专题03反比例函数知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题03反比例函数知题通关讲义 知识点01:反比例函数基础定义与三种表达式 1. 定义 一般地，如果两个变量x、y的乘积等于一个非零常数k（k为常数，k≠0），即xy=k，那么称y是x的反比例函数。 2. 三种等价表达式 取值范围 自变量 x：x0（分母不能为 0） 函数值 y：y0 4. 判断反比例函数核心要点 (1)x、y次数必须为-1； (2)常数项k不能等于 0； (3)不能出现y=这类分母含一次多项式的形式（不属于反比例函数）。 5.正反比例函数对比表 知识点02:反比例函数解析式的确定 1.方法：待定系数法（仅需 1 组 x,y 对应值） 2.步骤 . 知识点03:反比例函数的图像画法（描点法） 1.图象形状 反比例函数 y=(k0) 的图象是双曲线，由两个分支组成，关于原点成中心对称。 2.图象画法（三步法） 知识点04:反比例函数图像与核心性质（重难点） k > 0：图象在一、三象限，在每个象限内，y 随 x 增大而减小。 k < 0：图象在二、四象限，在每个象限内，y 随 x 增大而增大。 对称性：关于原点、直线 y=x、y=-x对称。 关键易错注解 1.增减性必须强调在每一个象限内，不能直接说 “k>0时，y随x增大而减小”；跨象限不满足增减规律； 2.|k|越大，双曲线离坐标原点越远；|k|越小，双曲线越靠近原点； 3.图像永远不过原点，x、y均不能取 0。 知识点05:比例系数 k 的几何意义 1.过 y=(k0) 图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于 ∣k∣。 2.连接 y=(k0) 图象上任意一点与原点，并从该点向 x 轴、y 轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于 。 3.若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到 ∣k∣ 的值，进而确定函数表达式。 知识点06:反比例函数与一次函数综合 1. 交点求解方法 联立两个函数解析式，组成方程组，消元得到一元二次方程，方程的解对应交点横、纵坐标。 2. 交点核心性质 (1)若有两个交点，则两点关于原点中心对称； (2)联立方程判别式Δ>0：2 个交点；Δ=0：1 个交点；Δ<0：无交点。 3. 图像综合应用 (1)比较函数值大小：同一竖直线x=a，观察图像上下位置，上方函数值更大； (2)解不等式>mx+n：直接看图像，双曲线在直线上方对应的x取值范围 知识点07:反比例函数的应用 1. 核心思想 实际问题中，若两个量的积为定值，则它们成反比例关系，可用y= 建模解决。 2. 常见实际模型（必掌握） 行程问题：路程 s 一定时，速度 v 与时间 t 成反比v=(s为定值) 工程问题：工作总量 W 一定时，效率 P 与时间 t 成反比P=(w为定值) 几何面积：矩形面积 S 一定时，长 a 与宽 b 成反比a= (S为定值) 物理关系（如压强、电学）： 压力 F 一定，压强 p 与受力面积 S 成反比：P= 电压 U 一定，电流 I 与电阻 R 成反比：I= 3. 解题一般步骤 1.审：找常量、变量，确认 “积为定值”； 2.设：设反比例函数y= 3.求：用已知条件求 k； 4.用：写出解析式，结合实际意义确定自变量取值范围，再求解问题。 1、反比例函数定义判定出现失误 易错提醒：反比例函数标准形式y=(k≠0)，等价形式为xy=k、y=kx-1；k≠0为必要限制条件；自变量x的次数必须为-1，避免将一次式、常数式错误判定为反比例函数。 2、求解反比例函数参数时遗漏k≠0的条件 易错提醒：计算反比例函数解析式中的参数，仅核对自变量的次数等于-1，忽略k≠0的约束；求得参数结果后，必须验证比例系数不等于零。 3、k的符号与双曲线对应象限记忆颠倒 易错提醒：k>0，双曲线分布于第一、三象限；k<0，双曲线分布于第二、四象限；双曲线永不经过坐标原点。 4、错误在全体定义域内描述反比例函数增减性 易错提醒：反比例函数增减性仅在每一个象限内成立，不可以在整个取值范围内叙述y随x的增大而增大或者减小；跨象限比较函数值，不能直接利用增减性进行判断。 5、运用k的几何意义求面积未取绝对值 易错提醒：双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，形成矩形的面积等于|k|，直角三角形面积等于|k|；面积是非负量，计算面积必须使用k的绝对值，不可直接代入k的原始负值运算。 6、比较两点函数值大小未区分点所在象限 易错提醒：利用横坐标比较反比例函数的函数值，首先判断两个点是否处在同一象限；跨象限的点优先根据象限判定函数值正负，禁止直接套用增减性完成大小比较。 7、反比例函数与一次函数综合，主观认定交点数量 易错提醒：联立两个函数解析式得到一元二次方程，依靠判别式判定交点个数；>0有两个交点，=0有一个交点，<0无交点；不能默认两个函数一定存在交点。 8、反比例函数实际应用忽略自变量取值范围 易错提醒：实际情境下反比例函数自变量一般只能取正值；得到函数解析式之后，需要正确标注自变量的取值范围；作答时不能忽略取值范围对结果的约束。 9、求解函数解析式时代入坐标直接省略符号 易错提醒：使用图像上点的坐标求反比例函数解析式，代入坐标时完整保留坐标自带正负符号；坐标的负号遗漏会直接造成比例系数k计算错误。 题型 考察方向 难度 题型一 用反比例函数描述数量关系 ★ 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 ★ 题型三 根据反比例函数的定义求参数 ★★ 题型四 求反比例函数值 ★ 题型五 由反比例函数值求自变量 ★ 题型六 判断（画）反比例函数图象 ★★ 题型七 已知反比例函数的图象，判断其解析式 ★★ 题型八 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 ★★ 题型九 已知双曲线分布的象限，求参数范围 ★★ 题型十 判断反比例函数的增减性 ★★ 题型十一 判断反比例函数图象所在象限 ★★ 题型十二 已知反比例函数的增减性求参数 ★★★ 题型十三 比较反比例函数值或自变量的大小 ★★★ 题型十四 已知比例系数求特殊图形的面积 ★★★ 题型十五 求反比例函数解析式 ★★ 题型十六 反比例函数与几何综合 ★★★★ 题型十七 根据图形面积求比例系数（解析式） ★★★ 题型十八 一次函数与反比例函数图象综合判断 ★★★ 题型十九 一次函数与反比例函数的交点问题 ★★★ 题型二十 一次函数与反比例函数的其他综合应用 ★★★★ 题型二十一 实际问题与反比例函数 ★★★ 题型二十二 一次函数与反比例函数的实际应用 ★★★ 拔高题 10题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 用反比例函数描述数量关系 1．若点都在反比例函数的图像上，则m与n之间的数量关系是（    ） A． B． C．D． 2．如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 3．下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（   ） A．当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B．当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C．当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D．当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 4．下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 5．下列函数中：①，②，③，④（为常数，且）；属于反比例函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．在真空环境中，电磁波波长λ（单位：m）、频率f（单位：Hz）满足函数关系：，下列关于电磁波的说法中，正确的是（　　） A．波长是频率的正比例函数 B．波长为m时，频率为Hz C．波长大于m时，频率大于Hz D．波长小于m时，频率大于Hz 题型三 根据反比例函数的定义求参数 7．若函数是反比例函数，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．或1 D．或 8．已知与是反比例函数图象上的两个点，则的值_________． 9．若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 题型四 求反比例函数值 10．反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 11．在平面直角坐标系中，点在双曲线上．若，则点在第________象限． 12．如图，点在双曲线上，过点A作轴，垂足为C，线段OA的垂直平分线交OC于点B，则周长的值是（      ） A．3 B． C．4 D． 题型五 由反比例函数值求自变量 13．某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为（     ）． A．-4 B．4 C． D． 14．从五个点、、、、中任取一点，在双曲线上的概率是_____． 15．若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型六 判断（画）反比例函数图象 16．反比例函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 17．李明需要制作一个底面积为的长方体无盖纸盒，底面矩形的一边长y（单位：）与其邻边长x（单位：）之间的关系可以用图象大致表示为（    ） A． B． C． D． 18．定义新运算：a⊕b＝，例如：3⊕4＝，3⊕（﹣4）＝，则函数y＝5⊕x（x≠0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 题型七 已知反比例函数的图象，判断其解析式 19．如图所示的图象对应的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 20．反比例函数（，）的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则的值可能为（     ） A． B． C． D． 21．如图，点P在反比例函数的图像上，过点P作轴，垂足为H，连接，如果的面积为3，那么这个反比例函数的表达式为_____________． 题型八 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 22．如图，直线y＝kx（k≠0）与双曲线y＝相交于A、C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 23．如图，是反比例函数的图象上的两点，若是等腰三角形，且，，则的值是_____． 24．已知直线与双曲线的一个交点坐标是，则它们的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 题型九 已知双曲线分布的象限，求参数范围 25．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可能是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 26．已知反比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象不经过第______象限． 27．若反比例函数的图象位于一、三象限，则（   ） A． B． C． D． 28．小明使用图形计算器探究函数的图象，他输入了一组的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的的值满足（    ） A． B． C． D． 题型十 判断反比例函数的增减性 29．如图，平行于轴的直线交反比例函数的图象于点．当时，的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 30．已知，，是反比例函数图象上的三个点，若，则，，的大小关系为________．（用“”连接） 31．下列函数中，随的增大而减小的函数是（   ） A． B． C． D． 题型十一 判断反比例函数图象所在象限 32．反比例函数的图象在（     ）． A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 33．反比例函数的图象如图所示，则k_____0；在每个象限内，y随x的增大而_____． 34．一次函数，若随增大而减小，则反比例函数 的图象所在象限为（     ） A．一、三 B．二、四 C．一、二 D．三、四 题型十二 已知反比例函数的增减性求参数 35．反比例函数的图象在每一象限内，y的值随x值的增大而增大，则k的值可以是（     ） A． B．1 C．3 D．4 36．点，是反比例函数图象上的两个点．当时，，则k的值可以是_______．（写出一个满足条件的k的值） 37．若点、都在双曲线上，且，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型十三 比较反比例函数值或自变量的大小 38．已知点，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 39．已知反比例函数，当时，的取值范围是_______． 40．若函数的图象上有两点，，且，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 题型十四 已知比例系数求特殊图形的面积 41．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，连接，，则面积为（    ） A． B． C． D． 42．如图，在平面直角坐标系中，点、均在函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，，若点，，则点的坐标为________，当，则_______ ． 43．如图，中，，边轴，顶点，均落在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作，分别交，于点、，若，则为（    ） A．： B．： C．： D．： 题型十五 求反比例函数解析式 44．点在一个反比例函数的图象上，则这个函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 45．如图，直线与一个反比例函数的图象在第一象限交于点A，点B和C都在x轴上，且是等腰直角三角形，，，则该反比例函数的表达式为________． 46．如图，一次函数图象上有，两点，点P是反比例函数图象上第一象限内的动点，当点P在第一象限双曲线上移动时总有，则的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 题型十六 反比例函数与几何综合 47．如图，点B是y轴正半轴上一点，过点B作x轴的平行线交反比例函数和于C，A两点，则的面积是（   ） A．3 B． C．6 D．7 48．如图，已知四边形是矩形，点在反比例函数的图象上，延长线交轴于点，，．则_________． 49．如图，在中，平分，，反比例函数的图象经过、两点，点在轴上，若的面积为6，则的值为（     ） A．3 B． C． D． 题型十七 根据图形面积求比例系数 50．如图，已知点A在反比例函数图象上，垂足为点B，轴，若矩形的面积为2，则k的值为（     ） A． B． C．2 D．4 51．如图，轴交反比例函数的图象于点，交轴于点，连接，，则的值是______． 52．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于点B．函数的图象与线段交于点C，且．若的面积为18，则k的值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 题型十八 一次函数与反比例函数图象综合判断 53．若，互为相反数，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B．C．D． 54．在同一直角坐标系中，函数与（）的图象可能是（     ） A． B．C．D． 55．一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 题型十九 一次函数与反比例函数的交点问题 56．若正比例函数与反比例函数的一个交点为，则反比例函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 57．一次函数与反比例函数交于，当时， x的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 58．如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点，，过点，分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为_______． 题型二十 一次函数与反比例函数的其他综合应用 59．已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的纵坐标是，则k的值为（　　） A．8 B． C．4 D． 60．如图，在直角坐标系第一象限内，正方形的边长为2，边在x轴上，C在反比例函数图像上，D在直线上，则b的值为________． 61．如图，点A和B都在反比例函数的图象上，且线段AB过原点，过点A作x轴的垂线段，垂足为点，是线段上的动点，连接，设的面积为，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 题型二十一 实际问题与反比例函数 62．某同学恰好用元钱买练习本，则关于练习本的单价（元）与购买数量（本）的函数图象的说法正确的是（     ） A．图象是在第一、三象限内的双曲线 B．图象是在第一象限内的双曲线上的一段 C．图象是在第一象限内的双曲线 D．图象是在第一象限内的双曲线上的有限个点 63．某型号电暖气及其工作原理的简化电路图如图1所示，滑动变阻器为，电源电压为，电功率为（其中），关于的函数图象如图2所示．小明同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为________． 64．小秦在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔（jié）槔（gāo）的古代汲水工具（如图1）．若图中人物竖直向下施加的拉力为（单位：N），当改变点与点之间的距离（单位：m）时，横杆始终处于水平状态，小秦发现与之间满足反比例函数关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图2所示．当竖直向下施加的拉力为75N时，要使横杆仍处于水平状态，则点与点之间的距离为（   ）． A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m 题型二十二 一次函数与反比例函数的实际应用 65．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间为（    ） A． B． C． D． 66．如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为______． 67．某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 解答题 1．在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，记双曲线与两坐标轴之间的部分为（不含双曲线与坐标轴）． (1)求的值； (2)求内整点的个数； (3)设点在直线上，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为，若内部（不包括边界）不超过个整点，直接写出的取值范围． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)直接写出_________，_________，一次函数表达式为_________； (2)观察图象，直接写出不等式的解集为_________． (3)连接，求的面积． 3．为迎接农历马年的到来，提前点燃节日消费热度，各平台推出年终促销让利活动．某商家出售一款零食，在销售过程中，该商家发现这款零食的日销售量（单位：kg）与日销售单价（单位：元）之间成反比例函数关系，其函数图象如图所示，点在该反比例函数图象上． (1)求与之间的函数表达式（不必写的取值范围）； (2)当日销售单价为元时，对应的日销售量为_______； (3)若，求的取值范围． 4．如图，在平面直角坐标系中，的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求此反比例函数的表达式； (2)将向上平移，当点落在反比例函数的图象上时，求出平移的距离． 5．如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下列问题． (1)图象的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支上任取点和点，如果，那么b、有怎样的大小关系？ 6．如图，，，为反比例函数的图象在第一象限的分支上的三点，且． (1)比较，，的大小． (2)过A，B，C三点分别作两坐标轴的垂线，D，E，F和H，N，P为垂足，矩形，，的面积，，之间有怎样的数量关系？为什么？ 7．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴于点． (1)若点A的横坐标为3，，直接写出的值______； (2)若，求出此时的值． 8．如图，一次函数（m，n为常数，）的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)结合图形，请直接写出不等式的解集； (3)若直线与反比例函数和一次函数图象分别交于点N和点M，已知，求t的值． 9．图为某电子秤的实物图，图为其工作电路图，其工作原理为：电源两端电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知：①可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）满足图所示的一次函数关系；②定值电阻，总电阻；③电路中的电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例；④当在电子秤上放置质量为的物体时，电流表显示电流为． (1)求可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间满足的函数关系式； (2)求电流（单位：）与总电阻（单位：）之间满足的函数关系式； (3)已知该电子秤正常工作的电流范围为（单位：），求该电子秤可称量物品的最大质量． 10．设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当时，有，我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”． (1)反比例函数是闭区间上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； (2)若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求此函数的解析式． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03反比例函数知题通关讲义 知识点01:反比例函数基础定义与三种表达式 1. 定义 一般地，如果两个变量x、y的乘积等于一个非零常数k（k为常数，k≠0），即xy=k，那么称y是x的反比例函数。 2. 三种等价表达式 取值范围 自变量 x：x0（分母不能为 0） 函数值 y：y0 4. 判断反比例函数核心要点 (1)x、y次数必须为-1； (2)常数项k不能等于 0； (3)不能出现y=这类分母含一次多项式的形式（不属于反比例函数）。 5.正反比例函数对比表 知识点02:反比例函数解析式的确定 1.方法：待定系数法（仅需 1 组 x,y 对应值） 2.步骤 . 知识点03:反比例函数的图像画法（描点法） 1.图象形状 反比例函数 y=(k0) 的图象是双曲线，由两个分支组成，关于原点成中心对称。 2.图象画法（三步法） 知识点04:反比例函数图像与核心性质（重难点） k > 0：图象在一、三象限，在每个象限内，y 随 x 增大而减小。 k < 0：图象在二、四象限，在每个象限内，y 随 x 增大而增大。 对称性：关于原点、直线 y=x、y=-x对称。 关键易错注解 1.增减性必须强调在每一个象限内，不能直接说 “k>0时，y随x增大而减小”；跨象限不满足增减规律； 2.|k|越大，双曲线离坐标原点越远；|k|越小，双曲线越靠近原点； 3.图像永远不过原点，x、y均不能取 0。 知识点05:比例系数 k 的几何意义 1.过 y=(k0) 图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于 ∣k∣。 2.连接 y=(k0) 图象上任意一点与原点，并从该点向 x 轴、y 轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于 。 3.若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到 ∣k∣ 的值，进而确定函数表达式。 知识点06:反比例函数与一次函数综合 1. 交点求解方法 联立两个函数解析式，组成方程组，消元得到一元二次方程，方程的解对应交点横、纵坐标。 2. 交点核心性质 (1)若有两个交点，则两点关于原点中心对称； (2)联立方程判别式Δ>0：2 个交点；Δ=0：1 个交点；Δ<0：无交点。 3. 图像综合应用 (1)比较函数值大小：同一竖直线x=a，观察图像上下位置，上方函数值更大； (2)解不等式>mx+n：直接看图像，双曲线在直线上方对应的x取值范围 知识点07:反比例函数的应用 1. 核心思想 实际问题中，若两个量的积为定值，则它们成反比例关系，可用y= 建模解决。 2. 常见实际模型（必掌握） 行程问题：路程 s 一定时，速度 v 与时间 t 成反比v=(s为定值) 工程问题：工作总量 W 一定时，效率 P 与时间 t 成反比P=(w为定值) 几何面积：矩形面积 S 一定时，长 a 与宽 b 成反比a= (S为定值) 物理关系（如压强、电学）： 压力 F 一定，压强 p 与受力面积 S 成反比：P= 电压 U 一定，电流 I 与电阻 R 成反比：I= 3. 解题一般步骤 1.审：找常量、变量，确认 “积为定值”； 2.设：设反比例函数y= 3.求：用已知条件求 k； 4.用：写出解析式，结合实际意义确定自变量取值范围，再求解问题。 1、反比例函数定义判定出现失误 易错提醒：反比例函数标准形式y=(k≠0)，等价形式为xy=k、y=kx-1；k≠0为必要限制条件；自变量x的次数必须为-1，避免将一次式、常数式错误判定为反比例函数。 2、求解反比例函数参数时遗漏k≠0的条件 易错提醒：计算反比例函数解析式中的参数，仅核对自变量的次数等于-1，忽略k≠0的约束；求得参数结果后，必须验证比例系数不等于零。 3、k的符号与双曲线对应象限记忆颠倒 易错提醒：k>0，双曲线分布于第一、三象限；k<0，双曲线分布于第二、四象限；双曲线永不经过坐标原点。 4、错误在全体定义域内描述反比例函数增减性 易错提醒：反比例函数增减性仅在每一个象限内成立，不可以在整个取值范围内叙述y随x的增大而增大或者减小；跨象限比较函数值，不能直接利用增减性进行判断。 5、运用k的几何意义求面积未取绝对值 易错提醒：双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，形成矩形的面积等于|k|，直角三角形面积等于|k|；面积是非负量，计算面积必须使用k的绝对值，不可直接代入k的原始负值运算。 6、比较两点函数值大小未区分点所在象限 易错提醒：利用横坐标比较反比例函数的函数值，首先判断两个点是否处在同一象限；跨象限的点优先根据象限判定函数值正负，禁止直接套用增减性完成大小比较。 7、反比例函数与一次函数综合，主观认定交点数量 易错提醒：联立两个函数解析式得到一元二次方程，依靠判别式判定交点个数；>0有两个交点，=0有一个交点，<0无交点；不能默认两个函数一定存在交点。 8、反比例函数实际应用忽略自变量取值范围 易错提醒：实际情境下反比例函数自变量一般只能取正值；得到函数解析式之后，需要正确标注自变量的取值范围；作答时不能忽略取值范围对结果的约束。 9、求解函数解析式时代入坐标直接省略符号 易错提醒：使用图像上点的坐标求反比例函数解析式，代入坐标时完整保留坐标自带正负符号；坐标的负号遗漏会直接造成比例系数k计算错误。 题型 考察方向 难度 题型一 用反比例函数描述数量关系 ★ 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 ★ 题型三 根据反比例函数的定义求参数 ★★ 题型四 求反比例函数值 ★ 题型五 由反比例函数值求自变量 ★ 题型六 判断（画）反比例函数图象 ★★ 题型七 已知反比例函数的图象，判断其解析式 ★★ 题型八 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 ★★ 题型九 已知双曲线分布的象限，求参数范围 ★★ 题型十 判断反比例函数的增减性 ★★ 题型十一 判断反比例函数图象所在象限 ★★ 题型十二 已知反比例函数的增减性求参数 ★★★ 题型十三 比较反比例函数值或自变量的大小 ★★★ 题型十四 已知比例系数求特殊图形的面积 ★★★ 题型十五 求反比例函数解析式 ★★ 题型十六 反比例函数与几何综合 ★★★★ 题型十七 根据图形面积求比例系数（解析式） ★★★ 题型十八 一次函数与反比例函数图象综合判断 ★★★ 题型十九 一次函数与反比例函数的交点问题 ★★★ 题型二十 一次函数与反比例函数的其他综合应用 ★★★★ 题型二十一 实际问题与反比例函数 ★★★ 题型二十二 一次函数与反比例函数的实际应用 ★★★ 拔高题 10题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 用反比例函数描述数量关系 1．若点都在反比例函数的图像上，则m与n之间的数量关系是（    ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键． 将代入反比例函数解析式即可求解． 【详解】解：将代入反比例函数， 得到：， ∴， 故选：B． 2．如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 【答案】， 【分析】此题考查根据实际问题列函数关系式，理解题意掌握长方形的面积公式是解题的关键．根据长方形的面积长宽，可得，进而得出y关于x的函数表达式，再根据围墙可利用的最大长度为求得x的取值范围． 【详解】解：解：由题意得，即． ∵围墙可利用的最大长度为， ∴， 故答案为：，． 3．下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（   ） A．当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B．当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C．当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D．当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．由，则当压力F一定时，压强P与受力面积S之间成反函数关系，即A选项不符合题意； B．由，则当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间成反函数关系，即B选项不符合题意； C．由，则当行驶的路程s一定时，时间t与速度v成反函数关系，即C选项不符合题意； D．由，则当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间成正比例函数，即选项D符合题意． 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 4．下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的三种表达形式（为常数，）、（为常数，）、（为常数，），逐一判断选项，选出符合定义的函数． 【详解】解：：是正比例函数，不是反比例函数； ：的分母为，不是的反比例函数； ：含常数项，不符合反比例函数形式； ：，是反比例函数． 5．下列函数中：①，②，③，④（为常数，且）；属于反比例函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义逐一分析判断即可，形如y＝()的函数是反比例函数． 【详解】①∵， ∴，是反比例函数，符合题意； ②，不是反比例函数，不合题意； ③∵， ∴，是反比例函数，符合题意； ④（为常数，且），是反比例函数，符合题意； 是反比例函数的有①③④，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的辨别，熟练掌握反比例函数的形式是解题的关键．y＝()的函数是反比例函数． 6．在真空环境中，电磁波波长λ（单位：m）、频率f（单位：Hz）满足函数关系：，下列关于电磁波的说法中，正确的是（　　） A．波长是频率的正比例函数 B．波长为m时，频率为Hz C．波长大于m时，频率大于Hz D．波长小于m时，频率大于Hz 【答案】D 【分析】根据正比例函数和反比例函数的概念及性质分析即可． 【详解】解：A、， ， 波长是频率的反比例函数，故此选项错误，不符合题意； B、，让， ，故此选项错误，不符合题意； C、，让， ，波长大于时，频率小于Hz，故此选项错误，不符合题意； D、，让， ，波长小于时，频率大于Hz，故此选项正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了正比例和反比例函数的概念、反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质得应用． 题型三 根据反比例函数的定义求参数 7．若函数是反比例函数，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．或1 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟悉的形式的反比例函数是解题的关键．根据反比例函数的定义解答即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，且， ∴且， ∴， 故选：B． 8．已知与是反比例函数图象上的两个点，则的值_________． 【答案】 【分析】反比例函数的图象上的点满足，将两个点的坐标分别代入得到关于和的等式，即可求解． 【详解】解：∵点和都在反比例函数的图象上， ∴，且， ∴ 解得． 9．若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用反比例函数的图象经过点，求出k的值，再分别计算选项中各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴k＝2×（﹣3）＝﹣6， ∵（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6， （﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6， 1×（﹣6）＝﹣6， ,6×1＝6≠﹣6， 则它一定还经过（1，﹣6）， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 题型四 求反比例函数值 10．反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将反比例函数关系式进行变形，逐项判断即可． 【详解】解：由得． A. ，不符合题意； B. ，不符合题意； C. ，符合题意； D. ，不符合题意． 11．在平面直角坐标系中，点在双曲线上．若，则点在第________象限． 【答案】二 【分析】由点A（a，b）在双曲线上，可得ab=-1，由可得到点的坐标，进而得出答案． 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴ab=-1， ∵ ∴ ∴点A在第二象限． 故答案为：二． 【点睛】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，求出是解答此题的关键． 12．如图，点在双曲线上，过点A作轴，垂足为C，线段OA的垂直平分线交OC于点B，则周长的值是（      ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】将点代入双曲线求出k得到A坐标．利用垂直平分线性质得到，即可求出周长． 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴，即， 由图可得：，， ∵线段OA的垂直平分线交OC于点B， ∴， ∴周长， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数，垂直平分线的性质，解题的关键是求出A点坐标，利用垂直平分线性质证明． 题型五 由反比例函数值求自变量 13．某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为（     ）． A．-4 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查已知自变量的值求函数值，掌握代入求值的方法是解题的关键． 将代入中计算即可； 【详解】解：∵， ∴ 故选B． 14．从五个点、、、、中任取一点，在双曲线上的概率是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查概率公式的知识，解答本题关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比，首先找出在双曲线上点的个数，然后根据概率公式求出答案． 【详解】解：∵五个点、、、、中，在双曲线上的点有，一共1个， ∴五点任取一点，在双曲线上的概率是， 故答案为：． 15．若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，将点，，分别代入即可求得的值，就可以判断，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解： ∵点，，在反比例函数的图象上， ， 故选：C． 题型六 判断（画）反比例函数图象 16．反比例函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：反比例函数中， 该反比例函数的图象在二、四象限， 故选：C． 17．李明需要制作一个底面积为的长方体无盖纸盒，底面矩形的一边长y（单位：）与其邻边长x（单位：）之间的关系可以用图象大致表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形面积公式列出与的函数关系式，结合自变量的取值范围确定图象． 【详解】解：由题意得， ． 表示矩形的边长， ， 该函数图象是位于第一象限的双曲线的一支． 18．定义新运算：a⊕b＝，例如：3⊕4＝，3⊕（﹣4）＝，则函数y＝5⊕x（x≠0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得y＝5⊕x＝，再根据反比例函数的性质可得函数图象所在象限和形状，进而得到答案． 【详解】解：由题意得：y＝5⊕x＝， 当x＞0时，反比例函数y＝在第一象限， 当x＜0时，反比例函数y＝在第二象限， 又因为反比例函数图象是双曲线，因此B选项符合． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的图象是双曲线． 题型七 已知反比例函数的图象，判断其解析式 19．如图所示的图象对应的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可知，该函数图象为过一、三象限的反比例函数，即， 故选：C． 20．反比例函数（，）的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则的值可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形得出，根据的取值判断即可． 【详解】解：由题图可知，当时，，即， 当时，， 即， ． 选项中只有4在此范围内， ∴的值可能为4． 21．如图，点P在反比例函数的图像上，过点P作轴，垂足为H，连接，如果的面积为3，那么这个反比例函数的表达式为_____________． 【答案】 【分析】根据反比例函数系数的几何意义，可知的面积等于，结合图像所在象限确定的符号，即可求出函数表达式． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∵轴，垂足为， ∴，， 在中，， 解得， 由图像可知，反比例函数图像位于第一、三象限， ∴， ∴， 故这个反比例函数的表达式为． 题型八 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 22．如图，直线y＝kx（k≠0）与双曲线y＝相交于A、C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】利用反比例函数关于原点中心对称，设A点（a，），则C点（-a，），由坐标的特征便可计算△ABC面积； 【详解】解：∵反比例函数图象上任意一点（x，y）关于原点的对称点（-x，-y）也在函数图象上， ∴反比例函数关于原点对称， 设A点（a，），则C点（-a，）， ∵AB=，C点到AB的距离为2a， ∴△ABC面积=， 故选： C． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质，掌握反比例函数关于原点中心对称是解题关键． 23．如图，是反比例函数的图象上的两点，若是等腰三角形，且，，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握解直角三角形是关键． 作第一象限的角平分线，根据图象对称性得到点、关于直线对称，作轴，垂足为点，可得到，利用解直角三角形得到点坐标，继而求出值． 【详解】解：如图，作第一象限的角平分线，则反比例函数在第一象限分支关于直线对称， ， 点、关于直线对称， ， 作轴，垂足为点， ， ， ，， ， 点在反比例函数图象上， ． 故答案为：． 24．已知直线与双曲线的一个交点坐标是，则它们的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数图象的交点，利用中心对称图形的性质即可解决． 【详解】解：∵直线与双曲线均是关于原点中心对称的图象， ∴它们的交点也关于原点对称， 由其中一个交点坐标是，可知另外一个交点为． 故选：C． 题型九 已知双曲线分布的象限，求参数范围 25．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可能是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限 ∴ 解得 观察选项，只有0满足． 26．已知反比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象不经过第______象限． 【答案】一 【分析】先根据反比例函数图象所在象限判断出的符号，进而得到的取值范围，再根据一次函数的图象与性质判断一次函数不经过的象限. 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， 解得 ， ∴， 一次函数中，，，因此其图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限. 27．若反比例函数的图象位于一、三象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的图象位于第一、三象限，则，是解题的关键． 根据反比例函数的性质，即可求出答案． 【详解】解：∵反比例函数图象位于第一、三象限， ． 故选D． 28．小明使用图形计算器探究函数的图象，他输入了一组的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的的值满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】需要根据题目所给图象特点，选定特殊区间确定参数范围． 【详解】解：由图象可知，当时， ，函数值，则， 则， 由图象可知，在自变量范围内，分子，同时在该区间内当取某值时，函数值无穷大，当且仅当取值接近值时，分母接近，则接近无穷大， 则． 故选：A． 题型十 判断反比例函数的增减性 29．如图，平行于轴的直线交反比例函数的图象于点．当时，的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵平行于轴的直线交反比例函数的图象于点， ∴反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， 在第一象限时，当时，， 在第三象限时，恒成立，符合题意， ∴当时，的取值范围是或． 30．已知，，是反比例函数图象上的三个点，若，则，，的大小关系为________．（用“”连接） 【答案】 【分析】根据反比例函数比例系数小于0，判断函数图象所在象限和增减性，再结合三个点横坐标的范围，判断每个点所在象限，进而比较纵坐标大小． 【详解】解：∵ 反比例函数中，， ∴ 函数图象分别位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， 又∵， ∴和在第二象限，在第四象限， ∴ ，即． 31．下列函数中，随的增大而减小的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的图象和性质，即可求解． 【详解】解：选项A、，，在每个象限内，随的增大而增大，故不符合题意； 选项B、，，当，时，，，即，故不符合题意； 选项C、，，当时，随的增大而增大，故不符合题意； 选项D、，，当时，随的增大而减小，故符合题意． 题型十一 判断反比例函数图象所在象限 32．反比例函数的图象在（     ）． A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】通过确定反比例函数中的符号，判断图象所在象限即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴图象位于第二、四象限． 33．反比例函数的图象如图所示，则k_____0；在每个象限内，y随x的增大而_____． 【答案】 增大 【分析】根据反比例函数性质求解即可． 【详解】解：∵图象在第二、四象限， ∴，在每个象限内，y随x的增大而增大． 34．一次函数，若随增大而减小，则反比例函数 的图象所在象限为（     ） A．一、三 B．二、四 C．一、二 D．三、四 【答案】B 【分析】先根据一次函数的增减性得到反比例函数比例系数的取值范围，再利用反比例函数的图像性质判断象限即可． 【详解】解：∵一次函数中，随增大而减小 ∴ 本题反比例函数比例系数为，即反比例系数小于零， 根据反比例函数性质，当反比例系数小于零时，函数图象位于第二，四象限． 题型十二 已知反比例函数的增减性求参数 35．反比例函数的图象在每一象限内，y的值随x值的增大而增大，则k的值可以是（     ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一象限内，随的增大而增大， ∴， ∵选项中只有， ∴选A． 36．点，是反比例函数图象上的两个点．当时，，则k的值可以是_______．（写出一个满足条件的k的值） 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据已知点的横纵坐标的符号关系，判断反比例函数图象所在象限，再利用反比例函数的性质得到的取值范围，进而得到的取值范围，写出范围内任意一个值即可． 【详解】解：当时，， 反比例函数的图象位于第二、四象限， 根据反比例函数的性质可得， 解得， 故取，符合要求（答案不唯一，满足即可）． 37．若点、都在双曲线上，且，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先要判断A、B两点是否在同一象限，然后根据得，从而得出a的取值范围． 【详解】解：∵，，且， ∴点A在第二象限，点B在第四象限， ∴反比例函数的比例系数， 解得. 题型十三 比较反比例函数值或自变量的大小 38．已知点，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】把点的坐标代入函数解析式，求出，的值，进行比较即可． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， ，， ， ． 39．已知反比例函数，当时，的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质．根据反比例函数的系数确定出增减性，然后结合的范围即可求解的取值范围． 【详解】解：将代入，得 ． ， 反比例函数的图象位于第二，四象限，在每个象限内随的增大而增大． 当时，函数图象位于第二象限，此时， 的取值范围是． 40．若函数的图象上有两点，，且，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】结合已知条件得到的表达式，根据反比例函数的性质，按的正负分类比较的大小，判断选项正误． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，． 分情况讨论： 当时，，，对，越大，越小， 选项A：若，则，得，A错误； 选项B：若，则，得，B正确； 当时，，，对，越大，越大， 选项C：若，则，得，C错误； 选项D：若，则，得，即，D错误． 题型十四 已知比例系数求特殊图形的面积 41．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，连接，，则面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数中系数的几何意义求出和，再利用解答即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴， ，， ． 42．如图，在平面直角坐标系中，点、均在函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，，若点，，则点的坐标为________，当，则_______ ． 【答案】 【分析】先根据求出的值，即可确定点的坐标，进而求出的值，再由求出的长，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 43．如图，中，，边轴，顶点，均落在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作，分别交，于点、，若，则为（    ） A．： B．： C．： D．： 【答案】C 【分析】连接，延长交轴于，过作轴于，过作轴于，延长交轴于，依据反比例函数系数的几何意义，即可得到，进而得出，再根据，，即可得到 ，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，延长交轴于，过作轴于，过作轴于，延长交轴于， ∵顶点，均落在反比例函数的图象上， ∴=k， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵OD=2AD， ∴ ， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 题型十五 求反比例函数解析式 44．点在一个反比例函数的图象上，则这个函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先识别出反比例函数的标准形式，然后将点A代入解析式中求出k的值，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数的一般形式为（）， ∴选项C为正比例函数，排除； 将点代入中，得， ∴该反比例函数解析式为． 45．如图，直线与一个反比例函数的图象在第一象限交于点A，点B和C都在x轴上，且是等腰直角三角形，，，则该反比例函数的表达式为________． 【答案】 【分析】过点作于点，先根据等腰三角形的判定与性质求出，然后利用正比例函数解析式求出，再由待定系数法求解反比例函数解析式． 【详解】解：过点作于点， ∵是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴均为等腰直角三角形， ∴ 将代入，则 ∴ ∴ 设反比例函数的表达式为，则 ∴反比例函数的表达式为． 46．如图，一次函数图象上有，两点，点P是反比例函数图象上第一象限内的动点，当点P在第一象限双曲线上移动时总有，则的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由点在反比例函数图象上设，由两点间距离公式求出，根据列式得出，从而得出． 【详解】解：∵点在反比例函数图象上， ∴设， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ 整理得：， ∴ 整理得：， ∴， ∴． 题型十六 反比例函数与几何综合 47．如图，点B是y轴正半轴上一点，过点B作x轴的平行线交反比例函数和于C，A两点，则的面积是（   ） A．3 B． C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，三角形面积计算，解决本题的关键是求解出C，A两点坐标． 先求解出C，A两点坐标，由此可求解出的长度，再由的高为的长度，由此计算三角形的面积即可． 【详解】解：由图象可知，点， ∵点B作x轴的平行线交反比例函数和于C，A两点， ∴C，A两点的纵坐标为3， 可得，， 解得，， ∴可得， 又， ∴ 故选：B ． 48．如图，已知四边形是矩形，点在反比例函数的图象上，延长线交轴于点，，．则_________． 【答案】 【分析】根据及矩形性质确定点的横坐标，利用反比例函数解析式表示出点的坐标；结合和表示出点的坐标；最后利用点在反比例函数图象上建立关于的方程求解． 【详解】解： 四边形是矩形，， 点的横坐标为， 点在反比例函数的图象上， 点的坐标为， ，且点在点下方， 点的纵坐标为， 四边形是矩形，，且轴， 点的横坐标为，纵坐标与点相同，为， 点的坐标为， 点也在反比例函数的图象上， ， 解得． 49．如图，在中，平分，，反比例函数的图象经过、两点，点在轴上，若的面积为6，则的值为（     ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用角平分线性质得出与的面积比，结合反比例函数的几何意义及梯形面积公式建立方程求解. 【详解】解：过点作于，作于，过点作于 平分， ， ， ， ，， ， 即， 设，，则， 点在反比例函数图象上， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， . 题型十七 根据图形面积求比例系数 50．如图，已知点A在反比例函数图象上，垂足为点B，轴，若矩形的面积为2，则k的值为（     ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】直接根据值的几何意义，即可得出结果. 【详解】解：由题意，矩形的面积为， ∵反比例函数过二，四象限， ∴， ∴. 51．如图，轴交反比例函数的图象于点，交轴于点，连接，，则的值是______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】解：∵轴交反比例函数的图象于点，交轴于点，， ， ， ∵反比例函数图象在第二象限， ， ， 52．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于点B．函数的图象与线段交于点C，且．若的面积为18，则k的值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】设点的坐标为，先求出点的坐标，再代入计算即可． 【详解】解：∵点在第一象限，轴于点， ∴可设点的坐标为，则， ∵的面积为18， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵轴， ∴， 将点代入函数得：． 题型十八 一次函数与反比例函数图象综合判断 53．若，互为相反数，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B．C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，以及相反数的定义，解题的关键是掌握它们的性质． 根据题意得，当时，函数的图象过第一、二、三象限，反比例函数图象在第一、三象限；当时，函数的图象过第二、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，据此选择即可． 【详解】解：∵，互为相反数， ∴， 当时，函数的图象过第一、二、三象限，反比例函数图象在第一、三象限，无此选项； 当时，函数的图象过第二、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，选项D符合． 故选：D． 54．在同一直角坐标系中，函数与（）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况当或时，函数图象所经过的象限进行判断即可. 【详解】解：当时，的图象经过一、三、四象限，的图象经过一、三象限，B符合题意； 当时，的图象经过一、二、四象限，的图象经过二、四象限，不符合题意. 55．一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，根据一次函数和反比例函数的性质可得结论． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、三象限，故选项B和C错误，不符合题意； 反比例函数位于第一、三象限，故选项A正确，符合题意；选项D错误，不符合题意， 故选：A． 题型十九 一次函数与反比例函数的交点问题 56．若正比例函数与反比例函数的一个交点为，则反比例函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求解，先根据交点在正比例函数上求出交点的完整坐标，再代入反比例函数求出参数，即可得到解析式． 【详解】解：∵ 点在正比例函数上 ∴ 将代入，得， 解得， 即交点坐标为 又∵ 点在反比例函数上， ∴ ， ∴ 反比例函数的解析式为． 57．一次函数与反比例函数交于，当时， x的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】不等式表示一次函数值小于反比例函数值，结合两个交点坐标及对应函数图象即可得到的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为，其函数图象分别位于第二、四象限； 把，代入，得， 解得，即一次函数的表达式为． ∴反比例函数与一次函数的图象如图所示： 由图象可知，当时，的取值范围是或． 58．如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点，，过点，分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为_______． 【答案】 【分析】设点，，利用正比例函数和反比例函数的性质得到坐标之间的倍数关系，确定点C的坐标，进而表示出的直角边长，利用三角形面积公式进行解答即可． 【详解】解：设点，， ∵正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点，， ∴且， ∴， ∴， ∵点在第一象限，点在第二象限， ∴ ∴， 同理， ∵轴，轴， ∴， ∴， ， ∴ ． 题型二十 一次函数与反比例函数的其他综合应用 59．已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的纵坐标是，则k的值为（　　） A．8 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】此题考查的是反比例函数和一次函数的交点问题，掌握将交点坐标代入并联立方程是解决此题的关键． 根据题意联立两个函数得出，求解即可． 【详解】解：由题意知，反比例函数与一次函数的图象的一个交点的纵坐标是， ∴， 消去x得：， 解得：． 故选：B． 60．如图，在直角坐标系第一象限内，正方形的边长为2，边在x轴上，C在反比例函数图像上，D在直线上，则b的值为________． 【答案】 【分析】设，先求出点的坐标分别为，，再根据反比例函数的解析式可得的值，进而可得点的坐标，然后代入一次函数的解析式求解即可． 【详解】解：设， ∵正方形的边长为2， ∴，， ∴，， ∴， 将点代入反比例函数得：， 解得， ∴， 将点代入直线得：， 解得． 61．如图，点A和B都在反比例函数的图象上，且线段AB过原点，过点A作x轴的垂线段，垂足为点，是线段上的动点，连接，设的面积为，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 根据反比例函数 中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S|k|． 【详解】解：设点，如图， ∵反比例函数图象和正比例函数图象都是关于原点对称， ∴点， ∴，，， 根据题意可得：， ∴， ∵，， ∴ 故的面积． 故选：D． 题型二十一 实际问题与反比例函数 62．某同学恰好用元钱买练习本，则关于练习本的单价（元）与购买数量（本）的函数图象的说法正确的是（     ） A．图象是在第一、三象限内的双曲线 B．图象是在第一象限内的双曲线上的一段 C．图象是在第一象限内的双曲线 D．图象是在第一象限内的双曲线上的有限个点 【答案】D 【详解】解：是购买练习本的数量， 是正整数， 是练习本的单价， ，即， 关于练习本的单价（元）与购买数量（本）的函数图象是第一象限双曲线上有限个离散的点． 选项D正确． 63．某型号电暖气及其工作原理的简化电路图如图1所示，滑动变阻器为，电源电压为，电功率为（其中），关于的函数图象如图2所示．小明同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为________． 【答案】 【分析】根据可知与成反比例，即为定值，设时功率为，则时功率为，列方程求出即可求解． 【详解】解：根据题意，，即． 设当时，电功率为，则当时，电功率为， 电源电压不变， ， 解得， ， 关于的函数关系式为， 当时，． 64．小秦在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔（jié）槔（gāo）的古代汲水工具（如图1）．若图中人物竖直向下施加的拉力为（单位：N），当改变点与点之间的距离（单位：m）时，横杆始终处于水平状态，小秦发现与之间满足反比例函数关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图2所示．当竖直向下施加的拉力为75N时，要使横杆仍处于水平状态，则点与点之间的距离为（   ）． A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m 【答案】B 【分析】已知与是反比例函数关系，先设反比例函数解析式，从图像读取一组对应点代入求出，再把代入解析式求出对应的． 【详解】解：由题意，设反比例函数解析式为．从图2中可得，当m时，N，将代入解析式： ， 解得，因此函数解析式为： ， 当拉力N时，代入解析式： ， 解方程： ， 即点与点之间的距离为4m． 题型二十二 一次函数与反比例函数的实际应用 65．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别利用正比例函数以及反比例函数解析式，再利用y＝6分别得出x的值，进而得出答案． 【详解】解：当0≤x≤4时，设直线解析式为：y＝kx， 将（4，8）代入得：8＝4k， 解得：k＝2， 故直线解析式为：y＝2x， 当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y＝， 将（4，8）代入得：8＝， 解得：a＝32， 故反比例函数解析式为：y＝； 因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y＝2x（0≤x≤4）， 下降阶段的函数关系式为y＝（4≤x≤10）． 当y＝6，则6＝2x，解得：x＝3， 当y＝6，则6＝，解得：x＝， ∵−3＝（小时）， ∴血液中药物浓度不低于6微克/毫升的持续时间小时 故选A． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键． 66．如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为______． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的实际应用等知识．先求出与之间的反比例函数为，再根据求出，代入即可求出． 【详解】解：设电压表显示的读数与之间的反比例函数为， ∵反比例函数图象经过点， ∴， ∴与之间的反比例函数为， 当时，, ∵，， ∴， 把代入得， 解得． 故答案为： 67．某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 【答案】B 【分析】分别求出线段与曲线的函数解析式，再求出函数值为4时对应的自变量x的值，即可求得此时持续时间． 【详解】解：时，设线段的解析式为， 由于线段过点，则有， 解得：， 即线段解析式为； 当时，设，把点代入中，得， 即， 当时，，得；当时，，得； ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（小时）； 故选：B． 【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，已知函数值求自变量值，其中待定系数法求函数解析式是关键，注意数形结合． 解答题 1．在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，记双曲线与两坐标轴之间的部分为（不含双曲线与坐标轴）． (1)求的值； (2)求内整点的个数； (3)设点在直线上，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为，若内部（不包括边界）不超过个整点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数综合应用，一次函数的性质； （1）利用待定系数法即可求解； （2）将内，，，分别代入双曲线，即可求出整点； （3）根据的情况进行分类讨论，根据函数图像可得，当时，刚好个整点，进而求得临界值即可求解． 【详解】（1）解：∵经过点， ∴， ∴， （2）解：对于双曲线 ， 当时，， 在直线上，当时，有整点个， 当时，， 在直线上，当时，有整点个， 当时，， 在直线上，当时，有整点2个， 当时，， 在直线上，当时，有整点2个， 当时，， 在直线上，当时，有整点1个， 当时，， 在直线上，当时，有整点1个， 当时，， 在直线上，当时，有整点1个， 当时，， 在直线上，当时，有整点1个， 当时，， 在直线上，当时，没有整点， ∴内整点的个数为个． （3）解：如图，当时，区域内至少有个整点， 当时，， 解得： 内部（不包括边界）不超过个整点，． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)直接写出_________，_________，一次函数表达式为_________； (2)观察图象，直接写出不等式的解集为_________． (3)连接，求的面积． 【答案】(1)；2；； (2)或； (3)3 【分析】（1）将、的坐标代入中，即可求出m、n的值，再根据待定系数法求解即可； （2）观察函数图象，即可得出的解集； （3）采用待定系数法求得直线的解析式，再令，即可求出，根据即可求出的面积． 【详解】（1）解：把点代入， 得，， ∴， 代入，得， 解得， ∴； （2）解：根据图象可得，当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方 ∴的解集为：或； （3）解：将代入，得 ∴，即， ∴． 3．为迎接农历马年的到来，提前点燃节日消费热度，各平台推出年终促销让利活动．某商家出售一款零食，在销售过程中，该商家发现这款零食的日销售量（单位：kg）与日销售单价（单位：元）之间成反比例函数关系，其函数图象如图所示，点在该反比例函数图象上． (1)求与之间的函数表达式（不必写的取值范围）； (2)当日销售单价为元时，对应的日销售量为_______； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及求反比例函数的函数值. ()设反比例函数的解析式为，将点代入解析式求解，即可解题； ()将代入()中求出的解析式求解，即可解题， ()把代入()中求出的解析，再根据反比例函数的性质在第一象限，随的增大而减小，即可解答． 【详解】（1）解：∵与成反比例函数关系， ∴设与之间的函数表达式为， ∵点在反比例函数图象上， ∴，解得， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：将代入()中求出的解析式: ， ∴当日销售单价为元时，对应的日销售量为 故答案为：； （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， ∵，∴在第一象限，随的增大而减小， ∴的取值范围为 4．如图，在平面直角坐标系中，的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求此反比例函数的表达式； (2)将向上平移，当点落在反比例函数的图象上时，求出平移的距离． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2)平移的距离为 【分析】（1）利用轴对称的性质求得点B的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）求解，设将向上平移个单位，点D落在反比例函数的图象上，即点落在反比例函数的图象上，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标为， ∴点B的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点B， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∴，， 设将向上平移个单位，点D落在反比例函数的图象上， 即点落在反比例函数的图象上， ∴， 解得． 将向上平移2个单位，点D落在反比例函数的图象上， ∴平移的距离为． 5．如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下列问题． (1)图象的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支上任取点和点，如果，那么b、有怎样的大小关系？ 【答案】(1)第四象限， (2) 【分析】（1）根据一支所处象限可求得另一支所在象限，同时可知反比例函数的系数小于零，即可解得答案； （2）根据反比例函数的性质，在图象的每一个象限内随增大而增大，即可求得答案． 【详解】（1）解：根据图象知：该函数的图象的另一支位于第四象限， ∵这个反比例函数图象位于第二、四象限， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴在这个函数图象的任意一支上，都随的增大而增大， ∴当时，． 6．如图，，，为反比例函数的图象在第一象限的分支上的三点，且． (1)比较，，的大小． (2)过A，B，C三点分别作两坐标轴的垂线，D，E，F和H，N，P为垂足，矩形，，的面积，，之间有怎样的数量关系？为什么？ 【答案】(1) (2) 理由：∵，，为反比例函数的图象在第一象限的分支上的三点， ∴， ∵矩形，，的面积，，， ∴，，， ∴. 【分析】（1）根据反比例函数的性质求解即可； （2）根据反比例函数k的几何意义求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数中， ∴在第一象限，随的增大而减小， ∵， ∴． （2）略 7．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴于点． (1)若点A的横坐标为3，，直接写出的值______； (2)若，求出此时的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点的横坐标求出其纵坐标，结合已知条件即可求出点的横纵坐标，从而求出值． （2）利用点和点与各自函数的关系可求出其横纵坐标的乘积，将其转化成线段关系，利用三角形的面积公式，表示出和的面积，利用等底关系和结合，将其面积比转化为线段比，即可求出的值． 【详解】（1）解：横坐标是3，在反比例函数上， 的纵坐标为， ， ， 在第四象限， 的纵坐标为， ， 和的横坐标相等， 的横坐标为3， ， ． （2）解：连接，，如图所示， 轴，在反比例函数上， ， ， ， 同理，， ， ， ． ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数中点的坐标和值的关系，以及反比例函数中三角形面积问题，解题的关键在于点的坐标的乘积结果可以转化成面积的线段乘积关系． 8．如图，一次函数（m，n为常数，）的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)结合图形，请直接写出不等式的解集； (3)若直线与反比例函数和一次函数图象分别交于点N和点M，已知，求t的值． 【答案】(1)一次函数表达式为，反比例函数表达式为 (2)或 (3) 【分析】（1）将代入，可求出反比例函数表达式，从而得到点B的坐标，再把点A，B的坐标代入，即可求解； （2）观察图象得到一次函数的图象在反比例函数图象的上方时，x的取值范围，即可求解； （3）由题意可知，，，，再由，可得 ，即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴反比例函数表达式为， 把代入，得：， ，，两点在的图象上， ， 解得， ∴一次函数表达式为； （2）解：观察图象得：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方， 即不等式的解集为或； （3）解：由题意可知，，，， ∵， ， 解得，（不合题意）， 经检验，为方程的解， ． 9．图为某电子秤的实物图，图为其工作电路图，其工作原理为：电源两端电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知：①可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）满足图所示的一次函数关系；②定值电阻，总电阻；③电路中的电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例；④当在电子秤上放置质量为的物体时，电流表显示电流为． (1)求可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间满足的函数关系式； (2)求电流（单位：）与总电阻（单位：）之间满足的函数关系式； (3)已知该电子秤正常工作的电流范围为（单位：），求该电子秤可称量物品的最大质量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设关于的一次函数解析式为，代入图3给出的两组坐标点，求解待定系数得到函数关系式． （2）设关于的反比例函数解析式为，先利用已知条件时的值，结合第一步得到的与的关系求出对应的，再计算总电阻，代入反比例式求解，得到与的函数关系式． （3）因为电流越大总电阻越小，越小则物体质量越大，所以取电流最大值，代入与的关系式求出最小总电阻，再减去得到对应的，最后代入与的关系式求出最大质量． 【详解】（1）解：设关于的一次函数为． 由图3可知，该函数过点和： 把代入， 得； 把和代入， 得， 解得． ∴函数关系式为：． （2）解：已知与成反比例，设（为定值，对应电源电压）． 当物体质量时，代入（1）的结论， 得， 总电阻， 此时． 将、代入反比例式， 得． ∴函数关系式为：． （3）解：由可知，随的增大而减小：电流越大，总电阻越小，由知，对应的物体质量越大， ∴最大质量对应电流最大值． 把代入， 得， 解得总电阻； 由， 得； 把代入， 得， 解得， ∴电子秤可称量的最大质量为． 10．设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当时，有，我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”． (1)反比例函数是闭区间上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； (2)若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求此函数的解析式． 【答案】(1)是，见解析 (2)或 【分析】（1）根据“闭函数”的定义以及反比例函数的性质解答即可； （2）根据“闭函数”的定义可得当时，，然后分两种情况，结合一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：反比例函数是闭区间上的“闭函数”，理由如下： ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， 当时，；当时，， ∴此时， ∴反比例函数是闭区间上的“闭函数”； （2）解：∵一次函数是闭区间上的“闭函数”， ∴当时，， 当时，此时满足时，，时，， 即， 解得：， 此时函数的解析式为； 当时，此时满足时，，时，， 即， 解得：， 此时函数的解析式为； 综上所述，此函数的解析式为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $