第04讲 含参不等式归纳（思维导图+知识要点+解题策略+题型归纳）讲义-2027届高三数学一轮复习不等式专题（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦含参不等式核心考点，涵盖一元二次、分式、绝对值不等式等10类题型，按高考分析、知识要点、解题策略、题型归纳系统架构。通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生建立分类讨论逻辑，突破参数范围、恒成立等难点。 资料以数学思维为导向，创新采用逆向推导、分离参数等策略，如通过解集端点确定零点并结合韦达定理求解参数，培养推理能力与模型观念。设置典型例题与变式训练分层练习，确保高效突破易错点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第04讲 含参不等式归纳 目 录 高考分析 1 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 3 题型归纳 4 题型01：含参一元二次不等式已解集问题 4 题型02：含参分式不等式已知解集问题 4 题型03：含参绝对值不等式已知解集问题 5 题型04：一元二次方程根的分布 5 题型05：含参不等式取值范围问题 6 题型06：整数解问题 7 题型07：不等式恒成立求参数问题 8 题型08：不等式有解求参数问题 9 题型09：与充分，必要条件结合的问题 10 题型10：高次不等式 11 1. 考查定位 属于高中数学通用工具类重难点，新高考不单独出大型解答题，但广泛分布单选、多选、填空；同时作为函数、导数、集合、解析几何大题的中间核心步骤，是拉开分数的关键模块。 2. 主流命题题型 ① 基础型：解含参一次、二次、绝对值、分式不等式，分类讨论写解集； ② 逆向型：已知不等式解集，求参数取值范围； ③ 综合热点：∀（恒成立）、∃（能成立）求参数范围； ④ 融合题型：与函数定义域、最值、集合交并结合命题。 3. 高频失分陷阱 ① 含参一次不等式：两边同除参数，忘记讨论参数正负，不等号方向出错； ② 二次不等式：遗漏二次项系数a=0（退化为一次不等式）；忘记讨论判别式；两根大小不确定不分类； ③ 分式不等式：直接乘分母，忽略分母不为0； ④ 绝对值不等式：去绝对值条件考虑不全； ⑤ 恒成立/能成立混淆最值选取逻辑；区间端点等号取舍失误。 4. 命题趋势 单纯解不等式题目逐步减少，侧重情景综合；常结合多选题设置多种讨论情况；恒成立、存在性问题是高三复习核心热点。 一．基础目标 1. 区分含参一次、二次、分式、绝对值不等式，掌握各类不等式标准解法； 2. 建立固定分类讨论逻辑，做到分类不重不漏，规范写出解集（区间/集合形式）。 二．能力目标 1. 熟练处理逆向题型：利用解集反向推导参数范围，灵活使用韦达定理； 2. 可以把恒成立、存在性不等式问题，等价转化为函数最值问题； 3. 灵活运用数形结合、等价转化思想简化复杂含参不等式。 三．应试目标 基础求解小题稳定得分；大题步骤完整，踩点得分；规避不等号方向、定义域、端点等低级错误。 一.含参一元一次不等式 ax>b 1. a>0，解集 x> 2. a<0，解集 x< 3. a=0： 若0>b恒成立 若0>b无解 二.含参一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0 讨论固定顺序：①二次项系数a ②根的判别式Δ③两根大小 当a=0：降为一次不等式； 当 a≠0：区分开口向上、向下； Δ>0两不等实根； Δ=0重根； Δ<0无实根； 口诀：开口向上，大于取两边，小于取中间；开口向下反之。 三.含参分式不等式 1.；2. 3.；4. 严禁直接两边同乘含参分母！ 四.基础含参绝对值不等式 |f(x)|>m、|f(x)|<m，优先讨论m正负，再去绝对值。 策略一：解含参不等式通用流程 1. 标准化整理：移项，一侧化为0；分式转化整式，去除绝对值符号； 2. 优先讨论最高次项系数（一次/二次不等式第一步！）； 3. 再讨论判别式、参数分界点； 4. 比较根的大小（多个零点时）； 5. 结合图像、不等号方向写出解集；标注限制条件（分母≠0）。 策略二：逆向题型（已知解集求参数） 1. 根据解集区间端点，确定零点； 2. 根据解集形式判断最高次项正负； 3. 利用韦达定理列方程求解参数，结果带回检验。 策略三：恒成立、能成立解题套路 1. 分离参数法（首选）：把参数单独放一侧，转化为函数最值； 2. 不便于分离参数：分类讨论+数形结合，借助二次函数图像分析； 策略四：避坑准则 1. 不等式两边同时乘除代数式，必须讨论正负； 2. 分式、对数、根式不等式优先写出定义域； 3. 分类讨论找到参数临界值，临界值单独验证能否取等； 4. 最终解集统一写成区间形式，不要直接罗列不等式。 补充考场小结 1. 简单含参不等式：抓住参数正负分界点； 2. 二次含参不等式固定顺序：系数→判别式→根大小； 3. 综合恒成立题目优先尝试分离参数； 4. 所有错误大多来源于：缺少情况讨论、忽略定义域、不等号方向改变失误。 题型01：含参一元二次不等式已解集问题 【典型例题1】已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【典型例题2】（多选）若关于的不等式的解集为，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【典型例题3】若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式＋c>bx的解集为________． 【典型例题4】已知关于的不等式的解集为. (1)求的值； (2)解关于的不等式. 【变式训练1-1】若不等式的解集是的子集，则a的范围是（　　） A．[－4，3] B．[－4，2] C．[－1，3] D．[－2，2] 【变式训练1-2】已知关于的不等式的解集为，若，则实数的值是（    ） A． B．2 C． D．或2 【变式训练1-3】设关于x的一元二次不等式与的解集分别为与，则不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】关于的不等式的解集为，则关于的不等式解集为 ． 【变式训练1-5】已知不等式的解集为或，求不等式的解集. 【变式训练1-6】已知关于x的不等式的解集为，求实数a、b的值． 题型02：含参分式不等式已知解集问题 【典型例题1】已知关于的不等式 的解集为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典型例题2】（多选）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B．点在第二象限 C．的最小值为2 D．关于的不等式的解集为 【典型例题3】关于的不等式，若此不等式的解集为，则的取值范围是___________. 【变式训练2-1】已知关于的不等式的解集是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】若集合，则实数___________. 【变式训练2-3】解关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是__________． 【变式训练2-4】若不等式的解集为，则不等式的解集为___________. 【变式训练2-5】已知关于x的不等式的解集为{x|x<1或x>3}，则a的值是 . 【变式训练2-6】（1）已知关于的不等式的解集是，求的值； （2）若正数，满足，求的最小值． 题型03：含参绝对值不等式已知解集问题 【典型例题1】若不等式的解集恰为不等式的解集，则a-b=（    ） A． B． C． D． 【典型例题2】已知不等式的解集为，则不等式的解集为 . 【变式训练3-1】已知关于x的不等式的解集是，则实数m的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】已知不等式与不等式的解集相同.若a，b，，且，则的最小值为 . 【变式训练3-3】若关于的不等式的解集为，则a＝ . 【变式训练3-4】已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为. (1)若，求实数的值和解集. (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 题型04：一元二次方程根的分布 【典型例题1】 已知方程有两个负实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典型例题2】关于x的方程恰有一根属于，则实数m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【典型例题3】已知关于的方程有两个不同实根，若，则实数的取值范围是 . 【典型例题4】已知关于的方程有两个不等的实根，． （1）两根一个根大于1，一个根小于1，求参数的取值范围； （2），，求参数的取值范围． 【变式训练4-1】已知方程2(k+1)+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围． 【变式训练4-2】若关于x的方程的一根大于－1，另一根小于－1，则实数k的取值范围为______． 【变式训练4-3】已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值. (1)有一根为； (2)有两个互为相反数的实根； (3)两根互为倒数. 【变式训练4-4】已知二次函数. (1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式； (2)若关于x的方程的两个实根均大于且小于4，求实数t的取值范围． 【变式训练4-5】已知二次函数． （1）求函数在区间的最大值； （2）若关于的方程有两个实根、，且，求实数的最大值． 【变式训练4-6】已知抛物线． （1）当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？ （2）若关于x的方程(m－1)x2＋(m－2)x－1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m的取值范围． 【变式训练4-7】已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0 (1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围 (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围 题型05：含参不等式取值范围问题 【典型例题1】关于的不等式的任意两个解的差不超过14，则的最大值与最小值的差是 . 【典型例题2】设集合，若，则实数的取值范围是 ； 【典型例题3】设集合（常数），，若，求实数的取值范围. 【典型例题4】已知全集，非空集合，． (1)当时，求； (2)命题，命题，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围． 【变式训练5-1】若不等式的解集是的子集，则a的范围是（　　） A．[－4，3] B．[－4，2] C．[－1，3] D．[－2，2] 【变式训练5-2】设全集为，已知，． (1)若，求(； (2)若，求实数a的取值范围． 【变式训练5-3】已知关于x的不等式的解集为A． (1)若，求实数a的取值范围；(2)若，求实数a的取值范围． 【变式训练5-4】已知全集，集合，. (1)当时，求； (2)命题p：，命题q：，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围. 题型06：整数解问题 【典型例题1】不等式|x－1|＋|x－2|≤3的最小整数解是（    ） A．0 B．－1 C．1 D．2 【典型例题2】若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【典型例题3】若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为________． 【典型例题4】关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是______． 【典型例题5】设关于的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的非负整数解的和为 . 【变式训练6-1】若关于的不等式恰好有个整数解，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】设关于x的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则a的取值是___________，全部不等式的整数解的和为___________. 【变式训练6-3】设关于的不等式，（），只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为___________. 【变式训练6-4】的解集中有且仅有3个整数解，则实数的取值范围__________. 【变式训练6-5】关于的不等式的整数解恰有3个，则实数的取值范围是 . 【变式训练6-6】若关于的不等式的解集中的整数恰有2个，则实数的取值范围是 ． 【变式训练6-7】关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围是 . 【变式训练6-8】已知关于的不等式的解集中恰有5个整数解，则实数的范围是 . 【变式训练6-9】已知关于x的不等式组的整数解的集合为,则实数k的取值范围是 ． 【变式训练6-10】如果关于x的不等式组的整数解仅有1，2，试求整数a，b的所有可能的值． 【变式训练6-11】对x，y定义一种新运算T，规定：T(x，y)＝ (其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是普通的四则运算，例如：T(0，1)＝＝b.已知T(1，－1)＝－2，T(4，2)＝1. （1）求a，b的值； （2）若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数p的取值范围． 题型07：不等式恒成立求参数问题 【典型例题1】若不等式对一切实数都成立，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【典型例题2】已知使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【典型例题3】已知，，，写出满足“”恒成立的正实数的一个范围是 （用区间表示）． 【典型例题4】不等式的解集为，则的取值范围是_________. 【典型例题5】 (1)若对∀x∈R不等式x2＋mx>4x＋m－4恒成立，求实数m的取值范围； (2)若x2>4x＋m－4在R上恒成立，求m的取值范围． 【变式训练7-1】若不等式 的解集为，则实数的范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式训练7-2】若“”是“”的一个必要不充分条件，则实数m的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】若关于x的二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|m≤－2或m≥2} B．{m|－2≤m≤2} C．{m|m<－2或m>2} D．{m|－2<m<2} 【变式训练7-4】（多选)不等式对任意的R恒成立，则（       ） A． B． C． D． 【变式训练7-5】已知不等式x2－2x＋5≥a2－3a对∀x∈R恒成立，则a的取值范围为________． 【变式训练7-6】若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是______. 【变式训练7-7】已知不等式ax2＋2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立，解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0. 【变式训练7-8】已知集合，其中． (1)求集合A； (2)若，求实数的取值范围． 题型08：不等式有解求参数问题 【典型例题1】若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典型例题2】已知不等式． (1)若不等式在时有解，求实数的取值范围； (2)若不等式在时恒成立，求实数的取值范围． 【变式训练8-1】（多选）两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数的值可以是（    ） A．-2 B．-1 C．3 D．5 【变式训练8-2】若两个正实数x，y满足上且存在这样的x，y使不等式有解，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-3】已知函数，，. (1)若关于的不等式的解集为或，求实数，的值； (2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； (3)若关于的不等式的解集中恰有个整数，求实数的取值范围． 题型09：与充分，必要条件结合的问题 【典型例题1】已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典型例题2】不等式组有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【典型例题3】若是的必要不充分条件，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【典型例题4】不等式对一切实数x恒成立的k的取值集合为A，集合. (1)求集合A； (2)若___________，求实数m的取值范围． 在①；②“ ​”是“​”的充分条件；③“”是“”的必要条件这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并给出解答． 【典型例题5】已知命题函数的两个零点均在上，命题 ． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要且不充分条件，求实数的取值范围． 【变式训练9-1】已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为(　　) A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1<a<4} C．{a|a≥4或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1} 【变式训练9-2】若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-3】设函数，若不等式的解集是，则 ；若对于任意，不等式有解，则实数的取值范围为 ． 【变式训练9-4】若，且关于x的不等式在R上有解，求实数a的取值范围． 【变式训练9-5】已知全集. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【变式训练9-6】已知非空集合，集合． （1）当时，求； （2）命题，命题，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围． 【变式训练9-7】已知：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围为______ 【变式训练9-8】已知命题：“，使等式成立”是真命题， (1)求实数的取值集合； (2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围． 题型10：高次不等式 【典型例题1】不等式的解集是 . 【典型例题2】不等式的解集为 . 【典型例题3】不等式的解集为 . 【典型例题4】解不等式（2x+1）（3x+2）2（4x+3）3（5x+3）≤0. 【变式训练10-1】 的解集为 . 【变式训练10-2】关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 【变式训练10-3】不等式的解集为___________. 【变式训练10-4】解不等式（x+2）（x-1）9（x+1）12（x-3）≥0. 【变式训练10-5】解不等式. 【变式训练10-6】不等式的解集为___________. 【变式训练10-7】不等式的解集为________ 【变式训练10-8】解不等式 【变式训练10-9】不等式的解集为_________. 【变式训练10-10】不等式的解集为________． 【变式训练10-11】关于的不等式的解集为________. 【变式训练10-12】不等式的解集是________． 【变式训练10-13】不等式的解集为________． 【变式训练10-14】已知集合，则__________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 含参不等式归纳 目 录 高考分析 1 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 3 题型归纳 4 题型01：含参一元二次不等式已解集问题 4 题型02：含参分式不等式已知解集问题 7 题型03：含参绝对值不等式已知解集问题 11 题型04：一元二次方程根的分布 13 题型05：含参不等式取值范围问题 20 题型06：整数解问题 23 题型07：不等式恒成立求参数问题 30 题型08：不等式有解求参数问题 33 题型09：与充分，必要条件结合的问题 37 题型10：高次不等式 43 1. 考查定位 属于高中数学通用工具类重难点，新高考不单独出大型解答题，但广泛分布单选、多选、填空；同时作为函数、导数、集合、解析几何大题的中间核心步骤，是拉开分数的关键模块。 2. 主流命题题型 ① 基础型：解含参一次、二次、绝对值、分式不等式，分类讨论写解集； ② 逆向型：已知不等式解集，求参数取值范围； ③ 综合热点：∀（恒成立）、∃（能成立）求参数范围； ④ 融合题型：与函数定义域、最值、集合交并结合命题。 3. 高频失分陷阱 ① 含参一次不等式：两边同除参数，忘记讨论参数正负，不等号方向出错； ② 二次不等式：遗漏二次项系数a=0（退化为一次不等式）；忘记讨论判别式；两根大小不确定不分类； ③ 分式不等式：直接乘分母，忽略分母不为0； ④ 绝对值不等式：去绝对值条件考虑不全； ⑤ 恒成立/能成立混淆最值选取逻辑；区间端点等号取舍失误。 4. 命题趋势 单纯解不等式题目逐步减少，侧重情景综合；常结合多选题设置多种讨论情况；恒成立、存在性问题是高三复习核心热点。 一．基础目标 1. 区分含参一次、二次、分式、绝对值不等式，掌握各类不等式标准解法； 2. 建立固定分类讨论逻辑，做到分类不重不漏，规范写出解集（区间/集合形式）。 二．能力目标 1. 熟练处理逆向题型：利用解集反向推导参数范围，灵活使用韦达定理； 2. 可以把恒成立、存在性不等式问题，等价转化为函数最值问题； 3. 灵活运用数形结合、等价转化思想简化复杂含参不等式。 三．应试目标 基础求解小题稳定得分；大题步骤完整，踩点得分；规避不等号方向、定义域、端点等低级错误。 一.含参一元一次不等式 ax>b 1. a>0，解集 x> 2. a<0，解集 x< 3. a=0： 若0>b恒成立 若0>b无解 二.含参一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0 讨论固定顺序：①二次项系数a ②根的判别式Δ③两根大小 当a=0：降为一次不等式； 当 a≠0：区分开口向上、向下； Δ>0两不等实根； Δ=0重根； Δ<0无实根； 口诀：开口向上，大于取两边，小于取中间；开口向下反之。 三.含参分式不等式 1.；2. 3.；4. 严禁直接两边同乘含参分母！ 四.基础含参绝对值不等式 |f(x)|>m、|f(x)|<m，优先讨论m正负，再去绝对值。 策略一：解含参不等式通用流程 1. 标准化整理：移项，一侧化为0；分式转化整式，去除绝对值符号； 2. 优先讨论最高次项系数（一次/二次不等式第一步！）； 3. 再讨论判别式、参数分界点； 4. 比较根的大小（多个零点时）； 5. 结合图像、不等号方向写出解集；标注限制条件（分母≠0）。 策略二：逆向题型（已知解集求参数） 1. 根据解集区间端点，确定零点； 2. 根据解集形式判断最高次项正负； 3. 利用韦达定理列方程求解参数，结果带回检验。 策略三：恒成立、能成立解题套路 1. 分离参数法（首选）：把参数单独放一侧，转化为函数最值； 2. 不便于分离参数：分类讨论+数形结合，借助二次函数图像分析； 策略四：避坑准则 1. 不等式两边同时乘除代数式，必须讨论正负； 2. 分式、对数、根式不等式优先写出定义域； 3. 分类讨论找到参数临界值，临界值单独验证能否取等； 4. 最终解集统一写成区间形式，不要直接罗列不等式。 补充考场小结 1. 简单含参不等式：抓住参数正负分界点； 2. 二次含参不等式固定顺序：系数→判别式→根大小； 3. 综合恒成立题目优先尝试分离参数； 4. 所有错误大多来源于：缺少情况讨论、忽略定义域、不等号方向改变失误。 题型01：含参一元二次不等式已解集问题 【典型例题1】已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】A 【分析】先根据一元二次不等式的解集求参，再结合基本不等式求最值即可. 【详解】的解集为，故为方程的两个根， 且（当且仅当时等号成立）. 故选：A. 【典型例题2】（多选）若关于的不等式的解集为，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先根据的解集为得到的关系和范围，利用不等式的性质可得的范围. 【详解】由题意满足：，且的两个根为， 所以，， 得， ， 得，因，所以， ， 故， 所以、不满足题意，、满足题意， 故选：BC 【典型例题3】若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式＋c>bx的解集为________． 【答案】　{x|x<0} 【解析】　由题意知，－1,2为ax2＋bx＋c＝0的两根，∴且a<0，∴不等式＋c>bx可化为－2a>－ax，∵a<0，即－2<－x，即<0，∴x<0. 【典型例题4】已知关于的不等式的解集为. (1)求的值； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由一元二次等式与一元二次不等式的关系可知方程的解为，再利用韦达定理即可求出答案； （2）将代入不等式得，化简可得，即可解出不等式. 【详解】（1）由题意知一元二次方程的解为， 由韦达定理有：， 解得：； （2）将代入不等式得，整理得， ，化简得， 故所求解集为：或 【变式训练1-1】若不等式的解集是的子集，则a的范围是（　　） A．[－4，3] B．[－4，2] C．[－1，3] D．[－2，2] 【答案】A 【分析】原不等式可化为，后通过讨论与1的大小解不等式，结合解集是的子集可得答案. 【详解】原不等式可化为. 当a＜1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要即可，即； 当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求； 当a＞1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要即可，即. 综上可得：. 故选：A 【变式训练1-2】已知关于的不等式的解集为，若，则实数的值是（    ） A． B．2 C． D．或2 【答案】D 【分析】由题知，再根据解方程即可得答案. 【详解】解：因为关于的不等式的解集为， 所以，是方程的实数根， 所以，， 因为， 所以，即，解得，满足 所以，实数的值是或2. 故选：D 【变式训练1-3】设关于x的一元二次不等式与的解集分别为与，则不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】根据条件求出和的解集，进而可得的解集. 【详解】的解集为，则的解集为R. 的解集为，则的解集为， 转化为所以不等式的解集为.故选：B. 【变式训练1-4】关于的不等式的解集为，则关于的不等式解集为 ． 【答案】 【解析】由关于的不等式的解集求出、、之间的关系，代入不等式中化简求解即可． 【详解】关于的不等式的解集为，令， 则关于的不等式的解集为， 则关于的一元二次方程的两根为1、2，且； 所以，解得； 则关于的不等式可化为， 即， 解得或， 所以不等式的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一元二次不等式的解法，是基础题目．若，则的解集是；的解集是. 【变式训练1-5】已知不等式的解集为或，求不等式的解集. 【答案】 【分析】由不等式的解集与不等式的关系可知，且关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可得出、与的等量关系，然后利用二次不等式的解法解不等式，即可得解. 【详解】解：因为不等式的解集为或，则， 且关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，，所以，，， 所以，不等式即为， 化简可得，解不等式可得， 因此，不等式的解集为. 【变式训练1-6】已知关于x的不等式的解集为，求实数a、b的值． 【答案】，. 【分析】把给定不等式化成两个一元二次不等式组成的不等式组，设出每个一元二次不等式的解集，结合给定解集确定对应方程的根即可计算作答. 【详解】原不等式转化为，显然不等式解集不是R，设其解集为， 不等式解集不是空集，设其解集为， 因不等式的解集为，则必有，，于是得，即， 因此，3，6是方程的二根，则有，解得， 2，6是方程的二根，，解得， 综上得，，经验证，当时，不等式的解集为， 所以实数a、b的值是. 题型02：含参分式不等式已知解集问题 【典型例题1】已知关于的不等式 的解集为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将原不等式等价为，根据一元二次不等式的解法，即可求得答案. 【详解】不等式，所以，可等价为， 因为解集为，所以，-2,0为方程的两个实数根， 所以， 故选：B 【典型例题2】（多选）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B．点在第二象限 C．的最小值为2 D．关于的不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】根据题意，由原不等式的解集可得，，即可判断ABD，然后再由基本不等式即可判断C. 【详解】原不等式等价于，因为其解集为，所以且 ，，故A正确； 因为，则点在第一象限，故B错误； 由可得，，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为2，故C正确； 由可得，不等式即为，化简可得 ，则其解集为，故D正确； 故选：ACD 【典型例题3】关于的不等式，若此不等式的解集为，则的取值范围是___________. 【答案】m<0 【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法可得，即可得解. 【详解】由，得，故不等式的解集为，所以，所以，所以m的取值范围是.故【答案】为：. 【变式训练2-1】已知关于的不等式的解集是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由方程与不等式关系可求得值. 【详解】由方程与不等式关系得：和为方程的两根， ，解得， 故选：A 【点睛】本题主要考查了分式不等式的解集，不等式与方程的关系，属于基础题. 【变式训练2-2】若集合，则实数___________. 【答案】4 【分析】根据题意，得到的两根为和，从而可求出结果. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以不等式的解集为 即方程的两根为和， 即. 故答案为：. 【变式训练2-3】解关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是__________． 【答案】 【分析】结合已知条件求出与之间的关系以及的符号，然后将分式不等式转化为一元二次不等式即可求解. 【详解】由关于x的不等式的解集是可知，， 对求解得，，从而， 由，故，解得或， 从而关于x的不等式的解集是. 故【答案】为：. 【变式训练2-4】若不等式的解集为，则不等式的解集为___________. 【答案】 【分析】根据题意，可知，是方程的两根，由韦达定理可求出，则可化为，最后根据分式不等式的解法求出不等式的解集. 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴，是方程的两根，∴   由韦达定理得：，解得：，∴ 可化为，则，所以， 解得：，∴不等式的解集为，故【答案】为：. 【变式训练2-5】已知关于x的不等式的解集为{x|x<1或x>3}，则a的值是 . 【答案】 【分析】把不等式，转化为，结合不等式的解集，得到，即可求解. 【详解】由题意，不等式，可化为， 等价于， 因为不等式的解集为或，可得，解得. 故答案为：. 【变式训练2-6】（1）已知关于的不等式的解集是，求的值； （2）若正数，满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据分式不等式解法求出含参的解集即可求的值； （2）用“1”的代换即可构造基本不等式求最小值. 【详解】解：（1）可化为， 因为不等式的解集是，所以，即， 由，解得． （2）， 因为，所以． 因为，而， 当且仅当，时，等号成立， 所以，所以，当且仅当，时，等号成立． 题型03：含参绝对值不等式已知解集问题 【典型例题1】若不等式的解集恰为不等式的解集，则a-b=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解绝对值不等式可不等式的解集，由二次方程和二次不等式的关系可得，解出和，即可求出结果． 【详解】解不等式可得， 所以不等式的解集为， 所以，解得，∴. 故选：C． 【点睛】本题考查绝对值不等式和一元二次不等式，属基础题 【典型例题2】已知不等式的解集为，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先根据已知不等式的解集求出，代入所求不等式可求出结果. 【详解】由，得，得， 所以，. 则不等式化为. 所以或. 所以所求不等式的解集为. 故答案为： 【变式训练3-1】已知关于x的不等式的解集是，则实数m的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式即可. 【详解】由已知，易知，由得：； 故选：A. 【变式训练3-2】已知不等式与不等式的解集相同.若a，b，，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据绝对值的性质，结合一元二次不等式解集的性质、一元二次方程根与系数的关系、基本不等式进行求解即可. 【详解】由， 因为不等式与不等式的解集相同， 所以，于是有， ， 由， 因为a，b，， 所以当且仅当时取等号，即， 故答案为： 【变式训练3-3】若关于的不等式的解集为，则a＝ . 【答案】 【分析】分类讨论解绝对值不等式，根据不等式的解集列方程求解a即可. 【详解】①若显然不成立； ②若，不等式的解为， 因为不等式的解集为， 所以，无解； ③若，不等式的解为， 因为不等式的解集为， 所以，解得. 综上所述，. 故答案为： 【点睛】本题考查绝对值不等式，属于基础题. 【变式训练34】已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为. (1)若，求实数的值和解集. (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)，解集为. (2) 【分析】（1）由题设，再由解集求a的值，应用公式法求绝对值不等式的解集即可. （2）讨论参数a求的解集，由已知可得，由（1）及所得解集确定的取值范围. (1) 由，则，要使， ∴，可得. 由，则，可得， ∴解集为. (2) 由（1）：， 当，即时，则或； 当，即时，则； 当，即时，则或； 当时，则 ； 当，即时，则； ∴要使“”是“”的充分不必要条件，即，又为， 综上，满足要求. 题型04：一元二次方程根的分布 【典型例题1】 已知方程有两个负实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方程有两个负实根，则两根之和小于0．两根之积大于0，故可建立不等式组，从而可求实数的取值范围． 【详解】解：要原方程有两个负实根，必须： . 或 ∴实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】本题以方程为载体，考查方程根的研究，解题的关键是利用韦达定理，构建不等式组 【典型例题2】关于x的方程恰有一根属于，则实数m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把方程的根转化为二次函数的零点问题，从恰有一个零点属于，分为三种情况，即可得解. 【详解】方程对应的二次函数设为： 因为方程恰有一根属于，则需要满足： ①，，解得：； ②函数刚好经过点或者，另一个零点属于， 把点代入，解得：， 此时方程为，两根为，，而，不合题意，舍去 把点代入，解得：， 此时方程为，两根为，，而，故符合题意； ③函数与x轴只有一个交点，横坐标属于， ，解得， 当时，方程的根为，不合题意； 若，方程的根为，符合题意 综上：实数m的取值范围为故选：B 【典型例题3】已知关于的方程有两个不同实根，若，则实数的取值范围是 . 【答案】. 【分析】利用韦达定理得到两根之和，两根之积，进而表达出，求出的取值范围. 【详解】由题意得：， 由韦达定理可知：，， 则， 所以， 解①得：，解②得：或 综上：或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【典型例题4】已知关于的方程有两个不等的实根，． （1）两根一个根大于1，一个根小于1，求参数的取值范围； （2），，求参数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）令，等价于； （2）由即可求出. 【详解】令， （1）两根一个根大于1，一个根小于1，等价于， 则，解得； （2）若，， 则，即，即，解得. 【变式训练4-1】已知方程2(k+1)+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围． 【解析】要原方程有两个负实根，必须 ∴实数k的取值范围是{k|-2<k<-1或<k<1}。 【变式训练4-2】若关于x的方程的一根大于－1，另一根小于－1，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【分析】设，根据二次函数的图象与性质，定点，即可求解. 【详解】由题意，关于的方程的一根大于-1，另一根小于-1， 设，根据二次函数的性质，可得，解得， 所以实数的取值范围为.故【答案】为：. 【变式训练4-3】已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值. (1)有一根为； (2)有两个互为相反数的实根； (3)两根互为倒数. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，结合代入法进行求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，结合（1）的结论进行求解即可； （3）利用一元二次方程根与系数的关系，结合（1）的结论进行求解即可. 【详解】（1）依题意原方程有实数根， 所以解得； 将代入方程得； （2）两根之和为，即，显然满足； （3）因为两根互为倒数， 所以两根之积为，即，而，所以. 【变式训练4-4】已知二次函数. (1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式； (2)若关于x的方程的两个实根均大于且小于4，求实数t的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设二次函数的两个零点分别为，，由求出t，直接解得； （2）由根的分布情况列不等式组，求出实数t的取值范围． 【详解】（1）设二次函数的两个零点分别为，， 由已知得， 而，所以，故， 不等式即，解得或， 故不等式的解集为或. （2）因为方程的两个实根均大于且小于4，所以，即， 解得：，即实数t的取值范围为. 【变式训练4-5】已知二次函数． （1）求函数在区间的最大值； （2）若关于的方程有两个实根、，且，求实数的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）根据对称轴的位置讨论两种情况：，分别根据二次函数的单调性求出最大值即可得结果； （2）设，由韦达定理可得 ，利用函数的单调性可得实数的最大值． 【详解】（1）对称轴，二次函数开口向上， ①当，即时：，   ②当，即时：，    综上所述，．     （2）由题知：方程的两个根分别为、， 由韦达定理知：①，②，   又已知，③    联立，得， 带入知：， 即，其中．     当时，分母取得最小值4，   所以得最大值为． 【点睛】本题考查二次函数图像、对称轴、最值的基本关系，清楚一元二次方程根与系数的关系的处理，对“对勾函数”的单调性、最值的理解是解题的关键. 【变式训练4-6】已知抛物线． （1）当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？ （2）若关于x的方程(m－1)x2＋(m－2)x－1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m的取值范围． 【答案】（1）m∈R，且m≠1，m≠0；（2）{m|0<m<1或1<m≤2}． 【解析】（1）由题意可知m≠1，且Δ>0，解不等式即可得m的范围. （2）可设方程的两实根为x1，x2，由根与系数关系得，，然后代入即可求解. 【详解】(1)根据题意，m≠1且Δ>0， 由Δ＝(m－2)2－4(m－1)(－1)>0， 得m2>0，所以m∈R，且m≠1，m≠0． (2)在m≠0且m≠1的条件下，设方程的两实根为x1，x2，由根与系数关系得， 则 ＝(m－2)2＋2(m－1)≤2． 得m2－2m≤0，所以0≤m≤2． 所以m的取值范围是{m|0<m<1或1<m≤2}． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的存在与根与系数关系的应用，解题的关键是具备一定的计算及推理的能力. 【变式训练4-7】已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0 (1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围 (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围 【答案】（1）{m|- <m<- }（2）{m|- <m≤1-} 【解析】(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得 ∴ (2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组 　　 ∴ (这里0<－m<1是因为对称轴x=－m应在区间(0，1)内通过) 题型05：含参不等式取值范围问题 【典型例题1】关于的不等式的任意两个解的差不超过14，则的最大值与最小值的差是 . 【答案】 【分析】分类讨论解不等式，根据已知条件列式求出的范围得最大、最小值可得结果. 【详解】若，则无解，不符合题意； 若，由得， 当时，得，依题意，得， 当时，得，依题意得，得， 综上所述：的取值范围为或. 所以的最大值与最小值的差是. 故答案为： 【典型例题2】设集合，若，则实数的取值范围是 ； 【答案】 【分析】先化简集合，再根据分类讨论即可求解 【详解】，因为， 当时，，，此时，，满足题设； 当时，，，要使，需满足，即； 综上所述， 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，根据交集为空求参数范围，属于中档题 【典型例题3】设集合（常数），，若，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】，将不等式化简得到 ，将不等式化简得到 由条件得到集合不为空集， 当时，不等式等价于，符合题意； 当 得到 当时， 解得 综上的范围是：. 【典型例题4】已知全集，非空集合，． (1)当时，求； (2)命题，命题，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1），当时，， 再运用交、补集的运算，计算求解即可； （2）由已知可得，故，计算求解即可得到结论． 【详解】（1）不等式的解集为 所以， 当时，，化简得， 全集， 或， ∴； （2）由q是p的必要条件，可得， 所以， 因为 所以， 所以不等式的解集为， 所以， ，解得或， 所以 实数a的取值范围是. 【变式训练5-1】若不等式的解集是的子集，则a的范围是（　　） A．[－4，3] B．[－4，2] C．[－1，3] D．[－2，2] 【答案】A 【分析】原不等式可化为，后通过讨论与1的大小解不等式，结合解集是的子集可得答案. 【详解】原不等式可化为. 当a＜1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要即可，即； 当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求； 当a＞1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要即可，即. 综上可得：. 故选：A. 【变式训练5-2】设全集为，已知，． (1)若，求(； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【分析】(1)解分式不等式可得集合A，并求出，由得集合B，再利用交集的定义直接计算作答. (2)由可得，再借助集合的包含关系列式计算作答. (1)解不等式：，即，解得：或，则或， 因全集为，于是得，当时，，所以. (2)由(1)知，，因，因此有：，于是得，解得， 所以实数a的取值范围是：. 【变式训练5-3】已知关于x的不等式的解集为A． (1)若，求实数a的取值范围；(2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)(2) 【解析】(1)因为，所以x=2使得成立，即，即，解得：或，故实数a的取值范围为 (2)因为，所以x=3使得成立或， 当，即，解得：，当，求得： 故求实数a的取值范围为 【变式训练5-4】已知全集，集合，. (1)当时，求； (2)命题p：，命题q：，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1)(2) 【解析】(1)∵时，，， 全集，∴或．∴． (2)∵命题：，命题：，是的必要条件，∴． ∵，∴，∵，， ∴，解得或，故实数的取值范围 题型06：整数解问题 【典型例题1】不等式|x－1|＋|x－2|≤3的最小整数解是（    ） A．0 B．－1 C．1 D．2 【答案】A 【分析】首先对的范围进行讨论，去掉绝对值符号，转化三个不等式组，求得结果. 【详解】原不等式可化为或或，解得0≤x≤3，所以最小整数解是0，故选：A. 【点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有分类讨论去绝对值符号解绝对值不等式，属于简单题目. 【典型例题2】若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】分类讨论解不等式，然后由解集中只有一个整数分析得参数范围． 【详解】时，不等式为，解为，不合题意， 若，则不等式的解是或，不合题意， 因此只有，不等式的解为， 因此，解得且． 故选：D 【典型例题3】若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为________． 【答案】(5,7) 【解析】由|3x－b|＜4得－4＜3x－b＜4，即＜x＜，∵不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则⇒∴5＜b＜7. 【典型例题4】关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是______． 【答案】【分析】根据二次函数的对称性可得出不等式的解集中的整数，可得出关于实数a的不等式组，即可求解. 【详解】因为的对称轴为，开口向上，所以若关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则分别为3,4,5，则，解得.所以a的取值范围是. 故【答案】为：. 【典型例题5】设关于的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的非负整数解的和为 . 【答案】6 【分析】可设，根据函数图像为抛物线，结合题意求出的值，再解对应的不等式，从而求出不等式的非负整数解的和． 【详解】设，不合题意，∴，函数图像为抛物线． 对于任意一个给定的值，其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足时整数解只有有限个，所以． 因为0为其中的一个解，所以，解得， 又因为，所以或， 当时不等式为，解不等式得， 因为为非负整数，所以； 当时不等式为，解不等式得； 因为为非负整数，所以0，1，2，3； 综上知，全部不等式的非负整数解的和为． 故答案为：6 【变式训练6-1】若关于的不等式恰好有个整数解，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，0＜k＜1，结合函数 y＝k|x|与  y＝﹣|x﹣2|的图象可得4个整数解是2，3，4，5，由⇒x，即可得k. 【详解】解：依题意可得，0＜k＜1，函数 y＝k|x|与  y＝﹣|x﹣2|的图象如下， 由0＜k＜1，可得xA＞1，∴关于x的不等式k|x|﹣|x﹣2|＞0恰好有4个整数解，他们是2，3，4，5，由⇒xB，故k； 故选：C 【点睛】本题主要考查根据含参绝对值不等式的整数解的个数，求参数范围问题，着重考查了数形结合思想，属于中档题． 【变式训练6-2】设关于x的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则a的取值是___________，全部不等式的整数解的和为___________. 【答案】     -2或-1##-1或-2     -10 【分析】先确定，再利用0为其中的一个解，，可求出的值，从而可求出原不等式的解，由此确定不等式的整数解，从而可得出【答案】. 【详解】若，则原不等式为，即，显然原不等式的整数解有无数个，不符合题意，故. 设，其图象为抛物线， 对于任意一个给定的值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足而整数解只有有限个，所以，因为0为其中一个解，所以，即，所以， 又，所以或，若，则不等式为，解得，因为为整数，所以； 若，则不等式为，解得，因为为整数，所以.所以全部不等式的整数解的和为.故【答案】为：-2或-1；-10. 【变式训练6-3】设关于的不等式，（），只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为___________. 【答案】 【分析】先确定，再利用0为其中的一个解，，可求出的值，从而可求出原不等式的解，由此确定不等式的整数解，从而可得出【答案】. 【详解】若，则原不等式为，即，显然原不等式的整数解有无数个，不符合题意，故.设，其图象为抛物线， 对于任意一个给定的值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足而整数解只有有限个，所以，因为0为其中一个解，所以，即，所以， 又，所以或，若，则不等式为，解得， 因为为整数，所以；若，则不等式为，解得，因为为整数，所以；所以全部不等式的整数解的和为. 故【答案】为： 【变式训练6-4】的解集中有且仅有3个整数解，则实数的取值范围__________. 【答案】 【分析】由不等式的解集中只有三个整数得，的解为和，在时，不合题意，只有有，然后由三个整数得出的范围，从而得的范围． 【详解】时，不等式为，，不合题意；因此，所以，否则有无数个整数解． ，由得或，则，否则不等式的解集中无整数解． 所以的解为，解集中有三个整数，则，解得，不等式解集为有三个整数：．故【答案】为：． 【变式训练6-5】关于的不等式的整数解恰有3个，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将不等式化为不等式，根据有解确定，再用a表示出不等式解集，确定出三个整数解，由此可得到关于a的不等式，即可求得答案. 【详解】不等式即不等式， 若，则即，整数解有无数个，不合题意， 故， 由于关于的不等式的整数解恰有3个， 故需满足，解得； 则解可得， 因为，故， 故不等式的3个整数解恰为， 则，解得，即， 故答案为：. 【变式训练6-6】若关于的不等式的解集中的整数恰有2个，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据判别式确定a的范围，运用求根公式求出方程的根，再根据解的情况确定a的范围. 【详解】由不等式得：，因为解集中只有2个整数，必有 ， 并且，， 由求根公式得方程的解为， ，即不等式的2个整数解必定为1和2， ，解得； 故答案为：. 【变式训练6-7】关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】, 当时，， 显然该不等式有无穷多个整数解，不符合题意， 当时，，或， 显然该不等式有无穷多个整数解，不符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，， 要想三个整数解，只需， 当时，，此时无整数解， 综上所述：实数的取值范围是， 故答案为： 【点睛】关键点睛：根据的正负性、结合一元二次方程两根的大小关系分类讨论是解题的关键. 【变式训练6-8】已知关于的不等式的解集中恰有5个整数解，则实数的范围是 . 【答案】或. 【分析】利用分解因式解不等式，然后分类讨论与大小，结合解集中恰有5个整数解，可得答案. 【详解】因为， 所以. ①当，即时，不等式解集为，因解集中恰有5个整数，得，解得； ②当，即时，不等式解集为，因解集中恰有5个整数，得，解得； ③，即时，不等式解集为空集，不合题意. 综上：当不等式的解集中恰有5个整数解时，的范围是或. 故答案为：或. 【变式训练6-9】已知关于x的不等式组的整数解的集合为,则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解出不等式组中的不含参数的一元二次方程，对k进行分类讨论，使不等式组的整数解的集合为，根据数轴即可得出结果. 【详解】由，解得或， 由，即， 当时，的解为， 故不等式组的解集为， 因为，不符合不等式组的解集中有整数，故舍去； 当时，不等式为 ，即， 所以不等式无解，不符合题意，故舍去； 当时，的解为， 若需不等式组的整数解的集合为， 由数轴可知只需，解得， 综上，实数k的取值范围是. 故答案为：. 【变式训练6-10】如果关于x的不等式组的整数解仅有1，2，试求整数a，b的所有可能的值． 【答案】a的值可能为1或2或3，b的值可能为4或5. 【分析】求得不等式组的解，根据整数解确定不等关系得范围，从而得可能的整数值． 【详解】原不等式组的解集可利用a，b表示为.根据不等式组的整数解仅有1，2，可确定a，b的范围为0＜≤1，2≤＜3，即0＜a≤3，4≤b＜6.因为a，b均为整数．所以a的值可能为1或2或3，b的值可能为4或5【点睛】本题考查不等式组的整数解问题，掌握解不等式组是解题基础． 【变式训练6-11】对x，y定义一种新运算T，规定：T(x，y)＝ (其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是普通的四则运算，例如：T(0，1)＝＝b.已知T(1，－1)＝－2，T(4，2)＝1. （1）求a，b的值； （2）若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数p的取值范围． 【答案】（1）；（2）－2≤p＜－. 【分析】（1）根据新定义运算列方程组可解得； （2）利用新定义运算把新不等式组转化为一元一次不等式组，然后解之，再利用不等式组的解恰好有3个整数可得的不等关系，从而得出结论． 【详解】（1）由T(1，－1)＝－2，T(4，2)＝1，得即 解得 （2）由（1），得T(x，y)＝，则不等式组可化为 解得－≤m＜.因为不等式组恰好有3个整数解，所以2＜≤3，解得－2≤p＜－. 【点睛】本题考查新定义运算，解题关键是正确理解新定义，利用新定义把问题转化为我们熟知的一元一次不等式组求解． 题型07：不等式恒成立求参数问题 【典型例题1】若不等式对一切实数都成立，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将不等式对一切实数都成立分为和两种情况进行分类讨论即可求得结果. 【详解】因为不等式对一切实数都成立， 所以当时，不等式对一切实数都成立，满足题意； 当时，显然时，二次函数开口向上， 不等式对一切实数不恒成立，不满足题意； 所以，且，解得； 综上可知的范围是； 故选：C 【典型例题2】已知使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则不等式的解集是的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解. 【详解】解：由得，因为使不等式成立的任意一个，都满足不等式则不等式的解集是的子集，又由得，当，，符合； 当，，则，，当，，符合，故实数的取值范围为.故选：C. 【典型例题3】已知，，，写出满足“”恒成立的正实数的一个范围是 （用区间表示）． 【答案】（答案不唯一，是的子集即可） 【分析】根据基本不等式求解，即可求解. 【详解】由题意可知，当且仅当时取得等号， 所以恒成立，故正实数的一个范围可以为（答案不唯一，是的子集即可）． 故答案为： 【典型例题4】不等式的解集为，则的取值范围是_________. 【答案】[0,1)##0≤k＜1 【解析】分k＝0和k≠0两种情况进行讨论.k≠0时，可看为函数恒成立，结合二次函数的图像性质即可求解. 【详解】①当时，不等式可化为1＞0，此时不等式的解集为，符合题意； ②当时，要使得不等式的解集为，则满足，解得； 综上可得，实数的取值范围是.故【答案】为：. 【典型例题5】 (1)若对∀x∈R不等式x2＋mx>4x＋m－4恒成立，求实数m的取值范围； (2)若x2>4x＋m－4在R上恒成立，求m的取值范围． 【解析】：(1)原不等式可化为x2＋(m－4)x＋4－m>0，∴Δ＝(m－4)2－4(4－m)＝m2－4m<0， ∴0<m<4，∴m的取值范围为{m|0<m<4}． (2)原不等式可化为x2－4x＋4＝(x－2)2>m恒成立，∴m<0，∴m的取值范围为{m|m<0}． 注意：一元二次不等式恒成立的情况：ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔ 【变式训练7-1】若不等式 的解集为，则实数的范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】分和两种情况讨论，时易得符合题意，时，即二次函数图像恒在x轴上方. 【详解】因为不等式的解集为. 当时，，符合题意； 当 时，. 综上：. 故选：A 【变式训练7-2】若“”是“”的一个必要不充分条件，则实数m的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别不等式，根据“”是“”的一个必要不充分条件，列不等式即可得出． 【详解】解：不等式整理得，解得 则“”是“”一个必要不充分条件，所以. 故选：B. 【变式训练7-3】若关于x的二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|m≤－2或m≥2} B．{m|－2≤m≤2} C．{m|m<－2或m>2} D．{m|－2<m<2} 【答案】　B 【解析】　∵x2＋mx＋1≥0的解集为R，∴Δ＝m2－4≤0，∴－2≤m≤2，故选B. 【变式训练7-4】（多选)不等式对任意的R恒成立，则（       ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】化为标准的一元二次不等式，由其恒成立得，再结合不等式的性质变形后判断各选项． 【详解】可整理为， 则，故A正确．当，时，满足，即原不等式成立．B错误；由，得，所以．C正确；．D正确．故选：ACD． 【变式训练7-5】已知不等式x2－2x＋5≥a2－3a对∀x∈R恒成立，则a的取值范围为________． 【答案】　{a|－1≤a≤4} 【解析】　x2－2x＋5＝(x－1)2＋4≥a2－3a恒成立，∴a2－3a≤4，即a2－3a－4≤0， ∴(a－4)(a＋1)≤0，∴－1≤a≤4. 【变式训练7-6】若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是______. 【答案】【分析】等价转换为的图象在轴上方，计算，可得结果． 【详解】由题意知，问题等价转换为的图象在轴上方， 所以，解得，∴实数的取值范围是.故【答案】为：． 【变式训练7-7】已知不等式ax2＋2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立，解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0. 【解析】∵ax2＋2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立． 当a＝0时，1≥0，不等式恒成立；当a≠0时，则解得0<a≤1. 综上，0≤a≤1.由x2－x－a2＋a<0，得(x－a)[x－(1－a)]<0.∵0≤a≤1， ∴①当1－a>a，即0≤a<时，a<x<1－a；②当1－a＝a，即a＝时，2<0，不等式无解；③当1－a<a，即<a≤1时，1－a<x<a. 综上，当0≤a<时，原不等式的解集为{x|a<x<1－a}；当a＝时，原不等式的解集为∅；当<a≤1时，原不等式的解集为{x|1－a<x<a}． 【变式训练7-8】已知集合，其中． (1)求集合A； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或(2) 【解析】(1)解：，即，解得或，所以或； (2)解：，即， 当，即时，不等式无解，则，故，符合题意；当，即时，此时，则， 此时，与题意矛盾，故舍去；当，即时，， 因为，所以或，解得或，综上所述，. 题型08：不等式有解求参数问题 【典型例题1】若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由题意可得，从而可求出实数a的取值范围 【详解】设，开口向上，对称轴为直线， 所以要使不等式在区间(2，5)内有解，只要即可， 即，得， 所以实数a的取值范围为， 故选：D 【典型例题2】已知不等式． (1)若不等式在时有解，求实数的取值范围； (2)若不等式在时恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，依题意或成立，即可得到不等式，解得即可； （2）设，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）不等式可化为①， 设， 当不等式①在时有解时， 即存在，使得， 所以或成立， 即或， 解得或， 所以实数的取值范围是． （2）不等式化为②， 设， 因为时不等式②恒成立， 即， 所以， 解得或或； 所以实数的取值范围是． 【变式训练8-1】（多选）两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数的值可以是（    ） A．-2 B．-1 C．3 D．5 【答案】AD 【分析】将“不等式有解”转化为，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求最值，最后解出关于m的一元二次不等式的解集即可得到答案． 【详解】因为不等式有解，所以， 因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号是成立的，所以， 所以，即，解得或. 故选：AD 【变式训练8-2】若两个正实数x，y满足上且存在这样的x，y使不等式有解，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】妙用“1”，利用基本不等式求得的最小值，再解一元二次不等式求得的取值范围. 【详解】原问题等价于 ， ， 当且仅当即时等号成立. 所以，即 解得或， 所以的取值范围是. 故选：C 【变式训练8-3】已知函数，，. (1)若关于的不等式的解集为或，求实数，的值； (2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； (3)若关于的不等式的解集中恰有个整数，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数与一元二次方程、不等式的关系，即可求出，的值； （2）将不等式有解（能成立）问题转化为二次函数最值问题解决即可； （3）构造函数，讨论的解集恰有个整数即可. 【详解】（1）∵关于的不等式的解集为或， ∴方程的两根为，， ∴， ∴解得，. （2）令， 若关于的不等式在上有解，则在上有解， ∴只需使在区间上的最小值. 图象是开口向上，对称轴为的抛物线， ∴在区间上单调递减，在区间上单调递增， ①当，即时，在区间上单调递增， ∴，解得， 此时，； ②当，即时， 在区间上单调递减， ∴，解得， 此时，； ③当，即时， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∴，解得或， 此时，； 综上所述，实数的取值范围是. （3）令 若关于的不等式的解集中恰有个整数， 则的解集中恰有个整数， ， ①当，即时，解集为，不合题意； ②当，即时，解集为， 若解集中恰有个整数，则这个整数为，，， ∴，解得， ∴此时； ③当，即时，解集为， 若解集中恰有个整数，则这个整数为，，， ∴，解得， ∴此时； 综上所述，实数的取值范围是. 题型09：与充分，必要条件结合的问题 【典型例题1】已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分离参数，将问题转换为在上有解，设函数，，求出函数的最大值，即可求得【答案】. 【详解】由题意得，，，即 ， 故问题转化为在上有解，设，则，，对于 ，当且仅当时取等号，则， 故 ，故选：A 【典型例题2】不等式组有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】根据给定条件化简不等式组，再列式即可求解作答. 【详解】依题意，，而不等式组有解，则不等式成立，因此，，即，解得，所以实数a的取值范围是：.故选：A 【典型例题3】若是的必要不充分条件，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由充分必要条件与集合间关系可得答案. 【详解】因是的必要不充分条件， 则是的真子集， 所以. 故选：A 【典型例题4】不等式对一切实数x恒成立的k的取值集合为A，集合. (1)求集合A； (2)若___________，求实数m的取值范围． 在①；②“ ​”是“​”的充分条件；③“”是“”的必要条件这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并给出解答． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由不等式对一切实数x恒成立，分和两种情况讨论，当时可得，求解即可； （2）选①②③都有，从而列出不等式组，求解即可. 【详解】（1）因为对一切实数x恒成立， 所以当时，恒成立，满足题意； 当时，则需，解得， 综上，， 故集合. （2）选①，，则，即不等式在区间上恒成立， 令，则，解得， 所以实数m的取值范围为； 选②，“ ”是“​”的充分条件，则，同理得实数m的取值范围为； 选③，“”是“”的必要条件，则，同理得实数m的取值范围为. 【典型例题5】已知命题函数的两个零点均在上，命题 ． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要且不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为命题是真命题，则函数的两个零点均在上列不等式组计算即可； （2）是的必要且不充分条件得出集合间关系列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为函数的两个零点均在上 所以 所以 所以实数的取值范围为 （2）因为，所以 因为是的必要且不充分条件， 所以 且两等号不同时成立， ，所以实数的取值范围为 【变式训练9-1】已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为(　　) A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1<a<4} C．{a|a≥4或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1} 【答案】　A 【解析】　由题意知，原不等式可化为－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解， ∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0，∴－1≤a≤4，故选A. 【变式训练9-2】若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】设，由题意可得，从而可求出实数a的取值范围 【详解】设，开口向上，对称轴为直线， 所以要使不等式在区间(2，5)内有解，只要即可， 即，得，所以实数a的取值范围为，故选：D 【变式训练9-3】设函数，若不等式的解集是，则 ；若对于任意，不等式有解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】第一个空：根据根与系数的关系列式求出可得结果；第二个空：转化为大于或等于的最小值求解即可. 【详解】由题意知和是方程的两个根， 由根与系数的关系知，，， 解得，，所以． 不等式在时有解，等价于在时有解， 只要大于或等于的最小值即可， 不妨设，， 则当时，有最小值，所以． 故答案为：； 【变式训练9-4】若，且关于x的不等式在R上有解，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】根据二次不等式的解法即得；或参变分离，求函数的最值即得. 【详解】方法一（判别式法）关于x的不等式可变形为,由题可得，解得, 又，所以实数a的取值范围为； 方法二（分离变量法）因为，所以关于x的不等式可变形为，因为，所以，解得， 又，所以实数a的取值范围为． 【变式训练9-5】已知全集. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式求出集合，利用集合的运算即可求出结果； （2）由题意转化为恒成立，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）， 若， 所以； （2）因为“”是“”的充分条件，所以恒成立， 即恒成立， 因为在上单调递减， 所以，解得或， 即实数的取值范围是. 【变式训练9-6】已知非空集合，集合． （1）当时，求； （2）命题，命题，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法和集合的交运算即可求解； （2）若是的必要条件，则集合，对集合对应的不等式，根据其解集的端点 和，分，，三种情况进行讨论，在每种情况下，借助数轴列出集合时实数需满足的不等式组，解不等式组即可求解. 【详解】（1）当时，集合， 集合， 所以由集合的交运算可得，． （2）若是的必要条件，则集合， 因为集合． ①当时，，集合， 要使，则，解得，因为，故这种情况不成立； ②当时，，集合，这与题目条件矛盾； ③当时，，集合， 要使，则，解得， 因为，故， 综上可知：实数的取值范围为． 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算、把必要条件等价转化为集合间的包含关系求参数的范围；考查运算求解能力、分类讨论思想和转化与化归能力；把必要条件等价转化为集合间的包含关系是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题. 【变式训练9-7】已知：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围为______ 【答案】 【分析】解出一元二次不等式，利用是的充分条件，得到两个集合的包含关系，从而利用端点值的大小，求出m的取值范围 【详解】，解得：∵∴ ∴的解集为： ∵是的充分条件∴∴ 解得：故【答案】为： 【变式训练9-8】已知命题：“，使等式成立”是真命题， (1)求实数的取值集合； (2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)或. 【解析】(1)由可得，因为，所以时，，当时，，所以， (2)若是的必要条件，则，方程的两根分别为，，①当即时，，由可得，解得：， ②当即时，，由可得，解得：， ③当即时，，此时不符合题意，综上可得：或. 题型10：高次不等式 【典型例题1】不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据穿针引线法即可求解. 【详解】令得，，，如图穿针引线，      故不等式的解集为. 故答案为：. 【典型例题2】不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将分式不等式转化为整式型不等式，解高次不等式，利用数轴标根法求得答案. 【详解】原不等式式转化为， 即，根据数轴标根法，画出符号曲线图，      不等式的解集为或， 故答案为：. 【典型例题3】不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将不等式变形为，利用数轴标根法得到不等式的解集. 【详解】解：不等式，即， 方程的根有（2重根），，，，（2重根）， 按照数轴标根法可得不等式的解集为. 故答案为： 【典型例题4】解不等式（2x+1）（3x+2）2（4x+3）3（5x+3）≤0. 【答案】.【分析】利用穿针引线法解得不等式. 【详解】根据不等式标根 所以原不等式的解为. 【变式训练10-1】 的解集为 . 【答案】 【分析】将原不等式变形为，利用分式不等式以及“穿针引线法”可得出原不等式的解集. 【详解】由可得， 即，如下图所示： 由图可知，原不等式的解集为. 故答案为：. 【变式训练10-2】关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】先由题意得，且的解为，再由求得其解为，由此利用数轴穿根法即求得所求不等式的解集，在此过程要注意端点的取值. 【详解】因为不等式的解集为，所以，且的解为， 又因为时，利用二次方程的求根公式可求得，且， 所以由得，， 利用数轴穿根法可解得或， 故所求不等式的解集为：或. 故答案为：或. 【变式训练10-3】不等式的解集为___________. 【答案】 【分析】结合高次不等式“穿针引线法”即可求解. 【详解】不等式，由数轴标根法画出图线，可得不等式的解集为.故【答案】为：. 【变式训练10-4】解不等式（x+2）（x-1）9（x+1）12（x-3）≥0. 【答案】.【分析】利用穿针引线法解得不等式. 【详解】根据不等式标根 所以原不等式的解为.故【答案】为：. 【变式训练10-5】解不等式. 【答案】【分析】将原不等式变形为，利用穿针引线法可得解集.【详解】将原不等式变形为，如下图所示： 所以原不等式的解为. 【变式训练10-6】不等式的解集为___________. 【答案】【分析】结合高次不等式“穿针引线法”即可求解. 【详解】不等式，由数轴标根法画出图线，可得不等式的解集为. 故【答案】为：. 【变式训练10-7】不等式的解集为________ 【答案】【解析】根据题意作出数轴，将各个因式等于零的值标记在数轴上，然后采用“穿针引线法”求解出不等式的解集. 【详解】如下图所示： 根据图象可知：当或或时，， 所以不等式的解集为：，故【答案】为：. 【点睛】本题考查高次不等式的解法，难度一般.利用“穿针引线法”求解高次不等式的解集时，注意从数轴的右上方开始，每经过一个因式对应的数轴上点，要判断该因式是奇次还是偶次，如果是奇次，则穿过该点，如果是偶次，则选择穿而不过. 【变式训练10-8】解不等式 【答案】 【详解】原不等式 所以，即， 所以或，解得或， 从而原不等式解为 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【变式训练10-9】不等式的解集为_________. 【答案】. 【解析】把分式不等式除法形式转化成乘积的形式，再因式分解，求出各因式对应方程的根，然后利用“数轴标根法”求出不等式的解集. 【详解】原不等式等价转化为不等式，且、、，即且、、，用“数轴标根法”如图，所以原不等式的解集是. 【点睛】本题考查分式不等式的解法，考查高次不等式“数轴标根法”的应用，属于基础题. 【变式训练10-10】不等式的解集为________． 【答案】 【分析】由分式不等式的解法，有求解即可. 【详解】由题意，有，解得或或， ∴解集为.故【答案】为：. 【变式训练10-11】关于的不等式的解集为________. 【答案】 【分析】将分式转化为整式不等式，根据高次不等式“奇穿偶不穿”的求解原则可求出该不等式的解集. 【详解】原不等式等价于，如下图所示： 由高次不等式“奇穿偶不穿”的原则可知，原不等式的解集为. 故【答案】为：. 【变式训练10-12】不等式的解集是________． 【答案】【解析】通过“移项，通分”等步骤，将不等式等价转化为，根据高次不等式解法求解即可.注意分母不为0. 【详解】 ∵，∴，即， 即，等价于，在数轴上标跟如下图： 解得：或.即不等式的解集为，故【答案】为. 【点睛】本题主要考查分式不等式和高次不等式的求解，属于中档题. 【变式训练10-13】不等式的解集为________． 【答案】 【解析】利用数轴穿根法解分式不等式，不等式首先进行移项再通分变形为分式不等式的标准形式，然后转化为整式不等式进行求解，两不等式的解集取交集即为所求. 【详解】，根据数轴穿根法可解得或， ，解得或或， 所以，解得. 故【答案】为： 【变式训练10-14】已知集合，则__________． 【答案】【分析】先求出不等式的解集即为集合，根据数轴标根法求出的解集，即求出集合，由交集的运算求出. 【详解】由得， ，解得：，即. 用数轴标根法解得 或. 。所以故【答案】为： 学科网（北京）股份有限公司 $