； (2)求的单调区间； (3)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 【解】（1）当时，，则， ，在处切线的斜率为. （2）由题意知：的定义域为，， ①当时，，，， 在上单调递增； ②当时，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）对任意，均存在，使得，； ，当时，， 在上恒成立，即在上恒成立，； 令，则， 令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·北京房山一模）已知函数． (1)求函数的单调区间和极值． (2)若对恒成立，求实数的取值范围． 【解】（1）因为，则， 令，可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，减区间为， 函数的极大值为，极小值为. （2）由（1）可知，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且，， 故当时，， 因为对恒成立，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 2．（2026·吉林长春二模）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【解】（1）函数的导函数为，所以， 又，所以在处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， 由恒成立，得恒成立， 设，则， 当时，，所以函数在区间上单调递减； 当时，，所以函数在区间上单调递增， 所以，所以， 故实数的取值范围是． 3．（2026·山西吕梁一模）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)若在上有解，求实数的取值范围． 【解】（1），， 所以在处的切线方程为：，即. （2）因为在上有解，所以在上有解， 当时，在上有解， 令，则， 令，则， 当时，，单调递增，故， 则当时，，即． 所以，当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以， 综上可知，实数的取值范围是． 4．已知函数（为自然对数的底数）. （1）当时，求函数的单调区间； （2）已知函数在处取得极小值，在上有解，求实数的取值范围. 【解】（1）， 当时，， 单调递增区间是，单调递减区间是， 当时，单调递增区间是，递减区间是； （2）当时，在单调递增， 无极值不合题意， 当时，由（1）可得取得极小值， 函数在处取得极小值， 有解， ，设 不等式在上有解，， ， 当， 在单调递减，在单调递增， 取得极小值，也是最小值为， . 5．（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若关于的不等式在上恰有3个整数解，求的取值范围.（注：，，） 【解】（1）当时，，，所以， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （2）不等式在上恰有3个整数解，等价于在上恰有3个整数解， 令，， 则， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 又， ， 所以要使有3个整数解，需满足， 即，此时的整数解为：2，3，4. 所以的取值范围为. 6．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数，（，且，，且）. (1)当时，曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【解】（1）当时，，， ，由条件可知，，得； （2），， 当时，恒成立，所以在单调递增， 当时，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上可知，时，的增区间是，无减区间，当时，的减区间是，增区间是； （3）当，当时，，，所以，即，不满足条件， 当时，由（2）可知，在处取得最小值，最小值为， 若对任意的，恒成立，即 即，得，即， 所以的取值范围是. 7．（24-25高三下·北京朝阳·期末）已知函数的图象经过点. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若对恒成立，求实数的取值范围. 【解】（1）代入可得，解得， 当时，所以， 又， 故切线方程为，即 （2）定义域为， ， 令解得或， 当时，此时，此时在上单调递增， 当时，令，则或，令，则， 故的单调递减区间为，单调递增区间为， 当时，令，则或，令，则， 故的单调递减区间为，的单调递增区间为， （3）当时，有（2）知：在上单调递增， 所以当时，， 当时，，由（2）知：在上单调递增， 所以当时，， 当时，，由（2）可知在上单调递减， 所以，矛盾， 综上可得 8．（25-26高三下·北京顺义·阶段检测）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数在区间上的单调性； (3)是否存在，使得成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【解】（1）函数，求导得， 则，而，所以曲线在点处的切线方程为. （2）当时，，，因此， 所以函数在区间上的单调递增. （3）假定存在，使得成立，即存在，不等式成立， 令，求导得， 令，求导得，即函数在上递增， 则，即，于是，而， 因此，函数在上单调递增，，，则， 所以的取值范围是. 9．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数，． (1)若在点处的切线为，求实数的值； (2)设函数，求函数的单调区间与极值； (3)若存在，使得成立，求的取值范围． 【解】（1）， ，又在点处的切线为，得， 即，解得. （2）， ，， 令，解得，令，解得， ，单调递增，，单调递减， 在处取得极大值，极大值为，无极小值. （3）令，，使得， 等价于在上，， ，， ，， 令，，令，， 即在上单调递减，在上单调递增， 当即时，在上单调递减， ，则，解得， ，， 当即时，在上单调递减，在上单调递增， ，因为，所以， 则，即，不合题意， 综上，的取值范围为. 10．（25-26高三下·北京·阶段检测）设函数，其中是自然对数的底数. (1)当时，求函数的极值. (2)若在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围. (3)设，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围. 【解】（1）解：由已知，得， 时，．令，可得或， 函数在，，上为单调增函数，在，上为单调减函数， 所以函数的极大值为，极小值为. 函数的极大值为，极小值为. （2）解：， 令，要使在其定义域内是单调函数，只需在内， 满足或恒成立， 当且仅当时，，时，， 因为，所以当且仅当时，，时，， 因为在内有，当且仅当即时取等号， 所以当时，，，此时在单调递增， 当时，，，此时在单调递减， 综上，的取值范围为或． （3）解：，在，上是减函数， 时，；时，，即，. ①时，由（2）知在，递减（1），不合题意. ②时，由，， 不合题意 ③时，由（1）知在，上是增函数，故只需， ，，而（e），， ，解得． 故的取值范围为，． 11．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数 (1)当时，求曲线在点（1，f（1）处曲线的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围. 【解】（1）时，，， 故，， 故切线方程是：，整理得：. （2）的定义域为， 求导函数可得 当时，由于，故，，所以的单调递增区间为； 当时，由，得 在区间上，；在区间上，， 所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 综上：当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）由已知转化为 ，， ， 由知，当时，在上单调递增，值域为R，故不符合题意． 或者举出反例：存在，故不符合题意． 当时，在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值即为最大值，， 所以，所以， 解得：， 所以a的取值范围为. 12．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数. (1)若在处取得极值，求的值； (2)若对于任意的，都有，求实数的取值范围. 【解】（1）的定义域为， ， 若在处取得极值， ，即， 经验证在处取得极小值，所以. （2），且， 所以当时，， 对于任意的恒成立， 即对任意恒成立， 即恒成立. 令，则. 当时，递增；当时，递减， 当时，的最大值为， ，即的取值范围是. 创新提升 13．（25-26高三上·北京·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的零点个数； (3)若对于任意，恒成立，求的取值范围． 【解】（1）函数，因为，所以切点为， 由，得，即曲线在点处的切线斜率为0， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）由（1）可知， 因为，所以，令，则． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 又因为，， 所以，由零点存在定理可知，存在唯一的使得，存在唯一的使得．故函数有且仅有两个零点． （3）由（2）可知，， 即恒成立，即恒成立． 所以当时，恒成立， 下证当时，存在，使得． 令 因为， 故当时，对于任意不恒成立． 故． 14．（2025·北京房山·一模）已知函数，， （Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）设，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围． 【解】(Ⅰ)当时，，所以 所以 所以曲线在处的切线方程为，即 (Ⅱ)的定义域是， 令，得 ①当时，，所以函数的单调增区间是 ②当时，变化如下： + - - + ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗ 所以函数的单调增区间是，单调减区间是 ③当时，变化如下： + - - + ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗ 所以函数的单调增区间是，单调减区间是 (Ⅲ)因为，所以 当时， 所以在上恒成立，所以在上单调递增 所以在上的最小值是，最大值是 即当时，的取值范围为 由(Ⅱ)知，当时，，在上单调递减，在上单调递增 因为，所以不合题意 当时，，在上单调递减 所以在上的最大值为，最小值为 所以当时，的取值范围为 “对于任意，总存在，使得成立”等价于 即，解得 所以的取值范围为 15．（25-26高三上·北京·期中）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)当且时，判断与的大小，并说明理由. 【解】（1）当时，；； 而，； 故曲线在点处的切线方程为，即. （2）的定义域为，且；令，得. 当变化时，与的变化情况如下表： ﹣ ﹣ 0 + 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递增区间为；单调递减区间为和； （3）当且时，，证明如下： 令，则. 设，则. 所以当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 从而，即， 所以的单调递增区间为和. 当时，，即； 当时，，即. 综上，当且时，. 16．（25-26高三下·上海嘉定·期末）已知. (1)求曲线在处的切线方程； (2)已知函数在区间上有零点，求的值； (3)记，设、是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的取值范围. 【解】（1）因为，所以，所以切线斜率为， 又，切点为，所以切线方程为； （2），， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以的极小值为，， 在区间上存在一个零点，此时； 又，， 在区间上存在一个零点，此时． 综上，的值为0或3； （3）函数，， 所以， 由得，依题意方程有两不相等的正实根、， ，，， 又，，，解得， ， 构造函数，， 所以， 在上单调递减； 所以当时，， 所以． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题专训22 利用导数研究恒成立问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 利用导数研究函数恒成立问题 2 题型2 利用导数研究函数能成立问题 5 题型3 利用导数研究双变量恒成立问题 8 重难专题分层过关练 12 巩固过关 12 创新提升 22 解题方法及技巧提炼 1.恒成立问题常见类型 自变量，范围为，为函数；为参数， （1）的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） 2.能成立（有解）问题常见类型 自变量，范围为，为函数；为参数， （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 ② ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 题型通法及变式提升 题型1 利用导数研究函数恒成立问题 1 【典例1】（25-26高三下·北京西城·期中）已知函数. (1)当时，求的极值点； (2)若不等式对恒成立，求a的取值范围. 恒成立问题常见处理方法：①分离参数，化为 或 对定义域内所有 成立，转化为求 的最大值或最小值；②直接构造新函数 ，利用导数求其最小值，令最小值 （或 ）。若参数不可分离，则需对参数分类讨论，结合导数零点划分单调区间，最终通过最值条件求解。注意端点及定义域的限制。 【变式1】（25-26高三下·北京延庆·期中）已知函数． (1)求函数的单调增区间和减区间： (2)求函数的极值： (3)若恒成立，求实数m的取值范围． 【变式2】已知函数． (1)求曲线垂直于y轴的切线方程； (2)求的极值 (3)若对于任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围 题型2 利用导数研究函数能成立问题 3 【典例2】（2026·北京石景山·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数是上的单调递增函数，求的值； (3)若存在，使得成立，求的取值范围. “存在 使得不等式成立”等价于不等式对应函数的最值满足条件：存在 使 ⇔ ；存在 使 ⇔ 。分离参数后： 有解 ⇔ ； 有解 ⇔ 。注意与恒成立问题的最值方向恰好相反。 【变式1】（25-26高三上·北京怀柔·期中）已知函数． (1)当时，求的单调区间、最大值； (2)设函数，若存在实数，使得，求m的取值范围． 【变式2】（2026·浙江杭州一模）已知函数（a为实常数）． (1)若，求证：在上是增函数； (2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值； (3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 题型3 利用导数研究双变量恒成立问题 6 【典例3】（2026·北京顺义高三·开学考试）已知函数的一个极值点是． (1)求a与b的关系式； (2)求出的单调区间； (3)设，，若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 1.双函数恒成立核心等价关系：，恒成立 ；若为，则等价于，牢记等价关系避免出错； 2.函数最值求解技巧：分别求两个函数在定义域内的最值（或最值趋势），重点关注“无最值”的情况； 3.分类讨论技巧：针对含参函数，按参数符号或取值范围分类，分别判断函数的单调性与最值，再结合等价关系求解参数； 4.新高考适配技巧：双函数恒成立常结合二次函数、对数函数、指数函数的单调性，重点考查“最值比较”，解题时优先判断函数单调性，再确定最值，无需复杂放缩，贴合新高考“基础综合”的命题特点。 【变式1】（2026·湖南·三模）已知函数，． (1)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若为函数的极值点，求a的值； (3)设函数，当时，若对于任意，总存在，使得，求实数b的取值范围． 【变式2】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数. (1)若时，求曲线在处切线的斜率； (2)求的单调区间； (3)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·北京房山一模）已知函数． (1)求函数的单调区间和极值． (2)若对恒成立，求实数的取值范围． 2．（2026·吉林长春二模）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 3．（2026·山西吕梁一模）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)若在上有解，求实数的取值范围． 4．已知函数（为自然对数的底数）. （1）当时，求函数的单调区间； （2）已知函数在处取得极小值，在上有解，求实数的取值范围. 5．（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若关于的不等式在上恰有3个整数解，求的取值范围.（注：，，） 6．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数，（，且，，且）. (1)当时，曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 7．（24-25高三下·北京朝阳·期末）已知函数的图象经过点. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若对恒成立，求实数的取值范围. 8．（25-26高三下·北京顺义·阶段检测）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数在区间上的单调性； (3)是否存在，使得成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 9．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数，． (1)若在点处的切线为，求实数的值； (2)设函数，求函数的单调区间与极值； (3)若存在，使得成立，求的取值范围． 10．（25-26高三下·北京·阶段检测）设函数，其中是自然对数的底数. (1)当时，求函数的极值. (2)若在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围. (3)设，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围. 11．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数 (1)当时，求曲线在点（1，f（1）处曲线的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围. 12．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数. (1)若在处取得极值，求的值； (2)若对于任意的，都有，求实数的取值范围. 创新提升 13．（25-26高三上·北京·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的零点个数； (3)若对于任意，恒成立，求的取值范围． 14．（2025·北京房山·一模）已知函数，， （Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）设，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围． 15．（25-26高三上·北京·期中）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)当且时，判断与的大小，并说明理由. 16．（25-26高三下·上海嘉定·期末）已知. (1)求曲线在处的切线方程； (2)已知函数在区间上有零点，求的值； (3)记，设、是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的取值范围. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $