精品解析：天津东丽区锐华高级中学2026-2027学年高二上学期第一次学情调查数学试题

锐华中学26-27学年上学期高二第一次学情调查（数学） 本卷满分120分，考试时间100分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（客观题） 选择题共9题，每题4分 一、单选题 1. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示求解即可. 【详解】因为，， 所以则. 故选：A. 2. 已知直线经过点，则直线的斜率为（ ） A. -3 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】直线经过点， 则直线的斜率为. 3. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 又，所以， 故直线的倾斜角为． 4. 如图所示，在三棱锥中，点是的中点，记．则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：B 5. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由，若，则、重合，充分性不成立， 由，则必有，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 6. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，， 所以向量在向量上的投影向量是. 7. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解. 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 8. 若直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由于直线与垂直，故，解得． 9. 已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 第II卷（主观题） 填空题共6题每题4分；解答题16、17题每题10分，18题12分，19、20题每题14分 二、填空题 10. 已知向量，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 11. 在空间直角坐标系中，、，平面的一个法向量是，则点到平面的距离为______________． 【答案】 【解析】 【分析】 利用点到平面的距离公式（为平面的一个法向量）可求得点到平面的距离. 【详解】由已知条件可得，平面的一个法向量为， 所以，点到平面的距离为. 因此，点到平面的距离为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求点到平面的距离，方法如下： （1）等体积法：先计算出四面体的体积，然后计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离； （2）空间向量法：先计算出平面的一个法向量的坐标，进而可得出点到平面的距离为. 12. 直线与直线平行，则实数______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用两条直线平行列式计算得解. 【详解】由直线与直线平行， 得，所以或. 故答案为：或 13. 过点且在轴的截距相等的直线方程是_________ 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，分直线过原点和不过原点，两种情况分类讨论，即可求解. 【详解】当所求直线过原点时，此时直线的斜率为，直线的方程为； 当所求直线不过原点时，设直线的方程为， 把点代入上式，可得，解得，所以直线的方程为， 综上可得，直线的方程或. 14. 已知直线：，则在y轴上的截距为_____________；若直线，则的倾斜角为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】令，可求得在y轴上的截距；利用直线互相垂直可求得的斜率，可求得的倾斜角. 【详解】直线：，令，得，所以在y轴上的截距为； 由直线：，得直线的斜率， 因为，所以的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，又，所以， 所以的倾斜角为. 故答案为：①；②. 15. 设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系，，即可求解. 【详解】因为，，，， 所以或， 所以斜率的取值范围是； 当时，. 三、解答题 16. 已知向量，，且． （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得出，可求出的值，求出的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的值； （2）利用空间向量数量积的坐标运算可得出向量与夹角的余弦值. 【小问1详解】 因为向量，，且，则，解得， 所以，，则， 故. 【小问2详解】 ， 所以，. 因此，向量与夹角的余弦值为. 17. 如图所示，在长方体中，，点在上，，点在上且为的中点，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图. （1）求的坐标； （2）求线段的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间直角坐标系中点的坐标的规定易得两点坐标； （2）利用题设条件先求出点的坐标，再代入两点间距离公式计算即得. 【小问1详解】 如图，由题意可知， 因，则 . 【小问2详解】 为的中点，. 是上的靠近点的三等分点，. 由两点间的距离公式，得. 18. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）斜率是3，且经过点； （2）斜率为4，在轴上的截距为； （3）经过两点； （4）在x轴、y轴上的截距分别是，． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合点斜式方程，即可求解； （2）根据已知条件，结合斜截式方程，即可求解； （3）根据已知条件，结合两点式方程，即可求解； （4）根据已知条件，结合截距式方程，即可求解. 【小问1详解】 直线斜率是3，且经过点， 则直线方程为，化为一般式方程为； 【小问2详解】 直线斜率为4，在轴上的截距为， 则直线方程为，化为一般式方程为； 【小问3详解】 直线经过两点， 则直线方程为，化为一般式方程是为； 【小问4详解】 直线在x轴、y轴上的截距分别是，， 则直线方程为，化为一般式方程为. 19. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； 【小问3详解】 由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 20. 如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若存在，求出点到平面的距离，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 依题意，以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 可得,,,,, . 依题意，,, 从而, 所以，即 （2） （3） 【解析】 【分析】(1)建立适当的空间直角坐标系，利用向量垂直证明线段垂直. (2)求出平面ACF的法向量，以及的坐标，即可求解. (3)假设线段DE上存在一点，再根据条件求出，再利用向量的投影即可求出点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，,, 设为平面ACF的法向量， 则， 不妨设可得， 因为, 设直线EC与平面ACF所成角为，则 ， 所以直线EC与平面ACF所成角的正弦值为. 【小问3详解】 假设线段DE上存在一点，使得直线BG与AD所成角的余弦值为，则. 依题意则， ，解得. 所有存在点满足条件， 所以可得, 由（2）可知平面ACF的一个法向量为， 所以点G到平面ACF的距离为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 锐华中学26-27学年上学期高二第一次学情调查（数学） 本卷满分120分，考试时间100分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（客观题） 选择题共9题，每题4分 一、单选题 1. 若，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线经过点，则直线的斜率为（ ） A. -3 B. C. 3 D. 3. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，在三棱锥中，点是的中点，记．则（ ） A. B. C. D. 5. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 8. 若直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第II卷（主观题） 填空题共6题每题4分；解答题16、17题每题10分，18题12分，19、20题每题14分 二、填空题 10. 已知向量，则________． 11. 在空间直角坐标系中，、，平面的一个法向量是，则点到平面的距离为______________． 12. 直线与直线平行，则实数______． 13. 过点且在轴的截距相等的直线方程是_________ 14. 已知直线：，则在y轴上的截距为_____________；若直线，则的倾斜角为__________. 15. 设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 三、解答题 16. 已知向量，，且． （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值． 17. 如图所示，在长方体中，，点在上，，点在上且为的中点，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图. （1）求的坐标； （2）求线段的长度. 18. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）斜率是3，且经过点； （2）斜率为4，在轴上的截距为； （3）经过两点； （4）在x轴、y轴上的截距分别是，． 19. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 20. 如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若存在，求出点到平面的距离，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $