精品解析：天津大学附属中学2026-2027学年度第一学期阶段性质量监测（一）九年级数学

2026-2027学年度第一学期阶段性质量监测（一） 九年级数学学科 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分120分，考试用时100分钟．答卷前请务必将个人信息填写在答题卡和答题纸密封线内的相应位置．选择题答案请用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂；非选择题请用蓝、黑色墨水的钢笔或签字笔将答案填写在答题卡的相应位置．在试卷或其它位置作答无效！ 第I卷（选择题） 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 计算：5+(﹣7)＝（　　） A. 2 B. ﹣2 C. 12 D. ﹣12 2. 中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为67500吨，数据67500用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 关于x的方程是一元二次方程，则（ ） A. a＞3 B. C. D. 4. 已知某二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（　　） A. B. C. D. 5. 计算的结果正确的是（ ） A. 1 B. C. D. 6. 若，是方程的两个根，则（ ）. A. B. C. D. 7. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 若正比例函数的图象过第二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 9. 《九章算术》第八章“方程”篇中记载了这样一道题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱八十，乙得甲大半而钱亦八十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱80．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱80．若设甲、乙原本各持钱x、y，则根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点 为圆心，适当长为半径作弧，与射线相交于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点；③作直线，与边 相交于点．则的大小为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，是斜边的中点，把沿着折叠，点的对应点为点，连接，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为： ③菜园面积可以达到． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 计算的结果等于______． 14. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 15. 将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是____________（写出一个即可）． 16. 若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则a的值为__________． 17. 如图，在正方形的边上有一点，连接，过点作（点在边右侧），垂足为点，与相交于点，连接，若，点为的中点，且． （Ⅰ）线段的长为_____； （Ⅱ）线段的长为_____． 18. 如图是由单位小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点均在格点上，E为线段上一点．仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图， （Ⅰ）作平行四边形， 并在上作点F，使； （Ⅱ）在、上分别找点M、N， 使最小．（简要说明画法，不要求证明）_________________________________________________________________________________ 三、解答题（共66分） 19. 解方程： （1）； （2） 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围： （2）若两个实数根分别为和，且，求的值． 21. 某校组织学生参加“希望工程”捐书活动．为了解学生所捐书本数情况，随机调查了该校的部分学生，根据调查结果，绘制了统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）本次接受调查的学生人数为______，图①中的值为______； （Ⅱ）求统计的这组学生所捐书本数据的平均数______、众数______和中位数______； （Ⅲ）根据统计的这组学生所捐书本数的样本数据，若该校共有名学生，估计该校所捐书本数不低于3本的学生人数． 22. 某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件． （1）若每件服装降3元，则每天能卖出__________件，每件服装的利润是__________元． （2）如果每天要盈利800元，每件服装应降价多少元？ 23. 无人机表演队在进行表演训练，甲无人机以一定的速度从地面起飞，匀速上升时，到达训练计划指定的高度停止上升，保持此高度并开始第一次表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度时，进行了第二次表演，表演完成后以一定的速度返回地面．下面给出的图象反映了这个过程中甲无人机距离地面的高度与它飞行的时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 甲无人机飞行的时间/ 1 6 30 39 所在的位置距离地面的高度 __________ 48 __________ __________ ②填空：甲无人机返回地面时的速度为__________； ③当时，请直接写出关于的函数解析式． （2）现有新的训练计划（甲无人机保持原训练计划不变），在甲无人机开始第一次表演5秒后，有乙无人机从距离地面48米高的楼顶起飞，匀速上升并和甲无人机同时到达距离地面96米的高度，并开始与甲无人机进行联合表演，表演结束后，两机都以相同的速度同时返回地面，问乙无人机出发多久时，甲无人机和乙无人机距离地面的高度差为10米？（直接写出结果即可） 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，四边形为矩形，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点的坐标为．点，同时从点出发，点沿方向运动，点沿方向运动，且．当点到达终点时，点也随之停止运动．作关于直线对称的图形，得到，的对应点为，设． （1）如图①，当点与原点重合时，求的大小和点的坐标； （2）如图②，点落在矩形内部（不含边界）时，，分别与轴相交于点，，若与矩形重叠部分是四边形时，求重叠部分的面积与的函数关系式，并写出的取值范围； （3）当与矩形重叠部分的面积为时，则的值可以是______（直接写出两个不同的值即可）． 25. 已知抛物线（，，为常数，，）与轴相交于，两点，点为抛物线与轴的交点． （1）当，时， ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②是线段上一点，是抛物线上一点，且轴，求线段的最大值，及线段的长最大时点的坐标； （2）若点，点在抛物线的对称轴上．当，且取得最小值时，直接写出的值和抛物线解析式； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期阶段性质量监测（一） 九年级数学学科 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分120分，考试用时100分钟．答卷前请务必将个人信息填写在答题卡和答题纸密封线内的相应位置．选择题答案请用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂；非选择题请用蓝、黑色墨水的钢笔或签字笔将答案填写在答题卡的相应位置．在试卷或其它位置作答无效！ 第I卷（选择题） 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 计算：5+(﹣7)＝（　　） A. 2 B. ﹣2 C. 12 D. ﹣12 【答案】B 【解析】 【分析】根据异号两数相加的法则直接求解即可． 【详解】解：原式＝﹣（7﹣5）＝﹣2， 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，然后把绝对值相减解题的关键． 2. 中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为67500吨，数据67500用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将原数表示成形式为的形式（其中，n为整数）即可解答． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式（其中，n为整数），正确确定a、n的值是解答本题的关键． 3. 关于x的方程是一元二次方程，则（ ） A. a＞3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义分析即可，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴ 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键． 4. 已知某二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得抛物线开口方向和对称轴． 【详解】解：当时，随的增大而减小当时，随的增大而增大， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 抛物线满足条件． 故选：C． 【点睛】本题考查抛物线的增减性．抛物线的增减性与开口方向、对称轴有关，熟练掌握抛物线的基本性质是解题关键． 5. 计算的结果正确的是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了异分母分式加法， 先把异分母分式加法化成同分母加法，然后求解即可． 【详解】解：， 故选：B 6. 若，是方程的两个根，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟悉形如的一元二次方程，若它的两个根为、，则有：，，是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系，代入对应系数直接计算根的和与积即可． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴对比选项，选项符合题意． 故选：． 7. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数顶点式的顶点坐标为直接读取顶点坐标即可． 【详解】解：∵ 抛物线解析式为 ， ∴顶点坐标为． 故选：C． 8. 若正比例函数的图象过第二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的图象，根的判别式，根据正比例函数的图象过第二、四象限，得到，再求出判别式的符号，进行判断即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象过第二、四象限， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选：A. 9. 《九章算术》第八章“方程”篇中记载了这样一道题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱八十，乙得甲大半而钱亦八十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱80．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱80．若设甲、乙原本各持钱x、y，则根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．设甲、乙原本各持钱x、y，根据题意列方程组即可． 【详解】解：设甲、乙原本各持钱x、y， 则根据题意可列方程组为， 故选：A． 10. 如图，在中，，，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点 为圆心，适当长为半径作弧，与射线相交于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点；③作直线，与边 相交于点．则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等边对等角求得，利用角平分线的定义求得，利用三角形的外角性质求得，由作图知，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 由作图知， ∴， ∴． 11. 如图，在中，，是斜边的中点，把沿着折叠，点的对应点为点，连接，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质、折叠的性质，垂直的含义即可解答． 【详解】解：∵在中，，是斜边的中点， ∴， 根据折叠的性质得：， ∴， ∴， 故A正确； ∵由折叠可得：，而， ∴无法证明， 故B错误； 根据三角形三边关系可得：， 故C错误； 无法证明， 故D错误． 12. 如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为： ③菜园面积可以达到． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用；设边长为，则边长为长为，根据列出方程，解方程求出的值，根据取值范围判断①；根据矩形的面积，解方程求出的值可以判断②；设矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判断③，读懂题意，找到等量关系准确地列出函数解析式和方程是解题的关键． 【详解】解：设边长为，则边长为长为， 当时，， 解得：， ∵的长不能超过， ，故①不符合题意； ∵菜园面积为， ， 整理得：， 解得：或， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，故②符合题意； 设矩形菜园的面积为， 根据题意得：， ， ∴当时，有最大值，最大值为，故③不符合题意． ∴正确的有个， 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 计算的结果等于______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据平方差公式计算即可． 【详解】解： = =13-9 =4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查二次式的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 14. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】将原方程通过移项、配方化为的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解： ， 移项得， 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，， 因此． 15. 将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是____________（写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平移规则求出新的解析式，根据图象经过第三、第二、第一象限，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：， ∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限， ∴， ∴； ∴的值可以是2； 故答案为：2（答案不唯一，满足即可） 16. 若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则a的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式等知识点，灵活运用一元二次方程的相关知识成为解题的关键． 根据一元二次方程的定义和根与系数的关系得到：，解得或，然后再运用根的判别式验证即可． 【详解】解：设方程的两根为， ∵关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数， ∴，解得：或， 当时，原方程变形为，该方程无实数根； 当时，原方程变形为，，故该方程有两个不等实数根，符合题意． 故答案为：． 17. 如图，在正方形的边上有一点，连接，过点作（点在边右侧），垂足为点，与相交于点，连接，若，点为的中点，且． （Ⅰ）线段的长为_____； （Ⅱ）线段的长为_____． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【详解】解：如图，作交于点， ∵点为的中点， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握以上性质和定理，合理做出辅助线是解题的关键． 18. 如图是由单位小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点均在格点上，E为线段上一点．仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图， （Ⅰ）作平行四边形， 并在上作点F，使； （Ⅱ）在、上分别找点M、N， 使最小．（简要说明画法，不要求证明）_________________________________________________________________________________ 【答案】（Ⅰ）如图所示以及点即为所求， （Ⅱ）如图所示，点、即为所求， 说明：由图可得，得出四边形为菱形，作，交于点，交于点，根据菱形的轴对称性，作，交于点，即点和点关于直线对称，所以，根据垂线段最短，可得此时最小． 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据平移的性质得出平行且相等的线段，根据一组对边平行且相等的四边形得出平行四边形，再根据平行四边形的性质得出全等三角形，即可得出相等的线段； （Ⅱ）借助网格得出垂直的线段和菱形，然后再根据轴对称的性质画图． 【详解】解：（I）如图所示， 将线段沿平移得到线段，连接， 根据平移的性质可得， ∴四边形为平行四边形， 连接，交于点，连接并延长，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即四边形，点F为所求． （II）略 三、解答题（共66分） 19. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，熟练掌握直接开方法和因式分解法是解题关键． （1）利用直接开方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， 解得：． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围： （2）若两个实数根分别为和，且，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式， （1）由方程根的情况，根据判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围； （2）由根与系数的关系可用m表示出两根之和与两根之积，代入已知条件可得到关于m的方程，即可求得m的值． 掌握两根之和、两根之积与方程系数的关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即，解得； ∴m的取值范围为． 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根分别为和， ∴， ， ∵， ∴，即， ∴， 解得或， ∵， ∴． 21. 某校组织学生参加“希望工程”捐书活动．为了解学生所捐书本数情况，随机调查了该校的部分学生，根据调查结果，绘制了统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）本次接受调查的学生人数为______，图①中的值为______； （Ⅱ）求统计的这组学生所捐书本数据的平均数______、众数______和中位数______； （Ⅲ）根据统计的这组学生所捐书本数的样本数据，若该校共有名学生，估计该校所捐书本数不低于3本的学生人数． 【答案】（1）50，16；（2）3.34， 4， 3.5；（3）888 【解析】 【分析】（1）计算各组频数的和即可求出本次接受调查的学生人数，根据各组频率之和等于单位“1”即可确定m的值； （2）根据平均数、众数、中位数的意义和计算方法，分别求出结果即可； （3）用该校学生总数乘以样本中所捐书本数不低于3本的学生所占的百分比，即可求出答案． 【详解】（1）（人）， ，即， 故答案为：50，16； （2）（本）， 捐4本的出现次数最多，因此众数是4本， 将这50个数据从小到大排列后，处在中间位置的两个数分别是3，4，因此中位数是3.5本， 故答案为：3.34， 4， 3.5； （3）（人）， 答：该校所捐书本数不低于3本的学生大约有888人． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、平均数、中位数、众数，掌握两个统计图中数量之间的关系，理解中位数、众数、平均数的意义是解决问题的前提． 22. 某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件． （1）若每件服装降3元，则每天能卖出__________件，每件服装的利润是__________元． （2）如果每天要盈利800元，每件服装应降价多少元？ 【答案】（1） （2）每件服装应降价元，每天能盈利800元 【解析】 【分析】（1）根据“每件降价1元，则每天可多售5件”即可求解； （2）设每件服装应降价元，每天能盈利800元．根据题意建立一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵每件降价1元，则每天可多售5件， ∴每件服装降3元，则每天可多售件，即每天能卖出件， 每件服装的利润是为：元， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设每件服装应降价元，每天能盈利800元， 则：， 解得：， ∵要尽快减少库存， ∴， 故：每件服装应降价元，每天能盈利800元． 【点睛】本题考查了一元二次方程与实际问题．正确理解题意是解题关键． 23. 无人机表演队在进行表演训练，甲无人机以一定的速度从地面起飞，匀速上升时，到达训练计划指定的高度停止上升，保持此高度并开始第一次表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度时，进行了第二次表演，表演完成后以一定的速度返回地面．下面给出的图象反映了这个过程中甲无人机距离地面的高度与它飞行的时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 甲无人机飞行的时间/ 1 6 30 39 所在的位置距离地面的高度 __________ 48 __________ __________ ②填空：甲无人机返回地面时的速度为__________； ③当时，请直接写出关于的函数解析式． （2）现有新的训练计划（甲无人机保持原训练计划不变），在甲无人机开始第一次表演5秒后，有乙无人机从距离地面48米高的楼顶起飞，匀速上升并和甲无人机同时到达距离地面96米的高度，并开始与甲无人机进行联合表演，表演结束后，两机都以相同的速度同时返回地面，问乙无人机出发多久时，甲无人机和乙无人机距离地面的高度差为10米？（直接写出结果即可） 【答案】（1） ① 甲无人机飞行的时间/ 1 6 30 39 所在的位置距离地面的高度 _____8_____ 48 _______96___ ______96____ ②12 ③ （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据图象及速度路程时间计算即可；②根据速度路程时间计算即可；③根据路程速度时间计算，最后的结果写成分段函数的形式即可； （2）写出乙无人机距离地面的高度 与甲无人机飞行的时间 之间的函数关系式，根据不同的取值范围，当甲无人机和乙无人机距离地面的高度差为10米时列关于的方程并求解，再换算成乙无人机出发的时间即可． 【小问1详解】 解：①前甲无人机的速度为， 当时，， 由图象可知，当时，， 当时，； ②甲无人机返回地面时的速度为； ③当时，， 当时，， 当时，， 当时，关于的函数解析式为； 【小问2详解】 解：， 乙无人机的速度为， 则当时，乙无人机距离地面的高度米与甲无人机飞行的时间秒之间的函数关系式为， 当时，得， 解得， ， 当时，得， 解得， ． 答：乙无人机出发或时，甲无人机和乙无人机距离地面的高度差为10米． 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，四边形为矩形，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点的坐标为．点，同时从点出发，点沿方向运动，点沿方向运动，且．当点到达终点时，点也随之停止运动．作关于直线对称的图形，得到，的对应点为，设． （1）如图①，当点与原点重合时，求的大小和点的坐标； （2）如图②，点落在矩形内部（不含边界）时，，分别与轴相交于点，，若与矩形重叠部分是四边形时，求重叠部分的面积与的函数关系式，并写出的取值范围； （3）当与矩形重叠部分的面积为时，则的值可以是______（直接写出两个不同的值即可）． 【答案】（1），点的坐标为 （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）当点与原点重合时，过点作轴于点，根据题意可得，，由对称可知，，则，在中，利用含角的直角三角形性质即可求出，的长，即可得到点的坐标； （2）当点在上时，过点作于点，，根据对称的性质可得，，由平角的定义得到，由平行线的性质可得，于是求得，由此得到，由可得，，，，，由图可知，根据三角形面积公式代入计算即可； （3）在（2）的条件下时，解得，再根据图象检验符合题意，当点落在矩形外部时，且过点时，与交于点，过点作于点，同样可得重叠部分的面积为，以此可发现当时，与矩形重叠部分的图形均为边长为的等边三角形，且面积为定值． 【小问1详解】 过点作，垂足为 ∵四边形是矩形 ∴，， 如图①，当点F与原点O重合时 根据轴对称可知，， ∴ 在中， 有 ∴点的坐标为 【小问2详解】 当点在上时，过点作于点 ∴ ∵四边形为矩形 ∴， ∴ 根据对称的性质可得：， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即 ∴的取值范围为： 当时，点落在轴负半轴上 根据轴对称可知， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ 由①知， ∴， y 【小问3详解】 在（2）的条件下时， 解得 当时，如图 此时 ∴，符合题意 点落在矩形外部时，且过点时 如图，与交于点，过点作于点 则 ∵， ∴ ∴△AME为等边三角形 ∴ ∴， ∴ 此时 以此可发现，当时与矩形重叠部分的图形均为边长为的等边三角形，且面积为定值． 故答案为：，（答案不唯一，满足即可）． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、对称的性质、含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确理解题意，根据描述正确作出不同条件下的图形，利用数形结合思想解决问题是解题关键． 25. 已知抛物线（，，为常数，，）与轴相交于，两点，点为抛物线与轴的交点． （1）当，时， ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②是线段上一点，是抛物线上一点，且轴，求线段的最大值，及线段的长最大时点的坐标； （2）若点，点在抛物线的对称轴上．当，且取得最小值时，直接写出的值和抛物线解析式； 【答案】（1）①抛物线的解析式为，点的坐标为；②线段的最大值为，此时点的坐标为； （2），抛物线解析式为 【解析】 【分析】（1）①利用待定系数法求出函数解析式，进而可求得点B坐标； ②先求出直线的解析式，进而表示出点E、F的坐标，利用坐标与图形的性质，将的长转化为二次函数求最值即可； （2）利用抛物线的两点式得到，则，则；根据抛物线的对称性得到，当B、P、C共线时取等号，的最小值为的长，进而列方程求得n值即可． 【小问1详解】 解：当，时，， ①将代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则，解得，， ∴点的坐标为； ②对于，当时，， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵是线段上一点，是抛物线上一点，且轴， ∴，，， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为， 此时， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴，，则； 当时，，则， ∵点A、B关于抛物线的对称轴对称， ∴，当B、P、C共线时取等号， ∴的最小值为的长， ∵，的最小值为， ∴，解得， ∴， ∴抛物线的解析式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $